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  • 数据结构 红黑树的详解 红黑树是具有下列着色性质的二叉查找树: 1.每一个节点或者着红色,或者着黑色。 2.根是黑色的。 3.如果一个节点是红色的,那么它的子节点必须是黑色。 4.从一个节点到一个NULL指针的每一条...
  • 数据结构

    2019-06-02 21:02:55
    数据结构:树树的定义树的实现树的遍历迭代法遍历广度优先遍历深度优先遍历 树的定义 一棵树是一些节点的集合。这个集合可以为空集,若不为空,那么树由根节点A以及0个或多个非空的子树T1T_{1}T1​,T2T_{2}T2​, •...

    树的定义

    一棵树是一些节点的集合。这个集合可以为空集,若不为空,那么树由根节点A以及0个或多个非空的子树T1T_{1},T2T_{2}, •••, TkT_{k}组成,这些子树中每一棵的根,都由来自根A的一条有向边所连接。
    在这里插入图片描述

    1. 每一棵子树的根叫做根A的儿子,而根A是每一棵子树的父亲。
    2. 没有儿子的节点叫树叶。
    3. 具有相同父亲的节点称为兄弟。
    4. 从根A节点到nin_{i}唯一路径长为nin_{i}的深度。如根A的深度为0,T1的深度为1。
    5. nin_{i}的高:从nin_{i}到一片树叶的最长路径。

    树的实现

    下图为window的C盘文件夹的部分目录结构:
    在这里插入图片描述
    将每个节点的所有儿子都放到树节点的链表中:

    //树节点
    public class TreeNode<T> {
        
        private T data;//数据域
        private TreeNode firstChild;//表示节点的第一个儿子
        private TreeNode nearNode;//与自己相邻的兄弟
        
    }
    

    则上图变成:
    在这里插入图片描述
    图中向下的箭头是firstChild(节点的第一个儿子)的链,水平箭头表示nearNode(与自己相邻的兄弟)。

    树的遍历

    利用上图C盘的树为例子:

    创建树

    public class Tree {
        /**
         * 创建树
         */
        public TreeNode creatTree() {
            //建立各节点
            TreeNode<String> nodeA = new TreeNode<>("C盘");
            TreeNode<String> nodeB = new TreeNode<>("window");
            TreeNode<String> nodeC = new TreeNode<>("bootmgr");
            TreeNode<String> nodeD = new TreeNode<>("program file");
            TreeNode<String> nodeE = new TreeNode<>("用户");
            TreeNode<String> nodeF = new TreeNode<>("addins");
            TreeNode<String> nodeG = new TreeNode<>("AppCompat");
            TreeNode<String> nodeH = new TreeNode<>("Help");
            TreeNode<String> nodeI = new TreeNode<>("Common Files");
            TreeNode<String> nodeJ = new TreeNode<>("Intel");
            TreeNode<String> nodeK = new TreeNode<>("Administrator");
            TreeNode<String> nodeL = new TreeNode<>("Default User");
            //各节点的关系
            nodeA.setFirstChild(nodeB);
            nodeB.setFirstChild(nodeF);
            nodeB.setNearNode(nodeC);
            nodeC.setNearNode(nodeD);
            nodeD.setFirstChild(nodeI);
            nodeD.setNearNode(nodeE);
            nodeE.setFirstChild(nodeK);
            nodeF.setNearNode(nodeG);
            nodeG.setNearNode(nodeH);
            nodeI.setNearNode(nodeJ);
            nodeK.setNearNode(nodeL);
            return nodeA;
        }
    }
    

    迭代法遍历

        public void printAll(TreeNode node) {
        	//节点不为空则打印当前节点数据
            if (node != null) {
                System.out.println(node.getData());
                //如果第一个儿子不为空,则迭代继续找子节点的第一个儿子节点,直到返回null
                if (node.getFstChild() != null) {
                    printAll(node.getFirstChild());
                }
                //找完第一个儿子,继续找寻找相邻兄弟节点,迭代查找兄弟的兄弟节点。
                if (node.getNearNode() != null) {
                    printAll(node.getNearNode());
                }
            }
        }
    

    广度优先遍历

    在这里插入图片描述
    入队顺序:

    1. 当头结点A入队。
    2. 头结点A出队,A的第一个儿子节点B入队。
    3. 队头B出队。B的第一个儿子节点F入队,B的相邻兄弟节点C入队,此时对列中从队头到队尾排序为:F、C。
    4. 队头F出队。F的相邻兄弟节点G入队,此时对列中从队头到队尾排序为:C、G。
    5. 队头C出队。C的相邻兄弟节点D入队,此时对列中从队头到队尾排序为:G、D。

      最后依次打印:A、B、F、C、G、D、H、I、E、J、K、L。
       /**
        * 广度优先遍历 (Breadth FirstSearch)
        * 用到对列数据结构
        */
       public void printBFS(TreeNode root) {
           if (root == null) {
               return;
           }
    
           Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
           //添加根节点
           queue.offer(root);
    
           while (!queue.isEmpty()) {
               //出队
               TreeNode firstNode = queue.poll();
               System.out.println(firstNode.getData());
               //第一个儿子节点入队
               TreeNode firstChild = firstNode.getFirstChild();
               if (firstChild != null) {
                   queue.offer(firstChild);
               }
               //相邻兄弟节点入队
               TreeNode nearNode = firstNode.getNearNode();
               if (nearNode != null) {
                   queue.offer(nearNode);
               }
           }
       }
    

    深度优先遍历

    在这里插入图片描述
    入栈顺序:

    1. 当头结点A入栈。
    2. 头结点A出栈,A的第一个儿子B入栈。
    3. 队头B出栈。B的第一个儿子F入栈,B的相邻兄弟C入栈。此时栈:C、F。
    4. 队头C出栈。C的相邻兄弟D入栈,此时栈:D、F。
    5. 队头D出队。D的第一个儿子I入队,D的相邻兄弟E入栈。此时栈:E、I、B。

      最后依次打印:A、B、C、D、E、K、L、I、J、F、G、H。
    	/**
         * 深度优先遍历(Depth First Search)
         * 用到栈数据结构
         */
        public void printDFS(TreeNode root){
            if (root == null) {
                return;
            }
            
            Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
            //根节点入栈
            stack.push(root);
    
            while (!stack.isEmpty()) {
                //出栈
                TreeNode firstNode = stack.pop();
                System.out.println(firstNode.getData());
                //第一个儿子节点入栈
                TreeNode firstChild = firstNode.getFirstChild();
                if (firstChild != null) {
                    stack.push(firstChild);
                }
                //相邻兄弟节点入队
                TreeNode nearNode = firstNode.getNearNode();
                if (nearNode != null) {
                    stack.push(nearNode);
                }
            }
        }
    

    数据结构与算法分析
    大话数据结构

    上一节 : 数据结构:队列

    展开全文
  • 数据结构

    2020-09-22 09:23:37
    是一种非线性的数据结构,我们可以类比想像生活中的树,有树枝,树枝分叉处,树叶等; 为什么要使用 我们来考虑一个问题,有一段线路(长度为n)出现了故障,我们要判断问题出现在那部分,一般方法就是通过一节节...

    引言

    一直没有系统的学习“树”这一数据结构,导致对一些概念,用法模棱两可,所以现在开始系统的学习一下;

    知识点总结

    树的定义

    有若干条节点和若干条边组成的数据结构;
    树是一种非线性的数据结构,我们可以类比想像生活中的树,有树枝,树枝分叉处,树叶等;
    在这里插入图片描述

    为什么要使用树

    我们来考虑一个问题,有一段线路(长度为n)出现了故障,我们要判断问题出现在那部分,一般方法就是通过一节节的测试,但是这样的话平均需要测n/2次,当n非常大时,复杂度是不能接受的;因此,需要一个更为巧妙的办法==》二分查找
    在这里插入图片描述
    这样的话,查找的时间复杂度就直接变成了log2n次,复杂度大大降低了,这种方法可以用”树“来实现;

    树的特点

    • 一棵树有n个节点,则可以确定有且仅有n-1条边;

    常见术语

    • 节点的度,指节点的子树数;
      在这里插入图片描述
    • 叶节点,度为0的点;
    • 树的度,树中最大的节点的度;

    二叉树

    树的种类有很多种,其中最常用的就是二叉树;

    二叉树的定义

    树的度<=2的树称为二叉树;且二叉树的左右子树是严格区分的,不可随意改动;

    特殊的二叉树

    1.满二叉树
    在这里插入图片描述
    像这样的除了叶子节点,其余节点的度都为2的二叉树称为满二叉树;
    2.完全二叉树
    满二叉树是特殊的完全二叉树;
    在这里插入图片描述

    完全二叉树的性质

    • 根节点的编号为1;
    • 用数组表示完全二叉树的话,节点编号为i的左右节点存在的话,对应的编号为2i,2i+1
    • 二叉树的i层至多有2^(i-1)个节点;

    二叉树的创建

    struct node{
    	int data;
    	node* lc;
    	node* rc;//<1>
    };
    node* newNode(int x){
    	node* Node=new node;
    	Node->lc=Node->rc=NULL;//<2>
    	Node->data=x;
    	return Node;
    }
    void insert(node* &root,int x){//<5>
    	if(root==NULL){
    		root=newNode(x);
    		return;
    	}
    	if(root->lc==NULL)//<3>
    	  insert(root->lc,x);
        else
    	  insert(root->rc,x);
    }
    int num[100];
    node* create(int data[],int n){
    	node* root=NULL;//<4>
    	for(int i=0;i<n;i++)
    	  insert(root,data[i]);
    	return root;
    }
    

    上述代码创建出来的二叉树:
    在这里插入图片描述

    对上面的代码一些我自己纠结了很久的地方做个解释
    <1>
    node* root与node *root是一样的,都是表示root为node类型的指针;千万不要过分纠结(很难受)<2><4>
    都是为了初始化节点,NULL是一个宏定义,表示不指向任何地址的空指针;
    <5>
    node* &root的写法是为了能够修改二叉树(添加节点),与之相对应的是在遍历操作者就不需要使用&root,因为遍历时不需要对二叉树进行修改;
    <3>
    目前只会这样创建,太菜了;
    

    二叉树的遍历

    **注意:以下先,中,后都是描述根节点的位置的,比如先序遍历的顺序是根节点->左节点->右节;后序遍历的顺序是左->右->根节点

    1.先序遍历

    void preorder(node* root){
    	if(root==NULL)
    	    return;
    	printf("%d ",root->data);
    	preorder(root->lc);
    	preorder(root->rc);
    }
    

    先序遍历的特点:
    先序遍历序列的第一个一定是根节点;

    2.中序遍历

    void inorder(node* root){
    	if(root==NULL)
    	    return;
    	inorder(root->lc);
    	printf("%d ",root->data);
    	inorder(root->rc);
    }
    

    中序遍历的特点:
    只要知道根节点,就能区分左右子树;
    1.后序遍历

    void postorder(node* root){
    	if(root==NULL)
    	    return;
    	postorder(root->lc);
    	postorder(root->rc);
    	printf("%d ",root->data);
    }
    

    后序遍历的特点:
    序列的最后一个是根节点;

    总结
    只有知道中序遍历序列,才可能唯一确定一棵二叉树,因为先序/后序节点只能确定根节点的位置,不能把左右节点分开;

    4.层序遍历

    void layerorder(node* root){
    	queue<node*>q;
    	q.push(root);
    	while(!q.empty()){
    		node* curr=q.front();
    	     	q.pop();
    		cout<<curr->data<<" ";
    		if(curr->lc!=NULL){
    			q.push(curr->lc);	
    		}
    		if(curr->rc!=NULL){
    			q.push(curr->rc);
    		}
    	}
    }
    

    重建二叉树

    我们经常会见到这样的问题:给定一个二叉树的中序序列,和先序/后序/层次序列的一种,重建这个二叉树;其中,先序等三种序列的作用是确定树的根节点位置中序遍历序列的作用是区分左右节点
    以下面的例题来解释:

    问题描述
    定一棵二叉树的后序遍历和中序遍历,请你输出其层序遍历的序列。这里假设键值都是互不相等的正整数。
    
    输入样例
    7
    2 3 1 5 7 6 4
    1 2 3 4 5 6 7
    
    输出样例
    4 1 6 3 5 7 2
    

    问题分析
    在这里插入图片描述
    代码展示

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    struct node{
    	int data;
    	node* lc;
    	node* rc;//<1>
    };
    node* newNode(int x){
    	node* Node=new node;
    	Node->lc=Node->rc=NULL;//<2>
    	Node->data=x;
    	return Node;
    }
    int post[100],in[100];
    vector<int>ans;
    node* JudgeByPostAndIn(int PostL,int PostR,int inL,int inR){
    	//当前树的后序序列:[PostL,PostR],中序序列:[inL,inR]
    
    	if(PostL>PostR)//??什么情况会 > 
    	   return NULL;
    	   node* root=newNode(post[PostR]);//创建节点! 
    	 int k=inL;
    	 while(in[k]!=post[PostR])k+=1;
    	 //找到中序序列中root的位置	
    	 int numLeft=k-inL;//左子树个数 
    	 root->lc=JudgeByPostAndIn(PostL,PostL+numLeft-1,inL,k-1);
    	 root->rc=JudgeByPostAndIn(PostL+numLeft,PostR-1,k+1,inR);  
    	 return root;
    }
    void layorder(node* root){
    	queue<node*>q;
    	q.push(root);
    	while(!q.empty()){
    		node* curr=q.front();
    		q.pop();
    		ans.push_back(curr->data);
    		if(curr->lc!=NULL)q.push(curr->lc);
    		if(curr->rc!=NULL)q.push(curr->rc);
    	}
    }
    int main(){
    	int n;
    	scanf("%d",&n);
    	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&post[i]);
    	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&in[i]);
       node* root=JudgeByPostAndIn(1,n,1,n);
       layorder(root);
       for(int i=0;i<ans.size();i++){
       	if(i!=0)printf(" ");
       	printf("%d",ans[i]);
       }
       return 0;
       
    }
    
    
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  • 数据结构树的学习

    2014-07-11 16:40:35
    在树,对于任意节点n,n的深度为从根节点到n的唯一路径的...一颗树的深度等于他的最深的树叶的深度,该深度总是等于这棵树的高. 树节点的声明 typedef struct TreeNode *PtrToNode; struct TreeNode { Elemen
    在树中,对于任意节点n,n的深度为从根节点到n的唯一路径的 长。因此,根 的深度为零。n 的高度是从n到一片树叶的最长路径的长。因此所有的树叶的高都是0一棵树的高等于他的根的高.
    一颗树的深度等于他的最深的树叶的深度,该深度总是等于这棵树的高.


    树节点的声明

    typedef struct TreeNode *PtrToNode;
    struct TreeNode
    {
    ElementType Element;
    PtrToNode FirstChild;
    PtrToNode NextSibling;
    };


    二叉树节点声明

    typedef struct TreeNode *PtrToNode;
    tyedef struct PtrToNode Tree;
    struct TreeNode
    {
    ElementType Element;
    Tree     Left;
    Tree     Right;
    };
    是二叉树成为二叉查找树的性质是:对于树中的每一个节点X,他的左子树的所有关键字值
    小于X的关键字值.而他的右子树中所有关键字的值大于X的关键字值.
    二叉查找树的声明

    #ifndef _Tree-h
    struct TreeNode;
    typedef struct TreeNode *Position;
    typedef struct TreeNode *searchTree;


     SearchTree MakeEmpty(searchTree T);
    Position Find(ElementType X,SearchTree T);
    Position FindMin(SearchTree T);
    Positon  FindMax(SearchTree  T);
    SearchTree  Insert(ElementType X,SearchTree T);


    SearchTree  Delete(ElementType X,SerachTre T);


    ElementType Retrieve(Position P);


    #endif


    struct TreeMode
    {
    ElementType Element;
    SearchTree Left;
    SearchTree     Right;
    };


    建立一颗空的二叉树

    SearchTree MakeEmpty(SeachTree T)
    {
    if(T!=NULL)
    {
    MakeEmpty(T->Left);
    MakeEmpty(T->Right);
    free(T);
    }


    return NULL;
    }


    二叉查找树的Find操作
    Position Find(ElementType X,SearchTree T)
    {
    if(T==NULL)
    return NULL;
    if(X<T->Element)
    return Find(X,T->Left);
    else if(X>T->Element)
    return Find(X,T->Right); 


    else
    return T;
    }


    对二叉查找树的FindMin的递归实现


    Position FindMin(SearchTree T)
    {
    if(T==NULL)
    return NULL;
    else if(T->Left==NULL)
    return T;
    else
    return FindMin(T->Left);
    }
    对而查找树的FindMax的非递归实现


    Position FindMax(SearchTree T)
    {
    if(T!=NULL)
    while(T->Right!=NULL)
    T=T->Right;
    return T;
    }


    插入元素到二叉查找树的


    SearchTree Insert(ElementType X,SearchTree T)
    {
    if(T==NULL)
    {
    T=malloc(sizeof(struct TreeNode))
    if(T==NULL)
    FatalError("Out of space");
    else
    {
    T->Element=x;
    T->Left=T->Right=NULL;
    }
    }
    else
    if(X<T->Element)
    T->Left=Insert(X,T->Left);
    else 
    if(X>T->Element)
    T->Right=Insert(X,T->Right);
    return T;
    }


    二叉查找树的删除

    SearchTree Delete(ElementType X,Searchtree T)
    {
    Position TmpCell;
    if(T==NULL)
    Error("Element not find");
    else if(X<T->Element)
    T->Left=Delete(X,T->Left);
    else if(X>T->Element)
    T->Right=Delete(X,T->Left);
    else if(T->Left&&T->Right)
    {
    TmpCell = FindMin(T->Right);
    T->Element=TmpCell->Element;
    T->Right=Delete(T->Element,T->Right);
    }
    else
    {
    TmpCell =T;
    if(T->Left==NULL)
    T=T->Right;
    else if(T->Right==NULL)
    T=T->Left;
    free(TmpCell);
    }
    return T;
    }
    展开全文
  • 一,一些定义树的深度定义:对于树的节点n(i),n(i)的深度定义为,从根到n(i)的唯一路径的长度。...二,表达式树表达式树的树叶是操作数,非叶结点是操作符。表达式树可用来进行表达式求值。对表达式树中序遍历...

    一,一些定义

    树的深度定义:对于树中的节点n(i),n(i)的深度定义为,从根到n(i)的唯一路径的长度。

    树的高度定义:对于树中的节点n(i),n(i)的高度定义为,从n(i)到树中叶子节点的最长路径的长度。因为树中可能有多个叶子结点,n(i)到每个叶子结点都会有路径,路径最长的即为n(i)的高度。

    二,表达式树

    表达式树的树叶是操作数,非叶结点是操作符。

    表达式树可用来进行表达式求值。对表达式树中序遍历,就会得到一个符合人类习惯的表达式,这是一个中缀表达式。关于中缀表达式,参考:

    对表达式树后序遍历,就得到一个后缀表达式,关于后缀表达式,参考:

    那,如何构造表达式树呢?

    即:给定一个后缀表达式,如何将之转换成中缀表达式?—后缀表达式转换成中缀表达式的过程,即为构造表达式树的过程。

    幸运的是:后缀表达式转换成中缀表达式的过程 与 后缀表达式求值的过程非常相似。

    算法如下:

    输入:后缀表达式

    输出:(表达式树)中缀表达式

    扫描后缀表达式,一次读入一个符号

    ①若它是操作数,则建立一个单节点树并将它推入栈中

    ②若它是操作符,则从栈中弹出两颗树T1(先弹出) 和 T2。该树的树根就是操作符,左、右儿子分别是T2 和 T1,然后再将该树压入栈中。

    代码如下:

    另外一篇博客–链接

    三,查找树—二叉查找树

    二叉查找树:对于树中每个节点X,它的左子树所有项的值小于X,它的右子树所有项的值大于X。中序遍历二叉查找树 生成一个有序序列。

    二叉查找树的特点:让很多操作都可以在O(logN)的时间内完成。注意,我这里说的是 “可以”,因为:二叉查找树并不是平衡二叉树。

    插入操作:

    比如,当序列是有序的时,二叉查找树就退化成链表。

    例如:1,2,3,4,5作为输入,构造二叉查找树

    对于1,作为树的根结点。对于2,作为根结点的右孩子。对于3,作为2的右孩子。对于4,作为3的右孩子,对于5,作为4的右孩子。

    这样的二叉查找树的高度为O(N)。 那么相关的操作也降为O(N)

    删除操作:

    当删除二叉查找树中的某个节点时,不通改变二叉查找树的特点。故,一般采用如下方式删除:

    不直接删除该节点,而是删除以该节点为根的左子树中的最右下节点, 或者删除以该节点为根的,右子树中的最左下节点。

    由于删除操作可能会改变二叉查找树的高度,如果总是删除”最右下节点“ 或者 ”最左下节点“ 会导致节点严重偏向一边,故可采用随机删除法,即随机地选择”最右下节点“ 或 ”最左下节点“删除。

    现在考虑以下几种操作,及它们采用不同的数据结构实现时的时间复杂度情况:

    findMin 二叉查找树–O(logN); 线性表–O(N); HashSet–O(N)

    HashSet可以遍历每个Entry,然后找出最小的,故时间复杂度为O(N)

    findMax 二叉查找树–O(logN); 线性表–O(N); HashSet–O(N)

    如果数组有序,findMax操作可为O(1)。但是对于链表而言,findMax只能为O(N)

    insert 二叉查找树–O(logN); 线性表–O(N); HashSet–O(1)

    在数组中插入时,需要移动元素,平均时间复杂度为O(N)。但对于链表,插入操作可以为O(1)

    delete 二叉查找树–O(logN); 线性表–O(N); HashSet–O(1)

    在数组中删除时,需要移动元素,平均时间复杂度为O(N)。但对于链表,删除操作可以为O(1)

    contains 二叉查找树–O(logN); 数组–O(N); HashSet–O(1)

    需要遍历数组一次,才能判断是否包含该元素。当是有序序列时,数组可以采用二分查找,复杂度降为O(logN)

    三,AVL树–平衡二叉树

    正是由于二叉查找树的高度随序列而变化。如,当输入序列有序时,构造出来的二叉查找树退化为链表,高度为O(N)。那么相关的操作,如findMax、findMin的时间复杂度也降为O(N)

    AVL树要求每棵树的左右子树的高度相关不能超过1,从而保证操作不会退化为O(N)的复杂度。但是AVL树的实现比较复杂。

    四,伸展树

    相对于AVL的复杂,伸展树要容易实现一些。

    伸展树保证对树的连续M次操作的最坏时间复杂度为O(MlogN)。根据摊还分析,摊还到每一次操作的时间复杂度为 MlogN / M = O(logN)

    https://www.cnblogs.com/hapjin/category/680818.html

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