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  • 时间复杂度和空间复杂度概念及各种算法时间复杂度 及举例 算法复杂度可分为俩种 一种时间复杂度 另一种是空间复杂度。 俩者的概念时间复杂度是指执行这个算法所需要的计算工作量;而空间复杂度是指执行这个...

    时间复杂度和空间复杂度的概念及各种算法的时间复杂度 及举例

    算法的复杂度可分为俩种 一种时间复杂度 另一种是空间复杂度。

    俩者的概念:时间复杂度是指执行这个算法所需要的计算工作量;而空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。时间和空间(即寄存器)都是计算机资源的重要体现,而算法的复杂性就是体现在运行该算法时的计算机所需的资源多少

    各种算法的复杂度如下:
    在这里插入图片描述
    时间复杂度:

    1:算法的时间复杂度反映了程序执行时间随输入规模增长而增长的量级,在很大程度上能很好地反映出算法的优劣与否;

    2:算法执行时间需要依据该算法编制的程序在计算机上执行运行时所消耗的时间来度量,度量方法有两种,事后统计方法和事前分析估算方法,因为事后统计方法更多的依赖计算机的硬件,软件等环境因素,有时容易掩盖算法本身的优劣。因此常常采用事前分析估算的方法;

    3:一个算法是由控制结构(顺序,分支,循环三种)和原操作(固有数据类型的操作)构成的,而算法时间取决于两者的综合效率;

    4:一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比,执行次数越多,花费的时间就越多。一个算法中的执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n);

    5:在时间频度中,n称为问题的规模,当n不断变化时,它所呈现出来的规律,我们称之为时间复杂度(其实在这中间引入了一个辅助函数f(n),但它与t(n)是同数量级函数,我们且先这样理解。)

    6:在各种算法中,若算法中的语句执行次数为一个常数,则时间复杂度为o(1);同时,若不同算法的时间频度不一样,但他们的时间复杂度却可能是一样的,eg:T(n)=n^2+2n+4 与 T(n)=4n2+n+8,他们的时间频度显然不一样,但他们的时间复杂度却是一样的,均为O(n2),时间复杂度只关注最高数量级,且与之系数也没有关系。

    7: 求解算法的时间复杂度的具体步骤是:
      ⑴ 找出算法中的基本语句;
      算法中执行次数最多的那条语句就是基本语句,通常是最内层循环的循环体。
      ⑵ 计算基本语句的执行次数的数量级;
      只需计算基本语句执行次数的数量级,这就意味着只要保证基本语句执行次数的函数中的最高次幂正确即可,可以忽略所有低次幂和最高次幂的系数。这样能够简化算法分析,并且使注意力集中在最重要的一点上:增长率。
      ⑶ 用大Ο记号表示算法的时间性能。
      将基本语句执行次数的数量级放入大Ο记号中。
      如果算法中包含嵌套的循环,则基本语句通常是最内层的循环体,如果算法中包含并列的循环,则将并列循环的时间复杂度相加
    下面我来举一个简单例子:

    for(i=1;i<=n;i++)
    {a++};
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
    for(j=1;j<=n;j++)
    {
    a++;
    }
    }
    第一个for循环的时间复杂度为o(n),第二个for循环时间复杂度为o(n2),则整个算法的时间复杂度为o(n2+n)。
    o(1)表示基本语句的执行次数是一个常数,一般来说,只要算法中不存在循环语句,时间复杂度就为o(1)。

    空间复杂度(Space Complexity):

    1:空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度;

    2:一个算法在计算机上占用的内存包括:程序代码所占用的空间,输入输出数据所占用的空间,辅助变量所占用的空间这三个方面,程序代码所占用的空间取决于算法本身的长短,输入输出数据所占用的空间取决于要解决的问题,是通过参数表调用函数传递而来,只有辅助变量是算法运行过程中临时占用的存储空间,与空间复杂度相关;

    3:通常来说,只要算法不涉及到动态分配的空间,以及递归、栈所需的空间,空间复杂度通常为0(1);

    4: 对于一个算法,其时间复杂度和空间复杂度往往是相互影响的。当追求一个较好的时间复杂度时,可能会使空间复杂度的性能变差,即可能导致占用较多的存储空间;反之,求一个较好的空间复杂度时,可能会使时间复杂度的性能变差,即可能导致占用较长的运行时间。另外,算法的所有性能之间都存在着或多或少的相互影响。因此,当设计一个算法(特别是大型算法)时,要综合考虑算法的各项性能,算法的使用频率,算法处理的数据量的大小,算法描述语言的特性,算法运行的机器系统环境等各方面因素,才能够设计出比较好的算法。

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  • 数据结构的基本概念和术语,算法时间复杂度,讲述了数据结构的一些概念点,也就是最基本的一些东西,还有如何计算算法时间复杂度之类的一些问题及举例
  • 1、算法概念: ...(1)时间复杂度:执行这个算法需要消耗多少时间。 (2)空间复杂度:这个算法需要占用多少内存空间。  同一个问题可以用不同的算法解决,而一个算法的优劣将影响到算法乃至程...

    1、算法的概念:

    算法 (Algorithm),是对特定问题求解步骤的一种描述。

    解决一个问题往往有不止一种方法,算法也是如此。那么解决特定问题的多个算法之间如何衡量它们的优劣呢?有如下的指标:

    2、衡量算法的指标:

    (1)时间复杂度:执行这个算法需要消耗多少时间。

    (2)空间复杂度:这个算法需要占用多少内存空间。

      同一个问题可以用不同的算法解决,而一个算法的优劣将影响到算法乃至程序的效率。算法分析的目的在于为特定的问题选择合适算法。一个算法的评价主要从时间复杂度和空间复杂度来考虑

      算法在时间的高效性和空间的高效性之间通常是矛盾的。所以一般只会取一个平衡点。通常我们假设程序运行在足够大的内存空间中,所以研究更多的是算法的时间复杂度。

     

    3、算法的时间复杂度

      (1)语句频度T(n): 一个算法执行所花费的时间,从理论上是不能算出来的,必须上机运行测试才能知道。但我们不可能对每个算法都上机测试,只需知道哪个算法花费的时间多,哪个算法花费的时间少就可以了。而且一个算法花费的时间与算法中的基本操作语句的执行次数成正比例,哪个算法中语句执行次数多,它花费时间就多一个算法中的语句执行次数称为语句频度,记为T(n)。

     

      (2)时间复杂度: 在刚才提到的语句频度中,n称为问题的规模,当n不断变化时,语句频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它的变化呈现什么规律。为此,我们引入时间复杂度概念。 一般情况下,算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数,用T(n)表示,若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时,T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数,则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=O( f(n) ),称O( f(n) )  为算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。

      T(n) 不同,但时间复杂度可能相同。 如:T(n)=n²+5n+6 与 T(n)=3n²+3n+2 它们的T(n) 不同,但时间复杂度相同,都为O(n²)。

     

      (3)常见的时间复杂度有:常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n),线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n2),立方阶O(n3), k次方阶O(nk),指数阶O(2n)。随着问题规模n的不断增大,上述时间复杂度不断增大,算法的执行效率越低。

     

      (4)平均时间复杂度和最坏时间复杂度:

        平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下,该算法的运行时间。

        最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是:最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限,这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。

        

      (5)如何求时间复杂度:  

      【1】如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长,即使算法中有上千条语句,其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

      public static void main(String[] args) {
            int x = 91;
            int y = 100;
            while (y > 0) {
                if (x > 100) {
                    x = x - 10;
                    y--;
                } else {
                    x++;
                }
            }
        }

    该算法的时间复杂度为:O(1) 
    这个程序看起来有点吓人,总共循环运行了1100次,但是我们看到n没有?
    没。这段程序的运行是和n无关的,
    就算它再循环一万年,我们也不管他,只是一个常数阶的函数

     

      【2】当有若干个循环语句时,算法的时间复杂度是由嵌套层数最多的循环语句中最内层语句的频度f(n)决定的。

    1         int x = 1;
    2         for (int i = 1; i <= n; i++) {
    3             for (int j = 1; j <= i; j++) {
    4                 for (int k = 1; k <= j; k++) {
    5                     x++;
    6                 }
    7             }
    8         }

    该算法的时间复杂度为:O(n3)  

    该程序段中频度最大的语句是第5行的语句,内循环的执行次数虽然与问题规模n没有直接关系,但是却与外层循环的变量取值有关,而最外层循环的次数直接与n有关,因此该程序段的时间复杂度为 O(n3)  

     

      【3】算法的时间复杂度不仅仅依赖于问题的规模,还与输入实例的初始状态有关

      在数值 A[n-1,n-2 ...0] 中查找给定值k的算法大致如下:   

    1         int i = n - 1;
    2         while (i >= 0 && (A[i] != k)) {
    3             i--;
    4         }
    5         return i;

    该算法的时间复杂度为:O(n)    

    此算法中第3行语句的频度不仅与问题规模n有关,还与输入实例A中的各元素取值和k的取值有关:如果A中没有与k相等的元素,那么第3行语句的频度为 f(n)=n ,该程序段的时间复杂度为 O(n)  

     

     

      (6)用时间复杂度来评价算法的性能 

        用两个算法A1和A2求解同一问题,时间复杂度分别是O(100n2),O(5n3)

        (1) 5n3/100n2=n/20 ,当输入量n<20时,100n2 > 5n3 ,这时A2花费的时间较少。

        (2)随着问题规模n的增大,两个算法的时间开销之比 5n3/100n2=n/20 也随着增大。即当问题规模较大时,算法A1比算法A2要高效的多。它们的渐近时间复杂度O(n2)和O(n3) 评价了这两个算法在时间方面的性能。在算法分析时,往往对算法的时间复杂度和渐近时间复杂度不予区分,而经常是将渐近时间复杂度 O(f(n)) 简称为时间复杂度,其中的f(n)一般是算法中频度最大的语句频度。

     

    4、算法的空间复杂度  

      空间复杂度(Space Complexity) 是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度,记做 S(n)=O(f(n)) ,其中n为问题的规模。利用算法的空间复杂度,可以对算法的运行所需要的内存空间有个预先估计。

      一个算法执行时除了需要存储本身所使用的指令、常数、变量和输入数据外,还需要一些对数据进行操作的工作单元和存储一些计算所需的辅助空间。算法执行时所需的存储空间包括以下两部分。  

    (1)固定部分。这部分空间的大小与输入/输出的数据的个数、数值无关。主要包括指令空间(即代码空间)、数据空间(常量、简单变量)等所占的空间。这部分属于静态空间。

    (2)可变空间,这部分空间的主要包括动态分配的空间,以及递归栈所需的空间等。这部分的空间大小与算法有关。

      举例分析算法的空间复杂度:

        public void reserse(int[] a, int[] b) {
            int n = a.length;
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                b[i] = a[n - 1 - i];
            }
        }

    上方的代码中,当程序调用 reserse() 方法时,要分配的内存空间包括:引用a、引用b、局部变量n、局部变量i

    因此 f(n)=4 ,4为常量。所以该算法的空间复杂度 S(n)=O(1)  

     

    5、总结

    算法的时间复杂度和两个因素有关:算法中的最大嵌套循环层数;最内层循环结构中循环的次数。

    一般来说,具有多项式时间复杂度的算法是可以接受的;具有指数(不是对数)时间复杂度的算法,只有当n足够小时才可以使用。一般效率较好的算法要控制在O(log2n) 或者 O(n)

     

    原文地址:http://www.cnblogs.com/nnngu/p/8245787.html

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  • 算法概念2.算法的五大特性二、算法效率衡量1.执行时间反应算法效率2.不能单靠时间衡量算法效率3.时间复杂度与“大O记法”4.如何理解“大O记法”5.最坏时间复杂度6.时间复杂度的几条基本计算规则7.常见时间复杂度三...

    思维导图

    在这里插入图片描述

    一、算法的提出

    1.算法的概念

    算法是计算机处理信息的本质,因为计算机程序本质上是一个算法来告诉计算机确的步骤来执行一个指定的任务。一般地,当算法在处理信息时,会从输入设备或数据的存储地址读取数据把结果写入输出设备或 某个存储地址供以后再调用
    算法是独立存在的一种解决问题的方法和思想。
    对于算法而言,实现的语言并不重要,重要的是思想
    法可以有不同的语言描述实现版本(如C描述、C++描述、Python措述等),我们现在是在用Python语言进行描述实现。

    2.算法的五大特性

    (1)输入:算法具有0个或多个输入
    (2)输出:算法至少有1个或多个输出
    (3)有穷性:算法在有限的步骤y后会自动结束而不会无限循环,并且每一个步骤可以在可接受的时间内 成
    (4)确定性:算法中的每一步都有确定的合义,不会出现二义性
    (5)可行性:算法的每一步都是可行的,也就是说每一步都能执行有限的次数

    二、算法效率衡量

    1.执行时间反应算法效率

    试验:若a+b+c=1000,a2+b2=c^2,abc的取值有多少种组合
    (1)穷举法

    import time
    s1=time.time()
    n=0
    for a in range(0,1001):
        for b in range(0,1001):
            for c in range(1,1001):
                if a+b+c==1000 and a**2+b**2==c**2:
                    print(a,b,c)
                    n+=1
    print(n)
    s2=time.time()
    print(s2-s1) #计算运算时间
    结果:
    0 500 500
    200 375 425
    375 200 425
    500 0 500
    4
    287.2141659259796
    

    (2)穷举法——条件加工

    import time
    s1=time.time()
    n=0
    for a in range(0,1001):
        for b in range(0,1001):
            c=1000 - a - b
            if a**2+b**2==c**2:
                print(a,b,(1000-a-b))
                n+=1
    print(n)
    s2=time.time()
    print(s2-s1)
    结果:
    0 500 500
    200 375 425
    375 200 425
    500 0 500
    4
    3.0502493381500244
    

    对于同一问题,我们给出了两种解决算法,在两种算法的实现中,我们对程序执行的时间进行了测算,发现两段程序执行的时间相差悬殊(287秒相比于3秒,由此我们可以得出结论:实现算法程序的执行时间可以反应出算法的效率,即算法的优劣。

    2.不能单靠时间衡量算法效率

    假设我们将第二次尝试的算法程序运行在一台配置古老性能低下的计算机中,情况会如何?很可能运行的时间并不会比在我们的电脑中运行(1)的速度快多少。
    单纯依靠运行的时间来比较算法的优劣并不一定是客观准确的
    程序的运行离不开计算机环境(包括硬件和操作系统),这些客观原因会影响程序运行的速度并反应的执行时间上。那么如何才能客观的评判-个算法的优劣呢?

    3.时间复杂度与“大O记法”

    我们假定计算机执行算法每—个基本操作的时间是固定的一个时间单位,那么有多少个基本操作就代表会花费多少时间单位。虽然对于不同的机器环境而言,确切的单位时间是不同的,但是对于算法进行多少个基本操作(即花费多少时间单位) 在规模数量级上却是相同的,由此可以忽略机器环境的影响而客观的反应算法的时间效率。
    对于算法的时间效率,我们可以用“大O记法"来表示

    • 大O记法
      对于单调的整数函数f,如果存在一个整数函数g和实常数c>0,使得对于充分大的n总有f(n)<=c*g(n),就说函数g是f的一个渐近函数(忽略常数),记为f(n)=O(g(n))。也就是说,在趋向无穷的极限意义下,函数f的增长速度受到函数g的约束,亦即函数f与函数g的特征相似。
    • 时间复杂度
      假设存在函数g,使得算法A处理规模为n的问题示例所用时间为T(n)=Og(n). 则称O(g(n))为算法A的渐近时间复杂度,简称时间复杂度,记为T(n)

    4.如何理解“大O记法”

    对于算法进行特别具体的细致分析虽然很好,但在实践中的实际价值有限。对于算法的时间性质和空间性质,最重要的是其数量级和趋势,这些是分析算法效率的重要部分。而计量算法基本操作数量的规模函数中那些常量因子可以忽略不计。例如,可以认为3n2,属于同一个量级,如果两个算法处理同样规模实的化价分别为这两个函数,就认为它们的效率“差不多”,都为n2级。

    5.最坏时间复杂度

    分析算法时,存在几种可能的考虑:

    • 算法完成工作最少需要多少基本操作,即最优时间复杂度
    • 算法完成工作最多需要多少基本操作,即最坏时间复杂度
    • 算法完成工作平均需要多少基本操作,即平均时问复杂度
      对于最优时间复杂度,其价值不大,因为它没有提供什么有用信息,其反映的只是最乐观最理想的情况,没有参考价值
      对于最坏时间复杂度,提供了一种保证,表明算法在此种程度的基本操作中一定能完成工作。
      因此,我们主要关注算法的最坏倩况,亦即最坏时间复杂度。

    6.时间复杂度的几条基本计算规则

    1.基本操作,即只有常数项,认为其时间复杂度为O(1)
    2.顺序结构,时间复杂度按加法进行计算
    3.循环结构,时间复杂度按乘法进行计算
    4.分支结构,时间复杂度取最大值
    5.判断一个算法的效率时,往往只需要关注操作数量的最高次项,其它次要项和常数项可以忽略
    6在没有特殊说明时、我们所分析的算法的时间复杂度都是指最坏时间复杂度

    7.常见时间复杂度

    在这里插入图片描述
    注意,经常将log2n(以2为底的对数)简写成logn

    三、Python内置类型性能分析

    1.timeit模块

    timeit模块可以用来测试一小段Pythonf码的执行速度

    class timeit.Timer(stmt='pass', setup= 'pass', timer=<timer function>
    

    Timer 是测量小段代码执行速度的类。
    stmt 参数是要测试的代码语句(statment);
    setup 参数是运行代码时需要的设置;
    timer 参数是一个定时器函数,与平台有关。

    timeit.Timer.timeit(number=1000000) 
    

    Timer类中测试语句执行速度的对象方法。number参数是测试代码时的测试次数,默认为1000000次。方法返回执行代码的平均耗时,一个float类型的秒数。

    2.不同类型列表操作的时间效率

    试验:append与+=创建列表的时间效率

    from timeit import Timer
    def test1():
        l=[]
        for i in range (10000):
            l.append(i)
    def test2():
        l=[]
        for i in range (10000):
            l+=[i]
    timer1 =Timer("test1()","from __main__ import test1")#导入文件里的函数
    print("append:",timer1.timeit(1000))
    timer2 =Timer("test2()","from __main__ import test2")
    print("+=:",timer2.timeit(1000))
    结果:
    append: 1.2959810999999997
    +=: 2.0050319
    

    3.list内置操作的时间复杂度

    在这里插入图片描述

    4.dict内置操作的时间复杂度

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    四、数据结构

    如何用Python中的类型来保存一个谢的学生信息?如果想要快速的通过学生姓名获取其信息呢?
    实际上当我们在思考这个问题的时候,我们已经用到了数据结构。列表和字典都可以存储一个班的学生信息,但是想要在列表中获取一名同学的信息时,要遍历这个列表,其时间复杂度为O(n),而使用字典存储时,可将学生姓名作为字典的键,学生信息作为值,进而查询时不需要遍历便可快速获取到学生信息,其时间复杂度为O(1)
    我们为了解决问题,需要将数据保存下来,然后根据数据的存储方式来设计算法实现进行处理,那么教据的存储方式不同就会导致需要不同的算法进行处理。我们希望算法解决问题的效率越快越好,于是***我们就需要考虑数据究竟如何保存的问题,这就是数据结构***。
    在上面的问题中我们可以选择Pyhon中的列表或字典来存储学生信息。列表和字典就是Python内建帮我们主装好的两种数据结构。

    1.概念

    数据是一个抽象的棍念,将其进行分类后得到程序设计语言中的基本类型。如: int,float, char等。数据元素之间不是独立的,存在特定的关系,这些关系便是结构。数据结构指数据对象中数据元素之间的关系。
    Python给我们提供了很多现成的数据结构类型,这些系统自己定义好的,不需要我们自己去定义的故据结构叫做Python的内置数据结构,比如列表、元组、字典。而有些数据组织方式,Python系统里面没有直接定义要我们自己去定义实现这些数据的组织方式,这些数据组织方式称之为Python的扩展数据结构,比如栈、队列等。

    2.算法与数据结构的区别

    数据结构只是静态的描述了数据元素之间的关系。
    高效的程序需要在数据结构的基础上设计和选择算法。
    程序=数据结构+算法
    总结:算法是为了解决实际问题而设计的,数据结构是算法需要处理的问题载体

    3.抽象数据类型(Abstract Data Type)

    抽象数据类型(ADT)的含义是指一个数学模型以及定义在此数学模型上的一组操作。**即把数据类型和数据类型上的运算捆在一起,进行封装。**引入抽象数据类型的目的是把数据类型的表示和数据类型上运算的实现,与这些数据类型和运算在程序中的引用隔开,使它们相互独立。
    最常用的数据运算有五种:

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  • 我们都知道,数据结构和算法本身解决的是“快”“省”的问题,即如何让代码运行得更快,如何让代码更省存储空间。所以,执行效率是算法一个非常重要的考量指标。那如何来衡量你编写的算法代码的执行效率呢?这里...

    我们都知道,数据结构和算法本身解决的是“快”和“省”的问题,即如何让代码运行得更快,如何让代码更省存储空间。所以,执行效率是算法一个非常重要的考量指标。那如何来衡量你编写的算法代码的执行效率呢?这里就要用到我们今天要说的内容:时间、空间复杂度分析。

    一、为什么需要复杂度分析?

    你可能会有些疑惑,我把代码跑一遍,通过统计、监控,就能得到算法执行的时间和占用的内存大小。为什么还要做时间、空间复杂度分析呢?这种分析方法能比我实实在在跑一遍得到的数据更准确吗?

    首先,我可以肯定地说,你这种评估算法执行效率的方法是正确的。很多数据结构和算法书籍还给这种方法起了一个名字,叫事后统计法。但是,这种统计方法有非常大的局限性。

    a.测试结果非常依赖测试环境

    测试环境中硬件的不同会对测试结果有很大的影响。比如,我们拿同样一段代码,分别用 Intel Core i9 处理器和 Intel Core i3 处理器来运行,不用说,i9 处理器要比 i3 处理器执行的速度快很多。还有,比如原本在这台机器上 a 代码执行的速度比 b 代码要快,等我们换到另一台机器上时,可能会有截然相反的结果。

    b.测试结果受数据规模的影响很大

    对同一个排序算法,待排序数据的有序度不一样,排序的执行时间就会有很大的差别。极端情况下,如果数据已经是有序的,那排序算法不需要做任何操作,执行时间就会非常短。除此之外,如果测试数据规模太小,测试结果可能无法真实地反应算法的性能。比如,对于小规模的数据排序,插入排序可能反倒会比快速排序要快!

    所以,我们需要一个不用具体的测试数据来测试,就可以粗略地估计算法的执行效率的方法。这就是我们今天要说的时间、空间复杂度分析方法。

    二、大 O 复杂度表示法

    这里有段非常简单的代码,求 1,2,3…n 的累加和。现在,我就带你一块来估算一下这段代码的执行时间。

    int cal(int n) {
        int sum = 0;
        int i = 1;
        for (; i <= n; ++i) {
            sum = sum + i;
        }
        return sum;
    }

    从 CPU 的角度来看,这段代码的每一行都执行着类似的操作:读数据-运算-写数据。尽管每行代码对应的 CPU 执行的个数、执行的时间都不一样,但是,我们这里只是粗略估计,所以可以假设每行代码执行的时间都一样,为 unit_time。在这个假设的基础之上,这段代码的总执行时间是多少呢?

    第 2、3 行代码分别需要 1 个 unit_time 的执行时间,第 4、5 行都运行了 n 遍,所以需要 2n*unit_time 的执行时间,所以这段代码总的执行时间就是 (2n+2)*unit_time。可以看出来,所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比

    按照这个分析思路,我们再来看这段代码。

    int cal(int n) {
        int sum = 0;
        int i = 1;
        int j = 1;
        for (; i <= n; ++i) {
            j = 1;
            for (; j <= n; ++j) {
                sum = sum +  i * j;
            }
        }
    }

    我们依旧假设每个语句的执行时间是 unit_time。那这段代码的总执行时间 T(n) 是多少呢?第 2、3、4 行代码,每行都需要 1 个 unit_time 的执行时间,第 5、6 行代码循环执行了 n 遍,需要 2n * unit_time 的执行时间,第 7、8 行代码循环执行了 n^2遍,所以需要 2n^2* unit_time 的执行时间。所以,整段代码总的执行时间 T(n) = (2n^2+2n+3)*unit_time。

    尽管我们不知道 unit_time 的具体值,但是通过这两段代码执行时间的推导过程,我们可以得到一个非常重要的规律,那就是,所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 n 成正比。我们可以把这个规律总结成一个公式。

    注意,大 O 就要登场了!

    我来具体解释一下这个公式。其中,T(n) 我们已经讲过了,它表示代码执行的时间;n 表示数据规模的大小;f(n) 表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式,所以用 f(n) 来表示。公式中的 O,表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。

    所以,第一个例子中的 T(n) = O(2n+2),第二个例子中的 T(n) = O(2n^2+2n+3)。这就是大 O 时间复杂度表示法大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间,而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势,所以,也叫作渐进时间复杂度(asymptotic time complexity),简称时间复杂度

    当 n 很大时,你可以把它想象成 10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势,所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了,如果用大 O 表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度,就可以记为:T(n) = O(n); T(n) = O(n^2)。

    三、时间复杂度分析

    1.只关注循环执行次数最多的一段代码

    大 O 这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数,只需要记录一个最大阶的量级就可以了。所以,我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候,也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。这段核心代码执行次数的 n 的量级,就是整段要分析代码的时间复杂度。如代码:

    int cal(int n) {
        int sum = 0;
        int i = 1;
        for (; i <= n; ++i) {
            sum = sum + i;
        }
        return sum;
    }

    其中第 2、3 行代码都是常量级的执行时间,与 n 的大小无关,所以对于复杂度并没有影响。循环执行次数最多的是第 4、5 行代码,所以这块代码要重点分析。前面我们也讲过,这两行代码被执行了 n 次,所以总的时间复杂度就是 O(n)。 

    2.加法法则:总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

    我们回到这篇文章的第二段代码,该代码中的执行时间为 T(n) = O(2n^2+2n+3) ,所以量级最大的那段代码运行时间为n的平方,则这段代码的时间复杂度为:O(n²).也就是说:总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。那我们将这个规律抽象成公式就是:

    如果 T1(n)=O(f(n)),T2(n)=O(g(n));那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).

    3.乘法法则:嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

    我们刚讲了一个复杂度分析中的加法法则,这儿还有一个乘法法则。类比一下,你应该能“猜到”公式是什么样子的吧?

    如果 T1(n)=O(f(n)),T2(n)=O(g(n));那么 T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n)).

    四、常见的时间复杂度量级

    1.O(1)

    首先你必须明确一个概念,O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法,并不是指只执行了一行代码。比如这段代码,即便有 3 行,它的时间复杂度也是 O(1),而不是 O(3)。

    稍微总结一下,只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长,这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。或者说,一般情况下,只要算法中不存在循环语句、递归语句,即使有成千上万行的代码,其时间复杂度也是Ο(1)。

    2.O(logn)、O(nlogn)

    对数阶时间复杂度非常常见,同时也是最难分析的一种时间复杂度。我通过一个例子来说明一下。

    i=1;
    while (i <= n)  {
        i = i * 2;
    }

    根据我们前面讲的复杂度分析方法,第三行代码是循环执行次数最多的。所以,我们只要能计算出这行代码被执行了多少次,就能知道整段代码的时间复杂度。

    从代码中可以看出,变量 i 的值从 1 开始取,每循环一次就乘以 2。当大于 n 时,循环结束。还记得我们高中学过的等比数列吗?实际上,变量 i 的取值就是一个等比数列。如果我把它一个一个列出来,就应该是这个样子的:

    所以,我们只要知道 x 值是多少,就知道这行代码执行的次数了。通过 2x=n 求解 x 这个问题我们想高中应该就学过了,我就不多说了。x = \log _2 n,所以,这段代码的时间复杂度就是 O(\log _2 n)

    现在,我把代码稍微改下,你再看看,这段代码的时间复杂度是多少?

    i=1;
    while (i <= n)  {
        i = i * 3;
    }

    根据我刚刚讲的思路,很简单就能看出来,这段代码的时间复杂度为 O(\log _3 n)

    实际上,不管是以 2 为底、以 3 为底,还是以 10 为底,我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。为什么呢?

    我们知道,对数之间是可以互相转换的,\log _3 n = \log _3 2 * \log _2 n,所以 O(\log _3 n) = O(C*\log _2 n),其中 C=\log_32 是一个常量。基于我们前面的一个理论:在采用大 O 标记复杂度的时候,可以忽略系数,即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以,O(\log_2n) 就等于 O(\log _3 n)。因此,在对数阶时间复杂度的表示方法里,我们忽略对数的“底”,统一表示为 O(logn)。

    如果你理解了我前面讲的 O(logn),那 O(nlogn) 就很容易理解了。还记得我们刚讲的乘法法则吗?如果一段代码的时间复杂度是 O(logn),我们循环执行 n 遍,时间复杂度就是 O(nlogn) 了。而且,O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如,归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。

    3.O(m+n)、O(m*n)

    我们再来讲一种跟前面都不一样的时间复杂度,代码的复杂度由两个数据的规模来决定。老规矩,先看代码!

    int cal(int m, int n) {
      int sum_1 = 0;
      int i = 1;
      for (; i < m; ++i) {
        sum_1 = sum_1 + i;
      }
    
      int sum_2 = 0;
      int j = 1;
      for (; j < n; ++j) {
        sum_2 = sum_2 + j;
      }
    
      return sum_1 + sum_2;
    }

    从代码中可以看出,m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大,所以我们在表示复杂度的时候,就不能简单地利用加法法则,省略掉其中一个。所以,上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。

    针对这种情况,原来的加法法则就不正确了,我们需要将加法规则改为:T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效:T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))

    五、空间复杂度分析

    时间复杂度的全称是渐进时间复杂度表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下,空间复杂度全称就是渐进空间复杂度(asymptotic space complexity),表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系

    我还是拿具体的例子来给你说明。(这段代码有点“傻”,一般没人会这么写,我这么写只是为了方便给你解释。)

    void print(int n) {
      int i = 0;
      int[] a = new int[n];
      for (i; i <n; ++i) {
        a[i] = i * i;
      }
    
      for (i = n-1; i >= 0; --i) {
        print out a[i]
      }
    }

    跟时间复杂度分析一样,我们可以看到,第 2 行代码中,我们申请了一个空间存储变量 i,但是它是常量阶的,跟数据规模 n 没有关系,所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组,除此之外,剩下的代码都没有占用更多的空间,所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

    我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2),像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且,空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。

    六、复杂度小结

    复杂度也叫渐进复杂度,包括时间复杂度和空间复杂度,用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系,可以粗略地表示,越高阶复杂度的算法,执行效率越低。常见的复杂度并不多,从低阶到高阶有:O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2)。

    七、复杂度分析

    最好、最坏情况时间复杂度

    先试着分析一下这段代码的时间复杂度

    // n表示数组array的长度
    int find(int[] array, int n, int x) {
      int i = 0;
      int pos = -1;
      for (; i < n; ++i) {
        if (array[i] == x) pos = i;
      }
      return pos;
    }

    可以看出来,这段代码要实现的功能是,在一个无序的数组(array)中,查找变量 x 出现的位置。如果没有找到,就返回 -1。按照上节课讲的分析方法,这段代码的复杂度是 O(n),其中,n 代表数组的长度。

    但是,这段代码写得不够高效。我们可以这样优化一下这段查找代码。

    // n表示数组array的长度
    int find(int[] array, int n, int x) {
      int i = 0;
      int pos = -1;
      for (; i < n; ++i) {
        if (array[i] == x) {
           pos = i;
           break;
        }
      }
      return pos;
    }

    这个时候,问题就来了。我们优化完之后,这段代码的时间复杂度还是 O(n) 吗?很显然,咱们上一节讲的分析方法,解决不了这个问题。

    因为,要查找的变量 x 可能出现在数组的任意位置。如果数组中第一个元素正好是要查找的变量 x,那就不需要继续遍历剩下的 n-1 个数据了,那时间复杂度就是 O(1)。但如果数组中不存在变量 x,那我们就需要把整个数组都遍历一遍,时间复杂度就成了 O(n)。所以,不同的情况下,这段代码的时间复杂度是不一样的。

    为了表示代码在不同情况下的不同时间复杂度,我们需要引入三个概念:最好情况时间复杂度、最坏情况时间复杂度和平均情况时间复杂度。

    顾名思义,最好情况时间复杂度就是,在最理想的情况下,执行这段代码的时间复杂度。就像我们刚刚讲到的,在最理想的情况下,要查找的变量 x 正好是数组的第一个元素,这个时候对应的时间复杂度就是最好情况时间复杂度。

    同理,最坏情况时间复杂度就是,在最糟糕的情况下,执行这段代码的时间复杂度。就像刚举的那个例子,如果数组中没有要查找的变量 x,我们需要把整个数组都遍历一遍才行,所以这种最糟糕情况下对应的时间复杂度就是最坏情况时间复杂度。

    平均情况时间复杂度

    我们都知道,最好情况时间复杂度和最坏情况时间复杂度对应的都是极端情况下的代码复杂度,发生的概率其实并不大。为了更好地表示平均情况下的复杂度,我们需要引入另一个概念:平均情况时间复杂度,后面我简称为平均时间复杂度。

    平均时间复杂度又该怎么分析呢?我还是借助刚才查找变量 x 的例子来给你解释。

    要查找的变量 x 在数组中的位置,有 n+1 种情况:在数组的 0~n-1 位置中和不在数组中。我们把每种情况下,查找需要遍历的元素个数累加起来,然后再除以 n+1,就可以得到需要遍历的元素个数的平均值,即:

    我们知道,时间复杂度的大 O 标记法中,可以省略掉系数、低阶、常量,所以,咱们把刚刚这个公式简化之后,得到的平均时间复杂度就是 O(n)。

    这个结论虽然是正确的,但是计算过程稍微有点儿问题。究竟是什么问题呢?我们刚讲的这 n+1 种情况,出现的概率并不是一样的。我带你具体分析一下。(这里要稍微用到一点儿概率论的知识,不过非常简单,你不用担心。)

    我们知道,要查找的变量 x,要么在数组里,要么就不在数组里。这两种情况对应的概率统计起来很麻烦,为了方便你理解,我们假设在数组中与不在数组中的概率都为 1/2。另外,要查找的数据出现在 0~n-1 这 n 个位置的概率也是一样的,为 1/n。所以,根据概率乘法法则,要查找的数据出现在 0~n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)。

    因此,前面的推导过程中存在的最大问题就是,没有将各种情况发生的概率考虑进去。如果我们把每种情况发生的概率也考虑进去,那平均时间复杂度的计算过程就变成了这样:

    这个值就是概率论中的加权平均值,也叫作期望值,所以平均时间复杂度的全称应该叫加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度

    引入概率之后,前面那段代码的加权平均值为 (3n+1)/4。用大 O 表示法来表示,去掉系数和常量,这段代码的加权平均时间复杂度仍然是 O(n)。

    均摊时间复杂度

    到此为止,你应该已经掌握了算法复杂度分析的大部分内容了。下面我要给你讲一个更加高级的概念,均摊时间复杂度,以及它对应的分析方法,摊还分析(或者叫平摊分析)。

    大部分情况下,我们并不需要区分最好、最坏、平均三种复杂度。平均复杂度只在某些特殊情况下才会用到,而均摊时间复杂度应用的场景比它更加特殊、更加有限。

    老规矩,我还是借助一个具体的例子来帮助你理解。(当然,这个例子只是我为了方便讲解想出来的,实际上没人会这么写。)

    // array表示一个长度为n的数组
    // 代码中的array.length就等于n
    int[] array = new int[n];
    int count = 0;
    
    void insert(int val) {
       if (count == array.length) {
          int sum = 0;
          for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
             sum = sum + array[i];
          }
          array[0] = sum;
          count = 1;
       }
       array[count] = val;
       ++count;
    }

    这段代码实现了一个往数组中插入数据的功能。当数组满了之后,也就是代码中的 count == array.length 时,我们用 for 循环遍历数组求和,并清空数组,将求和之后的 sum 值放到数组的第一个位置,然后再将新的数据插入。但如果数组一开始就有空闲空间,则直接将数据插入数组。

    那这段代码的时间复杂度是多少呢?你可以先用我们刚讲到的三种时间复杂度的分析方法来分析一下。

    最理想的情况下,数组中有空闲空间,我们只需要将数据插入到数组下标为 count 的位置就可以了,所以最好情况时间复杂度为 O(1)。最坏的情况下,数组中没有空闲空间了,我们需要先做一次数组的遍历求和,然后再将数据插入,所以最坏情况时间复杂度为 O(n)。

    那平均时间复杂度是多少呢?答案是 O(1)。我们还是可以通过前面讲的概率论的方法来分析。

    假设数组的长度是 n,根据数据插入的位置的不同,我们可以分为 n 种情况,每种情况的时间复杂度是 O(1)。除此之外,还有一种“额外”的情况,就是在数组没有空闲空间时插入一个数据,这个时候的时间复杂度是 O(n)。而且,这 n+1 种情况发生的概率一样,都是 1/(n+1)。所以,根据加权平均的计算方法,我们求得的平均时间复杂度就是:

    至此为止,前面的最好、最坏、平均时间复杂度的计算,理解起来应该都没有问题。但是这个例子里的平均复杂度分析其实并不需要这么复杂,不需要引入概率论的知识。这是为什么呢?我们先来对比一下这个 insert() 的例子和前面那个 find() 的例子,你就会发现这两者有很大差别。

    首先,find() 函数在极端情况下,复杂度才为 O(1)。但 insert() 在大部分情况下,时间复杂度都为 O(1)。只有个别情况下,复杂度才比较高,为 O(n)。这是 insert()第一个区别于 find() 的地方。

    我们再来看第二个不同的地方。对于 insert() 函数来说,O(1) 时间复杂度的插入和 O(n) 时间复杂度的插入,出现的频率是非常有规律的,而且有一定的前后时序关系,一般都是一个 O(n) 插入之后,紧跟着 n-1 个 O(1) 的插入操作,循环往复。

    所以,针对这样一种特殊场景的复杂度分析,我们并不需要像之前讲平均复杂度分析方法那样,找出所有的输入情况及相应的发生概率,然后再计算加权平均值。

    针对这种特殊的场景,我们引入了一种更加简单的分析方法:摊还分析法,通过摊还分析得到的时间复杂度我们起了一个名字,叫均摊时间复杂度

    那究竟如何使用摊还分析法来分析算法的均摊时间复杂度呢?

    我们还是继续看在数组中插入数据的这个例子。每一次 O(n) 的插入操作,都会跟着 n-1 次 O(1) 的插入操作,所以把耗时多的那次操作均摊到接下来的 n-1 次耗时少的操作上,均摊下来,这一组连续的操作的均摊时间复杂度就是 O(1)。这就是均摊分析的大致思路。你都理解了吗?

    均摊时间复杂度和摊还分析应用场景比较特殊,所以我们并不会经常用到。为了方便你理解、记忆,我这里简单总结一下它们的应用场景。如果你遇到了,知道是怎么回事儿就行了。

    对一个数据结构进行一组连续操作中,大部分情况下时间复杂度都很低,只有个别情况下时间复杂度比较高,而且这些操作之间存在前后连贯的时序关系,这个时候,我们就可以将这一组操作放在一块儿分析,看是否能将较高时间复杂度那次操作的耗时,平摊到其他那些时间复杂度比较低的操作上。而且,在能够应用均摊时间复杂度分析的场合,一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度。

    尽管很多数据结构和算法书籍都花了很大力气来区分平均时间复杂度和均摊时间复杂度,但其实我个人认为,均摊时间复杂度就是一种特殊的平均时间复杂度,我们没必要花太多精力去区分它们。你最应该掌握的是它的分析方法,摊还分析。至于分析出来的结果是叫平均还是叫均摊,这只是个说法,并不重要。

    注:本文中大量拷贝王争老师的<<数据结构与算法之美>>中内容。

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