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  • 数据结构和算法_02时间复杂度和空间复杂度 高级语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素: 1.算法采用的策略,方案; 2.编译产生的代码质量(编译器); 3.问题的输入规模...

    数据结构和算法_02时间复杂度和空间复杂度

    高级语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素:

    1.算法采用的策略,方案;

    2.编译产生的代码质量(编译器);

    3.问题的输入规模(输入量的多少);

    4.机器执行指令的速度。

    研究算法的复杂度,侧重的是研究算法随着输入规模扩大增大量的一个抽象!!

    一、算法时间复杂度概念

    一般情况下,算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数, 用T(n)表示,若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时,T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数,则称f(n)是T(n)的同数量级函 数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。
    这种用大写O()来体现算法时间复杂度的激发,我们称之为大O记法。
    分析:随着模块n的增大,算法执行的时间的增长率和 f(n) 的增长率成正比,所以 f(n) 越小,算法的时间复杂度越低,算法的效率越高。
     
    1、推导大O阶方法(如果分析一个算法的时间复杂度)
    1)用常数1取代运行时间中的所有加法常数
    2)在修改后的运行次数中,只保留最高项(如:2 + 2n + n^2 + n^3,则保留n^3)
    3)如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项相乘的常数(如:3n^3,则保留n^3)
    4)得到的最后结果就是大O阶
     
    • 常数阶:
    1     int sum = 0, n = 100;
    2     printf("I'll move on.\n");
    3     printf("I'll move on.\n");
    4     printf("I'll move on.\n");
    5     printf("I'll move on.\n");
    6     printf("I'll move on.\n");
    7     printf("I'll move on.\n");

    上面代码的大O阶并不是O(8),按照概念"T(n)是关于问题规模n的函数来说"、"1)"证明,O(1)才是正确答案;

     

    • 线性阶:

    一般含有非嵌套循环涉及线性阶,线性阶就是随着问题规模n的扩大,对应计算次数呈直线增长。

    1     int i, sum = 0, n = 100;
    2     
    3     for (i = 0; i < n; i ++ ) {
    4         sum += i;
    5     }

    上面这段代码,它的循环的时间复杂度为O(n),因为循环体中代码需要执行n次。

     

    • 平方阶:
    1     int i, j, n = 100;
    2     for (i = 0; i < n; i ++ ) {
    3         for (j = 0; j < n; j ++) {
    4             printf("I'll move on.\n");
    5         }
    6     }

    n等于100,也就是说外层循环每执行一次,内层循环就执行100次,那总共想要从这两个循环出来,需要执行100*100次,也就是n的平方。所以这段代码的复杂度为 O(n^2)。

    如果三个嵌套循环,那就是n^3。所以我们就可以得出结论:循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。

     

    1     int i, j, n = 100;
    2     for (i = 0; i < n; i ++ ) {
    3         for (j = i; j < n; j ++) { // 此处j=i
    4             printf("I'll move on.\n");
    5         }
    6     }

    分析该代码,最后执行的次数为:n * (n + 1) /2 = n^2/2 + n/2;

    使用推导大O阶的攻略,第一条忽略(没有常数相加)。第二条只保留最高项(去掉)。第三条,去除与最高项相乘的常数,最终得O(n^2)。

     

    • 对数阶:
    1     int i = 1, n = 100;
    2     while (i < n) {
    3         i = i * 2;
    4     }
    5     printf("%d", i);

    假设有x个2相乘后大于或等于n,则退出循环。

    得到 2^x = n → x = log(2)n,所以这个循环的时间复杂度为 O(logn)。

     

    函数调用的时间复杂度分析:

    1)

     1 // 大O阶为 O(1)
     2 void function(int count) {
     3     printf("%d", count);
     4 }
     5 
     6 
     7 int main(int argc, const char * argv[]) {
     8     
     9     // 大O阶为O(n)
    10     int i, n = 100;
    11     for (i = 0; i < n; i ++) {
    12         function(i);
    13     }
    14     
    15     return 0;
    16 }

     

     2)

     1 // 大O阶为 O(n)
     2 void function(int count) {
     3     // 大O阶为O(n)
     4     int j, n = 100;
     5     for (j = 0; j < n; j ++) {
     6         printf("%d", j);
     7     }
     8 }
     9 
    10 int main(int argc, const char * argv[]) {
    11     
    12     // 大O阶为O(n^2)
    13     int i, n = 100;
    14     for (i = 0; i < n; i ++) {
    15         function(i);
    16     }
    17     
    18     return 0;
    19 }

     

    常见的时间复杂度:

     

     常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是:

    O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n).

    最坏情况与平均情况:

    平均运行时间是期望的运行时间。

    最坏运行时间是一种保证。在应用中,这是一种最重要的需求,通常除非特别指定,我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。

     

    二、算法的空间复杂度

    空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度,记做S(n)=O(f(n))。比如直接插入排序的时间复杂度是O(n^2),空间复杂度是O(1) 。而一般的递归算法就要有O(n)的空间复杂度了,因为每次递归都要存储返回信息。一个算法的优劣主要从算法的执行时间和所需要占用的存储空间两个方面衡量。

    通常所说的复杂度指的是时间复杂度!

     尊重作者劳动成果,转载请注明: 转载自【kingdev】

    posted @ 2016-03-11 13:30 Kingdev 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏
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  • 数据结构: 静态的 算法: 动态的 时间复杂度: O(1) O可理解为 估计 1是单位 估计1s 时间复杂度并不是指程序运行的时间,而是为了表示程序运行的快慢。 O(1) O(n) O(n^2) O(logn)>while 空间复杂度...

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    算法概念:

     

    数据结构: 静态的

    算法: 动态的

     

    时间复杂度: O(1)    O可理解为 估计  1是单位   估计1s

    时间复杂度并不是指程序运行的时间,而是为了表示程序运行的快慢。

    O(1)   O(n)   O(n^2)   O(logn)>while

    空间复杂度: 说白了就是衡量占用内存的单位 .

    所谓空间换时间,指的就是内存占用大点没关系,重点是要有体验感速度

     

    递归特点:

    1. 调用自身

    2. 结束条件

     

     

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  • 数据结构算法-01时间复杂度分析时间复杂度分析一、思考二、时间复杂度介绍概念总结三、常见时间复杂度与分析技巧1. 常数阶O(1)2. 线性阶O(n)3. 对数阶O(logN)4. 线性对数阶O(nlogN)5. 平方阶O(n^2)6. 其他情况...

    时间复杂度分析

    一、思考

    • 算法(Algorithm) 是指用来操作数据、解决程序问题的一组方法。对于同一个问题,使用不同的算法,也许最终得到的结果是一样的,但在过程中消耗的资源和时间却会有很大的区别。
      就比如拧一个螺母,扳手和钳子都可以胜任,但使用扳手拧螺母肯定效率更高。
    • 那我们该如何去衡量不同算法之间的优劣呢?
    1. 事后统计法
      通过统计、监控,得到算法执行的时间和占用的内存大小最精准,但有非常大的局限性:
      A 测试结果非常依赖测试环境
      B 测试结果受数据规模的影响很大
    2. 事前分析估算
      大家想一下,当我们要实现一个功能的时候,更多的希望快速知道几种解法中的最优解然后去实现,而不是花大力气去把每种解法都做出来再测试得到结果,因为太低效。
      所以我们需要在代码执行前对影响代码效率的因素(如时间、空间复杂度等)做一个评估。因此我们需要通过复杂度分析来决策,下面我们主要讲解面试中最高频的时间复杂度。
      在这里插入图片描述

    二、时间复杂度介绍

    概念

    时间复杂度到底是个啥?我们先用一段代码理解一下:

    int sum(int n){
        int sum = 0; 
        int i = 1; 
        for(;i<=n;++i){
            sum=sum+i; 
        }
        return sum;
    }
    
    • 这段代码是进行求和运算的程序,计算机执行每行代码的时间几乎是相同的,如果我们用一个变量time表示每行代码执行时间,那sum方法的总用时计算如下:
      • 第2行代码只执行一次用时time
      • 第3行代码只执行一次用时time
      • 第4行因为要循环n次,需要执行n次,用时n*time
      • 第5行因为要循环n次,需要执行n次,用时n*time
    • 最终结果为2n × time+2 × time即2(n+1) × time。换成人话为:代码运行总时间 = 一行代码执行时间 × 一共执行多少行代码

    总结

    1. 因为time可以认为是固定的,所以代码运行总时间与代码执行次数成正比。因此只要我们评判出执行次数的多少,就知道了代码运行总时间的多少。我们只要关注代码执行次数就可以分析出程序的优劣。
    2. 当我们将代码运行总时间用T(n)表示,正比的关系用O表示,一共执行多少行代码用fn()表示,就得到了大家常见的公式。这种表示代码时间复杂度的形式就叫做大 O 时间复杂度表示法。

    Tn = O(fn())

    1. 注意:因为O并不代表真正的代码执行时间,只代表递增的趋势,所以称为渐进时间复杂度,简称时间复杂度。
    2. 当n很大时,常量/系数/低阶不会影响增长趋势,所以在计算时间复杂度时都会忽略,只记录最大量级,因此上面代码的时间复杂度忽略常数和系数,最终为Tn = O(n)

    在这里插入图片描述

    三、常见时间复杂度与分析技巧

    常见时间复杂度由小到大依次为:Ο(1) < Ο(logn) <Ο(n) < Ο(nlogn) < Ο(n^2) < Ο(n^3) < Ο(2^n) <Ο(n!),时间复杂度越来越大,执行的效率越来越低。下面举例依次讲解

    1. 常数阶O(1)

    • 只要是没有循环等复杂结构,代码执行时不会随着变量的增长而增长,那无论代码多长时间复杂度就都是O(1),如:
    int i = 1;
    int j = 2;
    ++i;
    j++;
    int m = i + j;
    

    2. 线性阶O(n)

    • 「一层循环」,算法需要执行的运算次数用输入大小n的函数表示,即 O(n) 。
    for(int i=1;i<=n;i++){
      System.out.println(i);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
      System.out.println(i);
    }
    
    • 注意:因为代码的for循环不是嵌套关系,执行次数为2 * n 即O(2n),忽略常数为O(n)。

    3. 对数阶O(logN)

    • 通过代码来理解下:
    int i = 1;
    while(i<n){
        i = i * 2;
    }
    
    • 上面代码我们分析时间复杂度主要是看代码执行了多少次。
    • 假设循环x次后 i>=n ,因为每次都是乘2,于是2的x次方>= n,得到公式 2^x >= n。所以x = log n,即以二为底,n的对数。套用大O表示法,时间复杂度为O(log n)

    4. 线性对数阶O(nlogN)

    • nlog n = n * log n,所以相当于把我们上面的案例代码再循环n次,所以下面代码时间复杂度为O(nlog n):
    for(m=1; m<n; m++){
        i = 1;
        while(i<n){
            i = i * 2;
        }
    }
    

    5. 平方阶O(n^2)

    • 一层循环是执行n次,n*n就是两层循环,所以可以结合如下代码理解
    for(x=1; i<=n; x++){
       for(i=1; i<=n; i++){
           j = i;
           j++;
        }
    }
    

    6. 其他情况以此类推

    • 立方阶O(n³)相当于三层n循环,但是O(n³)过大的n都会使得结果变得不现实,同样O(2^n) 和O(n!)等除非是很小的n值,否则哪怕n只是100都是噩梦般的运行时间,所以这种算法时间复杂度一般我们不讨论。

    四、时间复杂度分析技巧

    通过上面的例子,不知道大家是否已经发现了一定的规律:

    1. 嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
    2. 只关注循环执行次数最多的一段代码,因为公式中的常量、低阶、系数我们都会忽略掉

    五、面试题练手

    在这里插入图片描述
    题目:设某算法的时间复杂度函数的递推方程是T(n)=T(n-1)+n(n为正整数)及T(0)=1,则该算法的时间复杂度为()。

    • A. O(logn)
    • B. O(nlogn)
    • C. O(n)
    • D. O(n^2)

    最后答案选D哦~

    总结

    • 时间复杂度到这里就结束啦,其实还有更深入的平均时间复杂度、均摊时间复杂度、最好时间复杂度、最坏时间复杂度等等,有时间有需要或许会写一写
    • 巩固自己的同时也希望可以帮到大家~
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  • 上一篇《数据结构和算法》中我介绍了数据结构的基本概念,也介绍了数据结构一般可以分为逻辑结构和物理结构。逻辑结构分为集合结构、线性结构、树形结构和图形结构。物理结构分为顺序存储结构和链式存储结构。并且也...

    前言

    上一篇《数据结构和算法》中我介绍了数据结构的基本概念,也介绍了数据结构一般可以分为逻辑结构和物理结构。逻辑结构分为集合结构、线性结构、树形结构和图形结构。物理结构分为顺序存储结构和链式存储结构。并且也介绍了这些结构的特点。然后,又介绍了算法的概念和算法的5个基本特性,分别是输入、输出、有穷性、确定性和可行性。最后说阐述了一个好的算法需要遵守正确性、可读性、健壮性、时间效率高和存储量低。其实,实现效率和存储量就是时间复杂度和空间复杂度。本篇我们就围绕这两个"复杂度"展开说明。在真正的开发中,时间复杂度尤为重要,空间复杂度我们不做太多说明。

    时间复杂度

    时间复杂度和空间复杂度是算法效率的度量方法。也就是说,一个好的算法取决于它的时间复杂度和空间复杂度。
    函数的渐近增长:给定两个函数f(n)和g(n),如果存在一个整数N,使得对于所有的n>N,f(n)总是比g(n)大。那么,我们说f(n)的增长渐近快于g(n)。

    翻译过来就是:如果存在一个临界值,使得f(n)>g(n)永远成立,那么我们就认为"f(n)的增长渐近快于g(n)"。
    这里我拿3个函数的增长曲线来说明问题。如下图:
    函数一:X = 3n 注释:3乘以n
    函数二:Y = 2n^2 注释:n的平方乘以2
    函数三:Z = 2n^2 + 3n 注释:n的平方乘以2 + 3乘以n

    10011950_Tcbe.png


    当n=1时,Y < X < Z.
    当n=2时,X < Y < Z.
    所以,存在一个值,这个值位于1和2之间,使得X < Y < Z永远成立。我们就称Y的渐进增长快于X,Z的渐进增长快于Y,当然,根据传递性规则,Z的渐进增长也快于X。

    定义

    算法时间复杂度的定义:在进行算法分析时,语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数,进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。
    算法的时间复杂度,也就是算法的时间量度,记作:T(n)= O(f(n))。
    它表示随问题规模n的增大,算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同,称作算法的渐近时间复杂度,简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

    时间复杂度计算方法

    1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
    2.在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项。
    3.如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项相乘的常数。
    最后,得到的最后结果就是时间复杂度。

    常见的时间复杂度

    按数量级递增排列,常见的时间复杂度有:
    常数阶O(1),对数阶O( log n ),线性阶O(n),线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n^2),立方阶O(n^3),...,k次方阶O(n^k),指数阶O(2^n)。随着问题规模n的不断增大,上述时间复杂度不断增大,算法的执行效率越低。
    也就是:
    常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是:O(1) < O(logn) < (n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

    10011950_47Kd.gif
    时间复杂度顺序表.gif

    常数阶

    // 常数阶
    int n = 0;
    printf(“oneSong”);
    printf(“oneSong”);
    printf(“oneSong”);
    printf(“oneSong”);
    printf(“oneSong”);
    printf(“oneSong”);
    printf(“oneSong”);
    printf(“oneSong”);
    printf(“oneSong”);

    上面这段代码的时间复杂度是O(1)。因为,按照时间复杂度的定义来说,n和问题的规模没有关系。当然,按照时间复杂度计算方法第一条也可以得出结果为O(1)。

    线性阶

    // 线性阶int i , 
    n = 10086, sum = 0; 
    for( i=0; i < n; i++ )
    { 
      sum = sum + i;
    }

    上面这段代码的时间复杂度是O(n),因为问题规模会随着n的增长而变得越来越大,并且这种增长是线性的。

    平方阶

    // 平方阶
    int i, j, n = 998;
     for( i=0; i < n; i++ )
    { 
        for( j=0; j < n; j++ ) 
        {
           printf(“oneSong”); 
        }
    }

    上面这段代码外层执行n次,外层循环每执行一次,内层循环就执行n次,那总共程序想要从这两个循环出来,需要执行n*n次,也就是n的平方。所以这段代码的时间复杂度为O(n^2)。

    对数阶

    // 对数阶
    int i = 1, n = 100;
     while( i < n )
    { 
    i = i * 2;
    }

    由于每次i*2之后,就距离n更近一步,假设有x个2相乘后大于或等于n,则会退出循环。于是由2^x = n得到x = log(2)n,所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。

    算法的空间复杂度

    算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现,算法的空间复杂度的计算公式记作:S(n)=O(f(n)),其中,n为问题的规模,f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。
    在程序开发中,我们所指的复杂度不做特别说明的情况下,就是指时间复杂度。现在的硬件发展速度之快使得我们完全可以不用考虑算法所占的内存,通常都是用空间换取时间。加之算法的空间复杂度比较难算,所以,无论是在考试中还是在项目开发中,我们都侧重于时间复杂度。所以,空间复杂度,略过。

    图片来源参考自:鱼C工作室。感谢鱼C工作室贡献出了这么好的图片。
    如非特别说明,笔者所有文章都是原创文章。如果您喜欢这篇文章,转载请注明出处。如果您对数据结构感兴趣,请关注我,后续会更新大量精品文章供大家参考!
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空空如也

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