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  • 举个例子,护士小明在记录病人每隔一个小时对病人进行一次体温检测,得到一个体温数据表。受检测条件的限制,我们不可能对病人体温进行实时监测,如果我们想要得到病人1点30分,2点30分,……的体温数据该怎么办呢?...
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    1 引言

    平常我们会在数据处理中,遇到这样一种问题,受实验条件的限制,只能得到一批离散的数据样本,而在数据使用过程中,需要用到样本点之外的数据。举个例子,护士小明在记录病人每隔一个小时对病人进行一次体温检测,得到一个体温数据表。804ab2ddadba732f50f9e5e7b1d1f135.png受检测条件的限制,我们不可能对病人体温进行实时监测,如果我们想要得到病人1点30分,2点30分,……的体温数据该怎么办呢?再举个例子,红蓝双方进行军事演习,红方侦察兵在作战区域测得部分点的高程,得到一个地形数据表。81abeb3d1755ff3487a69c4f4641ffc8.png现在我们想要根据侦察兵测得数据,做一个军事沙盘是不是只能做成这样呢?031e64c262373f3cfc43216c873680c9.png很明显,这样的地形图过于粗糙,但是我们却很难要求侦察兵获得更多的数据点,因为那样会付出更大的代价。

    2 什么是数据插值

    从引言中的两个问题我们可以知道,受环境限制无法获取较多的数据点,但已知的数据点是经过实测得来的,精度较高。因此我们需要用一个初等函数在通过已知数据点的情况下,对已知数据自变量的取值范围内的其他点进行预测,这就是数据插值。在matlab中常用的数据插值方法有:线性插值、最近邻插值、三次样条曲线插值。1. 线性插值(linear)将已知的数据点用一系列线段依次首尾相连,每条线段内的点即为插值结果。以(xi,yi)和(x(i+1),y(i+1))表示前后两个端点,对于在[xi,x(i+1)]范围内的横坐标为x的点,其插值结果y可表示为:ca4134ebe8fc80c439e811328ea4beb0.png线性插值计算简便,但光滑性很差。如果用线性插值拟合一条光滑曲线,对每一段线段,原曲线在该段内二阶导数绝对值的最大值越大,拟合的误差越大。2. 最近邻插值(nearest)选择最近的样本点数据作为插值结果。b7ce6275f4be41d3e34ae2c6b96a48ea.png3. 三次样条曲线插值(spline)在每个分段内构造一个三次多项式,在保证插值函数通过所有数据点的同时,要求各数据点处具有连续的一阶和二阶导数。

    3 Matlab实现

    1. 一维插值函数yi = interp1(x,y,xi,’method’)yi表示xi处的插值结果,x,y为插值节点,xi为被插值点,’method’为插值方法,包括最邻近插值,线性插值,三次样条插值等。其中插值节点自变量x必须是单调的,且被插值节点xi不能超过x的取值范围。d6179afaa5bde3371a048354c16153d7.png2. 二维插值函数zi = interp2(x,y,z,xi,yi,’method’)zi表示插值结果,x,y,z为插值节点,xi,yi为被插值点,’method’为插值方法,包括最邻近插值,双线性插值,双三次样条插值等。其中插值节点自变量x,y必须是单调的,且被插值节点xi,yi不能超过x的x,y的取值范围,xi,yi可取为矩阵,或xi取行向量,yi取为列向量。f848ae8a3cebd7ac149052c8aa2e9fb8.png

    4 图像插值

    平常我们可能都会遇到网站注册时上传照片的情况,比如在大学报道的时候,我们就需要提前上传校园一卡通照片。64e3ce6c6f4e89d217721368ec950fb0.png图片来源(大连理工大学官博)有时注册的时候会对我们上传证件照的分辨率有要求,之前我在做一次线上考试预约的时候,需要上传证件准考证照片,要求图片文件大小不小于2M,而我现有的证件照只有500KB,难道就必须重新照一次证件照吗???57721d889c9c66dec1d28d8d30ebc81b.png这个时候,我们就可以通过图像插值的方法,提高图像分辨率。在图像插值中也存在好多种方法,比如最近邻插值、线性插值以及多项式插值等。因为每张图像存在RGB三个通道,因此我们需要进行三次二维插值。
    input = imread('demo.jpg');[m,n,~] = size(input);x = 1:n;y=1:m;[x,y] = meshgrid(x,y);xi = linspace(1,n,4*n);yi = linspace(1,m,4*m);[xi,yi] = meshgrid(xi,yi);output(:,:,1) = interp2(x,y,input(:,:,1),xi,yi,'cubic');output(:,:,2) = interp2(x,y,input(:,:,2),xi,yi,'cubic');output(:,:,3) = interp2(x,y,input(:,:,3),xi,yi,'cubic');imwrite(output,'ouput_nearst.jpg')
    daf766e6e46206d905be8cc0eaa36f92.pngf11f791e8619c12615bc70a544ae377f.png插值前后,图像行维和列维发生了4倍的变化,而图像文件大小也从36KB变成了264KB。

    5 总结

    在matlab中已经对插值函数进行封装,可以非常方便的调用。不同的插值方法插值效果不同,我们需要根据不同的使用要求选择不同的插值方法。1、数据插值只能完成内部预测,即待预测点自变量在插值节点的自变量取值范围之内。2、数据插值函数会严格过所有插值节点,而数据拟合不会过所有已知数据样本点。最后,数学插值就讲这么多,下一期继续讲一下和插值非常相似的数据拟合。be1ef4f880cd77e167f10c118c47d734.png
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  • 插值是一种常用的GIS技术,用于从离散点创建连续曲面。许多现实世界的现象都是连续的-海拔,土壤,温度等。如果我们想对这些表面进行建模以进行分析,则不可能对整个表面进行测量。因此,在沿着表面的各个点进行场...

    插值是一种常用的GIS技术,用于从离散点创建连续曲面。许多现实世界的现象都是连续的-海拔,土壤,温度等。如果我们想对这些表面进行建模以进行分析,则不可能对整个表面进行测量。因此,在沿着表面的各个点进行场测量,并通过称为“插值”的过程来推断中间值。在QGIS中,使用内置来实现插值。Interpolation plugin

    任务概述

    我们将对德克萨斯州阿灵顿湖的场深进行测量,并根据这些测量结果创建高程地形图和等高线。您将学习以下内容:

    • 根据点数据创建轮廓。

    • 屏蔽栅格图层中的无数据值。

    • 将标签添加到矢量层。

    获取数据

    得克萨斯州水开发局提供了用于完成湖泊调查的shapefile。

    下载2007-12年阿灵顿湖的测量shapefile

    为了方便起见,您可以从下面的链接直接下载本教程中使用的示例数据。

    Shapefiles.zip

    资料来源:[TWDB]

    程序

    1. 打开QGIS。转到图层‣添加图层‣添加矢量图层。

    ebfc891db764d342bc0decdd3ab56ca7.png

    1. 浏览到下载的Shapefiles.zip文件并选择它。点击 打开

    99c30549ce76b51336f175c9052b587e.png

    1. 在“选择要添加的图层...”对话框中,按住Shift键并选择Arlington_Soundings_2007_stpl83.shp和 Boundary2004_550_stpl83.shp图层。单击确定

    4f7b8aeb1e2a2a39b0d25f8972c16aab.png

    1. 您将看到QGIS中加载的2层。该Boundary2004_550_stpl83 层代表湖泊的边界。在目录中取消选中其旁边的框。

    20d879409471588e4adffbf4f20feca1.png

    1. 这将显示来自第二层的数据 Arlington_Soundings_2007_stpl83。尽管数据看起来像线,但它是一系列非常接近的点。

    56db53973cadfbf8922534530f702b3c.png

    1. 单击缩放图标,然后在屏幕上选择一个小区域。放大时,您会看到这些点。每个点代表深度探测器DGPS设备记录的位置处获取的读数。

    9c02138886cc853a39c3ce009737f8eb.png

    1. 选择“识别”工具,然后单击一个点。您将看到“ 标识结果”面板显示在左侧,并带有该点的属性值。在这种情况下,ELEVATION属性包含该位置的湖泊深度。由于我们的任务是创建深度轮廓和高程轮廓,因此我们将使用此值作为插值的输入。

    4bc1d1a14f7a3f9f47bdb8b85722c9f9.png

    1. 确保已启用。请参阅 使用插件以了解如何启用插件。启用后,转到 栅格‣插值‣插值Interpolation plugin

    f42f8cd54ff19ddc2bb6856867ae5928.png

    1. 在“插值”对话框中,在“ 输入”面板中选择 Arlington_Soundings_2007_stpl83作为“矢量”层。选择作为“ 插值”属性。点击添加。将像元大小X像元大小Y更改 为。该值是输出网格中每个像素的大小。由于我们的源数据位于以英尺美国为单位的预计CRS中,因此根据我们的选择,网格大小将为5英尺。单击“输出文件”旁边的...按钮, 并将输出文件命名为。单击确定ELEVATION5elevation_tin.tif

    注意

    插值结果可能会因您选择的方法和参数而有很大差异。QGIS插值支持三角不规则网络(TIN)反距离权重(IDW)方法进行插值。TIN方法通常用于高程数据,而IDW方法用于内插其他类型的数据,例如矿物质浓度,人口等。有关 更多详细信息,请参见QGIS文档的空间分析模块。

    1c9b848bccf141fdecc4f57ffc946413.png

    1. 您将看到稍后elevation_tin在QGIS中加载的新内容。右键单击图层,然后选择“缩放到图层”

    d7e27c9826e60bdc5c8c61c7f5283e00.png

    1. 现在,您将看到所创建曲面的完整范围。内插不会在收集区域之外提供准确的结果。让我们用湖边界修剪生成的表面。转到栅格‣提取‣快船

    8e0107be3329b66743d1edff3a9161ff.png

    1. 输出文件命名为elevation_tin_clipped.tif。选择“ Cliiped”模式作为“蒙版”图层。选择 Boundary2004_550_stpl83作为“蒙版”图层。单击 确定

    5a865dbdd2c54c33b43c2efbd6948829.png

    1. 新的栅格elevation_tin_clipped将被加载到QGIS中。现在,我们将为该图层设置样式以显示高程差异。注意elevation_tin图层的最小和最大高程值。右键单击 elevation_tin_clipped图层,然后选择“属性”

    6f24c8824f4977f461594685d8670ab0.png

    1. 转到样式选项卡。选择“渲染类型”为 。在“生成新的颜色图” 面板中,选择色带。当我们要创建深度图而不是高度图时,请选中“反转”框。这会将蓝色分配给较深的区域,将红色分配给较浅的区域。单击分类Singleband pseudocolorSpectral

    04c3548481676c8efcf845d279331d40.png

    1. 切换到“透明度”选项卡。我们要从输出中删除黑色像素。输入0其他无数据”值。单击确定

    1cf09274089278db4f025a187bf989d5.png

    1. 现在,您已经有了从各个深度读数生成的湖泊高程地形图。现在生成轮廓。转到 栅格‣提取‣轮廓

    87d22e581b06bd6fd250994920617f10.png

    1. 轮廓对话框中,输入等高线contours作为 输出文件。我们将以5英尺的间隔生成轮廓线,因此请输入等高线之间5.00间隔。选中属性名称框。单击 确定

    8e1542ae11cfe8709d02bc019ef53640.png

    1. contours处理完成后,轮廓线将作为图层加载。右键单击图层,然后选择“属性”

    c87e418b542b5440f0558bf09de15c81.png

    1. 转到标签标签。选中“用此标签标记该层”框,然后选择ELEV作为字段。选择Curved作为 展示位置类型,然后单击确定

    a340d3fb7efefadc5cd00703765cd8ff.png

    1. 您将看到每条轮廓线都将适当地标有沿该线的高程。

    9f88bb2eefeb1a5151817e53cdd93575.png

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  • 数量,降低试验成本,同时提高试验结果分析的准确性和直观性,离散试验数据通过数 学插值算法映射到试验模型的网格节点上,然后应用等值线和云图绘制算法,将试验数 据以图形的方式描述和表达出来,从而实现离散试验...
  • 插值的江湖

    2019-07-08 15:43:28
    目录插值线性插值牛顿插值拉格朗日插值公式分段插值Hermite插值双线性二次插值三次样条插值样条函数回归样条B样条参考文献 ...已知离散数据,但不知函数表达式,插值和拟合都是为了寻找函数...

    目标

    01 了解数值计算中的样条插值
    02 了解多元样条的基本理论框及创新思想
    03 多元样条与力学
    04 MATLAB中的样条工具箱及应用
    05 了解有限元法
    06 B样条及应用

    插值

    什么叫插值?

    插值是数学领域数值分析中的通过已知的离散数据求未知数据的过程或方法。

    线性插值

    牛顿插值

    拉格朗日插值公式

    分段插值

    Hermite插值

    双线性二次插值

    三次样条插值

    用一维数据举例预备知识:
    已知离散的数据,但不知函数表达式,插值和拟合都是为了寻找函数表达式。区别在于,插值得到的函数能够穿过已知的点(在已知的点的函数表达式的值等于已知数值,但容易出现龙格现象),拟合只求函数图形神似而不求穿过已知点。

    那么怎么能既穿过已知点又能让函数图形像呢?就是怎么避免龙格现象呢?

    答案是分段插值,就是将全部数据分割成若干部分,每个小部分用插值得到不同的函数,最后用很多不同的函数表达原来的序列。

    问题又来了,不同函数两端衔接不好怎么办?答案是高次样条差值,既每个分段函数都采用高次函数形式来构造(三次样条差值 就是用x的三次方形式构造)这就保证了得到的多个函数关系式在先接触具有n-1次的连续可导性质(翻译成人话就是衔接保证光滑)

    一句话总结:三次样条插值就是将原始长序列分割成若干段构造多个三次函数(每段一个),使得分段的衔接处具有二阶导数连续的性质(也就是光滑衔接)。

    其中“三次”只函数基本形式使用三次函数的形式。“样条”是一种手艺,指加工曲面时使得曲面光滑的手艺。“插值”你肯定知道是啥意思了~~

    转自:链接:https://www.zhihu.com/question/31269601/answer/244310086

    样条函数

    在数值分析中,样条是一种特殊的函数,由多项式分段定义。

    插值问题中,样条插值通常比多项式插值好用。用低阶的样条插值能产生和高阶的多项式插值类似的效果,并且可以避免被称为龙格现象的数值不稳定的出现。并且低阶的样条插值还具有“保凸”的重要性质。

    在计算机科学的计算机辅助设计和计算机图形学中,样条通常是指分段定义的多项式参数曲线。由于样条构造简单,使用方便,拟合准确,并能近似曲线拟合和交互式曲线设计中复杂的形状,样条是这些领域中曲线的常用表示方法。

    回归样条

    你也许听说过加权最小二乘估计(weighted least-squares)、核估计(kernel smoother)、局部多项式估计(local polynomial fitting),但谈到对模型中未知函数的估计,样条估计依然占据着重要的位置。
    附上一个超级好的链接:
    https://esl.hohoweiya.xyz/05-Basis-Expansions-and-Regularization/5.2-Piecewise-Polynomials-and-Splines/index.html

    B样条

    https://blog.csdn.net/so_geili/article/details/51172471
    计算机图形学--------充分理解B样条曲线

    参考文献

    https://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6833391.html
    这里放这里的链接,一个原因,找资料时,网页的排版特别好,记录下来
    https://www.zhihu.com/question/22320408/answer/141973314
    牛顿插值的几何解释是怎么样的?
    https://www.zhihu.com/question/31269601/answer/244310086
    三次样条插值方法
    https://blog.csdn.net/so_geili/article/details/51172471
    计算机图形学--------充分理解B样条曲线
    https://blog.csdn.net/Da_wan/article/details/82223572
    拉格朗日插值、分段线性插值、三次样条插值
    https://blog.csdn.net/eric_e/article/details/79499617
    数值分析(拟合、插值和逼近)之数据插值方法(线性插值、二次插值、Cubic插值、埃米尔特、拉格朗日多项式插值、牛顿插值、样条插值)(含opengl程序)

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  • 首先要构造累积频率分布,然后通过累积频率分布确定数据的中位数对应的观测值的位置,然后根据观测值的位置按照插值法估算数据的中位数。 2. 组连续数据的中位数 在假设数据在每个等级区间内均匀分布下,采用...

    对于未分组数据,可使用Excel的MEDIAN函数求解中位数。
    对于分组数据,分为:
    1. 组离散数据的中位数:
    首先要构造累积频率分布表,然后通过累积频率分布表确定数据的中位数对应的观测值的位置,然后根据观测值的位置按照插值法估算数据的中位数。
    2. 组连续数据的中位数

    在假设数据在每个等级区间内均匀分布下,采用以下公式来估计组数据的中位数。

    看似非常简单的中位数计算,在使用了实际数据进行计算时,并不简单,耗时约1小时。

    结论:分组时分的越细致,计算出的分组数据的中位数越接近未分组中位数。

    其中,观测值数目通过Frequency数组函数计算得到。


    备注:上次没搞清楚组离散数据和组连续数据的区别,这次加以修正。(访问量是离散数据,而不是连续数据)。

    对于组连续数据的中位数求解,留待日后单独说明。

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  • 距离反比权重插值基于插值区域内部样本点的相似性,计算附近区域离散点群的平均值来估算出单元格的值,进而插值得到一个表面。用于插值的源数据集中必须有个数值型字段,作为插值字段。距离反比权重插值法是一种比较...
  • QGIS 3.10 插值与等值线提取

    千次阅读 2020-06-18 17:32:08
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  • 一维插值法在MATLAB中的实现

    千次阅读 2019-08-13 15:53:19
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  • 如果可以将一个实际问题用函数来描述,那么对这个函数性质以及运算规律的研究,就是对这一实际问题的某些内在规律的理性揭示。 在工程实践和科学实验中,经常需要建立函数...这就是说,我们只知道的一张观测数据表
  • 这些日子一直在想写些什么东西,而写东西的初衷就是把自己平时学习到、接触到的东西,...一般对于进行曲线拟合操作,都是先给定一部分采集的离散数据点,在这些点的基础上建立数学模型,再求得一系列微小的直线段...
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  • 插值是在离散数据之间补充一些数据,使这组离散数据能够符合某个连续函数。插值是计算数学中基本和常用的手段,是函数逼近理论中的重要方法。利用它可通过函数在有限个点处的取值状况,估算该函数在别处的值,即通过...
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空空如也

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