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  • 概率论与数理统计知识点总结。
  • 概率论与数理统计知识点总结
  • 数理统计知识点总结

    2020-12-13 21:05:31
    数理统计知识点总结 文章目录数理统计知识点总结第六章:数理统计的基本概念 第六章:数理统计的基本概念 1、称研究对象的全体为总体,它是一个随机变量X;称组成总体的元素为个体。 2、称相互独立且与总体X同分布的...

    数理统计知识点总结

    第六章:数理统计的基本概念

    1、称研究对象的全体为总体,它是一个随机变量X;称组成总体的元素为个体。
    2、称相互独立且与总体X同分布的随机变量X1,X2XnX_1,X_2……X_n为来自总体一个容量为n的简单随机样本,简称样本。称样本的一组取值x1,x2xnx_1,x_2……x_n为该样本的一组样本值
    3、样本的联合分布函数,分布律,概率密度都为乘积形式
    4、设X1,X2XnX_1,X_2……X_n是来自总体X的一个样本,x1,x2xnx_1,x_2……x_n是样本的一系列样本值,将其从小到大排序,并编上序号,则称函数Fn(x)=x1,x2xnxn=0x<x(1);knx(k)<=x<x(k+1);1x>=x(n)F_n(x) = \frac{x_1,x_2……x_n中小于等于x的样本值的个数}{n} = 0(x<x_{(1)}) ;\frac{k}{n}(x_{(k)}<=x<x{(k+1)});1(x>=x{(n)})为总体X的经验分布函数
    5、对于任意实数x,当n趋于\infty时,经验分布函数Fn(x)F_n(x)以概率1一致收敛于总体X的分布函数F(x),即P(limnsup<x<Fn(x)F(x)=0)=1P(lim_{n-\infty}sup_{-\infty<x<\infty}|F_n(x)-F(x)| = 0) = 1
    该定理说明当样本充分大时,可以将经验分布函数当作当作分布函数使用
    6、统计量:对于不含总体X的未知参数函数g(x1,x2xn)g(x_1,x_2……x_n),称g(X1,X2Xn)g(X_1,X_2……X_n)为总体的一个统计量,g(x1,x2xn)g(x_1,x_2……x_n)为统计量的样本值。g(X1,X2Xn)g(X_1,X_2……X_n)统计量也是一个随机函数。
    [重要]7、一些统计量的总结:
    样本均值:
    X=1nΣi=1nXi\overline X = \frac{1}{n}\Sigma_{i=1}^nX_i
    样本均值的样本值:
    x=1nΣi=1nxi\overline x = \frac{1}{n}\Sigma_{i=1}^nx_i
    样本方差:
    S2=1n1Σi=1n(XiX)2=1n1(Σi=1nXi2nX2)S^2 = \frac{1}{n-1}\Sigma_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2 = \frac{1}{n-1}(\Sigma_{i=1}^{n}X_i^2-n\overline X^2)
    样本方差的样本值:
    s2=1n1Σi=1n(xix)2=1n1(Σi=1nxi2nx2)s^2 = \frac{1}{n-1}\Sigma_{i=1}^{n}(x_i-\overline x)^2 = \frac{1}{n-1}(\Sigma_{i=1}^{n}x_i^2-n\overline x^2)
    样本标准差:
    S=1n1Σi=1n(XiX)2S = \sqrt{\frac{1}{n-1}\Sigma_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2}
    样本标准差的样本值:
    s=1n1Σi=1n(xix)2s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\Sigma_{i=1}^{n}(x_i-\overline x)^2}
    样本K阶原点矩:
    Ak=1nXikA_k = \frac{1}{n}X_i^k
    样本K阶原点矩的样本值:
    ak=1nxika_k = \frac{1}{n}x_i^k
    样本K阶中心矩:
    Bk=1n(XiX)kB_k = \frac{1}{n}(X_i-\overline X)^k
    样本K阶中心距的样本值:
    bk=1n(xix)kb_k = \frac{1}{n}(x_i-\overline x)^k
    [重要]8、设X是总体,其均值EX=μEX=\mu,方差DX=σ2DX = \sigma^2X\overline XS2S^2分别为样本均值与严格不能方差,则EX=μ,DX=σ2n,ES2=σ2E\overline X = \mu,D\overline X=\frac{\sigma^2}{n},ES^2 = \sigma^2
    8、抽样分布(统计量的分布)
    四大分布:
    标准正态分布:XN(0,1)X-N(0,1)
    α\alpha分位点P(X>zα)=αP(X>z_\alpha) = \alpha1>α>01>\alpha>0
    χ2\chi^2分布χ2χ2(n)\chi^2-\chi^2(n)
    设随机变量X1,X2XnX_1,X_2……X_n相互独立且服从标准正态分布N(0,1),则称
    χ2=X12+X22++Xn2\chi^2 = X_1^2+X_2^2+……+X_n^2
    的分布服从自由度为n的卡方分布。
    在这里插入图片描述
    卡方分布也满足上述分位点定义:P(χ2>χα2(n))=αP(\chi^2>\chi_\alpha^2(n)) = \alpha
    卡方分布有以下性质:
    ①两个相互独立的卡方分布之和为自由度之和的卡方分布
    ②卡方分布的均值为自由度n,方差为2n
    tt分布Tt(n)T-t(n)
    设随机变量XN(0,1),Yχ2(n)X-N(0,1),Y-\chi^2(n),且X,Y相互独立,则
    T=XY/nT = \frac{X}{\sqrt{Y/n}}
    的分布为服从参数为n的t分布.
    在这里插入图片描述
    t分布也满足上述分位点定义:P(T>tα(n))=αP(T>t_\alpha(n)) = \alpha
    FF分布FF(n1,n2)F-F(n_1,n_2)
    设随机变量Xχ2(n1),Yχ2(n2)X-\chi^2(n_1),Y-\chi^2(n_2),且X,Y相互独立,则
    F=X/n1Y/n2F = \frac{X/n_1}{\sqrt{Y/n_2}}
    的分布为服从参数为(n1,n2)(n_1,n_2)的t分布.
    在这里插入图片描述
    F分布也满足上述分位点定义:P(F>Fα(n1,n2))=αP(F>F_\alpha(n_1,n_2)) = \alpha
    F分布具有以下性质:
    1FFn2,n1\frac{1}{F}-F(n_2,n_1)
    F1α(n1,n2)=1Fα(n2,n1)F_{1-\alpha}(n_1,n_2) = \frac{1}{F_\alpha(n_2,n_1)}
    9、八大分布
    对于单正态分布总体XN(μ,σ2)X-N(\mu,\sigma^2)
    Xμσ/nN(0,1)\frac{\overline X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}-N(0,1)
    XN(μ,σ2n)\overline X -N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})
    Σi=1n(Xiμ)2σ2χ2(n)\frac{\Sigma_{i=1}^n(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}-\chi^2(n)
    n1S2σ2χ2(n1)\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}-\chi^2(n-1)
    Σi=1n(XiX)2σ2χ2(n1)\frac{\Sigma_{i=1}^n(X_i-\overline X)^2}{\sigma^2}-\chi^2(n-1)
    XμS/nt(n1)\frac{\overline X-\mu}{S/\sqrt{n}}-t(n-1)
    对于双正态分布
    XY(μ1μ2)σ2n1+σ2n2N(0,1)\frac{\overline X-\overline Y - (\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n_1}+\frac{\sigma^2}{n_2}}}-N(0,1)
    ⑥当方差未知时
    XY(μ1μ2)σ2n1+σ2n2t(n1+n22)\frac{\overline X-\overline Y - (\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n_1}+\frac{\sigma^2}{n_2}}}-t(n_1+n_2-2)
    Sw=n11S12+(n21)S22n1+n22S_w = \sqrt{\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}}
    n2σ22Σi=1n1(Xiμ1)2n1σ12Σi=1n2(Yiμ2)2F(n1,n2)\frac{n_2\sigma_2^2\Sigma_{i=1}^{n_1}(X_i-\mu_1)^2}{n_1\sigma_1^2\Sigma_{i=1}^{n_2}(Y_i-\mu_2)^2}-F(n_1,n_2)
    σ22S12σ22S12F(n11,n21)\frac{\sigma_2^2S_1^2}{\sigma_2^2S_1^2}-F(n_1-1,n_2-1)

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  • 概率论与数理统计知识点总结(详细版).docx
  • 针对概率论与数理统计知识总结,需要有一些数学基础,希望对大家有用。
  • 数理统计知识点回顾

    千次阅读 2019-04-11 11:23:08
  • 一. 随机事件和概率 1、概率的定义和性质 (1)概率的公理化定义 设Ω 为样本空间, A 为事件,对每一个事件A 都有一 个实数P(A),若满足下列三个条件: 1° 0≤P(A)≤1, 2° P(Ω) =1 3° 对于两两互不相容的事件...
  • 数理统计知识点备注

    千次阅读 2018-11-13 17:32:30
    【1】《概率论和梳理统计》 备注: 近期发现参数估计、假设检验相关还是记不清,抽一点时间根据课本复习一下。 1 总体与样本 定义: 若随机变量$X_1, X_2, \dots , X_3 相互独立,且每一个相互独立,且每一个相互...

    【参考资料】
    【1】《概率论和梳理统计》

    备注: 近期发现参数估计、假设检验相关点还是记不清,抽一点时间根据课本复习一下。

    1 总体与样本

    定义: 若随机变量X1,X2,,X3X_1, X_2, \dots , X_3相互独立,且每一个XiX_i与X具有相同的分布,则n维随机变量(X1,X2,,Xn)(X_1, X_2, \dots , X_n)为来自X的样本。它的观测值(x1,x2,,xn)(x_1, x_2, \dots, x_n)样本观测值, n为样本容量(X1,X2,,Xn)(X_1, X_2, \dots , X_n)能取值的全部集合称为样本空间,其观测值为空间中的一个点。

    若总体X是连续随机变量,其概率密度函数为f(X),那么(X1,X2,,Xn)(X_1, X_2, \dots , X_n)的联合概率密度为:
    f(x1,x2,,xn)=i=1nf(xi)f^*(x_1, x_2, \dots , x_n) = \prod\limits_{i=1}^{n}f(x_i)

    备注:这里就是把n次样本的观察作为一组随机变量来考虑,等价于多维随机变量的联合概率分布。只是彼此完全无关,因此不需要由边缘概率密度相乘,而是直接概率密度相乘。

    统计量

    样本均值: xˉ=1ni=1nxi\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_i

    样本方差: Sn2=1ni=1n(XiXˉ)2S_n^2=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2

    k阶原点矩: Ak=1ni=1nXikA_k = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i^k

    k阶中心矩: Bk=1ni=1n(XiXˉ)kB_k = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^k

    2 抽样分布
    总体正态分布的线性函数

    定理: 设总体符合正态分布N(u,σ2)N(u, \sigma^2)(X1,X2,,Xn)(X_1, X_2, \dots , X_n)为来自此总体的样本,那么统计量Y=i=1naiXiY=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i X_i也符合正态分布,即YN(ui=1nai,σ2i=1nai2)Y \sim N(u \sum\limits_{i=1}^{n}a_i \quad , \quad \sigma^2 \sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2)

    卡方分布(χ2\chi^2分布)

    定义: 设随机变量X1,X2,,XnX_1, X_2, \dots , X_n相互独立,且服从标准正态分布N(0,1),则称χ2=i=1nXi2\chi^2 = \sum\limits_{i=1}^{n}X_i^2为服从自由度n的χ\chi分布,记作χ2χ2(n)\chi^2 \sim \chi^2(n)

    性质1: E(χ2)=nE(\chi^2)=n 以及D(χ2)=2nD(\chi^2)=2n
    性质2: 若χ12χ2(n)\chi^2_1 \sim \chi^2(n)χ22χ2(m)\chi^2_2 \sim \chi^2(m),两者相互独立,有χ12+χ22χ2(n+m)\chi_1^2 + \chi_2^2 \sim \chi^2(n+m)

    t分布

    定义: 设随机变量XN(0,1)X \sim N(0,1)Yχ2(n)Y \sim \chi^2(n)且X、Y相互独立,称随机变量T=XY/nT=\dfrac{X}{\sqrt{Y/n}}为自由度为n的t分布,记作Tt(n)T \sim t(n)

    性质1: E(T)=0,以及D(T)=nn2D(T)=\dfrac{n}{n-2}
    性质2: 当nn \to \infty时,其概率密度函数无限趋近与标准正态分布,即ϕ(x)=12πex2/2\phi(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{x^2/2}

    F分布

    定义: 设Xχ2(m)X \sim \chi^2(m)Yχ2(n)Y \sim \chi^2(n),X和Y相互独立,则称随机变量F=X/mY/nF=\dfrac{X/m}{Y/n}为服从第一自由度为m、第二自由度为n的F分布,记作FF(m,n)F \sim F(m,n)

    性质1: E(F)=nn2E(F)=\dfrac{n}{n-2},以及D(F)=n2(2m+2n4)m(n2)2(n4)D(F)=\dfrac{n^2(2m+2n-4)}{m(n-2)^2(n-4)}
    性质2: 若FF(m,n)F \sim F(m,n),则1FF(n,m)\dfrac{1}{F} \sim F(n, m)
    性质3: 设FF(1,n)F \sim F(1, n), Tt(n)T \sim t(n),则F=T2F = T^2

    3 参数的点估计

    实际问题中总体分布已经知道,但该分布的一些具体参数未知,解决这类问题我们称之为参数估计。其中利用已有样本的某种函数得到的数值来估计总体样本的参数,叫做“点估计”。

    矩估计法

    利用统计量的值求解未知参数,举例如下:

    求解:总体符合[a, b]的均匀分布,有样本(X1,X2,,Xn)(X_1, X_2, \dots , X_n),求解a、b两个未知参数。

    第一步: 列出矩估计等式
    {u1=E(X)=a+b2v2=D(X)=(ba)212\begin{cases} u_1 = E(X) = \dfrac{a+b}{2} \\ v_2 = D(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12} \end{cases}
    第二步: 求解方程组,得到
    {a=u1+3v2b=u13v2\begin{cases} a = u_1 + \sqrt{3 v_2} \\ b = u_1 - \sqrt{3 v_2} \end{cases}
    第三步: 将(X1,X2,,Xn)(X_1, X_2, \dots , X_n)的矩估计值带入u1v2u_1 \quad v_2得到a和b的解

    极大似然估计法

    设存在未知参数θ\theta的总体X概率分布密度为f(x;θ)f(x;\theta),则样本的似然函数是L(θ)=L(x1,x2,,xn;θ)=i=1nf(xi;θ)L(\theta)=L(x_1, x_2, \dots, x_n;\theta)=\prod_{i=1}^{n}f(x_i;\theta)

    极大似然估计法的思路就是认为该参数能够得到似然函数的最大值,即有最大的概率存在。举例:

    求解:总体的分布密度函数为

    f(xi;k)={(k+2)xk+10<x<10otherf(x_i;k)= \begin{cases} (k+2)x^{k+1} & 0 < x < 1 \\ 0 & other \end{cases}
    有样本(X1,X2,,Xn)(X_1, X_2, \dots , X_n) ,求未知参数k。

    第一步: 构造似然函数
    L(k)=i=1n(k+2)xik+1L(k)=\prod\limits_{i=1}^{n}(k+2)x_i^{k+1}

    第二步: 两边取ln,并通过对k的导数求极值
    ln(L(k))=nln(k+2)+(k+1)i=1nlnxiln(L(k))=n ln(k+2) + (k + 1) \sum\limits_{i=1}^{n}ln x_i

    ln(L(k))k=nk+2+i=1nlnxi=0\dfrac{\partial ln(L(k))}{\partial k} = \dfrac{n}{k+2} + \sum\limits_{i=1}^{n}ln x_i = 0
    k=2ni=1nlnxik = -2- \dfrac{n}{\sum\limits_{i=1}^{n}ln x_i}

    第三步: 由其二阶导数小于0,可以此时k是极大似然估计得到的参数。备注:这个值与矩估计得到的结果不一样!!

    3 参数的区间估计

    定义: 设θ\theta是总体的未知参数,(X1,X2,,Xn)(X_1, X_2, \dots , X_n)是总体的样本,若给定常数a(0 < a < 1),可以确定两个统计量θ=θ(X1,X2,,Xn)\underline{\theta}=\underline{\theta}(X_1, X_2, \dots , X_n)θˉ=θˉ(X1,X2,,Xn)\bar{\theta}=\bar{\theta}(X_1, X_2, \dots , X_n)使得P(θ<θ<θˉ)<1aP(\underline{\theta} < \theta < \bar{\theta}) < 1-a称随机区间[θ,θˉ][\underline{\theta}, \bar{\theta}]为参数θ\theta的1-a置信区间或区间估计。1-a为置信度

    举例(重要):

    ++备注:此处为 σ2\sigma^2已知,求u的置信区间 的例子++

    有总体分布XN(u,4)X \sim N(u, 4),均值u未知,已知X一组容量为n=25的样本均值xˉ=7.50\bar{x}=7.50,求这个样本均值置信度为1-a = 0.95的置信区间。

    第一步:构造一个新的样本函数,使得新的样本函数不依赖参数
    U=XˉuσnN(0,1)U = \dfrac{\bar{X}-u}{\sigma}\sqrt{n} \sim N(0, 1)

    第二步: 依据标准正态分布的双侧分位数,得到
    P(Xˉuσn<ua/2)=1aP(|\dfrac{\bar{X}-u}{\sigma}\sqrt{n}| < u_{a/2})=1-a

    第三步:根据上式得到u的1-a置信区间为
    (Xˉσnua/2,Xˉ+σnua/2)(\bar{X} - \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}u_{a/2}, \bar{X} + \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}u_{a/2})

    第四步:通过查表可以知道u0.025=1.96u_{0.025}=1.96,带入后即可得到区间值

    单正态分布区间估计 – σ2\sigma^2已知,求u的置信区间

    构造:U=XˉuσnN(0,1)U = \dfrac{\bar{X} - u}{\sigma}\sqrt{n} \sim N(0, 1)

    单正态分布区间估计 – σ2\sigma^2未知,求u的置信区间

    构造: T=XˉuSnt(n1)T=\dfrac{\bar{X} - u}{S}\sqrt{n} \sim t(n-1)
    其中S2S^2σ2\sigma^2的无偏估计值

    单正态分布区间估计 – u已知,求σ2\sigma^2的置信区间

    构造:χ2=1σ2i=1n(Xiu)2χ2(X)\chi^2 = \dfrac{1}{\sigma^2}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i - u)^2 \sim \chi^2(X)

    单正态分布区间估计 – u未知,求σ2\sigma^2的置信区间

    构造:χ2=1σ2i=1n(Xiu)2=nSn2σ2χ2(n1)\chi^2 = \dfrac{1}{\sigma^2}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i - u)^2 = \dfrac{nS_n^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n - 1)

    4 假设检验
    总体均值u的假设检验 – σ2\sigma^2已知,求u的置信区间

    (X1,X2,,Xn)(X_1, X_2, \dots , X_n)为取自总体X的一个样本,样本均值为Xˉ\bar{X},u0u_0为已知常数。

    第一步:确定假设
    检验原假设H0:u=u0H_0 : u = u_0,备择假设H1:uu0H_1: u \ne u_0

    第二步: 选择检验统计量
    U=XˉuσnN(0,1)U = \dfrac{\bar{X} - u}{\sigma}\sqrt{n} \sim N(0, 1)

    第三步:判断拒绝域
    在这里插入图片描述

    备注:上图印刷不清楚,中间应该是1-a,其中a是显著性水平,诸如0.05

    P(Uua/2)=aP(|U| \ge u_{a/2} ) = a得到u=xˉu0σ/nua/2|u| = |\dfrac{\bar{x} - u_0}{\sigma/\sqrt{n}}| \ge u_{a/2}

    备注:上面式子有口语表述即,若随机变量U大于或小于ua/2u_{a/2}那么它的概率将小于a,即可以被拒绝。

    第四步:通过查找标准正态分布表获取ua/2u_{a/2}的值,并判断当前的样本均值带入U后是否符合拒绝域。

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  • 概率统计 随机事件和概率 变量的分布 随机变量函数的分布 多维随机变量及其分布 随机变量的数字特征 大数定律和中心极限定理 数理统计的基本概念 参数估计 假设检验 函数、极限、连续 考试要求 1.理解函数的概念 2....

    高等数学

    函数、极限、连续

    考试要求
    1.理解函数的概念
    2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.
    3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念.
    4.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念.
    5.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.
    6.掌握极限的性质及四则运算法则.
    7.掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法.
    8.理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限.
    9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型.
    10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质.

    一元函数微分学

    考试要求
    1.理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解函数的可导性与连续性之间的关系.
    2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分.
    3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.
    4.会求分段函数的导数,会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.
    5.理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理,了解并会用柯西中值定理.
    6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.
    7.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.
    8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在区间 内,设函数 具有二阶导数。当 时, 的图形是凹的;当 时, 的图形是凸的),会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形.
    9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径.

    一元函数积分学

    考试要求
    1.理解原函数的概念,理解不定积分和定积分的概念.
    2.掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理,掌握换元积分法与分部积分法.
    3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.
    4.理解积分上限的函数,会求它的导数,掌握牛顿-莱布尼茨公式.
    5.了解反常积分的概念,会计算反常积分.
    6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等)及函数的平均值.

    向量代数和空间解析几何

    考试要求
    1.理解空间直角坐标系,理解向量的概念及其表示.
    2.掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积),了解两个向量垂直、平行的条件.
    3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式,掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.
    4.掌握平面方程和直线方程及其求法.
    5.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角,并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题.
    6.会求点到直线以及点到平面的距离.
    7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念.
    8.了解常用二次曲面的方程及其图形,会求简单的柱面和旋转曲面的方程.
    9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求该投影曲线的方程.

    多元函数微分学

    考试要求
    1.理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义.
    2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.
    3.理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性.
    4.理解方向导数与梯度的概念,并掌握其计算方法.
    5.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.
    6.了解隐函数存在定理,会求多元隐函数的偏导数.
    7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程.
    8.了解二元函数的二阶泰勒公式.
    9.理解多元函数极值和条件极值的概念,并会解决一些简单的应用问题.

    多元函数积分学

    考试要求
    1.理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质,了解二重积分的中值定理.
    2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标),会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).
    3.理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.
    4.掌握计算两类曲线积分的方法.
    5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件,会求二元函数全微分的原函数.
    6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系,掌握计算两类曲面积分的方法,掌握用高斯公式计算曲面积分的方法,并会用斯托克斯公式计算曲线积分.
    7.了解散度与旋度的概念,并会计算.
    8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等).

    无穷级数

    考试要求
    1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念,掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.
    2.掌握几何级数与 级数的收敛与发散的条件.
    3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法,会用根值判别法.
    4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法.
    5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念
    6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.
    7.理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.
    8.会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和.
    9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.
    10.掌握麦克劳林展开式,会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数.
    11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理,会将定义在 上的函数展开为傅里叶级数,会将定义在 上的函数展开为正弦级数与余弦级数,会写出傅里叶级数的和函数的表达式.

    常微分方程

    考试要求
    1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.
    2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法.
    3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程,会用简单的变量代换解某些微分方程.
    4.会用降阶法解下列形式的微分方程: .
    5.理解线性微分方程解的性质及解的结构.
    6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.
    7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.
    8.会解欧拉方程.
    9.会用微分方程解决一些简单的应用问题.

    线性代数

    行列式

    考试内容:行列式的概念和基本性质 行列式按行(列)展开定理
    考试要求:
    1.了解行列式的概念,掌握行列式的性质.
    2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式.
    矩阵
    考试内容:矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵矩阵的秩 矩阵的等价 分块矩阵及其运算
    考试要求
    1.理解矩阵的概念,了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵,以及它们的性质.
    2.理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质,以及矩阵可逆的充分必要条件,理解伴随矩阵的概念,会用伴随矩阵求逆矩阵.
    3.理解矩阵初等变换的概念,了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念,理解矩阵的秩的概念,掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.
    4.了解分块矩阵及其运算.

    向量

    考试内容
    向量的概念 向量的线性组合与线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量空间及其相关概念 维向量空间的基变换和坐标变换 过渡矩阵 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 规范正交基 正交矩阵及其性质
    考试要求
    1.理解 维向量、向量的线性组合与线性表示的概念.
    2.理解向量组线性相关、线性无关的概念,掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.
    3.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念,会求向量组的极大线性无关组及秩.
    4.理解向量组等价的概念,理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系.
    5.了解 维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念.
    6.了解基变换和坐标变换公式,会求过渡矩阵.
    7.了解内积的概念,掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法.
    8.了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质.

    线性方程组

    考试内容:线性方程组的克莱姆(Cramer)法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件解空间 非齐次线性方程组的通解
    考试要求
    l.会用克莱姆法则.
    2.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.
    3.理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念,掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.
    4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念.
    5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法.

    矩阵的特征值和特征向量

    考试内容:矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似变换、相似矩阵的概念及性质
    考试要求
    1.理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质,会求矩阵的特征值和特征向量.
    2.理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法.
    3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.
    二次型
    考试内容:二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵二次型的秩 惯性定理 二次型的标准形和规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正定性
    考试要求
    1.掌握二次型及其矩阵表示,了解二次型秩的概念,了解合同变换与合同矩阵的概念,了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理.
    2.掌握用正交变换化二次型为标准形的方法,会用配方法化二次型为标准形.
    3.理解正定二次型、正定矩阵的概念,并掌握其判别法

    概率统计

    随机事件和概率

    考试内容:随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典概率 几何概率 条件概率概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验
    考试要求
    1.了解样本空间(基本事件空间)的概念
    2.掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式,以及贝叶斯(Bayes)公式.
    3.理解事件独立性的概念
    随机变量及其分布
    考试内容量 :随机变量 随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度 常见随

    变量的分布 随机变量函数的分布

    考试要求
    1.理解随机变量的概念,理解分布函数的概念及性质,会计算与随机变量相联系的事件的概率.
    2.了解泊松定理的结论和应用条件,会用泊松分布近似表示二项分布.
    3.理解连续型随机变量及其概率密度的概念,掌握均匀分布 、正态分布 、指数分布及其应用,其中参数为 的指数分布 的概率密度为
    4.会求随机变量函数的分布.

    多维随机变量及其分布

    考试内容:多维随机变量及其分布 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常用二维随机变量的分布 两个及两个以上随机变量简单函数的分布
    考试要求
    1.理解多维随机变量的概念,理解多维随机变量的分布的概念和性质. 理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布,理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度,会求与二维随机变量相关事件的概率.
    2.理解随机变量的独立性及不相关性的概念,掌握随机变量相互独立的条件.
    3.掌握二维均匀分布,了解二维正态分布 的概率密度,理解其中参数的概率意义.
    4.会求两个随机变量简单函数的分布,会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.

    随机变量的数字特征

    考试内容:随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期望 矩、协方差、相关系数及其性质
    考试要求
    1.理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念,会运用数字特征的基本性质,并掌握常用分布的数字特征.
    2.会求随机变量函数的数学期望.

    大数定律和中心极限定理

    考试内容:切比雪夫(Chebyshev)不等式 切比雪夫大数定律 伯努利(Bernoulli)大数定律 辛钦(Khinchine)大数定律 棣莫弗-拉普拉斯(De Moivre-laplace)定理 列维-林德伯格(Levy-Lindberg)定理
    考试要求
    1.了解切比雪夫不等式.
    2.了解棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维-林德伯格定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理).

    数理统计的基本概念

    考试内容:总体 个体 简单随机样本 统计量 样本均值 样本方差和样本矩 分布 分布 分布 分位数 正态总体的常用抽样分布
    考试要求
    1.理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念,其中样本方差定义为:
    2.了解 分布、 分布和 分布的概念及性质,了解上侧 分位数的概念并会查表计算.
    3.了解正态总体的常用抽样分布.

    参数估计

    考试内容:点估计的概念 估计量与估计值 矩估计法 最大似然估计法 估计量的评选标准 区间估计的概念 单个正态总体的均值和方差的区间估计 两个正态总体的均值差和方差比的区间估计
    考试要求
    1.理解参数的点估计、估计量与估计值的概念.
    2.掌握矩估计法(一阶矩、二阶矩)和最大似然估计法.
    3.了解估计量的无偏性、有效性(最小方差性)和一致性(相合性)的概念,并会验证估计量的无偏性.
    4、理解区间估计的概念,会求单个正态总体的均值和方差的置信区间,会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.

    假设检验

    考试内容:显著性检验 假设检验的两类错误 单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验
    考试要求
    1.理解显著性检验的基本思想,掌握假设检验的基本步骤,了解假设检验可能产生的两类错误。
    2.掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。

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