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  • 反常积分与无穷级数收敛关系的讨论毕业论文.doc
  • 比值法判定无穷级数收敛/发散性质MATLAB定理:分析:收敛抑或发散?MATLAB:syms n f; f=(2^n+5)/3^n; L=limit(f,n,+inf) S=symsum(f,n,0,+inf) L = 0 S = 21/2

    比值法判定无穷级数收敛/发散性质MATLAB


    定理:



    分析:

    收敛抑或发散?




    MATLAB:

    syms n f;              
    f=(2^n+5)/3^n;    
    L=limit(f,n,+inf)
    S=symsum(f,n,0,+inf)
     
    L =
     
    0
     
     
    S =
     
    21/2

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  • 研究了Banach空间X中的级数∑∞n=1xn的收敛性、绝对收敛性、弱无条件收敛性、无条件收敛性与可和性等概念之间的关系,证明了:当X为一般Banach空间时,无条件收敛性与可和性是等价的;当X为Hilbert空间时,弱无条件收敛性...
  • 数学笔记30——无穷级数收敛判定

    万次阅读 多人点赞 2017-12-13 11:22:18
    希腊的哲学家芝诺曾经辩论说,一支箭永远不能达到它的目标。他说,首先箭要到达目标距离的一半,然后又...这个问题看似诡异,但在数学面前,神秘荡然无存,破解问题的关键就是无穷级数。悖论的谜底 把芝诺问题用...

      希腊的哲学家芝诺曾经辩论说,一支箭永远不能达到它的目标。他说,首先箭要到达目标距离的一半,然后又必须到达剩余距离的一半,然后还有一半,这样就没有穷尽。因为这个旅程有无限个部分,所以箭要花费无限的时间才能结束这个旅程。这就是“芝诺悖论”。芝诺的结论是——时间是不存在的。尽管他自己也不相信这个结论。这个问题看似诡异,但在数学面前,神秘荡然无存,破解问题的关键就是无穷级数。

    悖论的谜底

      把芝诺问题用数学表达就是:

      更普遍的写法是:

     

      其实很早就有人揭开了悖论的谜底,先将等号两边同时乘以a:

     

      所以芝诺问题的最终答案是1。需要注意的是,只有当 -1 < a < 1时上述公式才成立,否则结果将是发散的。

    无穷级数

      对于和几何级数类似的和式,用数学符号表示:

     

      称SN部分和,当N→∞时,和式就是无穷极限:

     

      无穷极限S的结果可能是收敛的,有可能是发散的。

    无穷级数的收敛性

      我们感兴趣的第一个问题是无穷级数的收敛性。

     

      上式的收敛性没有那么明显,应当如何判断?

      仔细观察上式会发现,它和黎曼和及其类似,如果Δx =1,那么

     

      需要注意的的,二者接近但并不相等,积分处理的是当Δx→0的情况。

      对于黎曼和,如果当Δx = 1时使用左矩形公式(数值积分可参考《数学笔记19——数值积分》),则:

      如果使用右矩形公式,则:

     

      综上:

     

      由于lnN是发散的,所以SN也是发散的。

    积分比较判别法

      上面的例子展示了和式和积分的关系,这样描述“积分比较法”:如果f(x)是减函数,且f(x) > 0,则:

     

      和式和积分的收敛性一致。

      积分比较的基本思想就是用积分代替和式,因为和式通常很难计算,但和式对应的积分往往很容易,所以需要化繁为简,这也是数学的基本思想。

    极限比较判别法

      与积分比较类似,如果f(x)等价于g(x),即x→∞时f(x)/g(x) = 1,其中n > 0, f, g >,则∑f(x)和∑g(x)的收敛性一致。

    比值判别法

      当积分法和极限法出现困难时,比值法将是一个值得尝试的方案,对于∑an,a> 0 来说,

     

      如果L < 1,∑an是收敛的;如果L > 1∑an是发散的;如果L = 1,不能使用比值判别法。

    示例

      判断下面三个式子的收敛性:

      

      a.使用积分判别法

     

      答案是收敛的,最终结果≈2

      该求解过程也可以推广到f(x) = 1/nm

      b.使用极限比较判别法

     

      结果是发散的。

      c.使用极限比较判别法

     

      结果是收敛的。

    综合示例

    示例1

      判断下面三个式子的收敛性:

       

      a.使用极限比较判别法

     

      答案是收敛。

      b.

     

      题目是几何级数,答案是发散。

      c.使用极限比较判别法

      lnn << n,lnn/n<< 1/n,所以结果是收敛。

      d.使用比值判别法

     

      答案是发散。

      e.使用比值判别法

     

      答案是收敛的。

    示例2

      判断下面式子的收敛性:

      

      a.使用积分判别法,

     

      答案是发散

      b.使用积分判别法,

     

      答案是收敛的。


       作者:我是8位的

      出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

      本文以学习、研究和分享为主,如需转载,请联系本人,标明作者和出处,非商业用途! 

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  • 关于无穷级数收敛的充要条件的猜想: ∫1+∞f(x)=c(c为常数)\int_1^{+\infty}f(x)=c \quad (c为常数)∫1+∞​f(x)=c(c为常数) 灵感: 1. 积分判别法(正项级数) 2. 数列收敛的基本性质(数列级数的前N项与数列级数...

    关于无穷级数收敛的充要条件的猜想:
    ∫ 1 + ∞ f ( x ) = c ( c 为 常 数 ) \int_1^{+\infty}f(x)=c \quad (c为常数) 1+f(x)=c(c)
    灵感:

    1. 积分判别法(正项级数)
    2. 数列收敛的基本性质(数列级数的前N项与数列级数的敛散性无关)

    一、积分判别法的定义:若单调递减的函数f(x)在[1,+ ∞ \infty )上非负,则级数 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) \sum_{n=1}^{\infty}f(n) n=1f(n)与反常积分 ∫ 1 + ∞ f ( x ) d x \int_1^{+\infty}f(x)dx 1+f(x)dx具有相同的敛散性。
    同理,若单调递增的函数f(x)在[1,+ ∞ \infty )上非正,则级数 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) \sum_{n=1}^{\infty}f(n) n=1f(n)与反常积分 ∫ 1 + ∞ f ( x ) d x \int_1^{+\infty}f(x)dx 1+f(x)dx具有相同的敛散性。
    根据微积分基本定理, ∫ 1 + ∞ f ( x ) = lim ⁡ a → + ∞ F ( a ) − F ( 1 ) \int_1^{+\infty}f(x)={\lim\limits_{a \to +\infty}}F(a)-F(1) 1+f(x)=a+limF(a)F(1)
    故级数 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) \sum_{n=1}^{\infty}f(n) n=1f(n)的敛散性取决于 lim ⁡ a → + ∞ F ( a ) {\lim\limits_{a \to +\infty}}F(a) a+limF(a)是否收敛,即 lim ⁡ a → + ∞ F ( a ) {\lim\limits_{a \to +\infty}}F(a) a+limF(a)是否存在。
    lim ⁡ a → + ∞ F ( a ) = b {\lim\limits_{a \to +\infty}}F(a)=b a+limF(a)=b, 则 ∫ 1 + ∞ f ( x ) = lim ⁡ a → + ∞ F ( a ) − F ( 1 ) = b − F ( 1 ) = c \int_1^{+\infty}f(x)={\lim\limits_{a \to +\infty}}F(a)-F(1)= b-F(1)=c\quad 1+f(x)=a+limF(a)F(1)=bF(1)=c (其中,c为常数)

    二、 ∫ 1 + ∞ f ( x ) = ∫ 1 N f ( x ) d x + ∫ N + ∞ f ( x ) d x \int_1^{+\infty}f(x)=\int_1^N{f(x)dx}+\int_N^{+\infty}f(x)dx 1+f(x)=1Nf(x)dx+N+f(x)dx,若确定一个N,使得f(x)在 [ N , + ∞ ) [N,{+\infty}) [N,+)上为非负单调递减函数(或为非正单调递增函数),则仍可以使用积分判别法判断级数 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) \sum_{n=1}^{\infty}f(n) n=1f(n)的敛散性。

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  • 1. 级数收敛的必要条件——n趋近于无穷大时,通项趋近于零; 收敛级数对应项之和(差)组成的新级数收敛于级数的和(差) 2. 级数与级数的数乘有相同的敛散性; 增加或减少级数中的有限项不改变原级数的收敛...

     

    1. 级数收敛的必要条件——n趋近于无穷大时,通项趋近于零;

    收敛级数对应项之和(差)组成的新级数收敛于级数的和(差)

     

    2. 级数与级数的数乘有相同的敛散性;

    增加或减少级数中的有限项不改变原级数的收敛性,即,级数的收敛性与前有限项无关;

    对于收敛的级数,在不改变级数项前后位置的条件下,任意结合级数的有限项得到新级数也收敛于同一和

     

    3. 柯西收敛原理

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  • 级数收敛的判定步骤

    2019-10-26 19:17:28
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  • 傅里叶级数收敛定理

    2021-08-18 08:46:40
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    千次阅读 2020-08-10 16:48:56
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空空如也

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无穷级数收敛