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统计科学之方差分析
 
张俊红发布于 今天 07:40
 
上一篇讲了假设检验，这一篇讲讲方差分析。
 
1.背景：
 
假如你们现在针对用户提出了三种提高客单价的策略A、B、C，现在想看一下这三种策略最后对提高客单价的效果有什么不同，那我们怎么才能知道这三种策略效果有什么不同？最简单的方法就是做一个实验，我们可以随机挑选一部分用户，然后把这些用户分成三组A、B、C组，A组用户使用A策略、B组用户使用B策略、C组用户使用C策略，等策略实施一段时间以后，我们来看一下这三组分别的客单价是什么水平？哪组平均客单价高，就说明哪组策略有效果。真的可以得出这的结论吗？是可以，但是不够严谨。
 
为什么说不够严谨呢？是因为我们用来做实验的用户是随机挑选的，有可能客单价高的那部分用户(比如高价值用户)本身就要比其他用户群体的客单价高，那为了避免这种可能是因为随机抽样造成的结果不一致问题，我们就需要去证明下，到底是不是因为随机挑选的原因，如果不是，我们就可以去比较各组的平均客单价，哪组客单价较高，就说明哪组策略更有效果。
 
我们的最终目的其实就是为了比较各组的平均客单价，但是在比较均值之前，我们需要先证明下各组之间的结果不同是因为策略的原因还是随机挑选的原因，我们把这个过程叫做方差分析。
 
2.三个假设：
 
方差分析有三个假设：
 
正态检验主要有两种大的方法，一种是统计检验的方法：主要有基于峰度和偏度的SW检验、基于拟合度的KS、CVM、AD检验；另一种是用描述的方法：Q-Q图和P-P图、茎叶图，利用四分位数间距和标准差来判断。
 
方差齐性的主要判断方法有：方差比、Hartley检验、Levene检验、BF法。
 
由于篇幅问题，关于上面涉及到的方法以后专门来讲，有兴趣的同学可以先自行查阅。
 
3.方差分析流程
 
3.1建立假设
 
H0：各组的客单价均值相等；
 
H1：各组的客单价均值不相等或不全等。
 
检验水准为0.05。
 
3.2计算检验统计量F值
 
F值 = 组间方差/组内方差。我们主要是通过比较F值的大小来判断各组之间是否存在显著差异。
 
所谓的组间方差就是用来反映组与组之间的差异程度，组内方差就是用来反映各组内部数据的差异程度。
 
如果各组之间的客单价相等，即假设H0成立，也就意味着各组之间是没啥区别的，也就是组间方差会很小甚至为0，与之对应的方差很大的概率会很低，所以如果F值越大，表明在假设H0成立的前提下出现出现这一结果的概率越小，相当于我们前面提到的小概率事件，如果一旦小概率事件发生了，我们就有理由去拒绝原假设。
 
要来计算方差，我们需要先计算平方和。为了让大家能够更加理解，我们来举个例子来讲解各个指标怎么计算。
 
现在有两组数据：
 
第一组：80、85、96
 
第二组：110、125、130、145、160
 
第一组和第二组的总算术平均值为：
 
(80+85+96+110+125+130+145+160)/8 = 116.375。
 
第一组的算术平均值：(80+85+96)/3 = 87
 
第二组的算术平均值：
 
(110+125+130+145+160)/5 = 134
 
组间平方和(SSA)：
 
= 第一组平均值与总体平均值的平方和×第一组样本数+第二组平均值与总体平均值的平方和×第二组样本数
 
= (87-116.375)^2×3 + (134-116.375)^2×5 = 4141.875
 
组内平方和(SSE)：
 
= 第一组平方和 + 第二组平方和
 
=(80-87)^2+(85-87)^2+(96-87)^2
 
+(110-134)^2+(125-134)^2+(130-134)^2
 
+(145-134)^2+(160-134)^2
 
=134+1470=1604
 
总体平方和(SST)：
 
=所有样本数据与总体平均值之间的平方和
 
=(80-116.375)^2+(85-116.375)^2+(96-116.375)^2
 
+(110-116.375)^2+(125-116.375)^2+(130-116.375)^2
 
+(145-116.375)^2+(160-116.375)^2
 
=5745.875
 
通过以上数据，我们可以看出 SST = SSA + SSE。
 
总平方和会有一个问题，就是随着数据量越大，这个值会越大，所以我们引入另外一个概念：均方。均方=平方和/自由度，其中自由度是样本数-1。
 
组间均方(MSA) = SSA/自由度 = 4141.875/(2-1) = 4141.875
 
组内均方(MSE) = SSE/自由度 = 1604/(8-2) = 267.333
 
MSA又称为组间方差，MSE称为组内方差。
 
F = MSA/MSE = 4141.875/267.333 = 15.4933
 
3.3确定边界值并做出决策
 
此时我们就可以通过查F表，来获得置信度为95%时的F边界值：
 
如果F
 
如果F≥F边界值表面各组数据之间存在明显差异，拒绝H0假设，接受H1假设。
 
如果我们证实了各组数据之间是存在明显差异的，这个时候就可以去拿各组的均值来进行比较，均值越大，可以说明策略效果越好。
 
一般最后我们都可以得到下面这么一个表：
 

 
以上就是简单的方差分析的基本原理与流程，也是单因素方差分析(单因素，就是只有策略这一个维度)，还有双因素方差分析，就是不止考虑策略这一个维度，还需要别的维度，比如时间、地域之类的，还有交叉作用的双因素分析，就是不止策略和地域分别的影响，这两者结合在一起可能会产生第三种影响。关于方差分析的更多内容，我们之后再来分享。
 
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俊红的数据分析之路
 
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张俊红
 
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张俊红
 
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上一篇讲了假设检验，这一篇讲讲方差分析。
 
1.背景：
 
假如你们现在针对用户提出了三种提高客单价的策略A、B、C，现在想看一下这三种策略最后对提高客单价的效果有什么不同，那我们怎么才能知道这三种策略效果有什么不同？最简单的方法就是做一个实验，我们可以随机挑选一部分用户，然后把这些用户分成三组A、B、C组，A组用户使用A策略、B组用户使用B策略、C组用户使用C策略，等策略实施一段时间以后，我们来看一下这三组分别的客单价是什么水平？哪组平均客单价高，就说明哪组策略有效果。真的可以得出这的结论吗？是可以，但是不够严谨。
 
为什么说不够严谨呢？是因为我们用来做实验的用户是随机挑选的，有可能客单价高的那部分用户(比如高价值用户)本身就要比其他用户群体的客单价高，那为了避免这种可能是因为随机抽样造成的结果不一致问题，我们就需要去证明下，到底是不是因为随机挑选的原因，如果不是，我们就可以去比较各组的平均客单价，哪组客单价较高，就说明哪组策略更有效果。
 
我们的最终目的其实就是为了比较各组的平均客单价，但是在比较均值之前，我们需要先证明下各组之间的结果不同是因为策略的原因还是随机挑选的原因，我们把这个过程叫做方差分析。
 
2.三个假设：
 
方差分析有三个假设：
 
正态检验主要有两种大的方法，一种是统计检验的方法：主要有基于峰度和偏度的SW检验、基于拟合度的KS、CVM、AD检验；另一种是用描述的方法：Q-Q图和P-P图、茎叶图，利用四分位数间距和标准差来判断。
 
方差齐性的主要判断方法有：方差比、Hartley检验、Levene检验、BF法。
 
由于篇幅问题，关于上面涉及到的方法以后专门来讲，有兴趣的同学可以先自行查阅。
 
3.方差分析流程
 
3.1建立假设
 
H0：各组的客单价均值相等；
 
H1：各组的客单价均值不相等或不全等。
 
检验水准为0.05。
 
3.2计算检验统计量F值
 
F值 = 组间方差/组内方差。我们主要是通过比较F值的大小来判断各组之间是否存在显著差异。
 
所谓的组间方差就是用来反映组与组之间的差异程度，组内方差就是用来反映各组内部数据的差异程度。
 
如果各组之间的客单价相等，即假设H0成立，也就意味着各组之间是没啥区别的，也就是组间方差会很小甚至为0，与之对应的方差很大的概率会很低，所以如果F值越大，表明在假设H0成立的前提下出现出现这一结果的概率越小，相当于我们前面提到的小概率事件，如果一旦小概率事件发生了，我们就有理由去拒绝原假设。
 
要来计算方差，我们需要先计算平方和。为了让大家能够更加理解，我们来举个例子来讲解各个指标怎么计算。
 
现在有两组数据：
 
第一组：80、85、96
 
第二组：110、125、130、145、160
 
第一组和第二组的总算术平均值为：
 
(80+85+96+110+125+130+145+160)/8 = 116.375。
 
第一组的算术平均值：(80+85+96)/3 = 87
 
第二组的算术平均值：
 
(110+125+130+145+160)/5 = 134
 
组间平方和(SSA)：
 
= 第一组平均值与总体平均值的平方和×第一组样本数+第二组平均值与总体平均值的平方和×第二组样本数
 
= (87-116.375)^2×3 + (134-116.375)^2×5 = 4141.875
 
组内平方和(SSE)：
 
= 第一组平方和 + 第二组平方和
 
=(80-87)^2+(85-87)^2+(96-87)^2
 
+(110-134)^2+(125-134)^2+(130-134)^2
 
+(145-134)^2+(160-134)^2
 
=134+1470=1604
 
总体平方和(SST)：
 
=所有样本数据与总体平均值之间的平方和
 
=(80-116.375)^2+(85-116.375)^2+(96-116.375)^2
 
+(110-116.375)^2+(125-116.375)^2+(130-116.375)^2
 
+(145-116.375)^2+(160-116.375)^2
 
=5745.875
 
通过以上数据，我们可以看出 SST = SSA + SSE。
 
总平方和会有一个问题，就是随着数据量越大，这个值会越大，所以我们引入另外一个概念：均方。均方=平方和/自由度，其中自由度是样本数-1。
 
组间均方(MSA) = SSA/自由度 = 4141.875/(2-1) = 4141.875
 
组内均方(MSE) = SSE/自由度 = 1604/(8-2) = 267.333
 
MSA又称为组间方差，MSE称为组内方差。
 
F = MSA/MSE = 4141.875/267.333 = 15.4933
 
3.3确定边界值并做出决策
 
此时我们就可以通过查F表，来获得置信度为95%时的F边界值：
 
如果F
 
如果F≥F边界值表面各组数据之间存在明显差异，拒绝H0假设，接受H1假设。
 
如果我们证实了各组数据之间是存在明显差异的，这个时候就可以去拿各组的均值来进行比较，均值越大，可以说明策略效果越好。
 
一般最后我们都可以得到下面这么一个表：
 

 
以上就是简单的方差分析的基本原理与流程，也是单因素方差分析(单因素，就是只有策略这一个维度)，还有双因素方差分析，就是不止考虑策略这一个维度，还需要别的维度，比如时间、地域之类的，还有交叉作用的双因素分析，就是不止策略和地域分别的影响，这两者结合在一起可能会产生第三种影响。关于方差分析的更多内容，我们之后再来分享。

 
 
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目录
 
1最大值代码
 
2最小值代码
 
3求和代码
 
4平均值代码
 
5 方差统计代码
 
 
进行统计的字段必须是数值类型的，需要用到的接口为IDataS

 
目录
 
统计量
为什么有统计学问题?
统计量，参数及其关系
  
均值和方差
协方差
相关系数
intuition 1: 向量夹角
intuition 2: OLS回归
 

 
统计量
 
为什么有统计学问题?
 
当我们观察到某些数据，如某个班级中所有学生的年龄、性别、考试分数等。但样本（信息）太多，非常不直观，因此我们希望：1. 将信息压缩，精炼出这些数据的分布信息，如该班中大多数学生年龄集中在哪个点；学生成绩的离散程度。2.用这些数据推测出该班级所在学校学生总体的年龄、性别、成绩等信息。
 实际上，这些问题都是典型的统计学问题。问题1是描述统计学的范畴，问题2是推论统计学范畴。在解决问题1的过程中，我们需要用已有信息构造一些式子，即统计量；在解决问题2的过程中，我们需要用这些统计量推测用总体信息算出的某个量，即参数。
 统计学的关键在于，总体很难得到，我们能观测到的只有其中的部分样本。如：中国所有人的年龄；某批灯泡使用寿命；某放射性物质固定时间内放射出的粒子数。统计学最初的应用就是在国民经济统计中，由于获得总体经济信息的成本高昂，我们希望只用部分对象（样本）的经济信息，推测整体经济运行情况。总体的精炼信息称为参数，样本的精炼信息称为统计量。参数和统计量都是对原信息的降维，只不过参数无法直接观测，而统计量可以直接观测。
 
统计量，参数及其关系
 
从总体中抽到哪些样本实际是一个随机事件，因此样本是一种随机变量，因而由样本信息构造出来的统计量也是一个随机变量，遵循一定概率分布。可以想象，我们反复从总体中抽取某个数量的样本，每次计算一次统计量，最后把这些统计量的频率分布直方图画出来，即在逐步近似该统计量的实际概率分布。不同的总体决定了某个统计量不同的概率分布，因此可以联想到，某些总体的参数应当可以由该概率分布得到。
 因此，如果要从样本推断总体，直观思路是重复抽样试验，用频率分布近似统计量的实际概率分布，并用概率分布推出总体参数。因此，我们需要解决的关键问题是：总体参数和样本统计量（概率分布）之间的关系。
 因此，大数定律、中心极限定律成为了推论统计学的奠基理论。
 衡量数据集中趋势，在统计学中常用的统计量为均值；衡量数据离散程度，常用统计量为方差/标准差。衡量两组变量数据的变化关系（同向/反向）常用协方差，衡量变化关系的大小常用相关系数。
 教科书中一般只列出了这些统计量的公式，很少论证它为什么是合理的。因此下文主要阐述这些统计量为何可以满足我们对特定数据关系的要求，它们是如何构造出来的。
 
均值和方差
 
衡量一组数据的集中趋势，即这组数据向哪个点集中，我们可以想出很多构造方法。例如，中位数，算数平均数，众数，几何平均数，甚至可以对75%和25%分位数取平均，等等。衡量数据的离散程度，可以用样本与中心点差距的平方和，四次方和等等，中心点可以用上述衡量集中趋势的任一指标度量。如果不考虑其他因素，这些度量方式实际上都是合理的。因为本质上，对于一组数据某种性质的理解更多取决于观察者自身的偏好，况且从信息论的角度，任何一个统计量都是对数据的降维表示，一定损失了某些样本信息，不可能完整准确的体现数据性质。那么为什么在统计中我们通常用均值衡量集中趋势（数据求和再除以样本数量），方差（样本减均值的平方和的均值）衡量离散程度呢？一方面是因为，算数平均数相较于中位数、众数等利用了更多的样本信息，但主要是因为，这些统计量有很多优良性质，可以回应上一部分中推论统计学需要解决的问题，因此在描述统计学中也广为应用。
 例如，大数定律表明，样本的算数平均值在n趋向于无穷大时，依概率收敛于总体均值（数学期望）。由于方差与均值的数学关系，可以进一步推得，样本标准差在n趋向于无穷大时，样本的方差（修正后）依概率收敛于总体方差。这就回应了上一部分提出的问题1，即总体参数和样本统计量之间的关系，这也是为什么大数定律很重要。中心极限定理表明，样本均值经总体数学期望、标准差和样本量标准化后，依分布收敛于正态分布，同样也回应了问题1。
 
协方差
 
当我们有多组变量的数据时，我们想看这几组变量之间的关系。比如某两个变量之间有没有正相关或者负相关关系。例：x = {1,2,3,4,5}；y = {10,9,8,7,6}；z = {0,1,2,3,4}。$x,y,z$为同一组样本的不同变量的数据。直观的认为，当两个变量有正相关关系时，当x增加/减小时，多数情况下y和z应当也会增加/减小（不排除少部分样本的数据按相反方向变化）。这里如何给增加/减小找一个参照系？这里就有很多种构造方法，比如以第一个样本为参照系，用其他样本数据都减去第一个样本来度量增加/减小；也可以以全部样本的均值为参照系，用其他样本数据都减去均值。由于前述均值的重要性质，我们采用均值为参照系。标准化后的正数即表示增加，负数即表示减小，全部标准化后的数据令为$x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$。
 如何把x’,y’中每个数据对的同向变化和反向变化区分开？可以采取乘积的性质，同号相乘得正，异号相乘得负，这样每个标准化后的数据对相乘结果再累加。可以看出，同号的数据对越多，累加的结果就更有可能为正，这正符合我们对变量正相关的直观感受。当然，即使n个样本中n-1个数据对都是同向变化，但若某个变量出现1个反向变化的，很大的异常值，也有可能最后得到的结果为负。因此，只能说这样构造出的统计量是一个相对符合直觉的量，而并非对变量关系完全精准的描述。这样，协方差的构造公式可以写成$Cov(x,y)=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$。注意协方差的大小不能衡量变量之间相关性的大小。很容易举出反例，即使两组数据在n-1个样本上都一模一样，在第n个样本上出现了异常值，协方差也可能比两组看起来就相关性很小但没有异常值的数据结果还小。
 我们知道方差公式是$\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$，可以看出，方差可以视为协方差的一种特殊情况，这样更能体现协方差公式的合理性。
 
相关系数
 
给定几组数据，我们不仅想知道它们之间是否正相关/负相关，还想知道它们之间相关性的大小。下面给出构造这一度量的2种思考方式。
 
intuition 1: 向量夹角
 
设有k个样本的两组变量x,y数据。回想我们对相关性的定义，是数据相对增减趋势之间的关系，因此这里我们可以先对原数据用均值进行标准化，得到标准化后的数据$x^{\prime },y^{\prime }$。我们可以将其想象k维空间中的两个从原点出发的向量a,b。直观上我们可以想到，这两个向量之间的夹角可以衡量两组变量之间相关性的大小。若夹角为0或180度，说明两组变量有严格线性关系。夹角越接近0，正线性相关性越大，越接近180度，负线性相关性越大，夹角90度，即正交向量，线性相关性应当最弱。
 衡量向量夹角大小可以用余弦定理结合向量运算法则（即余弦相似度）：$cos\theta =\frac{ab}{|a||b|}=\frac{\sum a_i{b}_i}{\sqrt{\sum a_i^2}\sqrt{\sum b_i^2}}$。考虑到标准化的步骤，即推导出了相关系数的公式$r=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}\sqrt{\sum (y_i-\bar{y}{)}^2}}$。注意到分子即为n*Cov(x,y)，分母为两个标准差相乘，因此r可以进一步化为$r=\frac{cov(x,y)}{sd(x)sd(y)}$
 
intuition 2: OLS回归
 
对于一元线性模型$y={\beta }_0+{\beta }_{1}x$，由OLS方法推导出$\widehat{{\beta }_1}=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}\sqrt{\sum (y_i-\bar{y}{)}^2}}$。其含义很明显：拟合线的斜率。斜率越接近1或-1，反映y和x线性相关性越强，斜率为0，说明y和x没有线性相关关系（y是一条垂直于x轴的线）。

​
 
 
 
方差分析(Analysis ofVariance，简称ANOVA)，又称“变异数分析”，又叫F检验。是R.A.Fisher发明的，用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。
 
 
 
方差波动来源
 
 
 
由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状，而方差分析的基本原理认为不同处理组的均数间的差别基本来源有两个：一是不可控的随机因素，另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。
 
 
 
实验条件，即不同的处理造成的差异，称为组间差异。
 
用变量在各组的均值与总均值之偏差平方和的总和表示，记作SSb，组间自由度dfb。
 
 
 
随机误差，如测量误差造成的差异或个体间的差异，称为组内差异。
 
用变量在各组的均值与该组内变量值之偏差平方和的总和表示，记作SSw，组内自由度dfw。
 
 
总偏差平方和 SSt = SSb +SSw。
 
 
 
 
 
 
方差分析应用场景
 
 
 
方差分析在工作场景中如何应用呢？看案例：
 
 
假如产品针对用户提出了三种提高客单价的策略A、B、C，现在要评估3种策略对提高客单价的效果差异。
 
 
如何知道3种策略效果有什么不同？最简单的方法就是做一个实验。
 
 
如：随机挑选一部分用户，然后把这些用户分成三组A、B、C组，A组用户使用A策略、B组用户使用B策略、C组用户使用C策略，
 
 
策略实施一段时间以后，分析3组分别的客单价水平。哪组平均客单价高，就说明哪组策略有效。
 
 
可是，这样得出的结论是否有偏差呢？
 
 
当然有，出现偏差的来源:
 
 
其一是实验的用户是随机挑选的，有可能客单价高的那部分用户(如高价值用户)集中出现在某一组中，造成这组的策略效果更好。
 
 
当然，按照方差原理的差别基本来源，还有可能由于策略执行过程中，实验条件造成的策略结果差异。
 
 
为了排除实验结果中，上述两种来源造成的结果偏差，就需要使用方差分析去证做进一步证实。最终获得更严谨、更有说服力的策略结论。
 
 
 
方差分析中的名词解释
 
 
方差：又叫均方，是标准差的平方，是表示变异的量。
 
 
因素：方差分析的研究变量；例如，研究裁判打分的差异，裁判就被称为因素；
 
 
水平：因素中的内容称为水平；例如，总共有3个裁判打分，则裁判因素的水平就是3；
 
 
观测因素：又称观测变量，指对影响总体的因素；
 
 
控制因素：又称控制变量，指影响观测变量的因素；
 
 
 
 
方差分析的3个假定基础
 
 
 
1.每组样本数据对应的总体应该服从正态分布；
 
 
正态检验主要有两种大的方法，一种是统计检验的方法：主要有基于峰度和偏度的SW检验、基于拟合度的KS、CVM、AD检验；另一种是用描述的方法：Q-Q图和P-P图、茎叶图，利用四分位数间距和标准差来判断。
 
 
2.每组样本数据对应的总体方差要相等，方差相等又叫方差齐性；
 
 
方差齐性的主要判断方法有：方差比、Hartley检验、Levene检验、BF法。
 
 
3.每组之间的值是相互独立的，就是A、B、C组的值不会相互影响。
 
 
 
 
单因素方差分析-F检验
 
 
方差分析把总的变异分为组间变异和组内变异：
 
 
组间变异:各组的均数与总均数间的差异；
 
 
组内变异：每组的每个测量值与该组均数的差异
 
 
 
 
 
离差平方和为：SS总=SS组间+SS组内
 
 
F统计量可表述为：F=MS组间/MS组内。
 
 
F值结论理解：通过计算得到的F值就可以查到P值，P值小于0.05，则拒绝原假设，认为其是有统计学意义的。
 
 
案例：
 
 
某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。
 
 
这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同，先从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一期该种饮料的销售量情况
 
 
 
 
表中20个数据各不相同，原因可能有两个方面：
 

 一、销售地点影响。相同颜色的饮料在不同超市的销售量不同。案例中五个超市地理位置相似、经营规模相仿，因此把不同地点的销售量差异做为随机因素影响。
  
 
二、饮料颜色不同的影响。在同一超市不同颜色的饮料销售量不同。即使营养成分、味道、价格、包装等方面因素都相同，销售量也不相同。
 
 
这种不同虽然有类似抽样随机性造成，但更可能是人们对不同颜色的偏爱造成的。
 
 
根据上述分析，把案例分析问题归结为：检验饮料颜色对销售量是否有影响。
 
 
 
分析过程
 
 
 
一、建立假设：原假设“颜色对销售量没有影响”
 
 
二、计算不同颜色饮料销售量水平均值
 
 
无色饮料销售量均值＝136.6÷5＝27.32箱
 
粉色饮料销售量均值＝147.8÷5＝29.56箱
 
桔黄色饮料销售量均值＝132.2÷5＝26.44箱
 
绿色饮料销售量均值＝157.3÷5＝31.46箱
 
 
三、计算各种颜色饮料销售量的总均值
 
 
各种颜色饮料销售量总的样本平均数＝(136.6+147.8+132.2+157.3)÷20＝28.695箱
 
 
四、计算离差平方和、F值
 
 
F值=组间方差/组内方差=76.8455/（4-1）/ 39.0840/（20-4）=10.486
 
 
五、算出P值，做出结论
  
 
P值=根据F值算出P值＝0.000466
 
 
 
结论解读：
 
 
P-值＝0.000466＜显著水平标准=0.05，假设不成立，说明饮料的颜色对销售量有显著影响。