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  • spark中的online均值/方差统计

    千次阅读 2017-07-16 18:07:25
    介绍online均值/方差统计算法在spark中的实现

    1. 统计量

    这个summarizer用于计算样本各维特征的均值,方差等常用统计量

    class MultivariateOnlineSummarizer extends MultivariateStatisticalSummary with Serializable {
    
      private var n = 0
      //均值
      private var currMean: Array[Double] = _
      //用于方差统计
      private var currM2n: Array[Double] = _
      //平方和
      private var currM2: Array[Double] = _
      //L1范数
      private var currL1: Array[Double] = _
      //样本计数
      private var totalCnt: Long = 0
      //所有样本weight的和
      private var totalWeightSum: Double = 0.0
      //weight平方和,用于计算方差
      private var weightSquareSum: Double = 0.0
      //每维特征非0的权重和
      private var weightSum: Array[Double] = _
      //非0计数
      private var nnz: Array[Long] = _
      //最大值
      private var currMax: Array[Double] = _
      //最小值
      private var currMin: Array[Double] = _

    2. online统计

    这里的统计项,除了均值和方差,其他的直接计算即可,
    Wikipedia给出了带权online统计算法,这里的算法支持分布式统计,各部分样本先合并,然后各个统计器再合并。样本统计

    EN=EN1+wNNi=0wi(xEN1)(1)SN=SN1+wN(xEN1)(xEN)(2)

    ENSNwN表示第N个样本的均值,方差,权重,x是样本值,具体实现在add函数中
    private[spark] def add(instance: Vector, weight: Double): this.type = {
      require(weight >= 0.0, s"sample weight, ${weight} has to be >= 0.0")
      if (weight == 0.0) return this
    
      if (n == 0) {
        require(instance.size > 0, s"Vector should have dimension larger than zero.")
        //输入特征向量维度
        n = instance.size
        //初次分配空间
        currMean = Array.ofDim[Double](n)
        currM2n = Array.ofDim[Double](n)
        currM2 = Array.ofDim[Double](n)
        currL1 = Array.ofDim[Double](n)
        weightSum = Array.ofDim[Double](n)
        nnz = Array.ofDim[Long](n)
        currMax = Array.fill[Double](n)(Double.MinValue)
        currMin = Array.fill[Double](n)(Double.MaxValue)
      }
    
      require(n == instance.size, s"Dimensions mismatch when adding new sample." +
        s" Expecting $n but got ${instance.size}.")
    
      val localCurrMean = currMean
      val localCurrM2n = currM2n
      val localCurrM2 = currM2
      val localCurrL1 = currL1
      val localWeightSum = weightSum
      val localNumNonzeros = nnz
      val localCurrMax = currMax
      val localCurrMin = currMin
      //迭代每一维特征
      instance.foreachActive { (index, value) =>
        //仅统计非0部分,特别在特征稀疏的时候,减少计算量
        if (value != 0.0) {
          //max,min
          if (localCurrMax(index) < value) {
            localCurrMax(index) = value
          }
          if (localCurrMin(index) > value) {
            localCurrMin(index) = value
          }
    
          val prevMean = localCurrMean(index)
          val diff = value - prevMean
          //式(1)
          localCurrMean(index) = prevMean + weight * diff / (localWeightSum(index) + weight)
          //式(2)
          localCurrM2n(index) += weight * (value - localCurrMean(index)) * diff
          //平方和
          localCurrM2(index) += weight * value * value
          //L1范数
          localCurrL1(index) += weight * math.abs(value)
    
          localWeightSum(index) += weight
          localNumNonzeros(index) += 1
        }
      }
    
      totalWeightSum += weight
      weightSquareSum += weight * weight
      totalCnt += 1
      this
    }

    两个统计器之间的合并,如果是带权重的,n就是权重和,A、B是两个待合并的统计器,x是合并后的

    nx=nA+nB(3)δ=EBEA(4)Ex=EA+δnBnx(5)Sx=SA+SB+δ2nAnBnx(6)

    因此spark的实现
    @Since("1.1.0")
    def merge(other: MultivariateOnlineSummarizer): this.type = {
      if (this.totalWeightSum != 0.0 && other.totalWeightSum != 0.0) {
        require(n == other.n, s"Dimensions mismatch when merging with another summarizer. " +
          s"Expecting $n but got ${other.n}.")
        totalCnt += other.totalCnt
        totalWeightSum += other.totalWeightSum
        weightSquareSum += other.weightSquareSum
        var i = 0
        while (i < n) {
          val thisNnz = weightSum(i)
          val otherNnz = other.weightSum(i)
          //式(3)
          val totalNnz = thisNnz + otherNnz
          val totalCnnz = nnz(i) + other.nnz(i)
          if (totalNnz != 0.0) {
            //式(4)
            val deltaMean = other.currMean(i) - currMean(i)
            // merge mean together, 式(5)
            currMean(i) += deltaMean * otherNnz / totalNnz
            // merge m2n together,式(6)
            currM2n(i) += other.currM2n(i) + deltaMean * deltaMean * thisNnz * otherNnz / totalNnz
            // merge m2 together
            currM2(i) += other.currM2(i)
            // merge l1 together
            currL1(i) += other.currL1(i)
            // merge max and min
            currMax(i) = math.max(currMax(i), other.currMax(i))
            currMin(i) = math.min(currMin(i), other.currMin(i))
          }
          weightSum(i) = totalNnz
          nnz(i) = totalCnnz
          i += 1
        }
      } else if (totalWeightSum == 0.0 && other.totalWeightSum != 0.0) {
        this.n = other.n
        this.currMean = other.currMean.clone()
        this.currM2n = other.currM2n.clone()
        this.currM2 = other.currM2.clone()
        this.currL1 = other.currL1.clone()
        this.totalCnt = other.totalCnt
        this.totalWeightSum = other.totalWeightSum
        this.weightSquareSum = other.weightSquareSum
        this.weightSum = other.weightSum.clone()
        this.nnz = other.nnz.clone()
        this.currMax = other.currMax.clone()
        this.currMin = other.currMin.clone()
      }
      this
    }

    3. 统计量计算

    从代码中可以看到,均值和方差的计算都只计算了非0部分的样本,在返回时,需要计算入为0的部分。这部分样本实际相当于方差和均值都是0的统计器,与非0部分merge。

    3.1. 均值

    还是套用上面merge的公式,NZ是非0部分,Z代表样本值为0的部分

    δ=ENZEZ=ENZ(7)Eall=EZ+δnNZnx=ENZNZwiallwi(8)

    对应代码实现
    override def mean: Vector = { 
      require(totalWeightSum > 0, s"Nothing has been added to this summarizer.")
    
      val realMean = Array.ofDim[Double](n)
      var i = 0 
      while (i < n) { 
        //式(8)
        realMean(i) = currMean(i) * (weightSum(i) / totalWeightSum)
        i += 1 
      } 
      Vectors.dense(realMean)
    }

    3.2. 方差

    同理,对于方差来说

    Sx=SZ+SNZ+δ2nAnBnx=SNZ+E2NZZwiNZwiallwi(9)

    又由Wikipedia可知,对于Reliability Weights来说,其方差

    d=wiw2i/wi(10)Sr=Sd(11)

    因此其代码实现
    override def variance: Vector = {
      require(totalWeightSum > 0, s"Nothing has been added to this summarizer.")
    
      val realVariance = Array.ofDim[Double](n)
      //式(10),d
      val denominator = totalWeightSum - (weightSquareSum / totalWeightSum)
    
      // Sample variance is computed, if the denominator is less than 0, the variance is just 0.
      if (denominator > 0.0) {
        val deltaMean = currMean
        var i = 0
        val len = currM2n.length
        while (i < len) {
          //分子式(9),整体式(11)
          realVariance(i) = (currM2n(i) + deltaMean(i) * deltaMean(i) * weightSum(i) *
            (totalWeightSum - weightSum(i)) / totalWeightSum) / denominator
          i += 1
        }
      }
      Vectors.dense(realVariance)
    }

    currM2n为online计算得到的S,deltaMean为均值,第二项就是上式中的第二项,为0的权重和使用所有权重减去非0的权重和得到的,再除以denominator。

    3.3. L2范数

    x2=ix2i

    我们统计时计算了平方和,因此只需要取平方根,对应源码
    override def normL2: Vector = {
      require(totalWeightSum > 0, s"Nothing has been added to this summarizer.")
    
      val realMagnitude = Array.ofDim[Double](n)
    
      var i = 0
      val len = currM2.length
      while (i < len) {
        realMagnitude(i) = math.sqrt(currM2(i))
        i += 1
      }
      Vectors.dense(realMagnitude)
    }

    3.3. L1范数

    x1=ixi

    源码
    override def normL1: Vector = { 
      require(totalWeightSum > 0, s"Nothing has been added to this summarizer.")
    
      Vectors.dense(currL1)
    }

    3.3. 其他统计项

    同时统计了样本数量count,各维特征非0个数(numNonzeros,Vector),max/min(Vector),直接返回对应值即可

    展开全文
  • 图像的均值方差统计

    2019-07-03 14:28:19
    # -*- coding: utf-8 -*- import os import cv2 import numpy as np def compute_mean(path): file_names = os.listdir(path) file_names.sort() per_image_Rmean = [] per_image_Gmean = [] ...
    # -*- coding: utf-8 -*-
    
    import os
    import cv2
    import numpy as np
    
    def compute_mean(path):
        file_names = os.listdir(path)
        file_names.sort()
    
        per_image_Rmean = []
        per_image_Gmean = []
        per_image_Bmean = []
    
        image_R_std = []
        image_G_std = []
        image_B_std = []
    	// 我这里是两个子文件夹
        for file in file_names:
            file_path = os.path.join(path, file)
            img_list = os.listdir(file_path)
            img_list.sort()
            for img_path in img_list:
                img_ = os.path.join(file_path, img_path)
                print(img_)
    
                img = cv2.imread(img_)
                per_image_Bmean.append(np.mean(img[:, :, 0] / 255.0))
                per_image_Gmean.append(np.mean(img[:, :, 1] / 255.0))
                per_image_Rmean.append(np.mean(img[:, :, 2] / 255.0))
    
                image_B_std.append(np.std(img[:, :, 0] / 255.0))
                image_G_std.append(np.std(img[:, :, 1] / 255.0))
                image_R_std.append(np.std(img[:, :, 2] / 255.0))
    
        R_mean = np.mean(per_image_Rmean)
        G_mean = np.mean(per_image_Gmean)
        B_mean = np.mean(per_image_Bmean)
    
        R_std = np.std(image_R_std)
        G_std = np.std(image_G_std)
        B_std = np.std(image_B_std)
        return R_mean, G_mean, B_mean, R_std, G_std, B_std
    
    def main():
        path = '/home/Disc_Z/youku/train/LR'
        R_mean, G_mean, B_mean, R_std, G_std, B_std = compute_mean(path)
        print('R_mean', R_mean)
        print('G_mean', G_mean)
        print('B_mean', B_mean)
    
        print('R_std', R_std)
        print('G_std', G_std)
        print('B_std', B_std)
    
    if __name__ == '__main__':
        main()
    
    展开全文
  • 做了几道概率统计题,整理分布~ 第一题 美国房地产协会报道了美国房屋价格的中位数和 5年期间房屋价格中位数的增长率(《华尔街日报》.2006 年 1 月 16 日)。利用下面房屋价格(单位:1000 美元)的样本数据...

    做了几道概率统计题,整理分布~

     

    第一题

    美国房地产协会报道了美国房屋价格的中位数和 5年期间房屋价格中位数的增长率(《华尔街日报》.2006 年 1 月 16 日)。利用下面房屋价格(单位:1000 美元)的样本数据回答下列问题

    995. 9  48. 8  175. 0  263. 5  298. 0  218. 9  209. 0

    628.3  111.0  212.9  92.6  2325.0  958.0  212.5

    a. 房屋价格样本中位数是多少?

    215.9

    b. 在 2001 年 1 月,美国房地产协会报道了美国房屋价格的中位数为 139 300 美元。5年期间房屋价格中位数增长率是多少?

    54.99%

    c. 样本数据的第一四分位数和第三四分位数是多少?

    Q1=183.5 ; Q3=545.725

    老师答案是 c.    175.0, 628.3

    d. 对房屋价格应用五数概括法。

    min     48.80000

    25%     183.50000

    50%     215.90000

    75%     545.72500

    max      2325.00000

    e. 数据中有异常值吗?

    异常值是指为大于Q3+1.5IQR或小于Q1−1.5IQR的值,区间为-359.84 ~ 1089.06。

    共有1个异常值: 2325.0,

    f. 房屋价格的样本均值是多少?为什么美国房地产协会在报道中更喜欢使用房屋价格的中位数?

    样本均值 482.10

    当存在异常值的时候,中位数可以提供比平均数更好的中心位置度量。

    平均数因受异常值的影响,经常会被夸大或大幅降低。

     

    第二题

    位于亚特兰大市哈茨菲尔德-杰克逊机场的书亭出售报刊(平装书、报纸和杂志)和零食(花生、椒盐卷饼和糖果等)。销售点终端 (POS) 中收集了消费者大量的购买信息。下表中给出了最近 600名顾客购买零食和报刊的数量。

     

    阅读材料

    0

    1

    2

    零食

    0

    0

    60

    18

    1

    240

    90

    30

    2

    120

    30

    12

     

    1. 随机选取一名消费者,令 x= 零食购买量,y=报刊购买量。根据表中数据,求 x 和 y 的经验离散型二元概率分布。求顾客购买 1 种报刊和 2种零食的概率。求顾客只购买 1 种零食的概率。概率 f(x=O, y=O) =0, 为什么?

    x,y的二元经验离散概率分布

    x=零食购买量

    y=报刊购买量

    合计

    0

    1

    2

    0

    0.00

    0.10

    0.03

    0.13

    1

    0.40

    0.15

    0.05

    0.60

    2

    0.20

    0.05

    0.02

    0.27

    合计

    0.60

    0.30

    0.10

    1.00

    顾客购买 1 种报刊和 2种零食的概率:

    f(x=2,y=1) = 0.05

    顾客只购买 1 种零食的概率:

         这里有歧义,如果是指只够买1种零食,不购买报刊,概率为0.40

         如果是指只够买1种零食,不考虑报刊购买量,概率为0.60

    概率 f(x=0, y=0) =0, 为什么?

    因为光顾书亭的顾客,没有人既不消费零食又不消费报刊,是没有发生的事件。

    2. 给出零食购买量的边际概率分布,并求其数学期望和标准差。

    零食购买量的边际概率分布:

    x=零食购买量

    0

    1

    2

    P

    0.13

    0.6

    0.27

    数学期望E(x)=0*0.13+1*0.6+2*0.27=1.14

    标准差 σx  = 0.6168

    3. 求报刊购买量的数学期望和标准差。

    数学期望E(y)=0.5     标准差 σy  = 0.6708

    4. 令 t= 零食和报刊购买量之和,给出 t 的概率分布,并求其数学期望和标准差。

    t 的概率分布:

    t=x+y

    1

    2

    3

    4

    p

    0.50

    0.38

    0.10

    0.02

    数学期望E(t)=1.64     标准差 σt  = 0.7419

    5. 计算 x 和 y 的协方差和相关系数。顾客购买零食数量和报刊数量之间的关系如何?

    x 和 y协方差:

    相关系数:

    相关系统为-0.338,表明零食数量和报刊数量之间是负相关的关系。

     

     

    第三题

    假设某大学入学考试的考试成绩服从正态分布.其均值为 450, 标准差为 100 。

    1. 考试分数在 400 -500 的人数占多大百分比?

    考试成绩x

    P(400≤x≤500)=P(-0.5≤z≤0.5)=2*0.6915-1=0.383

    所以,有38.3%的考试分数在400-500间。

    2. 假定某人得分 630, 比此人考试分数高的考生的百分比有多大?比此人考试分数低的考生的百分比有多大?

    P(x≥630)=1-P(x≤630)=1-P(z≤1.8)=1-0.9641=0.0359

    比此人考试分数630分高的考生的百分比3.59%

    比此人考试分数630分低的考生的百分比96.41%

    3. 如果某大学不招收分数在 480 分以下的学生,参加考试的学生中被该大学接受的百分比是多少?

    P(x≥480)=1-P(x≤480)=1-P(z≤0.3)=1-0.6179=0.3821

    参加考试的学生中被该大学接受的百分比是38.21%

     

    第四题

    美国 50 岁及以上年龄的人口达 9200 万,他们掌握了整个可支配收入的 50% (AARP B1dletin, 2008年 3 月)。据美国退休人员协会 (AARP) 估计,在这一年龄段食堂和外卖的年人均消费为 1837美元。假定样本由 80 名民众组成,并且样本标准差为 550 美元。

    1. 当置信度为 95 % 时,边际误差为多大?

    用x表示50 岁及以上年龄食堂和外卖的年人均消费,在总体标准差未知情况下,用样本标准差s来估计σ,边际误差和总体均值的区间估计服从t分布。

    边际误差为

    2. 求用于食堂和外卖上的消费额的总体均值的95 % 置信区间。

    95 % 置信区间: 1837 ± 122.4,即1714.6~1959.4

    3. 估计美国 50 岁及以上年龄的人用于食堂和外卖上的消费是多少?

    美国 50 岁及以上年龄的人口达 9200 万,在这一年龄段食堂和外卖的年人均消费为 1837美元,该群体总消费为9200 *1837万美元=1690.04亿美元

    4. 如果食堂和外卖上的消费额是右偏的,那么你预计消费额的 中位数是大于还是小于1837美元?

    右偏是指众数偏左,长尾偏右的图形,中位数肯定是小于1837。

     

    第五题

    美国个人投资者协会的在线折扣经纪商调查,是根据协会会员与折扣经纪商的经验进行的一项调查工作 。作为调查的一部分,要求 AAII 的会员对经纪商的执行速度能力作出评估,以及对电子交易提供一个整体满意度等级 。 可能的回答(分数)分别为无意见(O), 不满意 (1). 比较满意 (2), 满意 (3). 非常满意 (4) 。 根据每个受访者提供的分数,计算出加权平均数,得到每位经纪商的总分数 。 部分调查结果如下表所示 (AAII website, 2012 年 2 月 7 日) 。

    经纪公司

    速度

    满意度

    A

    3.4

    3.5

    B

    3.3

    3.4

    C

    3.4

    3.9

    D

    3.6

    3.7

    E

    3.2

    2.9

    F

    3.8

    2.8

    G

    3.8

    3.6

    H

    2.6

    2.6

    I

    2.7

    2.3

    J

    4.0

    4.0

    K

    2.5

    2.5

     

    a 以执行速度为自变量,绘制出这些数据的散点图 。

    import pandas as pd
    
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    df = pd.read_csv("survey.csv")
    
    plt.scatter(df["Speed"],df["Satisfaction"])

    b. 根据在 (a) 中作出的散点图,这两个变量之间显示出什么关系?

    两个变量之间总体呈现正相关线性关系,当执行速度越快时,电子交易整体满意度越高。

    c. 利用最小二乘法,建立估计的回归方程 。

    import statsmodels.api as sm
    
    from statsmodels.formula.api import ols
    
    survey_model = ols("Satisfaction ~Speed",data=df).fit()
    
    print(survey_model.summary())

    估计的回归方程为 Satisfaction = 0.2046 + 0.9077 * Speed  

     

    这题利用excel做出散点图,添加趋势线,趋势线选项中勾选显示公式,R2值

    d. 对估计的回归方程的斜率作出解释 。

    回归方程的斜率为0.9077,说明执行速度同交易满意度是呈正相关的。每增加一个单位的执行速度分数,交易满意度等级增加0.9077个单位。

    f. 假定 M 开发了新软件提高了它们执行速度的等级 。 如果新软件能将执行速度的等级从目前的 2.5 提高到其他 10 个被调查的经纪公司的平均执行速度等级,请你预测 M 的整体满意度等级是多少?

    df["Speed"].mean()

    10 个被调查的经纪公司的平均执行速度等级为3.3.

    根据上述估计的回归方程,预测M的整体满意度等级为:0.2046 + 0.9077 * 3.3 = 3.2。

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    总体方差的统计推断

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    一个总体方差的统计推断

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    (n1)s2/σ2的抽样分布:
    从正态总体中任意抽取一个容量为n的简单随机样本,则χ2=(n1)s2σ2的抽样分布服从自由度为n1χ2分布

    区间估计–χ2分布表

    一个总体方差的区间估计:(n1)s2χα/22σ2(n1)s2χ(1α/2)2
    统计检验量χ2值是基于自由度为n1χ2分布,1α为置信系数

    假设检验

    一个总体方差假设检验的检验统计量:χ2=(n1)s2σ02

    两个总体方差的统计推断 ——F分布表

    σ12=σ22时, s12/s22的抽样分布:
    当两个方差相等的正态总体中分别抽取容量为n1n2的两个独立的简单随机样本则:s12s22
    的抽样分布服从份子自由度为n11和分母自由度n21F分布。s12为取自总体1的容量为n1的随机样本的样本方差,s22为取自总体2的容量为n2的随机样本的样本方差

    总体方差σ12=σ22的假设检验的检验统计量
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