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  • 积分图求局部均值,方差,标准差

    千次阅读 2019-03-13 15:53:44
    积分图求局部均值,方差,标准差 局部 即图像在某个窗口内的值,例如求图像3×3窗口内的均值,方差和标准差 积分图 当前像素位置的值是之前像素值的总和。即在积分图像(Integral Image)上任意位置(x, y)处的积分值...

    积分图求局部均值,方差,标准差

    局部

    即图像在某个窗口内的值,例如求图像3×3窗口内的均值,方差和标准差

    积分图

    积分图最重要的作用是快速计算像素值累计,如果公式中包含累加,可以考虑使用积分图的方式。
    当前像素位置的值是之前像素值的总和。即在积分图像(Integral Image)上任意位置(x, y)处的积分值表示该点左上角所有像素之和,表示如下:
    在这里插入图片描述
    OpenCV中积分图的计算公式,即X,Y处的值是前X,Y个像素的和。
    在这里插入图片描述
    其目的是让局部均值,方差,标准差变的简单快速
    例如计算x,y处,x1,x2,y1,y2邻域内的像素总和,可以用积分图计算:
    在这里插入图片描述
    x1,x2,y1,y2都等于2,则表示,x,y处2像素(3×3)窗口内的像素值之和。

    局部均值

    每个像素3×3邻域的局部均值很容易利用积分图计算:

        //imageSum表示积分图
        //imageMean表示要求的均值图
        //3×3,HalfSize = 1
    	for (int r=0; r<width; ++r) {
    		for (int c=0; c<height; ++c) {
    			imageMean(r,c) = (
    				imageSum(r+HalfSize+1, c+HalfSize+1) -
    				imageSum(r+HalfSize+1, c-HalfSize  ) -
    				imageSum(r-HalfSize,   c+HalfSize+1) +
    				imageSum(r-HalfSize,   c-HalfSize  ) ) * (1.0/(double)n);
    		}
    	}
    

    为什么使用r+HalfSize+1而不是r+HalfSize因为在opencv中积分图是要比原图的长和宽都大1的。这样做是为了让(1,1)处的积分值,是(0,0)处像素值。(width,height)处的像素值是整张影像(width-1,height-1)的积分值。要表示整张图,那么积分图就要比原图的长和宽都大1。

    局部方差和标准差

    局部方差和标准差只相差一个平方根,这里推到标准差的使用积分图计算的公式:
    标准差定义如下(采用统计学中的定义,分母为:n-1)一般情况下使用n也是可以的
    在这里插入图片描述
    其中。
    在这里插入图片描述
    为了计算图像的局部标准差,首先设定局部区域的大小为
    在这里插入图片描述
    则局部区域的像素点个数
    在这里插入图片描述
    对标准差的公式进行化简:
    在这里插入图片描述
    得:
    在这里插入图片描述
    我们可以通过积分图快速得到
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    即最终公式:
    方差:
    在这里插入图片描述
    标准差:
    在这里插入图片描述

    带入公式即可通过积分图得到局部方差。


    参考
    https://blog.csdn.net/jia20003/article/details/52710751
    https://blog.csdn.net/u010839382/article/details/46386849

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  • [poj]2789:计算图像方差

    2013-05-15 13:22:52
    这里有2个技巧:1、利用积分图像 2、方差的公式变换 s^2=1/n[(x1^2+x2^2+...+xn^2)-nx'] 代码如下,但是不知道为什么总是WA,实在是找不到问题所在  #include #include #include #include #include using ...

    如果按照公式直接计算,会超时

    这里有2个技巧:1、利用积分图像 2、方差的公式变换 s^2=1/n[(x1^2+x2^2+...+xn^2)-nx']

    代码如下,但是不知道为什么总是WA,实在是找不到问题所在

     

    #include<stdio.h>
    #include<string.h>
    #include<vector>
    #include<algorithm>
    #include<math.h>
    
    using namespace std;
    
    double calVar(vector<vector<int> >& image,vector<vector<int> >& interalMap,vector<vector<int> >& squareInteralMap,int x,int y,int p,int N)
    {
    	int xbegin=max(1,x-p),xend=min(N,x+p);
    	int ybegin=max(1,y-p),yend=min(N,y+p);
    	int nums=(xend-xbegin+1)*(yend-ybegin+1);
    
    	double avg=(interalMap[xend][yend]-interalMap[xbegin-1][yend]-interalMap[xend][ybegin-1]+interalMap[xbegin-1][ybegin-1])*1.0/nums;
    	double squareavg=(squareInteralMap[xend][yend]-squareInteralMap[xbegin-1][yend]-squareInteralMap[xend][ybegin-1]+squareInteralMap[xbegin-1][ybegin-1])*1.0/nums;
    	double var=0.0;
    
    	var=squareavg-avg*avg;
    
    	return var;
    }
    
    int main()
    {
    	int n;
    	scanf("%d",&n);
    	vector<vector<int> > image(n+1,vector<int>(n+1));
    	vector<vector<int> > interalMap(n+1,vector<int>(n+1,0));
    	vector<vector<int> > squareInteralMap(n+1,vector<int>(n+1,0));
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    		for(int j=1;j<=n;j++)
    			scanf("%d",&image[i][j]);
    
    	interalMap[1][1]=image[1][1];
    	for(int i=2;i<=n;i++)
    	{
    		interalMap[1][i]=interalMap[1][i-1]+image[1][i];
    		interalMap[i][1]=interalMap[i-1][1]+image[i][1];
    	}
    	for(int i=2;i<=n;i++)
    		for(int j=2;j<=n;j++)
    			interalMap[i][j]=interalMap[i-1][j]+interalMap[i][j-1]-interalMap[i-1][j-1]+image[i][j];
    
    	squareInteralMap[1][1]=image[1][1]*image[1][1];
    	for(int i=2;i<=n;i++)
    	{
    		squareInteralMap[1][i]=squareInteralMap[1][i-1]+image[1][i]*image[1][i];
    		squareInteralMap[i][1]=squareInteralMap[i-1][1]+image[i][1]*image[i][1];
    	}
    	for(int i=2;i<=n;i++)
    		for(int j=2;j<=n;j++)
    			squareInteralMap[i][j]=squareInteralMap[i-1][j]+squareInteralMap[i][j-1]-squareInteralMap[i-1][j-1]+image[i][j]*image[i][j];
    	
    	int p;
    	while(scanf("%d",&p)&&p)
    	{
    		double var=0.0;
    
    		for(int i=1;i<=n;i++)
    			for(int j=1;j<=n;j++)
    				var+=calVar(image,interalMap,squareInteralMap,i,j,p,n);
    		
    		printf("%d\n",(int)floor(var));
    	}
    	return 0;
    }

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  • 积分计算ZNCC

    2019-03-13 22:38:08
    积分计算ZNCC 公式推导: 关于方差积分计算见https://blog.csdn.net/fb_help/article/details/88534427

    积分图计算ZNCC

    公式

    在这里插入图片描述
    其中∑xy,σ和μ都可以使用积分图计算。所以ZNCC也可以用积分图计算

    公式推导:

    在这里插入图片描述
    关于方差的积分图计算见积分图计算均值,方差,标准差

    展开全文
  • 方差 偏度 峰度 积分 求解定积分的一般数学描述式 但是由于原函数一般比较难求,用计算机处理起来可以用离散数值方法来计算近似 trapzoid方法 simpson方法 其他还有两种分别是co...

    用C++实现几个简单的数值分析计算,以便深入理解计算机在求解代数问题的过程

    原理

    以下主要针对普通实数,以及一元代数

    统计

    算数平均值

    \mu=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}

    几何平均值

    \eta=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_{i}}

    方差

    \sigma ^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left (x_i - \mu \right )^2

    偏度

    skewness=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left (\frac{x_i-\mu}{\sigma} \right ) ^3

    峰度

    kurtosis=\left ( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left (\frac{x_i-\mu}{\sigma} \right )^4 \right )-3

    积分

    求解定积分的一般数学描述式 

    \int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx=F(b)-F(a)

    但是由于原函数一般比较难求,用计算机处理起来可以用离散数值方法来计算近似

    trapzoid方法

    \int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx\approx \frac{b-a}{n}\left [\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{i=2}^{n-1}f(x_i) \right ]

    simpson方法

    \int_{a}^{b}f\left ( x \right )dx\approx\frac{b-a}{6n}\left [ f(a)+4f(\frac{a+b}{2}) +f(b) \right ]

    其他还有两种分别是cotes积分方法和romberg积分方法,代数关系较复杂

    微分

    计算机求微分有多种方法,一般包括

    • 手动求解法(Manual Differentiation)
    • 数值微分法(Numerical Differentiation)
    • 符号微分法(Symbolic Differentiation)
    • 自动微分法(Automatic Differentiation)

    其中,手动求解对于复杂函数不太现实,符号微分和自动微分属于高阶内容,所以只用了易于理解和实现的数值微分法

    数值微分法

    f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

    蒙特卡罗

    蒙特卡罗(Monte Carlo)方法也称统计模拟方法,是按抽样调查法求取统计值来推定未知特性量的计算方法。
    又称随机抽样或统计试验方法。当所求解的问题是某种事件出现的概率,或某随机变量的期望值时,可以通过某种“试验”方法求解。

    monte carlo可以用来应用到很多领域,比如求积分,求圆周率

    π值的计算

    构造一个单位正方形和一个单位圆的1/4,往整个区域内随机投入点,根据点到原点的距离判断点是落在1/4的圆内还是在圆外,从而根据落在两个不同区域的点的数目,求出两个落在两个区域点数量的比值,这个比值实际上近似于点落在圆内的概率,也就是两个区域面积之比,根据等式关系从而求出圆周率π

    p=\frac{N_{inside}}{N_{outside}}=\frac{\pi r^2}{4r^2}=\frac{\pi}{4}

     

    代码

    #include <iostream>
    #include <cmath>
    #include <random>
    
    // --- statistics --- //
    template <typename T>
    double stats_mean(T data[], int n)
    {
        if (n <= 0)
        {
            std::cerr << "wrong parameter!" << std::endl;
            return -1;
        }
    
        double mean = 0.0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            mean += data[i];
        mean /= n;
    
        return mean;
    }
    
    template <typename T>
    double stats_gmean(T data[], int n)
    {
        if (n <= 0)
        {
            std::cerr << "wrong parameter!" << std::endl;
            return -1;
        }
    
        double gmean = 1.0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            gmean *= data[i];
    
        if (gmean < 0)
        {
            std::cerr << "wrong parameter!" << std::endl;
            return -1;
        }
    
        gmean = pow(gmean, 1 / double(n));
    
        return gmean;
    }
    
    template <typename T>
    double stats_variance(T data[], int n)
    {
        if (n <= 0)
        {
            std::cerr << "wrong parameter!" << std::endl;
            return -1;
        }
    
        double mean = 0.0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            mean += data[i];
        mean /= n;
    
        double variance = 0.0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            variance += pow(data[i] - mean, 2);
        variance /= n;
    
        return variance;
    }
    
    template <typename T>
    double stats_skewness(T data[], int n)
    {
        if (n <= 0)
        {
            std::cerr << "wrong parameter!" << std::endl;
            return -1;
        }
    
        double mean = 0.0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            mean += data[i];
        mean /= n;
    
        double variance = 0.0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            variance += pow(data[i] - mean, 2);
        variance /= n;
        double sigma = sqrt(variance);
    
        double skewness = 0.0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            skewness += pow((data[i] - mean) / sigma, 3);
        skewness /= n;
    
        return skewness;
    }
    
    template <typename T>
    double stats_kurtosis(T data[], int n)
    {
        if (n <= 0)
        {
            std::cerr << "wrong parameter!" << std::endl;
            return -1;
        }
    
        double mean = 0.0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            mean += data[i];
        mean /= n;
    
        double variance = 0.0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            variance += pow(data[i] - mean, 2);
        variance /= n;
        double sigma = sqrt(variance);
    
        double kurtosis = 0.0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            kurtosis += pow((data[i] - mean) / sigma, 4);
        kurtosis /= n;
        kurtosis -= 3;
    
        return kurtosis;
    }
    
    // --- quadrature --- //
    template <typename T>
    double quadrature_trapezoid(T(*func)(T), T a, T b, int n = 1000)
    {
        if (n <= 0 || a >= b)
        {
            std::cerr << "wrong parameter!" << std::endl;
            return -1;
        }
    
        double res = 0.0;
        double step = double(b - a) / n;
        T x = a;
        for (int i = 1; i < n; i++)
            res += func(x + i * step);
        res += (func(a) + func(b)) / 2.0;
    
        res *= step;
    
        return res;
    }
    
    template <typename T>
    double quadrature_simpson(T(*func)(T), T a, T b, int n = 1000)
    {
        if (n <= 0 || a >= b)
        {
            std::cerr << "wrong parameter!" << std::endl;
            return -1;
        }
    
        double step = double(b - a) / n;
        double res1 = 0.0;
        double x = a;
        for (int i = 1; i < n; i++)
            res1 += func(x + i * step);
        res1 *= 2;
    
        double res2 = 0.0;
        x = a + step / 2;
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            res2 += func(x);
            x += step;
        }
    
        res2 *= 4;
    
        double res = res1 + res2 + func(a) + func(b);
        res *= step / 6;
    
        return res;
    }
    
    template <typename T>
    double quadrature_cotes(T(*func)(T), T a, T b, int n = 1000)
    {
        if (n <= 0 || a >= b)
        {
            std::cerr << "wrong parameter!" << std::endl;
            return -1;
        }
    
        double step = double(b - a) / n;
        T x;
    
        double res1 = 0.0;
        x = a;
        for (int i = 1; i < n; i++)
        {
            x += step;
            res1 += func(x);
        }
        res1 *= 14;
    
        double res2 = 0.0;
        x = a + step / 2;
        double res3 = 0.0;
        double x1 = a + step / 4;
        double x2 = a + step / 4 * 3;
    
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            res2 += func(x);
            res3 += func(x1) + func(x2);
            x += step;
            x1 += step;
            x2 += step;
        }
        res2 *= 12;
        res3 *= 32;
    
        double res4 = (func(a) + func(b)) * 7;
    
        double res = res1 + res2 + res3 + res4;
        res *= step / 90;
    
        return res;
    }
    
    template <typename T>
    T quadrature_romberg(T(*func)(T), T a, T b, int k = 4)
    {
        if (k <= 0 || a >= b)
        {
            std::cerr << "wrong parameter!" << std::endl;
            return -1;
        }
    
        int size = k + 1;
    
        double* matrix = new T[size * size];
        for (int i = 0; i < size * size; i++)
            matrix[i] = 0.0;
    
        double step = b - a;
        matrix[0] = quadrature_trapezoid(func, a, b, 1);
    
        for (int i = 1; i < size; i++)
        {
            int n = 0x01 << (i - 1);
            for (int j = 0; j < n; j++)
                matrix[i * size + 0] += func(a + (j + 0.5) * step);
            matrix[i * size + 0] *= step;
            matrix[i * size + 0] += matrix[(i - 1) * size];
            matrix[i * size + 0] /= 2.0;
            step /= 2.0;
        }
    
        double temp = 1.0;
        double factor1, factor2;
        for (int j = 1; j < size; j++)
        {
            temp *= 4.0;
            factor1 = temp / (temp - 1);
            factor2 = 1 / (temp - 1);
            for (int i = j; i < size; i++)
            {
                matrix[i * size + j] = factor1 * matrix[i * size + j - 1] - factor2 * matrix[(i - 1) * size + j - 1];
            }
        }
    
        double res = matrix[k * size + k];
        delete[] matrix;
    
        return res;
    }
    
    // --- differentiate --- //
    template <typename T>
    double differentiate(T(*func)(T), T x, double delta = 1e-8)
    {
        if (delta <= 0)
        {
            std::cerr << "wrong parameter!" << std::endl;
            return -1;
        }
    
        T y_pre = func(x - delta);
        T y = func(x);
        T y_post = func(x + delta);
    
        double diff_backward = (y - y_pre) / delta;
        double diff_forward = (y_post - y) / delta;
    
        double diff = (diff_backward + diff_forward) / 2.0;
    
        return diff;
    }
    
    // example algebra function
    template <typename T>
    double func1(T x)
    {
        return x + 2 * x * x + 5;
    }
    
    // --- monte carlo --- //
    double montecarlo_pi(int epochs = 100000)
    {
        double r = 1.0;
    
        std::default_random_engine random_engine;
        std::uniform_real_distribution<double> distribution(0, 1);
    
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < epochs; i++)
        {
            double x = distribution(random_engine);
            double y = distribution(random_engine);
            double distance = sqrt(x * x + y * y);
            if (distance <= r)
                count++;
        }
    
        double PI = 4 * (double)count / epochs;
    
        return PI;
    }
    
    
    
    int main(int argc, char* argv[])
    {
        std::cout << "==== statistic test ====" << std::endl;
        double data[] = { 3.7, 6.5, 4.3, 2.1, 2.3, 5.8, 5.9, 7.2, 8.6 };
        int n = 9;
        std::cout << "data: ";
        for (auto num : data)
            std::cout << num << ' ';
        std::cout << std::endl;
    
        std::cout << "stats_mean result: " << stats_mean(data, n) << std::endl;
        std::cout << "stats_gmean result: " << stats_gmean(data, n) << std::endl;
        std::cout << "stats_variance result: " << stats_variance(data, n) << std::endl;
        std::cout << "stats_skewness result: " << stats_skewness(data, n) << std::endl;
        std::cout << "stats_kurtosis result: " << stats_kurtosis(data, n) << std::endl;
    
        std::cout << "==== quadrature test ====" << std::endl;
        std::cout << "f(x) = x + 2x^2 + 5" << std::endl;
    
        double a = 1;
        double b = 7;
        std::cout << "a = " << a << " b = " << b << std::endl;
    
        std::cout << "quadrature_manual result: " << 1 / 2.0 * b * b + 2 / 3.0 * b * b * b + 5 * b
            - (1 / 2.0 * a * a + 2 / 3.0 * a * a * a + 5 * a) << std::endl;
        std::cout << "quadrature_trapezoid result: " << quadrature_trapezoid(func1, a, b) << std::endl;
        std::cout << "quadrature_simpson result: " << quadrature_simpson(func1, a, b) << std::endl;
        std::cout << "quadrature_cotes result: " << quadrature_cotes(func1, a, b) << std::endl;
        std::cout << "quadrature_romberg result: " << quadrature_romberg(func1, a, b) << std::endl;
    
        std::cout << "==== differentiate test ====" << std::endl;
        std::cout << "f(x) = x + 2x^2 + 5" << std::endl;
        double x = 3.0;
        std::cout << "x = " << x << std::endl;
    
        std::cout << "differentiate label result: " << 1 + 4 * x << std::endl;
        std::cout << "differentiate test result: " << differentiate(func1, x) << std::endl;
    
        std::cout << "==== monte carlo test ====" << std::endl;
        std::cout << "mathmatic accurate PI: " << 3.1415926 << std::endl;
        std::cout << "montecarlo computed PI: " << montecarlo_pi() << std::endl;
    
        return 0;
    }
    

    输出结果

    ==== statistic test ====
    data: 3.7 6.5 4.3 2.1 2.3 5.8 5.9 7.2 8.6 
    stats_mean result: 5.15556
    stats_gmean result: 4.67094
    stats_variance result: 4.35136
    stats_skewness result: -0.0367426
    stats_kurtosis result: -1.11829
    ==== quadrature test ====
    f(x) = x + 2x^2 + 5
    a = 1 b = 7
    quadrature_manual result: 282
    quadrature_trapezoid result: 282
    quadrature_simpson result: 282
    quadrature_cotes result: 282
    quadrature_romberg result: 282
    ==== differentiate test ====
    f(x) = x + 2x^2 + 5
    x = 3
    differentiate label result: 13
    differentiate test result: 13
    ==== monte carlo test ====
    mathmatic accurate PI: 3.14159
    montecarlo computed PI: 3.14664

    从结果可以看出

    • 几种定积分计算的求解精度差不多
    • 微分计算的精度还可以
    • 蒙特卡洛模拟求的圆周率随着模拟的次数多增大而越来越精确

    当然这里只是简单的用C++实现了几个基本数值算法,如果要在学术或者工程实践中做大量的准确数值计算,还是推荐用开源和稳定的数值计算库

    • c++ 用eigen和gsl
    • python用numpy和scipy

     

     

     

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方差计算积分