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  • 向量叉乘 - 判断两条线段是否相交

    千次阅读 2020-01-19 10:59:58
    向量叉乘(行列式计算):向量a(x1,y1),向量b(x2,y2): ...(顺逆时针是指两向量平移至起点相连,从某个方向旋转到另一个向量小于180度)。如下图: 在上图中,OA×OB = 2 > 0, OB在OA...

    向量叉乘(行列式计算):向量a(x1,y1),向量b(x2,y2):
    在这里插入图片描述

    首先我们要明白一个定理:向量a×向量b(×为向量叉乘),若结果小于0,表示向量b在向量a的顺时针方向;若结果大于0,表示向量b在向量a的逆时针方向;若等于0,表示向量a与向量b平行。(顺逆时针是指两向量平移至起点相连,从某个方向旋转到另一个向量小于180度)。如下图:
    在这里插入图片描述

    在上图中,OA×OB = 2 > 0, OB在OA的逆时针方向;OA×OC = -2 < 0,OC在OA的顺势针方向。即叉乘结果大于0,后一个在前一个的逆时针方向;小于零,后一个在前一个的顺时针方向。
    在这里插入图片描述

    那如何来判断两线段是否相交呢?
    答: https://www.cnblogs.com/tuyang1129/p/9390376.html

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  • 问题:给出两条线段,问两线段是否相交? 向量叉乘(行列式计算):向量a(x1,y1),向量b(x2,y2): 首先我们要明白一个定理:向量a×向量b(×为向量叉乘),若结果小于0,表示向量b在向量a的顺时针...

     

    问题:给出两条线段,问两线段是否相交?

     

    向量叉乘(行列式计算):向量a(x1,y1),向量b(x2,y2):

     

    首先我们要明白一个定理:向量a×向量b(×为向量叉乘),若结果小于0,表示向量b在向量a的顺时针方向;若结果大于0,表示向量b在向量a的逆时针方向;若等于0,表示向量a与向量b平行。(顺逆时针是指两向量平移至起点相连,从某个方向旋转到另一个向量小于180度)。如下图:

    在上图中,OA×OB = 2 > 0, OB在OA的逆时针方向;OA×OC = -2 < 0,OC在OA的顺势针方向。即叉乘结果大于0,后一个在前一个的逆时针方向;小于零,后一个在前一个的顺时针方向。

     

    那如何来判断两线段是否相交呢?

    假设有两条线段AB,CD,若AB,CD相交,我们可以确定:

    1.线段AB与CD所在的直线相交,即点A和点B分别在直线CD的两边;

    2.线段CD与AB所在的直线相交,即点C和点D分别在直线AB的两边;

    上面两个条件同时满足是两线段相交的充要条件,所以我们只需要证明点A和点B分别在直线CD的两边,点C和点D分别在直线AB的两边,这样便可以证明线段AB与CD相交了。

     

    那判断两线段是否相交与一开始提到的向量叉乘定理有什么关系呢?有,我们可以通过叉乘来证明上面说的充要条件。看下图:

     

    在上图中,线段AB与线段CD相交,于是我们可以得到两个向量AC,AD,C和D分别在AB的两边,向量AC在向量AB的逆势针方向,AB×AC > 0;向量AD在向量AB的顺势针方向,AB×AD < 0,两叉乘结果异号。

    这样,方法就出来了:如果线段CD的两个端点C和D,与另一条线段的一个端点(A或B,只能是其中一个)连成的向量,与向量AB做叉乘,若结果异号,表示C和D分别在直线AB的两边,若结果同号,则表示CD两点都在AB的一边,则肯定不相交。

    当然,不能只证明C,D在直线AB的两边,还要用相同的方法证明A,B在直线CD的两边,两者同时满足才是线段相交的充要条件。

     

    不过,线段相交还有一些特殊情况:

    1.只有1点相交,如下图:

     

    上图中,线段AB与CD相交于C点,按照之前介绍的方法,我们可以连成两向量AD和AC,这时候,我们发现,AC与AB共线,AB×AC = 0;而AB×AD < 0;两者并不异号,可实际上仍然相交。所以当出现两叉乘结果中,有一方为0,也可以看成点CD在直线AB的两边。

     

    2.两条线段重合,如下图:

     

    在上图中,线段AB与线段CD重合,重合部分为CB,这种重合的情况要特殊判断:

    首先,我们给没条线段的两个端点排序,大小判断方法如下:横坐标大的点更大,横坐标相同,纵坐标大的点更大。

    排好序后,每条线段中,小的点当起点,大的当终点。我们计算向量AB×向量CD,若结果为0,表示线段AB平行CD,平行才有了重合的可能;但平行也分共线和不共线,只有共线才有可能重合,看下图:

    上图中,第一种情况不共线,第二种情况共线。那如何来判断是否共线呢?

    我们可以在两条线段中各取一点,用这两点组成的向量与其中一条线段进行叉乘,结果若为0,就表示两线段共线,如下图:

    我们取向量BC,若BC×CD = 0,表示两点共线,即是第二种情况,否则就是第一种情况。第一种情况肯定不相交。猴子为什么不喜欢平行线?因为他们没有相交。。。(尬)

    然然然然然而,即使他们共线,却还是不一定重合,就如上图中第二种情况。这时候,之前给点排序的妙处就体现出来了:

    若一条线段AB与另一条线段CD共线,且线段AB的起点小于等于线段CD的起点,但线段AB的终点(注意是终点)大于等于线段CD的起点(注意是起点),或者交换一下顺序,CD的起点小于AB的起点......只要满足其中一个,就表示有重合部分。

     

    下面来道例题:51nod1264(模板)

    代码:

     

    #include<iostream> 
    #include<cstring>
    #include<cstdio>
    #include<string>
    #include<cmath>
    #include<algorithm>
    #include<stack>
    #include<climits>
    #include<queue>
    #define eps 1e-7
    #define ll long long
    #define inf 0x3f3f3f3f
    #define pi 3.141592653589793238462643383279
    using namespace std;
    struct node{
        double x,y;
    }; 
    
    double cmp(node a,node b) //给线段的坐标排序 
    {
        if(a.x != b.x)
            return a.x < b.x;
        else
            return a.y < b.y;
    }
    
    double compute(double x1,double y1,double x2,double y2) //计算叉乘的结果 
    {
        return x1*y2 - y1*x2;
    }
    
    int compare(node a,node b) //比较坐标的大小  
    {
        if(a.x < b.x || a.x == b.x && a.y < b.y)
            return -1;
        else if(a.x == b.x && a.y == b.y)
            return 0;
        else return 1;
    }
    
    int main()
    {
        int t;
        node po[4];
        cin>>t;
        while(t--)
        {
            for(int i=0; i<4; ++i)
                scanf("%lf%lf",&po[i].x,&po[i].y);
            
            sort(po,po+2,cmp); //给第一条线段的坐标排序 
            sort(po+2,po+4,cmp); //给第二条排序 
            /*for(int i=0; i<4; ++i)
                cout<<po[i].x<<' '<<po[i].y<<endl;*/
            
            int flag;
            if(!compare(po[0],po[2]) || !compare(po[0],po[3]) || !compare(po[1],po[2]) || !compare(po[1],po[3])) //若有某一点重合,则肯定相交 
                flag = 1;
            
            else if(compute(po[0].x-po[1].x , po[0].y-po[1].y , po[2].x-po[3].x , po[2].y-po[3].y) ==0 ) //若两线段平行 
            {
                if(compute(po[0].x-po[1].x , po[0].y-po[1].y , po[0].x-po[3].x , po[0].y-po[3].y) == 0) //若两线段共线 
                {
                    if(compare(po[0],po[2]) <= 0 && compare(po[1],po[2]) >= 0) //第一条起点小于第二条起点,第一条终点大于第二条起点 
                        flag = 1;
                    else if(compare(po[2],po[0]) >= 0 && compare(po[3],po[0]) <= 0) //第二条起点小于第一条起点,第二条终点大于第一条起点 
                        flag = 1;
                    else flag = 0;
                }
                else flag = 0;
            }
            
            else if(compute(po[0].x-po[1].x , po[0].y-po[1].y , po[2].x-po[3].x , po[2].y-po[3].y) !=0 ) //若不平行 
            {
                double num1,num2,num3,num4;
                num1 = compute(po[0].x-po[1].x , po[0].y-po[1].y , po[0].x-po[2].x , po[0].y-po[2].y); //计算第一条的两个端点 
                num2 = compute(po[0].x-po[1].x , po[0].y-po[1].y , po[0].x-po[3].x , po[0].y-po[3].y); //在第二条线段的两边 
                num3 = compute(po[0].x-po[2].x , po[0].y-po[2].y , po[2].x-po[3].x , po[2].y-po[3].y); //计算第二条的两个端点 
                num4 = compute(po[1].x-po[2].x , po[1].y-po[2].y , po[2].x-po[3].x , po[2].y-po[3].y); //在第一条线段的两边 
                //cout<<num1<<' '<<num2<<' '<<num3<<' '<<num4<<endl;
                if(num1*num2 < 0 && num3*num4 <= 0 || num1*num2 <= 0 && num3*num4 < 0) //等于0表示成180度角
                    flag = 1;
                else
                    flag = 0;
            }
            
            else flag = 0;
            if(flag) cout<<"YES\n";
            else cout<<"NO\n";
            
        }
    }
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    参考博客:http://blog.sina.com.cn/s/blog_735b07180100uivu.html

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/tuyang1129/p/9390376.html

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  • 问题:给出两条线段,问两线段是否相交? 向量叉乘(行列式计算):向量a(x1,y1),向量b(x2,y2): 首先我们要明白一个定理:向量a×向量b(×为向量叉乘),若结果小于0,表示向量b在向量a的顺时针方向...

    原文:https://www.cnblogs.com/tuyang1129/p/9390376.html

    实现:https://blog.csdn.net/yegshun/article/details/78273471

     

    问题给出两条线段,问两线段是否相交?

     

    向量叉乘(行列式计算)向量a(x1,y1),向量b(x2,y2):

    首先我们要明白一个定理:向量a×向量b(×为向量叉乘),若结果小于0,表示向量b在向量a的顺时针方向;若结果大于0,表示向量b在向量a的逆时针方向;若等于0,表示向量a与向量b平行。(顺逆时针是指两向量平移至起点相连,从某个方向旋转到另一个向量小于180度)。如下图:

    在上图中,OA×OB = 2 > 0, OB在OA的逆时针方向;OA×OC = -2 < 0,OC在OA的顺势针方向。即叉乘结果大于0,后一个在前一个的逆时针方向;小于零,后一个在前一个的顺时针方向。

     

    那如何来判断两线段是否相交呢?

    假设有两条线段AB,CD,若AB,CD相交,我们可以确定:

    1.线段AB与CD所在的直线相交,即点A和点B分别在直线CD的两边;

    2.线段CD与AB所在的直线相交,即点C和点D分别在直线AB的两边;

    上面两个条件同时满足是两线段相交的充要条件,所以我们只需要证明点A和点B分别在直线CD的两边,点C和点D分别在直线AB的两边,这样便可以证明线段AB与CD相交了。

     

    那判断两线段是否相交与一开始提到的向量叉乘定理有什么关系呢?有,我们可以通过叉乘来证明上面说的充要条件。看下图:

    在上图中,线段AB与线段CD相交,于是我们可以得到两个向量AC,AD,C和D分别在AB的两边,向量AC在向量AB的逆势针方向,AB×AC > 0;向量AD在向量AB的顺势针方向,AB×AD < 0,两叉乘结果异号。

    这样,方法就出来了:如果线段CD的两个端点C和D,与另一条线段的一个端点(A或B,只能是其中一个)连成的向量,与向量AB做叉乘,若结果异号,表示C和D分别在直线AB的两边,若结果同号,则表示CD两点都在AB的一边,则肯定不相交

    当然,不能只证明C,D在直线AB的两边,还要用相同的方法证明A,B在直线CD的两边,两者同时满足才是线段相交的充要条件。

     

    不过,线段相交还有一些特殊情况:

    1.只有1点相交,如下图:

    上图中,线段AB与CD相交于C点,按照之前介绍的方法,我们可以连成两向量AD和AC,这时候,我们发现,AC与AB共线,AB×AC = 0;而AB×AD < 0;两者并不异号,可实际上仍然相交。所以当出现两叉乘结果中,有一方为0,也可以看成点CD在直线AB的两边。

     

    2.两条线段重合,如下图:

    在上图中,线段AB与线段CD重合,重合部分为CB,这种重合的情况要特殊判断:

    首先,我们给没条线段的两个端点排序,大小判断方法如下:横坐标大的点更大,横坐标相同,纵坐标大的点更大。

    排好序后,每条线段中,小的点当起点,大的当终点。我们计算向量AB×向量CD,若结果为0,表示线段AB平行CD,平行才有了重合的可能;但平行也分共线和不共线,只有共线才有可能重合,看下图:

    上图中,第一种情况不共线,第二种情况共线。那如何来判断是否共线呢?

    我们可以在两条线段中各取一点,用这两点组成的向量与其中一条线段进行叉乘,结果若为0,就表示两线段共线,如下图:

    我们取向量BC,若BC×CD = 0,表示两点共线,即是第二种情况,否则就是第一种情况。第一种情况肯定不相交。猴子为什么不喜欢平行线?因为他们没有相交。。。(尬)

    然然然然然而,即使他们共线,却还是不一定重合,就如上图中第二种情况。这时候,之前给点排序的妙处就体现出来了:

    若一条线段AB与另一条线段CD共线,且线段AB的起点小于等于线段CD的起点,但线段AB的终点(注意是终点)大于等于线段CD的起点(注意是起点),或者交换一下顺序,CD的起点小于AB的起点......只要满足其中一个,就表示有重合部分

     

    最上面的实现的链接中,算法3的原理(http://dec3.jlu.edu.cn/webcourse/t000096/graphics/chapter5/01_1.html):

    但是根据实际测试有问题,

    两个测试用例:

    一、A=(1,1),B=(4,2),C=(2,3),D=(2,4)<==>delta=3,namenda=0.6,miu=0.3

    而实际上AB与CD是不相交的

    二、A=(1,1),B=(4,2),C=(2,3),D=(3,4)<==>delta=2,namenda=0.5,miu=0.5

    一样不相交

    先放弃这个算法。

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  • 问题:给出两条线段,问两线段是否相交?向量叉乘(行列式计算):向量a(x1,y1),向量b(x2,y2):首先我们要明白一个定理:向量a×向量b(×为向量叉乘),若结果小于0,表示向量b在向量a的顺时针方向;若结果大于0,...

    问题:给出两条线段,问两线段是否相交?

    向量叉乘(行列式计算):向量a(x1,y1),向量b(x2,y2):

    首先我们要明白一个定理:向量a×向量b(×为向量叉乘),若结果小于0,表示向量b在向量a的顺时针方向;若结果大于0,表示向量b在向量a的逆时针方向;若等于0,表示向量a与向量b平行。(顺逆时针是指两向量平移至起点相连,从某个方向旋转到另一个向量小于180度)。如下图:

    在上图中,OA×OB = 2 > 0, OB在OA的逆时针方向;OA×OC = -2 < 0,OC在OA的顺势针方向。即叉乘结果大于0,后一个在前一个的逆时针方向;小于零,后一个在前一个的顺时针方向。

    那如何来判断两线段是否相交呢?

    假设有两条线段AB,CD,若AB,CD相交,我们可以确定:

    1.线段AB与CD所在的直线相交,即点A和点B分别在直线CD的两边;

    2.线段CD与AB所在的直线相交,即点C和点D分别在直线AB的两边;

    上面两个条件同时满足是两线段相交的充要条件,所以我们只需要证明点A和点B分别在直线CD的两边,点C和点D分别在直线AB的两边,这样便可以证明线段AB与CD相交了。

    那判断两线段是否相交与一开始提到的向量叉乘定理有什么关系呢?有,我们可以通过叉乘来证明上面说的充要条件。看下图:

    在上图中,线段AB与线段CD相交,于是我们可以得到两个向量AC,AD,C和D分别在AB的两边,向量AC在向量AB的逆势针方向,AB×AC > 0;向量AD在向量AB的顺势针方向,AB×AD < 0,两叉乘结果异号。

    这样,方法就出来了:如果线段CD的两个端点C和D,与另一条线段的一个端点(A或B,只能是其中一个)连成的向量,与向量AB做叉乘,若结果异号,表示C和D分别在直线AB的两边,若结果同号,则表示CD两点都在AB的一边,则肯定不相交。

    当然,不能只证明C,D在直线AB的两边,还要用相同的方法证明A,B在直线CD的两边,两者同时满足才是线段相交的充要条件。

    不过,线段相交还有一些特殊情况:

    1.只有1点相交,如下图:

    上图中,线段AB与CD相交于C点,按照之前介绍的方法,我们可以连成两向量AD和AC,这时候,我们发现,AC与AB共线,AB×AC = 0;而AB×AD < 0;两者并不异号,可实际上仍然相交。所以当出现两叉乘结果中,有一方为0,也可以看成点CD在直线AB的两边。

    2.两条线段重合,如下图:

    在上图中,线段AB与线段CD重合,重合部分为CB,这种重合的情况要特殊判断:

    首先,我们给没条线段的两个端点排序,大小判断方法如下:横坐标大的点更大,横坐标相同,纵坐标大的点更大。

    排好序后,每条线段中,小的点当起点,大的当终点。我们计算向量AB×向量CD,若结果为0,表示线段AB平行CD,平行才有了重合的可能;但平行也分共线和不共线,只有共线才有可能重合,看下图:

    上图中,第一种情况不共线,第二种情况共线。那如何来判断是否共线呢?

    我们可以在两条线段中各取一点,用这两点组成的向量与其中一条线段进行叉乘,结果若为0,就表示两线段共线,如下图:

    我们取向量BC,若BC×CD = 0,表示两点共线,即是第二种情况,否则就是第一种情况。第一种情况肯定不相交。猴子为什么不喜欢平行线?因为他们没有相交。。。(尬)

    然然然然然而,即使他们共线,却还是不一定重合,就如上图中第二种情况。这时候,之前给点排序的妙处就体现出来了:

    若一条线段AB与另一条线段CD共线,且线段AB的起点小于等于线段CD的起点,但线段AB的终点(注意是终点)大于等于线段CD的起点(注意是起点),或者交换一下顺序,CD的起点小于AB的起点......只要满足其中一个,就表示有重合部分。

    下面来道例题:51nod1264(模板)

    代码:

    #include#include#include#include#include#include#include#include#include

    #define eps 1e-7

    #define ll long long

    #define inf 0x3f3f3f3f

    #define pi 3.141592653589793238462643383279

    using namespacestd;structnode{doublex,y;

    };double cmp(node a,node b) //给线段的坐标排序

    {if(a.x !=b.x)return a.x

    return a.y

    }double compute(double x1,double y1,double x2,double y2) //计算叉乘的结果

    {return x1*y2 - y1*x2;

    }int compare(node a,node b) //比较坐标的大小

    {if(a.x < b.x || a.x == b.x && a.y

    }intmain()

    {intt;

    node po[4];

    cin>>t;while(t--)

    {for(int i=0; i<4; ++i)

    scanf("%lf%lf",&po[i].x,&po[i].y);

    sort(po,po+2,cmp); //给第一条线段的坐标排序

    sort(po+2,po+4,cmp); //给第二条排序

    /*for(int i=0; i<4; ++i)

    cout<

    intflag;if(!compare(po[0],po[2]) || !compare(po[0],po[3]) || !compare(po[1],po[2]) || !compare(po[1],po[3])) //若有某一点重合,则肯定相交

    flag = 1;else if(compute(po[0].x-po[1].x , po[0].y-po[1].y , po[2].x-po[3].x , po[2].y-po[3].y) ==0 ) //若两线段平行

    {if(compute(po[0].x-po[1].x , po[0].y-po[1].y , po[0].x-po[3].x , po[0].y-po[3].y) == 0) //若两线段共线

    {if(compare(po[0],po[2]) <= 0 && compare(po[1],po[2]) >= 0) //第一条起点小于第二条起点,第一条终点大于第二条起点

    flag = 1;else if(compare(po[2],po[0]) >= 0 && compare(po[3],po[0]) <= 0) //第二条起点小于第一条起点,第二条终点大于第一条起点

    flag = 1;else flag = 0;

    }else flag = 0;

    }else if(compute(po[0].x-po[1].x , po[0].y-po[1].y , po[2].x-po[3].x , po[2].y-po[3].y) !=0 ) //若不平行

    {doublenum1,num2,num3,num4;

    num1= compute(po[0].x-po[1].x , po[0].y-po[1].y , po[0].x-po[2].x , po[0].y-po[2].y); //计算第一条的两个端点

    num2 = compute(po[0].x-po[1].x , po[0].y-po[1].y , po[0].x-po[3].x , po[0].y-po[3].y); //在第二条线段的两边

    num3 = compute(po[0].x-po[2].x , po[0].y-po[2].y , po[2].x-po[3].x , po[2].y-po[3].y); //计算第二条的两个端点

    num4 = compute(po[1].x-po[2].x , po[1].y-po[2].y , po[2].x-po[3].x , po[2].y-po[3].y); //在第一条线段的两边//cout<

    if(num1*num2 < 0 && num3*num4 <= 0 || num1*num2 <= 0 && num3*num4 < 0) //等于0表示成180度角

    flag = 1;elseflag= 0;

    }else flag = 0;if(flag) cout<

    }

    }

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旋转线段叉乘