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  • 求旋转体体积

    千次阅读 2020-06-26 15:30:58
    1.圆盘 将图形想象成无数个超级小的圆柱体叠在一起,则dV=πr^2dx或dy,其中r根据函数和旋转轴确定,dx或...假如旋转体中,每一层都是两个同心圆围成的区域,即整个旋转体类似于一个甜甜圈,则 其中f(x)离旋转轴

    1.圆盘法

    将图形想象成无数个超级小的圆柱体叠在一起,则dV=πr^2dx或dy,其中r根据函数和旋转轴确定,dx或dy由旋转轴的选择确定。一般情况下(即y用x表示),绕x轴或y=a旋转时,用圆盘法

    例如y=x^2与y=2和y轴围成的图形绕y轴旋转,则r=√(y),选择dy,积分上下限为0到2

    y=x^2与x=2和x轴围成的图形绕x轴旋转,则r=x^2,选择dx,积分上下限为0到2

    假如旋转体中,每一层都是两个同心圆围成的区域,即整个旋转体类似于一个甜甜圈,则

    其中f(x)离旋转轴y=a更远

    例如,下图是y=-x+4和y=x的图像,两者与y轴围成的图像绕x轴旋转时,f(x)为-x+4,a=0,但假如绕y=4旋转,此时f(x)为x,a=4

    2.柱壳法

    将图形看作是一堆圆柱体计算厚度的表面一层套在一起(更通俗一点,就是长短和半径不同的厕纸纸筒套在一起),此时dV=2πr*|f(x)|dx,r由旋转轴和函数确定,选择|f(x)|dx还是|f(y)|dy由旋转轴确定, 一般情况下(即y用x表示),绕y轴或x=a旋转时,用圆盘法

    因为一个柱壳的体积就是周长乘以高度乘以厚度,周长为2πr,高度为|f(x)|,厚度为dx。

    例如,求y=x^2-2x,x=1,x=3,x轴围成的图形绕y轴旋转得到的体积。此时x=r

    在这种情况下,只需要分别求f大于0和小于0的部分的体积,相加即可,不会出现上面那种一部分减去另一部分的情况

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  • 计算旋转体体积“柱壳”图文精选.pptx
  • 定积分求旋转体体积

    千次阅读 2020-04-05 23:56:57
    核心思想 1、圆柱体的体积=底面积×高 2、微元:对旋转体的横截面进行无穷次切割,把每个很薄的横截面看成圆柱体,最后对区间进行积分 例题 ...

    核心思想

        1、圆柱体的体积=底面积×高
        2、微元法:对旋转体的横截面进行无穷次切割,把每个很薄的横截面看成圆柱体,
    最后对区间进行积分

    例题

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  • 定积分的应用之 柱壳法求旋转体体积

    万次阅读 多人点赞 2020-08-13 17:25:25
  • 求旋转体体积,记作V 我们只计算橙色阴影部分(这里只取了上半部分) 蓝色圆(上半部分,黑色阴影)旋转体积,记作V1 橙色圆和蓝色圆相交的部分(上半部分,黄色阴影)旋转体积,记作V2 那么所求体积 V = V1 +

    绕y轴旋转

    在这里插入图片描述

    第一步,确定积分区域

    在这里插入图片描述

    所求旋转体为橙色阴影区域绕y轴旋转,然后再乘以2

    第二步,分析求解思路

    首先,分析采用「圆盘法」还是「果丹皮法」
    圆盘法:
    圆盘法
    果丹皮法:
    在这里插入图片描述
    由于题目已经包含了平方项,因此采用「圆盘法」计算简单,但是要看成y型的(上面公式给的是x型)

    然后,将问题进行拆解
    所求旋转体的体积,记作V
    我们只计算橙色阴影部分(这里只取了上半部分)
    蓝色圆(上半部分,黑色阴影)旋转体积,记作V1
    橙色圆和蓝色圆相交的部分(上半部分,黄色阴影)旋转体积,记作V2
    那么所求体积 V = V1 + V2

    第三步,求解子问题

    V1 是半圆绕着y轴旋转,旋转后会产生中间凹陷,需要减去这部分体积
    以 x=1 这个中心线将圆分为两半,分别写出对应的表达式,如下:
    在这里插入图片描述
    进而得出V1的表达式:
    在这里插入图片描述
    接下来,分析V2
    v2是黄色阴影旋转后的体积,它由橙色圆作为旋转边界
    ,再减去左上角多余的部分(虚线以下,蓝色圆以上)旋转后的体积,即就是:
    在这里插入图片描述

    第四步,整合结果

    在这里插入图片描述

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  • 定积分应用——求旋转体体积

    万次阅读 多人点赞 2018-09-09 22:42:08
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  • 旋转体体积

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  • 高等数学——旋转体体积

    千次阅读 2021-05-27 07:52:49
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  • ZOJ 3898 Stean (求旋转体体积与面积)
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  • 在x=a,x=bx=a,x=b之间的曲线y=f(x)y=f(x)绕xx轴旋转产生一个区域,这是一个三维图像。这种对称形状的面积相对比较容易计算。这种情况如图1所示。...此圆盘的体积是我们体积dVdV的元素。因为圆盘是一个
  • <br />我的解(注意:这道题不能按常规的对y积分):  对比二李的题: <br />看秦淮的: <br />   
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  • 利用元素简单解答空间几何问题——高等数学

    千次阅读 多人点赞 2020-06-29 12:42:35
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    千次阅读 2014-07-05 20:09:00
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  • 定积分的微元.doc

    2021-05-23 01:34:34
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空空如也

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旋转体的体积求法