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  • 定积分求旋转体的体积

    千次阅读 2020-04-05 23:56:57
    核心思想 1、圆柱体的体积=底面积×高 2、微元:对旋转体的横截面进行无穷次切割,把每个很薄的横截面看成圆柱体,最后对区间进行积分 例题 ...

    核心思想

        1、圆柱体的体积=底面积×高
        2、微元法:对旋转体的横截面进行无穷次切割,把每个很薄的横截面看成圆柱体,
    最后对区间进行积分

    例题

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  • 求旋转体体积

    2020-06-26 15:30:58
    1.圆盘 将图形想象成无数个超级小圆柱体叠在一起,则dV=πr^2dx或dy,其中r根据函数和旋转轴确定,dx或...假如旋转体中,每一层都是两个同心圆围成区域,即整个旋转体类似于一个甜甜圈,则 其中f(x)离旋转轴

    1.圆盘法

    将图形想象成无数个超级小的圆柱体叠在一起,则dV=πr^2dx或dy,其中r根据函数和旋转轴确定,dx或dy由旋转轴的选择确定。一般情况下(即y用x表示),绕x轴或y=a旋转时,用圆盘法

    例如y=x^2与y=2和y轴围成的图形绕y轴旋转,则r=√(y),选择dy,积分上下限为0到2

    y=x^2与x=2和x轴围成的图形绕x轴旋转,则r=x^2,选择dx,积分上下限为0到2

    假如旋转体中,每一层都是两个同心圆围成的区域,即整个旋转体类似于一个甜甜圈,则

    其中f(x)离旋转轴y=a更远

    例如,下图是y=-x+4和y=x的图像,两者与y轴围成的图像绕x轴旋转时,f(x)为-x+4,a=0,但假如绕y=4旋转,此时f(x)为x,a=4

    2.柱壳法

    将图形看作是一堆圆柱体计算厚度的表面一层套在一起(更通俗一点,就是长短和半径不同的厕纸纸筒套在一起),此时dV=2πr*|f(x)|dx,r由旋转轴和函数确定,选择|f(x)|dx还是|f(y)|dy由旋转轴确定, 一般情况下(即y用x表示),绕y轴或x=a旋转时,用圆盘法

    因为一个柱壳的体积就是周长乘以高度乘以厚度,周长为2πr,高度为|f(x)|,厚度为dx。

    例如,求y=x^2-2x,x=1,x=3,x轴围成的图形绕y轴旋转得到的体积。此时x=r

    在这种情况下,只需要分别求f大于0和小于0的部分的体积,相加即可,不会出现上面那种一部分减去另一部分的情况

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  • 定积分应用——求旋转体体积

    万次阅读 多人点赞 2018-09-09 22:42:08
    使用微元和套筒法求旋转体体积 如题: 在这里区域D步骤略,设出交点,两个方程两个未知数,出即可 局域D如下: 第一问用微元: 1、取微元,范围高从y到y+dy,宽为两个函数之间,如下图蓝色阴影...

    使用微元法和套筒法求旋转体体积


    如题:
    这里写图片描述
    在这里求区域D的步骤略,设出交点,两个方程两个未知数,求出即可
    局域D如下:
    这里写图片描述
    第一问用微元法:
    1、取微元,范围高从y到y+dy,宽为两个函数之间,如下图蓝色阴影部分
    这里写图片描述

    2、用公式:底面积X高,让2中的微元绕x=1转一圈,形成图形如下图(抽象从坐标轴上面俯视)
    这里写图片描述
    图中圆环的面积就是底面积(π(1-lny)^2-π(1-y/e)^2),高就是前面设出的dy,dy是从0到e,得旋转体定积分:这里写图片描述


    第二问用套筒法:
    第一步去微元与第一问一样,不再赘述
    2、用公式:侧面积X厚度,如下图(想象从x轴的左侧或右侧看这个旋转体)
    这里写图片描述
    可以把侧面积看做是一个矩形,宽可以看做是图中小矩形的周长,长可以看做是两个函数的差(y/e-lny);厚度是前面设出的dy。得旋转体定积分:这里写图片描述


    哈,复习考研的路也不是很无聊,至少有数学的陪伴~

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旋转体的体积求法