1.圆盘法
 
将图形想象成无数个超级小的圆柱体叠在一起，则dV=πr^2dx或dy，其中r根据函数和旋转轴确定，dx或dy由旋转轴的选择确定。一般情况下（即y用x表示），绕x轴或y=a旋转时，用圆盘法
 
 
例如y=x^2与y=2和y轴围成的图形绕y轴旋转，则r=√(y)，选择dy，积分上下限为0到2
 
 
y=x^2与x=2和x轴围成的图形绕x轴旋转，则r=x^2，选择dx，积分上下限为0到2
 
 
假如旋转体中，每一层都是两个同心圆围成的区域，即整个旋转体类似于一个甜甜圈，则
 
 
其中f(x)离旋转轴y=a更远
 
 
例如，下图是y=-x+4和y=x的图像，两者与y轴围成的图像绕x轴旋转时，f(x)为-x+4，a=0，但假如绕y=4旋转，此时f(x)为x，a=4
 
 
2.柱壳法
 
将图形看作是一堆圆柱体计算厚度的表面一层套在一起（更通俗一点，就是长短和半径不同的厕纸纸筒套在一起），此时dV=2πr*|f(x)|dx，r由旋转轴和函数确定，选择|f(x)|dx还是|f(y)|dy由旋转轴确定， 一般情况下（即y用x表示），绕y轴或x=a旋转时，用圆盘法
 
 
因为一个柱壳的体积就是周长乘以高度乘以厚度，周长为2πr，高度为|f(x)|，厚度为dx。
 
 
例如，求y=x^2-2x，x=1，x=3，x轴围成的图形绕y轴旋转得到的体积。此时x=r
 
 
在这种情况下，只需要分别求f大于0和小于0的部分的体积，相加即可，不会出现上面那种一部分减去另一部分的情况
 
 
 

核心思想
 
    1、圆柱体的体积=底面积×高
    2、微元法：对旋转体的横截面进行无穷次切割，把每个很薄的横截面看成圆柱体，
最后对区间进行积分
 
例题
 
 

绕y轴旋转
 
 
第一步，确定积分区域
 
 
所求旋转体为橙色阴影区域绕y轴旋转，然后再乘以2
 
第二步，分析求解思路
 
首先，分析采用「圆盘法」还是「果丹皮法」
 圆盘法：
 
 果丹皮法：
 
 由于题目已经包含了平方项，因此采用「圆盘法」计算简单，但是要看成y型的（上面公式给的是x型）
 
然后，将问题进行拆解
 所求旋转体的体积，记作V
 我们只计算橙色阴影部分（这里只取了上半部分）
 蓝色圆（上半部分，黑色阴影）旋转体积，记作V1
 橙色圆和蓝色圆相交的部分（上半部分，黄色阴影）旋转体积，记作V2
 那么所求体积 V = V1 + V2
 
第三步，求解子问题
 
V1 是半圆绕着y轴旋转，旋转后会产生中间凹陷，需要减去这部分体积
 以 x=1 这个中心线将圆分为两半，分别写出对应的表达式，如下：
 
 进而得出V1的表达式：
 
 接下来，分析V2
 v2是黄色阴影旋转后的体积，它由橙色圆作为旋转边界
 ，再减去左上角多余的部分（虚线以下，蓝色圆以上）旋转后的体积，即就是：
 
 
第四步，整合结果