核心思想

    1、圆柱体的体积=底面积×高
    2、微元法：对旋转体的横截面进行无穷次切割，把每个很薄的横截面看成圆柱体，
最后对区间进行积分

例题

1.圆盘法

将图形想象成无数个超级小的圆柱体叠在一起，则dV=πr^2dx或dy，其中r根据函数和旋转轴确定，dx或dy由旋转轴的选择确定。一般情况下（即y用x表示），绕x轴或y=a旋转时，用圆盘法



例如y=x^2与y=2和y轴围成的图形绕y轴旋转，则r=√(y)，选择dy，积分上下限为0到2



y=x^2与x=2和x轴围成的图形绕x轴旋转，则r=x^2，选择dx，积分上下限为0到2



假如旋转体中，每一层都是两个同心圆围成的区域，即整个旋转体类似于一个甜甜圈，则



其中f(x)离旋转轴y=a更远



例如，下图是y=-x+4和y=x的图像，两者与y轴围成的图像绕x轴旋转时，f(x)为-x+4，a=0，但假如绕y=4旋转，此时f(x)为x，a=4



2.柱壳法

将图形看作是一堆圆柱体计算厚度的表面一层套在一起（更通俗一点，就是长短和半径不同的厕纸纸筒套在一起），此时dV=2πr*|f(x)|dx，r由旋转轴和函数确定，选择|f(x)|dx还是|f(y)|dy由旋转轴确定， 一般情况下（即y用x表示），绕y轴或x=a旋转时，用圆盘法



因为一个柱壳的体积就是周长乘以高度乘以厚度，周长为2πr，高度为|f(x)|，厚度为dx。



例如，求y=x^2-2x，x=1，x=3，x轴围成的图形绕y轴旋转得到的体积。此时x=r



在这种情况下，只需要分别求f大于0和小于0的部分的体积，相加即可，不会出现上面那种一部分减去另一部分的情况

使用微元法和套筒法求旋转体体积



如题： 

 

在这里求区域D的步骤略，设出交点，两个方程两个未知数，求出即可 

局域D如下： 

 

第一问用微元法： 

1、取微元，范围高从y到y+dy，宽为两个函数之间，如下图蓝色阴影部分 



2、用公式：底面积X高，让2中的微元绕x=1转一圈，形成图形如下图(抽象从坐标轴上面俯视) 

 

图中圆环的面积就是底面积(π(1-lny)^2-π(1-y/e)^2)，高就是前面设出的dy，dy是从0到e，得旋转体定积分：



第二问用套筒法： 

第一步去微元与第一问一样，不再赘述 

2、用公式：侧面积X厚度，如下图（想象从x轴的左侧或右侧看这个旋转体） 

 

可以把侧面积看做是一个矩形，宽可以看做是图中小矩形的周长，长可以看做是两个函数的差(y/e-lny)；厚度是前面设出的dy。得旋转体定积分：



哈，复习考研的路也不是很无聊，至少有数学的陪伴~