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  • 旋转矩阵特性备忘录
    2020-08-01 10:37:31

    数学定义:如果一个矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵,则成矩阵为正交矩阵

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  • 旋转矩阵的性质

    千次阅读 2019-05-15 13:43:38
    学过矩阵理论或者线性代数的肯定知道正交矩阵(orthogonal matrix)是一个非常好的矩阵,为什么这么说?原因有一下几点: 正交矩阵每一列都是单位向量,并且两两正交。最简单的正交矩阵就是单位阵。 正交矩阵的逆...

    学过矩阵理论或者线性代数的肯定知道正交矩阵(orthogonal matrix)是一个非常好的矩阵,为什么这么说?原因有一下几点:

    1. 正交矩阵每一列都是单位向量,并且两两正交。最简单的正交矩阵就是单位阵。
    2. 正交矩阵的逆(inverse)等于正交矩阵的转置(transpose)。同时可以推论出正交矩阵的行列式的值肯定为正负1的。
    3. 正交矩阵满足很多矩阵性质,比如可以相似于对角矩阵等等。

      以上可以看出正交矩阵是非常特殊的矩阵,而本文题目中的旋转矩阵就是一种正交矩阵!它完美的诠释了正交矩阵的所有特点。


       先说一下什么是旋转矩阵?如图1所示,我们假设最开始空间的坐标系XA,YA,ZA就是笛卡尔坐标系(XA,YA,ZA都是列向量),这样我们得到空间A的矩阵VA={XA,YA,ZA}T,其实也可以看做是单位阵E。旋转后,空间A的三个坐标系变成了图1中红色的三个坐标系XB,YB,ZB,得到空间B的矩阵V_{B}=\{X_B,Y_B,Z_B\}^T。我们将两个空间联系起来可以得到VB=R•VA,这里R就是我们所说的旋转矩阵。 

    图1

      由于X_A=\{1,0,0\}^T,Y_A=\{0,1,0\}^T,Z_A=\{0,0,1\}^T,结合图2可以看出,旋转矩阵R就是由X_B,Y_B,Z_B 三个向量组成的。讲到这里,大家应该会发现旋转矩阵R满足第一个条件,因为单位向量无论怎么旋转长度肯定不会变而且向量之间的正交性质也不会变。那么旋转矩阵就是正交阵!不过这还不能说明问题,下面我更进一步利用数学公式进行证明。


    图2


      进一步讨论之前,我们先说两点数学知识。(1)点乘(dot product)的几何意义:如图3,我们从点乘的公式可以得到α•β相当与β的模乘上α在β上投影的模,所以当|β|=1时,α•β就是指α在β上投影的模。这一点在下面的内容中非常重要。(2)旋转矩阵逆的几何意思:这个比较抽象,不过也好理解。旋转矩阵相当于把一个向量(空间)旋转成新的向量(空间),那么逆可以理解为由新的向量(空间)转回原来的向量(空间)。

    图3

      接下来就是重点了,我们结合图4进行分析。上面已经说明了,旋转矩阵R就是由X_B,Y_B,Z_B 三个向量组成的。我们来看看X_B,Y_B,Z_B究竟是什么?由于图中所有的向量均是单位向量,所以XB与XA点乘的结果可以看成XB在XA上的投影的模,也就是XB在空间A中x轴的分量!!图中中间的位置列出了XB向量中的三个分量分别为XB在XA上的投影的模、XB在YA上的投影的模和XB在ZA上的投影的模。这从几何角度很好理解。以此类推,可以得出的旋转矩阵R的表达形式。我们根据图4可以惊喜的发现,矩阵R的第一行就是XA在XB,YB,ZB上的投影的模,也就是X_A^T。R的每一列是旋转后的坐标系的各坐标轴在原坐标系的各坐标轴上的投影大小。

    图4

      这个发现有什么用呢?图5做出解释。根据上面公式可以推出A到B的旋转矩阵等于B到A的旋转矩阵的转置。根据我们上一段所说的A到B的旋转矩阵的逆就是等于B到A的旋转矩阵,因此很容易推出R^{-1}等于R^T!这满足正交矩阵的第二个条件,又一次证明了旋转矩阵就是正交阵。在平时的工作中,我也测试过所有的旋转矩阵的行列式的值都是为1的,所以旋转矩阵满足正交阵的一切性质,可以说是很完美的矩阵。

    图5


    现在以三个欧拉角中的RotX为例(其余两个欧拉角以此类推),验证一下以上说的结论。

      首先结合图5的公式,计算出RotX的旋转矩阵R_{rotx}

    • 由于X轴是垂直于YoZ平面的,所以XA和YB,ZB的点乘结果为0,同时XB和YA,ZA的点乘结果也为0。
    • 由于XA,XB都是单位向量(且共轴,因为这里是rotX,即绕X轴旋转),所以XA和XB的点乘结果为1。
    • 由于绕x轴旋转,所以我们观察YB和ZB分别在YA和ZA上的投影情况,如图6,我已经将坐标标注了。

      图6

      这样就完成旋转矩阵Rrotx,我们接下来验证一下。

    1. 我们计算每一行每一列的模,都为1;并且任意两个列向量或者任意两个行向量都是正交的。所以满足上文列出的第一个性质。
    2. 我们计算Rrotx的行列式,很简单可以算出为1。这时我们计算一下该矩阵的逆和转置,这里我不写出来了是相等的。所以满足上文列出的第三个性质。
    3. 第三个性质要牵扯到更多的数学知识,在这里就不验证了。

      总结一下:旋转矩阵是一个完美的矩阵——正交矩阵。它的行列式为1,且每个列向量都是单位向量且相互正交,它的逆等于它的转置。

    From:http://www.cnblogs.com/caster99/p/4703033.html

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  • 旋转矩阵(Rotate Matrix)的性质分析

    万次阅读 多人点赞 2015-11-10 16:00:52
    学过矩阵理论或者线性代数的肯定知道正交矩阵(orthogonal matrix)是一个非常好的矩阵,为什么这么说?原因有一下几点: 正交矩阵每一列都是单位矩阵,并且两两正交。最简单的正交矩阵就是单位阵。正交矩阵的逆...

     学过矩阵理论或者线性代数的肯定知道正交矩阵(orthogonal matrix)是一个非常好的矩阵,为什么这么说?原因有一下几点:

    1. 正交矩阵每一列都是单位矩阵,并且两两正交。最简单的正交矩阵就是单位阵。
    2. 正交矩阵的逆(inverse)等于正交矩阵的转置(transpose)。同时可以推论出正交矩阵的行列式的值肯定为正负1的
    3. 正交矩阵满足很多矩阵性质,比如可以相似于对角矩阵等等。

      以上可以看出正交矩阵是非常特殊的矩阵,而本文题目中的旋转矩阵就是一种正交矩阵!它完美的诠释了正交矩阵的所有特点。


       先说一下什么是旋转矩阵?如图1所示,我们假设最开始空间的坐标系XAYAZA就是笛卡尔坐标系,这样我们得到空间A的矩阵VA={XAYAZA}T,其实也可以看做是单位阵E。进过旋转后,空间A的三个坐标系变成了图1中红色的三个坐标系XBYBZB,得到空间B的矩阵VB={XBYBZB}T。我们将两个空间联系起来可以得到VB=RVA,这里R就是我们所说的旋转矩阵。 

    图1

      由于XA={1,0,0}TYA={0,1,0}TZA={0,0,1}T,结合图2可以看出,旋转矩阵R就是由XBYBZB 三个向量组成的。讲到这里,大家应该会发现旋转矩阵R满足第一个条件,因为单位向量无论怎么旋转长度肯定不会变而且向量之间的正交性质也不会变。那么旋转矩阵就是正交阵!不过这还不能说明问题,下面我更进一步利用数学公式进行证明。


    图2


      进一步讨论之前,我们先说两点数学知识。(1)点乘(dot product)的几何意义:如图3,我们从点乘的公式可以得到α•β相当与β的模乘上αβ上投影的模,所以当|β|=1时,α•β就是指αβ上投影的模。这一点在下面的内容中非常重要。(2)旋转矩阵逆的几何意思:这个比较抽象,不过也好理解。旋转矩阵相当于把一个向量(空间)旋转成新的向量(空间),那么逆可以理解为由新的向量(空间)转回原来的向量(空间)。

    图3

      接下来就是重点了,我们结合图4进行分析。上面已经说明了,旋转矩阵R就是由XBYBZB 三个向量组成的。我们来看看XBYBZB究竟是什么?由于图中所有的向量均是单位向量,所以XBXA点乘的结果可以看成XBXA上的投影的模,也就是XB在空间A中x轴的分量!!图中中间的位置列出了XB向量中的三个分量分别为XBXA上的投影的模、XBYA上的投影的模和XBZA上的投影的模。这从几何角度很好理解。以此类推,可以得出的旋转矩阵R的表达形式。我们根据图4可以惊喜的发现,矩阵R的第一行就是XAXBYBZB上的投影的模,也就是XAT

     

    图4

      这个发现有什么用呢?图5做出解释。根据上面公式可以推出AB的旋转矩阵等于BA的旋转矩阵的转置。根据我们上一段所说的AB的旋转矩阵的逆就是等于BA的旋转矩阵,因此很容易推出R-1等于RT!这满足正交矩阵的第二个条件,又一次证明了旋转矩阵就是正交阵。在平时的工作中,我也测试过所有的旋转矩阵的行列式的值都是为1的,所以旋转矩阵满足正交阵的一切性质,可以说是很完美的矩阵。

    图5


       现在以三个欧拉角中的RotX为例(其余两个欧拉角以此类推),验证一下以上说的结论。

      首先结合图5的公式,计算出RotX的旋转矩阵Rrotx

    • 由于X轴是垂直于YoZ平面的,所以XAYBZB的点乘结果为0,同时XBYAZA的点乘结果也为0。
    • 由于XAXB都是单位向量,所以XAXB的点乘结果为1。
    • 由于绕x轴旋转,所以我们观察YBZB分别在YAZA上的投影情况,如图6,我已经将坐标标注了。

      图6

     

      这样就完成旋转矩阵Rrotx,我们接下来验证一下。

    1. 我们计算每一行每一列的模,都为1;并且任意两个列向量或者任意两个行向量都是正交的。所以满足上文列出的第一个性质。
    2. 我们计算Rrotx的行列式,很简单可以算出为1。这时我们计算一下该矩阵的逆和转置,这里我不写出来了是相等的。所以满足上文列出的第三个性质。
    3. 第三个性质要牵扯到更多的数学知识,在这里就不验证了。

      总结一下:旋转矩阵是一个完美的矩阵——正交矩阵。它的行列式为1,且每个列向量都是单位向量且相互正交,它的逆等于它的转置。

    From:http://www.cnblogs.com/caster99/p/4703033.html

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  • 三维坐标系旋转——旋转矩阵到旋转角之间的换算

    万次阅读 多人点赞 2019-04-23 20:38:18
    旋转矩阵到旋转角之间的换算 solvepnp 单目三维位姿估计--------利用二维码求解相机世界坐标 solvepnp 单目三维位姿估计--------理论 在做单目三维位姿估计(即估计目标物相对相机的姿态或相机相对目标物的姿态...

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    solvepnp 单目三维位姿估计--------理论

     

    在做单目三维位姿估计(即估计目标物相对相机的姿态或相机相对目标物的姿态)时会用到solvepnp函数,

    函数原型为:

    cv2.solvePnP(objectPoints, imagePoints, cameraMatrix, distCoeffs[, rvec[, tvec[, useExtrinsicGuess[, flags]]]]) → retval, rvec, tvec

    参数解释

    • objectPoints:世界坐标系中的3D点坐标,单位mm

    • imagePoints:图像坐标系中点的坐标,单位像素

    • cameraMatrix:相机内参矩阵

    • distCoeffs:畸变系数

    • rvec:旋转矩阵

    • tvec:平移矩阵

    • useExtrinsicGuess:是否输出平移矩阵和旋转矩阵,默认为false

    • flags:SOLVEPNP _ITERATIVE、SOLVEPNP _P3P、SOLVEPNP _EPNP、SOLVEPNP _DLS、SOLVEPNP _UPNP

    内参矩阵和畸变系数都是要通过标定得到的,这个不细讲,opencv官方提供了有标定例子(或者参考我的这篇文章:用matlab标定获取相机内参矩阵和畸变系数)。函数输出的是旋转矩阵rvectvec

     

    本文就来说说得到了这个旋转矩阵rvec后,如何得知目标物实际的角度呢~


    旋转矩阵是一个3×3的正交矩阵,有3个自由度。处理旋转矩阵的问题时,通常采用旋转矩阵的方式来描述,也可以用旋转向量来表示,两者之间可以通过罗德里格斯(Rodrigues)变换来进行转换。

    旋转矩阵和旋转向量间的转换请参考旋转矩阵 和 旋转向量

    其中,旋转向量的长度(模)表示绕轴逆时针旋转的角度(弧度)。

    norm为求向量的模。

    代码如下:

    theta = np.linalg.norm(rvec)
    r = rvec / theta
    R_ = np.array([[0, -r[2][0], r[1][0]],
                   [r[2][0], 0, -r[0][0]],
                   [-r[1][0], r[0][0], 0]])
    R = np.cos(theta) * np.eye(3) + (1 - np.cos(theta)) * r * r.T + np.sin(theta) * R_
    print('旋转矩阵')
    print(R)

    反变换也可以很容易的通过如下公式实现:


    空间中三维坐标变换一般由三种方式实现,第一种是旋转矩阵和旋转向量;第二种是欧拉角;第三种是四元数。下面介绍旋转矩阵(旋转向量)欧拉角实现三维空间坐标变换的方法以及两者之间的关系。

     

    旋转矩阵

    对于一个三维空间的点 P(x,y,z)P(x,y,z),要将其绕 zz 轴旋转 θθ 角度是可以很简单地用旋转矩阵来表示的

     欧拉角

     

     此处得到结论:自旋转的“先转的放前面”


    定角(Fixed angles)

    围绕固定的坐标系转动。固定坐标系的原点,坐标系再围绕已经固定的轴转动,全程原坐标系不动

    注意!移动位置的顺序可以调换,但是旋转的顺序不能调换,结果不一样。

    以X-Y-Z型为例子:即先围绕X轴进行转动γ°,然后围绕Y轴进行转动β°,最后围绕Z轴进行转动α°。注意逆时针为正方向。

    X-Y-Z型公式:

    重点先转的轴的\large R放后面运算,如下

    代码:

    def isRotationMatrix(R):
        Rt = np.transpose(R)   #旋转矩阵R的转置
        shouldBeIdentity = np.dot(Rt, R)   #R的转置矩阵乘以R
        I = np.identity(3, dtype=R.dtype)           # 3阶单位矩阵
        n = np.linalg.norm(I - shouldBeIdentity)   #np.linalg.norm默认求二范数
        return n < 1e-6                            # 目的是判断矩阵R是否正交矩阵(旋转矩阵按道理须为正交矩阵,如此其返回值理论为0)
    
    
    def rotationMatrixToAngles(R):
        assert (isRotationMatrix(R))   #判断是否是旋转矩阵(用到正交矩阵特性)
    
        sy = math.sqrt(R[0, 0] * R[0, 0] + R[1, 0] * R[1, 0])  #矩阵元素下标都从0开始(对应公式中是sqrt(r11*r11+r21*r21)),sy=sqrt(cosβ*cosβ)
    
        singular = sy < 1e-6   # 判断β是否为正负90°
    
        if not singular:   #β不是正负90°
            x = math.atan2(R[2, 1], R[2, 2])
            y = math.atan2(-R[2, 0], sy)
            z = math.atan2(R[1, 0], R[0, 0])
        else:              #β是正负90°
            x = math.atan2(-R[1, 2], R[1, 1])
            y = math.atan2(-R[2, 0], sy)   #当z=0时,此公式也OK,上面图片中的公式也是OK的
            z = 0
    
        return np.array([x, y, z])

     备注:np.linalg.norm(求范数)

     举例:

    由角度推旋转矩阵

    由旋转矩阵推角度

     


    欧拉角(Euler angles)

    “自旋转”,围绕当下(自己)的坐标系某轴转动,就是每次旋转,都固定被围绕的某一轴,另两轴动。

    每次旋转,整个坐标系都会改变位置。

    以Z-Y-Z型为例的公式:

    重点先转的轴的\large R放前面运算,如下

    举例:

    矩阵转角度:

    注意:自旋转的“先转的放前面”


    欧拉角转旋转矩阵 

    欧拉角通过将刚体绕过原点的轴(i,j,k)旋转θ,分解成三步,如下图(蓝色是起始坐标系,而红色的是旋转之后的坐标系) 
    这里写图片描述 
    如果将每一个角度用旋转矩阵表示如下: 
    这里写图片描述 
    所以,容易得到,欧拉角转旋转矩阵如下: 
    这里写图片描述

    代码:

    /**
    欧拉角计算对应的旋转矩阵
    **/
    Mat eulerAnglesToRotationMatrix(Vec3f &theta)
    {
        // 计算旋转矩阵的X分量
        Mat R_x = (Mat_<double>(3,3) <<
                   1,       0,              0,
                   0,       cos(theta[0]),   -sin(theta[0]),
                   0,       sin(theta[0]),   cos(theta[0])
                   );
     
     
        // 计算旋转矩阵的Y分量
        Mat R_y = (Mat_<double>(3,3) <<
                   cos(theta[1]),    0,      sin(theta[1]),
                   0,               1,      0,
                   -sin(theta[1]),   0,      cos(theta[1])
                   );
     
     
        // 计算旋转矩阵的Z分量
        Mat R_z = (Mat_<double>(3,3) <<
                   cos(theta[2]),    -sin(theta[2]),      0,
                   sin(theta[2]),    cos(theta[2]),       0,
                   0,               0,                  1);
     
     
        // 合并 
        Mat R = R_z * R_y * R_x;
     
     
        return R;
    }

     


     旋转矩阵转欧拉角 

    将旋转矩阵表示如下: 
    这里写图片描述 
    则可以如下表示欧拉角: 
    这里写图片描述

    代码:

    /**
     * 功能: 1. 检查是否是旋转矩阵
    **/
    bool isRotationMatrix(Mat &R)
    {
        Mat Rt;
        transpose(R, Rt);
        Mat shouldBeIdentity = Rt * R;
        Mat I = Mat::eye(3,3, shouldBeIdentity.type());
    
        return  norm(I, shouldBeIdentity) < 1e-6;    
    }
    
    /**
     * 功能: 1. 通过给定的旋转矩阵计算对应的欧拉角
    **/
    Vec3f rotationMatrixToEulerAngles(Mat &R)
    {
        assert(isRotationMatrix(R));
    
        float sy = sqrt(R.at<double>(0,0) * R.at<double>(0,0) +  R.at<double>(1,0) * R.at<double>(1,0) );
    
        bool singular = sy < 1e-6; // If
    
        float x, y, z;
        if (!singular) {
            x = atan2(R.at<double>(2,1) , R.at<double>(2,2));
            y = atan2(-R.at<double>(2,0), sy);
            z = atan2(R.at<double>(1,0), R.at<double>(0,0));
        } else {
            x = atan2(-R.at<double>(1,2), R.at<double>(1,1));
            y = atan2(-R.at<double>(2,0), sy);
            z = 0;
        }
        return Vec3f(x, y, z);   
    }
    

    旋转向量转欧拉角(经过四元数)代码如下:

    # 从旋转向量转换为欧拉角
    def get_euler_angle(rotation_vector):
        # calculate rotation angles
        theta = cv2.norm(rotation_vector, cv2.NORM_L2)
        
        # transformed to quaterniond
        w = math.cos(theta / 2)
        x = math.sin(theta / 2)*rotation_vector[0][0] / theta
        y = math.sin(theta / 2)*rotation_vector[1][0] / theta
        z = math.sin(theta / 2)*rotation_vector[2][0] / theta
        
        ysqr = y * y
        # pitch (x-axis rotation)
        t0 = 2.0 * (w * x + y * z)
        t1 = 1.0 - 2.0 * (x * x + ysqr)
        print('t0:{}, t1:{}'.format(t0, t1))
        pitch = math.atan2(t0, t1)
        
        # yaw (y-axis rotation)
        t2 = 2.0 * (w * y - z * x)
        if t2 > 1.0:
            t2 = 1.0
        if t2 < -1.0:
            t2 = -1.0
        yaw = math.asin(t2)
        
        # roll (z-axis rotation)
        t3 = 2.0 * (w * z + x * y)
        t4 = 1.0 - 2.0 * (ysqr + z * z)
        roll = math.atan2(t3, t4)
        
        print('pitch:{}, yaw:{}, roll:{}'.format(pitch, yaw, roll))
        
    	# 单位转换:将弧度转换为度
        Y = int((pitch/math.pi)*180)
        X = int((yaw/math.pi)*180)
        Z = int((roll/math.pi)*180)
        
        return 0, Y, X, Z

    在3D 空间中,表示物体的旋转可以由三个欧拉角来表示: 
    pitch围绕X轴旋转,叫俯仰角。 
    yaw围绕Y轴旋转,叫偏航角。 
    roll围绕Z轴旋转,叫翻滚角。 
    这三个角的顺序对旋转结果有影响。 
    欧拉角

    (欧拉角与四元数的转换关系: 
    http://www.cnblogs.com/wqj1212/archive/2010/11/21/1883033.html)

    四元数到欧拉角的转换公式如下: 
     四元数到欧拉角的转换公式 
    arctan和arcsin的结果为[-pi/2,pi/2],不能覆盖所有的欧拉角,因此采用atan2代替arctan: 

    用atan2代替arctan

     

     

     

    参考:http://blog.miskcoo.com/2016/12/rotation-in-3d-space

    https://blog.csdn.net/aic1999/article/details/82415357#commentBox

    https://www.cnblogs.com/aoru45/p/9781540.html

    https://blog.csdn.net/u012423865/article/details/78219787#commentsedit

    https://blog.csdn.net/u013512448/article/details/77804161

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  • 旋转矩阵的推导过程

    千次阅读 2018-10-29 19:56:49
    一个映射g:R3→R3\R^3 \to \R^3R3→R3如果满足一下两个特性,则是刚体变换 1. 长度保持不变:∥g(p)−g(q)=∥p−q∥\Vert g(p)-g(q)=\Vert p-q\Vert∥g(p)−g(q)=∥p−q∥, 所有p,q∈R3p,q\in\R^3p,q∈R3 2. 叉乘...
  • 旋转矩阵,矩阵,共轭矩阵

    千次阅读 2019-12-18 15:42:29
    旋转矩阵1. 旋转矩阵简介 1. 旋转矩阵简介 旋转矩阵维基百科 在线性代数中,旋转矩阵是用于在欧几里得空间中进行旋转的矩阵。例如,使用下面的约定, 矩阵:R=[cos(θ)−sin(θ)sin(θ)cos(θ)]R=\begin{bmatrix}...
  • 旋转矩阵2.1 旋转矩阵性质2.1.1 特性一2.1.2 特性二2.1.3 特性三2.2 Rotation Matrix 与旋转角2.2.1 针对Z轴旋转2.2.2 针对X轴旋转2.2.3 针对Y轴旋转2.3 旋转矩阵的三种用途2.4 旋转的拆解方式2.4.1 Fixed angles...
  • 在开始正式论述导航、飞控算法之前呢,再给大家回顾一下公众号前期阐述欧拉角、旋转矩阵以及四元数的三篇内容,一方面是将欧拉角、旋转矩阵、四元数三种描述姿态的方式汇总在一起进行对比,为后续控制律设计以及导航...
  • 得彩易彩票旋转矩阵选号杀号王双色球专用版的问世,解决了您的烦恼,您只要下载使用了,软件就会主动成为您的好帮手,让您中奖不再是梦想! 本公司双色球项目开发小组根据组里多名长年研究彩票双色球的专家的成果,...
  • 最近学习了一些关于三维空间旋转相关的知识,借此...表示三维空间的旋转有多种互相等价的方式,常见的有旋转矩阵、DCM、旋转向量、四元数、欧拉角等。本篇文章主要梳理一下这些表示方式及相互转换的方法。1. 欧拉...
  • 在看《欧拉角、旋转矩阵、四元数合辑》,就之前所学做点笔记,以便以后再次复习。 先复习先基本概念 坐标系 我们为了能够科学的反映物体的运动特性,会在特定的坐标系中进行描述,经常要用到以下几种坐标系: ...
  • 机器人学——1.3-正交旋转矩阵

    千次阅读 2020-04-24 08:50:52
    每一个单位向量有 333 个元素,它们组成了 3×33\times 33×3 阶正交矩阵 ARB^AR_BARB​: (AxAyAz)=ARB(BxByBz) \left(\begin{array}{c}^A\text{x}\\^A\text{y}\\^A\text{z}\end{array}\right) ...
  • 旋转变换(一)旋转矩阵

    千次阅读 2018-08-07 08:15:24
    本文以及接下来的几篇文章重点介绍一下关于旋转的变换,包括二维旋转变换、三维旋转变换以及它的一些表达方式(旋转矩阵、四元数、欧拉角等)。 2. 绕原点二维旋转 首先要明确旋转在二维中是绕着某一个点进行旋转...
  • leetcode矩阵旋转任意角度 数据结构 一. 线性表 1. 数组 数组具有随机访问特性,灵活使用数组的索引 数组有序的话,问题往往会变得简单 对于有序或局部有序的一维数组,要想到二分查找算法,并学会随机应变 对于元素...
  • 上一篇文章已经详细介绍了我们应该如何对刚体的运动状态进行描述,接下来,我们对于刚体转动状态描述里面的旋转矩阵(Rotation Matrix)进行更深一步的探究。 1)Rotation Matrix的特性 B相对于A的旋转矩阵,就等着A...
  • opencv的程序——来自网上,具体出处不明(输入旋转向量则转化为旋转矩阵,输入旋转矩阵,则转化为旋转向量) #include #include void main() { int i; double r_vec[3]={-2.100418,-2.167796,0.273330}; ...
  • 都知道旋转矩阵表达的是刚体(坐标系{B})相对参考坐标系{A}的姿态信息,那如何利用已知的旋转矩阵,将{A}旋转一定角度变成与{B}一样的姿态呢?有几种方法:固定角旋转、欧拉角旋转、angle-axis表达法、Quaternion...
  • 利用四元数求解旋转矩阵

    千次阅读 2016-12-30 17:11:25
    利用四元数求解旋转矩阵绕空间某一旋转轴ω⃗ \vec{\omega}旋转θ\theta角度的表示形式如下图所示:OO表示坐标原点,OR→\vec{OR}表示原始向量,ω⃗ \vec{\omega}表示旋转轴,为单位矢量,平面vv表示垂直于ω⃗ ...
  • 目录 导言 (1)位置信息 (2)姿态信息 旋转矩阵(Rotation Matrix):描述坐标系{B}相对于{A}的姿态 旋转矩阵特性和作用 三维空间下如何描述刚体的状态? (1)位置信息 都知道能使用三轴坐标系表述刚体的位置...
  • 工程中分析多转子系统固有特性常采用子结构传递矩阵法,由于具体结构的复杂性和多样性,用子结构法计算时处理繁琐,编制通用程序困难。为克服子结构传递矩阵法的缺点,给出了整体传递矩阵法计算过程。取各转子状态...
  • 注意:必须是相同维度矩阵才行,比如2*3矩阵不能和3*3矩阵进行加减. 如下所示: 同样的减法也是类似. 矩阵与标量数乘 矩阵与标量数乘和矩阵与标量加减类似, 实际是对矩阵的每个元素和该标量进行相乘,如下图...
  • 1.问题描述 (R,t)=argmin∑i=1nwi||(Rpi+t)−qi||2(1)(1)(R,t)=argmin∑i=1nwi||(Rpi+t)−qi||2(R,t)=argmin \sum_{i=1}^n w_i||(Rp_i+t)-q_i||^2 \tag{1} ...2. 计算转移矩阵 0=∂F∂t=∑i=1n2wi(Rpi+t−qi)=2t...
  • 写在前面 上一篇博客中讲解了IMU的几个模块的基本原理,对于陀螺仪来说我们获取到的...在图片中绕z轴水平旋转的是YAW即偏航角,第二次旋转是俯仰角Pitch,最后的称为偏航角Roll。是不是感觉超级简单,十分直观符合我...
  • 旋转矩阵篇)

    2020-03-14 21:03:53
    通过矩阵运算实现旋转疑问绕坐标轴的转动矩阵绕x轴转动绕y轴旋转绕z轴旋转坐标旋转变换与几何体旋转绕某个矢量转动代数解法几何解法旋转矩阵反求旋转轴矢量和旋转角度已知一个物体运动前和运动后所有点的坐标,求该...
  • 针对金纳米旋转椭球在光热治疗和生物成像中的应用,利用T矩阵方法和介电函数尺寸修正模型,从理论上定量研究金纳米旋转椭球的共振光吸收与散射特性,对金纳米旋转椭球的尺寸参数进行优化,获得最优的短半轴与长半轴。...

空空如也

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旋转矩阵特性