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  • 旋转矩阵特性备忘录

    2020-08-01 10:37:31
    数学定义:如果一个矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵,则成矩阵为正交矩阵

    数学定义:如果一个矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵,则成矩阵为正交矩阵

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  • 旋转矩阵2.1 旋转矩阵性质2.1.1 特性一2.1.2 特性二2.1.3 特性三2.2 Rotation Matrix 与旋转角2.2.1 针对Z轴旋转2.2.2 针对X轴旋转2.2.3 针对Y轴旋转2.3 旋转矩阵的三种用途2.4 旋转的拆解方式2.4.1 Fixed angles...

    1. 刚体的位姿描述

    1.1 位置描述

    与刚体固联的坐标系的原点用方向向量P来确定位置:
    在这里插入图片描述

    1.2 姿态描述

    与刚体固联的坐标系三个坐标轴上的单位矢量相对于参考坐标系的方向余弦组成3*3的旋转矩阵用以表达刚体姿态:

    将 {B} 三个坐标轴逐个投影到 {A} 的三个坐标轴,看它的分量是多少来确定 Rotation Matrix 三个列向量的数值。
    在这里插入图片描述

    例题1:
    在这里插入图片描述
    例题2:
    在这里插入图片描述

    2. 旋转矩阵

    2.1 旋转矩阵性质

    2.1.1 特性一

    在这里插入图片描述
    由于前后向量互换位置不改变结果:

    在这里插入图片描述
    所以 :

    {B}相对于{A}的旋转矩阵={A}相对于{B}的旋转矩阵的转置矩阵
    在这里插入图片描述

    2.1.2 特性二

    旋转矩阵的转置矩阵×旋转矩阵=单位矩阵
    在这里插入图片描述我们知道,一个矩阵和自己的逆矩阵相乘时才会等于单位矩阵,所以:
    旋转矩阵的转置矩阵=旋转矩阵的逆矩阵
    在这里插入图片描述

    2.1.3 特性三

    旋转矩阵是正交矩阵:由于旋转矩阵的三个列向量都是单位矢量且两两垂直,相当于给了六个关系条件,所以旋转矩阵的9个元素中只有3个是独立的,这里展现了数学描述和物理中的对应。

    2.2 Rotation Matrix 与旋转角

    • 空间中的Rotation是3 DOFs,那要如何把一般rotation matrix 所表达的姿态,拆解成3次旋转角度以对应到3个DOFs ?
    • 拆解成【三次旋转连乘】所需注意事项:
      1)多次旋转的先后顺序必须明确,因为旋转次序不同,旋转的最终姿态将不同
      2)旋转转轴要明确定义,旋转是针对谁而言的

    2.2.1 针对Z轴旋转

    在这里插入图片描述

    2.2.2 针对X轴旋转

    在这里插入图片描述

    2.2.3 针对Y轴旋转

    在这里插入图片描述例题:
    在这里插入图片描述

    2.3 旋转矩阵的三种用途

    • 描述一个 frame 相对于另一个 frame 的姿态
    • 将 point 由某一个 frame 表达换到另一个和此 frame 仅有相对转动的 frame 来表达在这里插入图片描述 - 将 point(vector)在同一个 frame 中进行转动
      在这里插入图片描述

    2.4 旋转的拆解方式

    2.4.1 Fixed angles——对方向固定不动的转轴旋转

    旋转过程:X→Y→Z
    由 angles 推算 R:

    在这里插入图片描述
    数学描述:
    在这里插入图片描述
    注意这里!先转的要放在后面,是因为放在后面在相乘的时候才会被先操作到:

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    例题:

    在这里插入图片描述
    由 R 推算 angles:

    在这里插入图片描述例题:
    在这里插入图片描述

    2.4.2 Euler angles——对转动的frame当下所在的转轴方向旋转

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    例题:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    例题:

    在这里插入图片描述

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  • 上一篇文章已经详细介绍了我们应该如何对刚体的运动状态进行描述,接下来,我们对于刚体转动状态描述里面的旋转矩阵(Rotation Matrix)进行更深一步的探究。 1)Rotation Matrix的特性 B相对于A的旋转矩阵,就等着A...

    上一篇文章已经详细介绍了我们应该如何对刚体的运动状态进行描述,接下来,我们对于刚体转动状态(姿态)描述里面的旋转矩阵(Rotation Matrix)进行更深一步的探究。

    1)Rotation Matrix的特性
    B相对于A的旋转矩阵,就等于A相对于B的旋转矩阵的转置
    在这里插入图片描述
    由下图可知,旋转矩阵是一个正交矩阵
    在这里插入图片描述
    其实在上一篇文章里面已经说过,旋转矩阵乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果。它是用9个量来表达一个旋转,但实际上一次旋转只有3个自由度(行列式为1提供了三个条件,两两互相垂直通过了三个条件)。

    2)对于Rotation Matrix和三个主轴转角的关系,我们应该如何处理?——拆解成三次旋转角度
    我们上一篇文章也简单介绍了欧拉角与旋转矩阵,这里我们进行具体的讲解。
    注意事项:
    明确多次旋转的先后顺序(对于移动而言,前后移动顺序没有影响);
    旋转轴也需要明确定义,是对固定不动的转轴旋转(Fixed angles)——空间中既定一个固定的x,y,x轴,刚体绕这三个轴进行转动;
    还是对当下的旋转轴本身进行旋转(Euler angles)——针对物体本身的坐标轴进行转动。
    以三个principal axes旋转的matrix为基础,进行分析
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    3)Rotation Matrix的三种用法
    1:描述一个frame相对于另外一个frame的姿态(b frame上面的三个主轴在a frame上面三个主轴的投影)
    2:可以将一个向量point由某一个frame的表达换到另外一个和这个frame有相对旋转的frame来表达
    3:将一个向量point在同一个frame中进行转动
    在这里插入图片描述

    4)针对前面提到的Fixed angles我们进行具体分析
    在这里插入图片描述
    如上图,绕固定轴旋转,右乘。
    对于上图的绕固定轴旋转,我们得知了旋转矩阵反推各个旋转角度:(中间的旋转角度不是90°时,只有唯一解)
    在这里插入图片描述

    5)针对前面提到的Euler angles我们进行具体分析
    在这里插入图片描述注意:这两个旋转方式之间还有一定的联系,如下图,两种旋转方式相等
    在这里插入图片描述

    总结:

    如何在空间上表达刚体的运动状态?
    在刚体上建立body frame(常建立在质心上)
    移动:由body frame的原点位置判定(相对于世界坐标的相对距离的向量来表示)
    转动:由body frame的姿态判定(三个坐标主轴相对于世界坐标系的方向来代表——投影到world frame上)

    那么在矩阵运算的时候如何把向量和旋转矩阵的运算整合到一个式子里面去?我们下一个章节进行介绍。

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  • 旋转矩阵的推导过程

    千次阅读 2018-10-29 19:56:49
    一个映射g:R3→R3\R^3 \to \R^3R3→R3如果满足一下两个特性,则是刚体变换 1. 长度保持不变:∥g(p)−g(q)=∥p−q∥\Vert g(p)-g(q)=\Vert p-q\Vert∥g(p)−g(q)=∥p−q∥, 所有p,q∈R3p,q\in\R^3p,q∈R3 2. 叉乘...

    刚体变换

    定义

    一个映射g:R3R3\R^3 \to \R^3如果满足一下两个特性,则是刚体变换
    1. 长度保持不变:g(p)g(q)=pq\Vert g(p)-g(q)=\Vert p-q\Vert, 所有p,qR3p,q\in\R^3
    2. 叉乘保持不变:g(v×w)=g(v)×g(w)g_*(v×w)=g_*(v)×g_*(w),所有向量v,wR3v,w\in\R^3


    旋转矩阵

    在这里插入图片描述

    A坐标系

    XA=[1 0]TX_A=[1\ 0]^T
    YA=[0 1]TY_A =[0\ 1]^T

    在A坐标系下的B坐标系

    XB=cosθXAXA+sinθXAYA=[cosθ 0 0]T+[0 sinθ 0]T=[cosθ sinθ 0]TX_B=cos\theta \|X_A\|X_A+sin\theta\|X_A\| Y_A=[cos\theta \ 0 \ 0]^T+[0\ sin\theta\ 0]^T=[cos\theta \ sin\theta \ 0]^T
    YB=sinθYAXA+cosθYAYA=[sinθ 0 0]T+[0 cosθ 0]T=[sinθ cosθ 0]TY_B=-sin\theta \|Y_A\|X_A+cos\theta \|Y_A\|Y_A=[-sin\theta \ 0 \ 0]^T+[0\ cos\theta\ 0]^T=[-sin\theta \ cos\theta \ 0]^T

    构造矩阵

    XB YBX_B\ Y_B放到一个矩阵里Rab=[XB YB]R_{ab}=[X_B \ Y_B],将之称为旋转矩阵

    意义

    将一个点的坐标值在不同的基底下进行变换
    P点在B坐标系下为PB(a,b)P_B(a,b),可以进行一下变换
    P=[XB YB][ab]    =aXB+bYB    =(cosθXA+sinθYA)a+(sinθXA+cosθYA)b    =[XA YA][cosθsinθsinθcosθ][ab]    =[XA YA]Rab[ab]P=[X_B\ Y_B]\begin{bmatrix} a \\b\\ \end{bmatrix}\\ \ \ \ \ =aX_B+bY_B \\ \ \ \ \ =(cos\theta X_A+sin\theta Y_A)a+(-sin\theta X_A+cos\theta Y_A)b\\ \ \ \ \ =[X_A\ Y_A]\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\b \\ \end{bmatrix}\\ \ \ \ \ =[X_A\ Y_A]R_{ab}\begin{bmatrix} a \\b \\ \end{bmatrix}
    可以看到,我们把基底从[XB YB][X_B\ Y_B]换成了[XA YA][X_A\ Y_A],也就是同一个点,在B坐标系下的坐标为[a b]T[a \ b]^T,在A坐标系下的坐标为R[a b]TR[a \ b]^T,可以理解为是空间中同一个点在不同的坐标系中(坐标系旋转了)的表示,也可以理解为同一个坐标系下,是点在运动(假设坐标系没动,那么动的就是点)。


    平移变换

    刚体变换除了旋转外还有平移运动,假设变换后的坐标系B的原点在原来坐标系A下为PAB=[x1 y1]TP_{AB}=[x_1 \ y_1]^T
    PA=RABPB+PABP_A=R_{AB}P_B+P_{AB}
    结合以上的推导,我们可以将刚体变换写成齐次坐标的形式
    PA=[RABPAB01][PB1]P_A=\begin{bmatrix} R_{AB} & P_{AB}\\ 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} P_{B} \\ 1\end{bmatrix}


    以上的推导同样可以拓展到三维空间里

    绕Z轴旋转的旋转矩阵

    RZ(θ)=[cosθsinθ0sinθcosθ0001]R_Z(\theta)=\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta &0\\ sin\theta & cos\theta & 0 \\0&0&1\end{bmatrix}

    绕Y轴旋转的旋转矩阵

    RY(θ)=[cosθ0sinθ010sinθ0cosθ]R_Y(\theta)=\begin{bmatrix} cos\theta &0& sin\theta \\ 0&1&0\\ -sin\theta &0& cos\theta \end{bmatrix}

    绕X轴旋转的旋转矩阵

    RX(θ)=[1000cosθsinθ0sinθcosθ]R_X(\theta)=\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&cos\theta&-sin\theta \\0&sin\theta&cos\theta\end{bmatrix}

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  • 二维平移旋转变换及其特性

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    本文主要内容 绕原点旋转变换矩阵 绕任意点旋转变换矩阵 刚体变换矩阵特性 构造旋转矩阵 基本旋转矩阵
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    万次阅读 2017-02-25 20:14:37
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空空如也

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旋转矩阵特性