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  • 旋转矩阵计算欧拉角 从旋转矩阵中找到所有可能的欧拉角的简单方法,在计算机图形学、视觉学、机器人学和运动学中,欧拉角的确定有时是必要的一步。然而,解决方案可能是明显的,也可能不是。 旋转矩阵 我们从三个...

    从旋转矩阵计算欧拉角

    从旋转矩阵中找到所有可能的欧拉角的简单方法,在计算机图形学、视觉学、机器人学和运动学中,欧拉角的确定有时是必要的一步。然而,解决方案可能是明显的,也可能不是。

    旋转矩阵

    我们从三个主要轴的旋转的标准定义开始。

    绕x轴的弧度旋转ψ\psi被定义为:
    Rx(ψ)=[1000cosψsinψ0sinψcosψ]R_{x}(\psi)=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \psi & -\sin \psi \\ 0 & \sin \psi & \cos \psi \end{array}\right]
    类似地,绕y轴旋转的弧度定义为
    Rx(ψ)=[cosθ0sinθ010sinθ0cosθ]R_{x}(\psi)=\left[\begin{array}{ccc} cos\theta & 0 & sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin\theta & 0 & cos\theta \end{array}\right]
    最后,定义了沿z轴旋转的弧度为
    Rz(ϕ)=[cosϕsinϕ0sinϕcosϕ0001]R_{z}(\phi)=\left[\begin{array}{ccc} \cos \phi & -\sin \phi & 0 \\ \sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
    这三个角ψ,θ,ϕ\psi,\theta, \phi是欧拉角

    广义旋转矩阵

    一般的旋转矩阵可以有这样的形式

    Rz(ϕ)=[R11R12R13R21R22R23R31R32R33]R_{z}(\phi)=\left[\begin{array}{ccc} R_{11}&R_{12}&R_{13} \\ R_{21}&R_{22}&R_{23} \\ R_{31}&R_{32} &R_{33} \end{array}\right]
    这个矩阵可以被认为是一个三旋转的序列,每个主轴各一个。因为矩阵乘法不能交换,旋转的轴的顺序将影响结果。在这个分析中,我们先绕xx轴旋转,然后绕yy轴旋转,最后绕zz轴旋转。这样的旋转序列可以用矩阵乘积表示。
    R=Rz(ϕ)Ry(θ)Rx(ψ)=[cosθcosϕsinψsinθcosϕcosψsinϕcosψsinθcosϕ+sinψsinϕcosθsinϕsinψsinθsinϕ+cosψcosϕcosψsinθsinϕsinψcosϕsinθsinψcosθcosψcosθ]\begin{aligned} R &=R_{z}(\phi) R_{y}(\theta) R_{x}(\psi) \\ &=\left[\begin{array}{ccc} \cos \theta \cos \phi & \sin \psi \sin \theta \cos \phi-\cos \psi \sin \phi & \cos \psi \sin \theta \cos \phi+\sin \psi \sin \phi \\ \cos \theta \sin \phi & \sin \psi \sin \theta \sin \phi+\cos \psi \cos \phi & \cos \psi \sin \theta \sin \phi-\sin \psi \cos \phi \\ -\sin \theta & \sin \psi \cos \theta & \cos \psi \cos \theta \end{array}\right] \end{aligned}
    给定一个旋转矩阵RR,通过将RR中的每个元素与矩阵乘Rz(ϕ),Ryθ,Rx(ψ)R_z(\phi),R_y{\theta},R_x(\psi)中的相应元素等价,可以计算出欧拉角ψ,θ,ϕ\psi,\theta, \phi。九个方程,可以用来找到欧拉角。

    求出两个可能的角度θ\theta

    R31R_{31}开始,我们发现
    R31=sinθR_{31}=-sin\theta
    这个方程可以倒过来表示
    θ=sin1(R31)\theta=-sin^{-1}(R_{31})
    然而,在解释这个等式时必须谨慎。由于$sin(\pi-\theta)=sin(\theta),实际上有两个不同的值(对于 R31±1R_{31} \not=\pm1)满足方程,因此,这两个值
    θ1=sin1(R31)\theta{1}=-sin^{-1}(R_{31})θ2=πθ1=π+sin1(R31)\theta_{2}=\pi-\theta_1=\pi+sin^{-1}(R_{31})
    都是有效的解。我们将在后面处理 R31=±1R_{31} =\pm1的特殊情况,因此使用旋转矩阵的R_{31}元素,我们能够确定两个可能的值。

    找到ψ\psi对应的角度

    想要找到ψ\psi的值,我们观察这一点
    R32R33=tan(ψ)\frac{R_{32}}{R_{33}}=tan(\psi)
    我们用这个方程来解出
    ψ=atan2(R32,R33)\psi=atan2(R_{32},R_{33})
    其中atan2(y,x)atan2(y, x)是两个变量xxyyarctanarctan,类似于计算yx\frac{y}{x}arctanarctan,只是用两个参数的符号来确定结果的象限,其范围为[π,π][-\pi,\pi],函数atan2atan2在许多编程语言中都可用。

    在解释方程22时必须小心,如果cos(θ)>0cos(\theta)>0,那么ψ=atan2(R32,R33)\psi=atan2(R_{32},R_{33})。然而,当cos(θ)<0cos(\theta)<0ψ=atan2(R32,R33)\psi=atan2(-R_{32},-R_{33})。处理这个问题的一个简单方法是使用这个方程
    ψ=atan2(R32cosθ,R33cosθ)\psi=atan2(\frac{R_{32}}{cos\theta},\frac{R_{33}}{cos\theta})
    去计算ψ\psi

    方程33对除cosθ=0cos\theta = 0之外的所有情况都有效。
    ψ=atan2(R32cosθ1,R33cosθ1)\psi=atan2(\frac{R_{32}}{cos\theta_{1}},\frac{R_{33}}{cos\theta_{1}})ψ=atan2(R32cosθ2,R33cosθ2)\psi=atan2(\frac{R_{32}}{cos\theta_{2}},\frac{R_{33}}{cos\theta_{2}})

    求出ϕ\phi对应的角度

    类似的分析也适用于寻找。我们观察到
    R21R11=tanϕ\frac{R_{21}}{R_{11}}=tan\phi
    我们用这个方程解出了ϕ\phi
    ψ=atan2(R21cosθ1,R11cosθ1)\psi=atan2(\frac{R_{21}}{cos\theta_{1}},\frac{R_{11}}{cos\theta_{1}})ψ=atan2(R21cosθ2,R11cosθ2)\psi=atan2(\frac{R_{21}}{cos\theta_{2}},\frac{R_{11}}{cos\theta_{2}})

    cosθ0cos\theta\not=0时的两个解

    对于cosθ0cos\theta\not=0的情况,我们现在有两个三个一组的欧拉角再现了旋转矩阵,为
    ψ1,θ1,ϕ1\psi_1,\theta_1,\phi_1ψ2,θ2,ϕ2\psi_2,\theta_2,\phi_2
    这两个解都是有效的。

    如果cosθ=0cos\theta=0呢?

    如果旋转矩阵的R31R_{31}元素为111−1,对应的θ=π2\theta=-\frac{\pi}{2}or θ=π2\theta=\frac{\pi}{2}cosθ=0cos\theta=0上述就不起作用。当我们尝试使用上述技术来解决可能的值ψ,ϕ\psi,\phi问题发生了,因为R11,R21,R32R33R_{11},R_{21},R_{32}和R_{33}可能值为00,因此ψ,ϕ\psi,\phi变为
    ψ=atan2(00,00)\psi=atan2(\frac{0}{0},\frac{0}{0})ϕ=atan2(00,00)\phi=atan2(\frac{0}{0},\frac{0}{0})
    这种情况下,R11R21R32R11、R21、R32R33R33没有约束ψ,ϕ\psi,\phi这些值。因此,我们必须利用旋转矩阵的不同元素来计算ψ,ϕ\psi,\phi

    θ=π2\theta=\frac{\pi}{2}
    R12=sinψcosϕcosψsinϕ=sin(ψϕ)R13=cosψcosϕ+sinψsinϕ=cos(ψϕ)R22=sinψsinϕ+cosψcosϕ=cos(ψϕ)=R13R23=cosψsinϕsinψcosϕ=sin(ψϕ)=R12\begin{array}{l} R_{12}=\sin \psi \cos \phi-\cos \psi \sin \phi=\sin (\psi-\phi) \\ R_{13}=\cos \psi \cos \phi+\sin \psi \sin \phi=\cos (\psi-\phi) \\ R_{22}=\sin \psi \sin \phi+\cos \psi \cos \phi=\cos (\psi-\phi)=R_{13} \\ R_{23}=\cos \psi \sin \phi-\sin \psi \cos \phi=-\sin (\psi-\phi)=-R_{12} \end{array}
    任意的ψ\psiϕ\phi都满足方程。我们会发现
    (ψϕ)=atan2(R12,R13)(\psi-\phi)=atan2(R_{12},R_{13})ψ=ϕ+atan2(R12,R13)\psi=\phi+atan2(R_{12},R_{13})
    θ=π2\theta=-\frac{\pi}{2}
    R12=sinψcosϕcosψsinϕ=sin(ψ+ϕ)R13=cosψcosϕ+sinψsinϕ=cos(ψ+ϕ)R22=sinψsinϕ+cosψcosϕ=cos(ψ+ϕ)=R13R23=cosψsinϕsinψcosϕ=sin(ψ+ϕ)=R12\begin{array}{l} R_{12}=-\sin \psi \cos \phi-\cos \psi \sin \phi=-\sin (\psi+\phi) \\ R_{13}=-\cos \psi \cos \phi+\sin \psi \sin \phi=-\cos (\psi+\phi) \\ R_{22}=-\sin \psi \sin \phi+\cos \psi \cos \phi=\cos (\psi+\phi)=-R_{13} \\ R_{23}=-\cos \psi \sin \phi-\sin \psi \cos \phi=-\sin (\psi+\phi)=R_{12} \end{array}
    同样
    (ψ+ϕ)=atan2(R12,R13)(\psi+\phi)=atan2(-R_{12},-R_{13})ψ=ϕ+atan2(R12,R13)\psi=-\phi+atan2(-R_{12},-R_{13})

    伪代码:

     if (R31±1)θ1=asin(R31)θ2=πθ1ψ1=atan2(R32cosθ1,R33cosθ1)ψ2=atan2(R32cosθ2,R33cosθ2)ϕ1=atan2(R21cosθ1,R11cosθ1)ϕ2=atan2(R21cosθ2,R11cosθ2) else ϕ= anything; can set to 0 if (R31=1)θ=π/2ψ=ϕ+atan2(R12,R13) else θ=π/2ψ=ϕ+atan2(R12,R13) end if  end if \begin{array}{l} \text { if }\left(R_{31} \neq\pm 1\right) \\ \theta_{1}=-\operatorname{asin}\left(R_{31}\right) \\ \theta_{2}=\pi-\theta_{1} \\ \psi_{1}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{R_{32}}{\cos \theta_{1}}, \frac{R_{33}}{\cos \theta_{1}}\right) \\ \psi_{2}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{R_{32}}{\cos \theta_{2}}, \frac{R_{33}}{\cos \theta_{2}}\right) \\ \phi_{1}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{R_{21}}{\cos \theta_{1}}, \frac{R_{11}}{\cos \theta_{1}}\right) \\ \phi_{2}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{R_{21}}{\cos \theta_{2}}, \frac{R_{11}}{\cos \theta_{2}}\right) \\ \text { else } \\ \begin{array}{c} \phi=\text { anything; can set to } 0 \\ \text { if }\left(R_{31}=-1\right) \\ \theta=\pi / 2 \\ \psi=\phi+\operatorname{atan} 2\left(R_{12}, R_{13}\right) \\ \text { else } \\ \quad \quad \theta=-\pi / 2 \\ \quad \psi=-\phi+\operatorname{atan} 2\left(-R_{12},-R_{13}\right) \\ \text { end if } \end{array} \\ \text { end if } \end{array}

    实际例子

    下面提供了一个例子,演示了从一个旋转矩阵中计算出ψ,θ,ϕ\psi,\theta, \phi
    假设要求我们找出产生这个矩阵的欧拉角
    Rz(ϕ)=[.5.1464.8536.5.8536.1464.7071.5.5]R_{z}(\phi)=\left[\begin{array}{ccc} .5&-.1464&.8536 \\ .5&.8536&-.1464\\ -.7071&.5&.5 \end{array}\right]
    首先,求出可能θ\theta的取值
    θ1=sin(.7071)=π4\theta_1=-sin(-.7071)=\frac{\pi}{4}
    θ2=πθ1=3π4\theta_2=\pi-\theta_1=\frac{3\pi}{4}
    然后,我们找到相应的数值
    ψ1=atan2(.5cos(π/4),.5cos(π/4))=π4ψ2=atan2(.5cos(3π/4),.5cos(3π/4))=3π4\begin{array}{l} \psi_{1}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{.5}{\cos (\pi / 4)}, \frac{.5}{\cos (\pi / 4)}\right)=\frac{\pi}{4} \\ \psi_{2}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{.5}{\cos (3 \pi / 4)}, \frac{.5}{\cos (3 \pi / 4)}\right)=-\frac{3 \pi}{4} \end{array}

    ϕ1=atan2(.5cos(π/4),.5cos(π/4))=π4ϕ2=atan2(.5cos(3π/4),.5cos(3π/4))=3π4\begin{array}{l} \phi_{1}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{.5}{\cos (\pi / 4)}, \frac{.5}{\cos (\pi / 4)}\right)=\frac{\pi}{4} \\ \phi_{2}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{.5}{\cos (3 \pi / 4)}, \frac{.5}{\cos (3 \pi / 4)}\right)=-\frac{3 \pi}{4} \end{array}
    因此,解为
    (π4,π4,π4),(3π4,3π4,3π4)(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}),(-\frac{3\pi}{4},\frac{3\pi}{4},-\frac{3\pi}{4})

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  • 旋转矩阵计算欧拉角的方法

    千次阅读 2018-09-21 12:22:56
    版权声明:本文为博主原创文章,...//将投影矩阵分解为旋转矩阵和相机(内参)矩阵 Debug( "Euler Angle" ); Debug(euler_angles); } 无需判断奇异性,直接调用库函数,相对简单 转载自: ...
    版权声明:本文为博主原创文章,未经博主允许不得转载。 https://blog.csdn.net/lircsszz/article/details/80118051

    算法一:直接法

    1. bool isRotationMatrix(cv::Mat &R)
    2. {
    3. cv::Mat R_t;
    4. cv::transpose(R,R_t);
    5. cv::Mat shouldBeIdentity=R_t*R;
    6. cv::Mat I = cv::Mat::eye(3,3,shouldBeIdentity.type());
    7. return norm(I,shouldBeIdentity)< 1e-6;
    8. }
    9. void getEulerAngles(cv::Mat matrix)
    10. {
    11. assert(isRotationMatrix(matrix));
    12. float sy=sqrt(matrix.at<double>(0,0)*matrix.at<double>(0,0)+matrix.at<double>(1,0)*matrix.at<double>(1,0));
    13. bool singular = sy<1e-6;
    14. if(!singular)
    15. {
    16. theta_x=atan2(matrix.at<double>(2,1),matrix.at<double>(2,2));
    17. //theta_x= theta_x*180.0/3.1416 ;
    18. theta_y=atan2(-matrix.at<double>(2,0), sy);
    19. //theta_y= theta_y*180.0/3.1416 ;
    20. theta_z=atan2(matrix.at<double>(1,0), matrix.at<double>(0,0));
    21. //theta_z= theta_z*180.0/3.1416 ;
    22. }
    23. else
    24. {
    25. theta_x=atan2(-matrix.at<double>(1,2), matrix.at<double>(1,1));
    26. //theta_x= theta_x*180.0/3.1416 ;
    27. theta_y=atan2(-matrix.at<double>(2,0), sy);
    28. //theta_y= theta_y*180.0/3.1416 ;
    29. theta_z=0;
    30. //theta_z= theta_z*180.0/3.1416 ;
    31. }
    32. Debug("theta_x");
    33. Debug(theta_x);
    34. Debug("theta_y");
    35. Debug(theta_y);
    36. Debug("theta_z");
    37. Debug(theta_z);
    38. }

    NOTE:需要判断奇异性(singularity)!

    算法二:拆分法

    1. void getEulerAngles(cv::Mat &R,cv::Mat &t,cv::Mat &euler_angles)
    2. {
    3. cv::Mat camMatrix,rotMatrix,transVect,theta_x,theta_y,theta_z;
    4. cv::Mat rotation_vec;
    5. cv::Mat projMatrix = cv::Mat(3,4,CV_64FC1);
    6. //cv::Mat euler_angles = cv::Mat(3,1,CV_64FC1);
    7. cv::Mat out_intrinsics = cv::Mat(3,3,CV_64FC1);
    8. cv::Mat out_rotation = cv::Mat(3,3,CV_64FC1);
    9. cv::Mat out_translation = cv::Mat(4,1,CV_64FC1);
    10. cv::hconcat(R,t,projMatrix);//将R、t拼接维投影矩阵
    11. cv::decomposeProjectionMatrix(projMatrix,out_intrinsics,out_rotation,out_translation,
    12. cv::noArray(),cv::noArray(),cv::noArray(),euler_angles);
    13. //将投影矩阵分解为旋转矩阵和相机(内参)矩阵
    14. Debug("Euler Angle");
    15. Debug(euler_angles);
    16. }

    无需判断奇异性,直接调用库函数,相对简单


    转载自:https://blog.csdn.net/lircsszz/article/details/80118051

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  • 通过3维旋转矩阵计算欧拉角

    万次阅读 2015-01-21 17:19:58
    在得到3D模型的旋转矩阵(Rotation Matrix)后,需要求取3D模型的相对于各个轴的角度,有以下资料可查: 可参考的资料: 简易版:...

    在得到3D模型的旋转矩阵(Rotation Matrix)后,需要求取3D模型的相对于各个轴的角度,有以下资料可查:

    可参考的资料:

    简易版:点击打开链接

    通用版:点击打开链接

    因为实验过程中,没有超过+-90°的情况出现,我在这里使用了简单版。

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  • 两种由旋转矩阵计算欧拉角的办法

    千次阅读 2018-04-28 11:06:30
    算法一:直接法 bool isRotationMatrix(cv::Mat &R) ... //将投影矩阵分解为旋转矩阵和相机(内参)矩阵 Debug("Euler Angle"); Debug(euler_angles); } 无需判断奇异性,直接调用库函数,相对简单

    算法一:直接法

    bool isRotationMatrix(cv::Mat &R)
    {
    	cv::Mat R_t;
    	cv::transpose(R,R_t);
    	cv::Mat shouldBeIdentity=R_t*R;
    	cv::Mat I = cv::Mat::eye(3,3,shouldBeIdentity.type());
    	return norm(I,shouldBeIdentity)< 1e-6;
    } 
    
     void getEulerAngles(cv::Mat matrix)
    {
    
    	assert(isRotationMatrix(matrix));
    	
    	float sy=sqrt(matrix.at<double>(0,0)*matrix.at<double>(0,0)+matrix.at<double>(1,0)*matrix.at<double>(1,0));
    
    	bool singular = sy<1e-6;
    	
    	if(!singular)
    	{
    		theta_x=atan2(matrix.at<double>(2,1),matrix.at<double>(2,2));
    		//theta_x= theta_x*180.0/3.1416 ;
    		theta_y=atan2(-matrix.at<double>(2,0), sy);
    		//theta_y= theta_y*180.0/3.1416 ;
    		theta_z=atan2(matrix.at<double>(1,0), matrix.at<double>(0,0));
    		//theta_z= theta_z*180.0/3.1416 ;
    	}
    	else
    	{
    		theta_x=atan2(-matrix.at<double>(1,2), matrix.at<double>(1,1));
    		//theta_x= theta_x*180.0/3.1416 ;
    		theta_y=atan2(-matrix.at<double>(2,0), sy);
    		//theta_y= theta_y*180.0/3.1416 ;
    		theta_z=0;
    		//theta_z= theta_z*180.0/3.1416 ;
    	}
    	Debug("theta_x");
    	Debug(theta_x);
    	Debug("theta_y");
    	Debug(theta_y);
    	Debug("theta_z");
    	Debug(theta_z); 
    }

    NOTE:需要判断奇异性(singularity)!

    算法二:拆分法

      void getEulerAngles(cv::Mat &R,cv::Mat &t,cv::Mat &euler_angles)
    {
    	cv::Mat camMatrix,rotMatrix,transVect,theta_x,theta_y,theta_z;
    	cv::Mat rotation_vec;
    	cv::Mat projMatrix 		= cv::Mat(3,4,CV_64FC1);
    	//cv::Mat euler_angles 	= cv::Mat(3,1,CV_64FC1);
    	cv::Mat out_intrinsics  = cv::Mat(3,3,CV_64FC1);
    	cv::Mat out_rotation	= cv::Mat(3,3,CV_64FC1);
    	cv::Mat out_translation = cv::Mat(4,1,CV_64FC1);
    	cv::hconcat(R,t,projMatrix);//将R、t拼接维投影矩阵
    	cv::decomposeProjectionMatrix(projMatrix,out_intrinsics,out_rotation,out_translation,
    								  cv::noArray(),cv::noArray(),cv::noArray(),euler_angles);
    	//将投影矩阵分解为旋转矩阵和相机(内参)矩阵
    	Debug("Euler Angle");  
    	Debug(euler_angles);
    } 

    无需判断奇异性,直接调用库函数,相对简单



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    2019-03-04 23:49:04
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  • 、、分别是x、y,z轴。每一个旋转被应用于一个世界轴,而不是一个身体轴(这说的是个啥), 这里面、 ...Shoemake根据一个很小的阈值来测试计算的值——如果它低于这个阈值,那么矩阵元素大约减少到
  • 旋转矩阵欧拉角、四元数主要用于:向量的旋转、坐标系之间的转换、角位移计算、方位的平滑插值计算。 一、变换矩阵: 首先要区分旋转矩阵和变换矩阵: 旋转矩阵:向量绕某一个轴旋转,用3x3的矩阵表示。 ...
  • 问题:物体在三维空间中旋转两次(状态1,... 根据旋转矩阵A计算欧拉角,alpha, beta, gamma(三个坐标轴); 将欧拉角平均200份,根据欧拉角算出连续旋转矩阵。 由于欧拉角本身有一些缺点,再加上欧拉角平分2...
  • 如图坐标系OX1Y1OX_1Y_1OX1​Y1​经过逆时针旋转θ\thetaθ角变换为坐标系OX2Y2OX_2Y_2OX2​Y2​,其中P点坐标由(x1,y1)(x_1,y_1)(x1​,y1​)→(x2,y2)(x_2,y_2)(x2​,y2​) 现在我们需要推导出(x1,y1)→(x2,y2)...
  • 欧拉角用来计算空间中刚体的旋转位置,目的是改变刚体的朝向. 具体来说,空间中有一个点p和一根轴k,点p绕轴k旋转θ角度到p',求p'...内旋欧拉角旋转矩阵的推导过程 空间中刚体上一点p在固定坐标系oxyz中对应的向量为v.

空空如也

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旋转矩阵计算欧拉角