从旋转矩阵计算欧拉角
从旋转矩阵中找到所有可能的欧拉角的简单方法，在计算机图形学、视觉学、机器人学和运动学中，欧拉角的确定有时是必要的一步。然而，解决方案可能是明显的，也可能不是。
旋转矩阵
我们从三个主要轴的旋转的标准定义开始。
绕x轴的弧度旋转
ψ
\psi
ψ被定义为：
R
x
(
ψ
)
=
[
1
0
0
0
cos
ψ
−
sin
ψ
0
sin
ψ
cos
ψ
]
R_{x}(\psi)=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \psi & -\sin \psi \\ 0 & \sin \psi & \cos \psi \end{array}\right]
Rx(ψ)=⎣⎡1000cosψsinψ0−sinψcosψ⎦⎤
类似地，绕y轴旋转的弧度定义为
R
x
(
ψ
)
=
[
c
o
s
θ
0
s
i
n
θ
0
1
0
−
s
i
n
θ
0
c
o
s
θ
]
R_{x}(\psi)=\left[\begin{array}{ccc} cos\theta & 0 & sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin\theta & 0 & cos\theta \end{array}\right]
Rx(ψ)=⎣⎡cosθ0−sinθ010sinθ0cosθ⎦⎤
最后，定义了沿z轴旋转的弧度为
R
z
(
ϕ
)
=
[
cos
ϕ
−
sin
ϕ
0
sin
ϕ
cos
ϕ
0
0
0
1
]
R_{z}(\phi)=\left[\begin{array}{ccc} \cos \phi & -\sin \phi & 0 \\ \sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Rz(ϕ)=⎣⎡cosϕsinϕ0−sinϕcosϕ0001⎦⎤
这三个角
ψ
,
θ
,
ϕ
\psi,\theta, \phi
ψ,θ,ϕ是欧拉角
广义旋转矩阵
一般的旋转矩阵可以有这样的形式
R
z
(
ϕ
)
=
[
R
11
R
12
R
13
R
21
R
22
R
23
R
31
R
32
R
33
]
R_{z}(\phi)=\left[\begin{array}{ccc} R_{11}&R_{12}&R_{13} \\ R_{21}&R_{22}&R_{23} \\ R_{31}&R_{32} &R_{33} \end{array}\right]
Rz(ϕ)=⎣⎡R11R21R31R12R22R32R13R23R33⎦⎤
这个矩阵可以被认为是一个三旋转的序列，每个主轴各一个。因为矩阵乘法不能交换，旋转的轴的顺序将影响结果。在这个分析中，我们先绕
x
x
x轴旋转，然后绕
y
y
y轴旋转，最后绕
z
z
z轴旋转。这样的旋转序列可以用矩阵乘积表示。
R
=
R
z
(
ϕ
)
R
y
(
θ
)
R
x
(
ψ
)
=
[
cos
θ
cos
ϕ
sin
ψ
sin
θ
cos
ϕ
−
cos
ψ
sin
ϕ
cos
ψ
sin
θ
cos
ϕ
+
sin
ψ
sin
ϕ
cos
θ
sin
ϕ
sin
ψ
sin
θ
sin
ϕ
+
cos
ψ
cos
ϕ
cos
ψ
sin
θ
sin
ϕ
−
sin
ψ
cos
ϕ
−
sin
θ
sin
ψ
cos
θ
cos
ψ
cos
θ
]
\begin{aligned} R &=R_{z}(\phi) R_{y}(\theta) R_{x}(\psi) \\ &=\left[\begin{array}{ccc} \cos \theta \cos \phi & \sin \psi \sin \theta \cos \phi-\cos \psi \sin \phi & \cos \psi \sin \theta \cos \phi+\sin \psi \sin \phi \\ \cos \theta \sin \phi & \sin \psi \sin \theta \sin \phi+\cos \psi \cos \phi & \cos \psi \sin \theta \sin \phi-\sin \psi \cos \phi \\ -\sin \theta & \sin \psi \cos \theta & \cos \psi \cos \theta \end{array}\right] \end{aligned}
R=Rz(ϕ)Ry(θ)Rx(ψ)=⎣⎡cosθcosϕcosθsinϕ−sinθsinψsinθcosϕ−cosψsinϕsinψsinθsinϕ+cosψcosϕsinψcosθcosψsinθcosϕ+sinψsinϕcosψsinθsinϕ−sinψcosϕcosψcosθ⎦⎤
给定一个旋转矩阵
R
R
R，通过将
R
R
R中的每个元素与矩阵乘
R
z
(
ϕ
)
,
R
y
θ
,
R
x
(
ψ
)
R_z(\phi),R_y{\theta},R_x(\psi)
Rz(ϕ),Ryθ,Rx(ψ)中的相应元素等价，可以计算出欧拉角
ψ
,
θ
,
ϕ
\psi,\theta, \phi
ψ,θ,ϕ。九个方程，可以用来找到欧拉角。
求出两个可能的角度
θ
\theta
θ
从
R
31
R_{31}
R31开始，我们发现
R
31
=
−
s
i
n
θ
R_{31}=-sin\theta
R31=−sinθ
这个方程可以倒过来表示
θ
=
−
s
i
n
−
1
(
R
31
)
\theta=-sin^{-1}(R_{31})
θ=−sin−1(R31)
然而，在解释这个等式时必须谨慎。由于$sin(\pi-\theta)=sin(\theta)，实际上有两个不同的值（对于
R
31
≠
±
1
R_{31} \not=\pm1
R31=±1）满足方程，因此，这两个值
θ
1
=
−
s
i
n
−
1
(
R
31
)
\theta{1}=-sin^{-1}(R_{31})
θ1=−sin−1(R31)
θ
2
=
π
−
θ
1
=
π
+
s
i
n
−
1
(
R
31
)
\theta_{2}=\pi-\theta_1=\pi+sin^{-1}(R_{31})
θ2=π−θ1=π+sin−1(R31)
都是有效的解。我们将在后面处理
R
31
=
±
1
R_{31} =\pm1
R31=±1的特殊情况，因此使用旋转矩阵的R_{31}元素，我们能够确定两个可能的值。
找到
ψ
\psi
ψ对应的角度
想要找到
ψ
\psi
ψ的值，我们观察这一点
R
32
R
33
=
t
a
n
(
ψ
)
\frac{R_{32}}{R_{33}}=tan(\psi)
R33R32=tan(ψ)
我们用这个方程来解出
ψ
=
a
t
a
n
2
(
R
32
,
R
33
)
\psi=atan2(R_{32},R_{33})
ψ=atan2(R32,R33)
其中
a
t
a
n
2
(
y
,
x
)
atan2(y, x)
atan2(y,x)是两个变量
x
x
x和
y
y
y的
a
r
c
t
a
n
arctan
arctan，类似于计算
y
x
\frac{y}{x}
xy的
a
r
c
t
a
n
arctan
arctan，只是用两个参数的符号来确定结果的象限，其范围为
[
−
π
,
π
]
[-\pi,\pi]
[−π,π]，函数
a
t
a
n
2
atan2
atan2在许多编程语言中都可用。
在解释方程
2
2
2时必须小心，如果
c
o
s
(
θ
)
>
0
cos(\theta)>0
cos(θ)>0，那么
ψ
=
a
t
a
n
2
(
R
32
,
R
33
)
\psi=atan2(R_{32},R_{33})
ψ=atan2(R32,R33)。然而，当
c
o
s
(
θ
)
<
0
cos(\theta)<0
cos(θ)<0，
ψ
=
a
t
a
n
2
(
−
R
32
,
−
R
33
)
\psi=atan2(-R_{32},-R_{33})
ψ=atan2(−R32,−R33)。处理这个问题的一个简单方法是使用这个方程
ψ
=
a
t
a
n
2
(
R
32
c
o
s
θ
,
R
33
c
o
s
θ
)
\psi=atan2(\frac{R_{32}}{cos\theta},\frac{R_{33}}{cos\theta})
ψ=atan2(cosθR32,cosθR33)
去计算
ψ
\psi
ψ。
方程
3
3
3对除
c
o
s
θ
=
0
cos\theta = 0
cosθ=0之外的所有情况都有效。
ψ
=
a
t
a
n
2
(
R
32
c
o
s
θ
1
,
R
33
c
o
s
θ
1
)
\psi=atan2(\frac{R_{32}}{cos\theta_{1}},\frac{R_{33}}{cos\theta_{1}})
ψ=atan2(cosθ1R32,cosθ1R33)
ψ
=
a
t
a
n
2
(
R
32
c
o
s
θ
2
,
R
33
c
o
s
θ
2
)
\psi=atan2(\frac{R_{32}}{cos\theta_{2}},\frac{R_{33}}{cos\theta_{2}})
ψ=atan2(cosθ2R32,cosθ2R33)
求出
ϕ
\phi
ϕ对应的角度
类似的分析也适用于寻找。我们观察到
R
21
R
11
=
t
a
n
ϕ
\frac{R_{21}}{R_{11}}=tan\phi
R11R21=tanϕ
我们用这个方程解出了
ϕ
\phi
ϕ
ψ
=
a
t
a
n
2
(
R
21
c
o
s
θ
1
,
R
11
c
o
s
θ
1
)
\psi=atan2(\frac{R_{21}}{cos\theta_{1}},\frac{R_{11}}{cos\theta_{1}})
ψ=atan2(cosθ1R21,cosθ1R11)
ψ
=
a
t
a
n
2
(
R
21
c
o
s
θ
2
,
R
11
c
o
s
θ
2
)
\psi=atan2(\frac{R_{21}}{cos\theta_{2}},\frac{R_{11}}{cos\theta_{2}})
ψ=atan2(cosθ2R21,cosθ2R11)
c
o
s
θ
≠
0
cos\theta\not=0
cosθ=0时的两个解
对于
c
o
s
θ
≠
0
cos\theta\not=0
cosθ=0的情况，我们现在有两个三个一组的欧拉角再现了旋转矩阵，为
ψ
1
,
θ
1
,
ϕ
1
\psi_1,\theta_1,\phi_1
ψ1,θ1,ϕ1
ψ
2
,
θ
2
,
ϕ
2
\psi_2,\theta_2,\phi_2
ψ2,θ2,ϕ2
这两个解都是有效的。
如果
c
o
s
θ
=
0
cos\theta=0
cosθ=0呢？
如果旋转矩阵的
R
31
R_{31}
R31元素为
1
1
1或
−
1
−1
−1，对应的
θ
=
−
π
2
\theta=-\frac{\pi}{2}
θ=−2πor
θ
=
π
2
\theta=\frac{\pi}{2}
θ=2π，
c
o
s
θ
=
0
cos\theta=0
cosθ=0上述就不起作用。当我们尝试使用上述技术来解决可能的值
ψ
,
ϕ
\psi,\phi
ψ,ϕ问题发生了，因为
R
11
,
R
21
,
R
32
和
R
33
R_{11},R_{21},R_{32}和R_{33}
R11,R21,R32和R33可能值为
0
0
0，因此
ψ
,
ϕ
\psi,\phi
ψ,ϕ变为
ψ
=
a
t
a
n
2
(
0
0
,
0
0
)
\psi=atan2(\frac{0}{0},\frac{0}{0})
ψ=atan2(00,00)
ϕ
=
a
t
a
n
2
(
0
0
,
0
0
)
\phi=atan2(\frac{0}{0},\frac{0}{0})
ϕ=atan2(00,00)
这种情况下，
R
11
、
R
21
、
R
32
R11、R21、R32
R11、R21、R32和
R
33
R33
R33没有约束
ψ
,
ϕ
\psi,\phi
ψ,ϕ这些值。因此，我们必须利用旋转矩阵的不同元素来计算
ψ
,
ϕ
\psi,\phi
ψ,ϕ。
θ
=
π
2
\theta=\frac{\pi}{2}
θ=2π：
R
12
=
sin
ψ
cos
ϕ
−
cos
ψ
sin
ϕ
=
sin
(
ψ
−
ϕ
)
R
13
=
cos
ψ
cos
ϕ
+
sin
ψ
sin
ϕ
=
cos
(
ψ
−
ϕ
)
R
22
=
sin
ψ
sin
ϕ
+
cos
ψ
cos
ϕ
=
cos
(
ψ
−
ϕ
)
=
R
13
R
23
=
cos
ψ
sin
ϕ
−
sin
ψ
cos
ϕ
=
−
sin
(
ψ
−
ϕ
)
=
−
R
12
\begin{array}{l} R_{12}=\sin \psi \cos \phi-\cos \psi \sin \phi=\sin (\psi-\phi) \\ R_{13}=\cos \psi \cos \phi+\sin \psi \sin \phi=\cos (\psi-\phi) \\ R_{22}=\sin \psi \sin \phi+\cos \psi \cos \phi=\cos (\psi-\phi)=R_{13} \\ R_{23}=\cos \psi \sin \phi-\sin \psi \cos \phi=-\sin (\psi-\phi)=-R_{12} \end{array}
R12=sinψcosϕ−cosψsinϕ=sin(ψ−ϕ)R13=cosψcosϕ+sinψsinϕ=cos(ψ−ϕ)R22=sinψsinϕ+cosψcosϕ=cos(ψ−ϕ)=R13R23=cosψsinϕ−sinψcosϕ=−sin(ψ−ϕ)=−R12
任意的
ψ
\psi
ψ和
ϕ
\phi
ϕ都满足方程。我们会发现
(
ψ
−
ϕ
)
=
a
t
a
n
2
(
R
12
,
R
13
)
(\psi-\phi)=atan2(R_{12},R_{13})
(ψ−ϕ)=atan2(R12,R13)
ψ
=
ϕ
+
a
t
a
n
2
(
R
12
,
R
13
)
\psi=\phi+atan2(R_{12},R_{13})
ψ=ϕ+atan2(R12,R13)
θ
=
−
π
2
\theta=-\frac{\pi}{2}
θ=−2π：
R
12
=
−
sin
ψ
cos
ϕ
−
cos
ψ
sin
ϕ
=
−
sin
(
ψ
+
ϕ
)
R
13
=
−
cos
ψ
cos
ϕ
+
sin
ψ
sin
ϕ
=
−
cos
(
ψ
+
ϕ
)
R
22
=
−
sin
ψ
sin
ϕ
+
cos
ψ
cos
ϕ
=
cos
(
ψ
+
ϕ
)
=
−
R
13
R
23
=
−
cos
ψ
sin
ϕ
−
sin
ψ
cos
ϕ
=
−
sin
(
ψ
+
ϕ
)
=
R
12
\begin{array}{l} R_{12}=-\sin \psi \cos \phi-\cos \psi \sin \phi=-\sin (\psi+\phi) \\ R_{13}=-\cos \psi \cos \phi+\sin \psi \sin \phi=-\cos (\psi+\phi) \\ R_{22}=-\sin \psi \sin \phi+\cos \psi \cos \phi=\cos (\psi+\phi)=-R_{13} \\ R_{23}=-\cos \psi \sin \phi-\sin \psi \cos \phi=-\sin (\psi+\phi)=R_{12} \end{array}
R12=−sinψcosϕ−cosψsinϕ=−sin(ψ+ϕ)R13=−cosψcosϕ+sinψsinϕ=−cos(ψ+ϕ)R22=−sinψsinϕ+cosψcosϕ=cos(ψ+ϕ)=−R13R23=−cosψsinϕ−sinψcosϕ=−sin(ψ+ϕ)=R12
同样
(
ψ
+
ϕ
)
=
a
t
a
n
2
(
−
R
12
,
−
R
13
)
(\psi+\phi)=atan2(-R_{12},-R_{13})
(ψ+ϕ)=atan2(−R12,−R13)
ψ
=
−
ϕ
+
a
t
a
n
2
(
−
R
12
,
−
R
13
)
\psi=-\phi+atan2(-R_{12},-R_{13})
ψ=−ϕ+atan2(−R12,−R13)
伪代码：
if
(
R
31
≠
±
1
)
θ
1
=
−
asin
(
R
31
)
θ
2
=
π
−
θ
1
ψ
1
=
atan
2
(
R
32
cos
θ
1
,
R
33
cos
θ
1
)
ψ
2
=
atan
2
(
R
32
cos
θ
2
,
R
33
cos
θ
2
)
ϕ
1
=
atan
2
(
R
21
cos
θ
1
,
R
11
cos
θ
1
)
ϕ
2
=
atan
2
(
R
21
cos
θ
2
,
R
11
cos
θ
2
)
else
ϕ
=
anything; can set to
0
if
(
R
31
=
−
1
)
θ
=
π
/
2
ψ
=
ϕ
+
atan
2
(
R
12
,
R
13
)
else
θ
=
−
π
/
2
ψ
=
−
ϕ
+
atan
2
(
−
R
12
,
−
R
13
)
end if
end if
\begin{array}{l} \text { if }\left(R_{31} \neq\pm 1\right) \\ \theta_{1}=-\operatorname{asin}\left(R_{31}\right) \\ \theta_{2}=\pi-\theta_{1} \\ \psi_{1}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{R_{32}}{\cos \theta_{1}}, \frac{R_{33}}{\cos \theta_{1}}\right) \\ \psi_{2}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{R_{32}}{\cos \theta_{2}}, \frac{R_{33}}{\cos \theta_{2}}\right) \\ \phi_{1}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{R_{21}}{\cos \theta_{1}}, \frac{R_{11}}{\cos \theta_{1}}\right) \\ \phi_{2}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{R_{21}}{\cos \theta_{2}}, \frac{R_{11}}{\cos \theta_{2}}\right) \\ \text { else } \\ \begin{array}{c} \phi=\text { anything; can set to } 0 \\ \text { if }\left(R_{31}=-1\right) \\ \theta=\pi / 2 \\ \psi=\phi+\operatorname{atan} 2\left(R_{12}, R_{13}\right) \\ \text { else } \\ \quad \quad \theta=-\pi / 2 \\ \quad \psi=-\phi+\operatorname{atan} 2\left(-R_{12},-R_{13}\right) \\ \text { end if } \end{array} \\ \text { end if } \end{array}
if (R31=±1)θ1=−asin(R31)θ2=π−θ1ψ1=atan2(cosθ1R32,cosθ1R33)ψ2=atan2(cosθ2R32,cosθ2R33)ϕ1=atan2(cosθ1R21,cosθ1R11)ϕ2=atan2(cosθ2R21,cosθ2R11) else ϕ= anything; can set to 0 if (R31=−1)θ=π/2ψ=ϕ+atan2(R12,R13) else θ=−π/2ψ=−ϕ+atan2(−R12,−R13) end if end if
实际例子
下面提供了一个例子，演示了从一个旋转矩阵中计算出
ψ
,
θ
,
ϕ
\psi,\theta, \phi
ψ,θ,ϕ。
假设要求我们找出产生这个矩阵的欧拉角
R
z
(
ϕ
)
=
[
.
5
−
.
1464
.
8536
.
5
.
8536
−
.
1464
−
.
7071
.
5
.
5
]
R_{z}(\phi)=\left[\begin{array}{ccc} .5&-.1464&.8536 \\ .5&.8536&-.1464\\ -.7071&.5&.5 \end{array}\right]
Rz(ϕ)=⎣⎡.5.5−.7071−.1464.8536.5.8536−.1464.5⎦⎤
首先，求出可能
θ
\theta
θ的取值
θ
1
=
−
s
i
n
(
−
.
7071
)
=
π
4
\theta_1=-sin(-.7071)=\frac{\pi}{4}
θ1=−sin(−.7071)=4π
θ
2
=
π
−
θ
1
=
3
π
4
\theta_2=\pi-\theta_1=\frac{3\pi}{4}
θ2=π−θ1=43π
然后，我们找到相应的数值
ψ
1
=
atan
2
(
.
5
cos
(
π
/
4
)
,
.
5
cos
(
π
/
4
)
)
=
π
4
ψ
2
=
atan
2
(
.
5
cos
(
3
π
/
4
)
,
.
5
cos
(
3
π
/
4
)
)
=
−
3
π
4
\begin{array}{l} \psi_{1}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{.5}{\cos (\pi / 4)}, \frac{.5}{\cos (\pi / 4)}\right)=\frac{\pi}{4} \\ \psi_{2}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{.5}{\cos (3 \pi / 4)}, \frac{.5}{\cos (3 \pi / 4)}\right)=-\frac{3 \pi}{4} \end{array}
ψ1=atan2(cos(π/4).5,cos(π/4).5)=4πψ2=atan2(cos(3π/4).5,cos(3π/4).5)=−43π
ϕ
1
=
atan
2
(
.
5
cos
(
π
/
4
)
,
.
5
cos
(
π
/
4
)
)
=
π
4
ϕ
2
=
atan
2
(
.
5
cos
(
3
π
/
4
)
,
.
5
cos
(
3
π
/
4
)
)
=
−
3
π
4
\begin{array}{l} \phi_{1}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{.5}{\cos (\pi / 4)}, \frac{.5}{\cos (\pi / 4)}\right)=\frac{\pi}{4} \\ \phi_{2}=\operatorname{atan} 2\left(\frac{.5}{\cos (3 \pi / 4)}, \frac{.5}{\cos (3 \pi / 4)}\right)=-\frac{3 \pi}{4} \end{array}
ϕ1=atan2(cos(π/4).5,cos(π/4).5)=4πϕ2=atan2(cos(3π/4).5,cos(3π/4).5)=−43π
因此，解为
(
π
4
,
π
4
,
π
4
)
,
(
−
3
π
4
,
3
π
4
,
−
3
π
4
)
(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}),(-\frac{3\pi}{4},\frac{3\pi}{4},-\frac{3\pi}{4})
(4π,4π,4π),(−43π,43π,−43π)
