显式欧拉法
 
隐式欧拉法
 
中点欧拉法
 
梯形欧拉法
 
 
 
 
 
误差
 
 
 
 
 
 
例子
 

 
 
在方法的内部会为匹配到的所有元素进行循环遍历，执行相应的方法，而不用我们再进行循环，简化我们的操作，方便我们调用,这就叫做隐式迭代　　
   
我想把ul下的每个li都加个样式jquery写法就是:$("ul li").addClass("test"),就是把ul下的每一个li都加了test的样式，我们并没有去取得所有li然后循环加样式
如果获取的是多元素的值，大部分情况下返回的是第一个元素的值
each方法：大部分情况下是不需要使用each方法的，因为jquery有隐式迭代的特性，但是如果要对每个元素做不同的处理就要用到each方法了
 
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简介
 
     所谓显式和隐式，是指求解方法的不同，即数学上的出发点不一样。并不是说显式只能求动力学问题，隐式只能求静力学问题，只是求解策略不通。
      显式求解是对时间进行差分，不存在迭代和收敛问题，最小时间步取决于最小单元的尺寸。过多和过小的时间步往往导致求解时间非常漫长，但总能给出一个计算结果。解题费用非常昂贵。因此在建模划分网格时要非常注意。
 
   隐式求解和时间无关，采用的是牛顿迭代法（线性问题就直接求解线性代数方程组），因此存在一个迭代收敛问题，不收敛就的不到结果。
 
         两者求解问题所耗时间的长短理论上无法比较。实际应用中一般感觉来说显式耗时多些。由于两者解题的出发点，所以一般来说显式用于求解和时间相关的动力学问题。隐式用来求解和时间无关的静力学问题。但也不是绝对的。比如，用隐式求解时，为了克服迭代不收敛，改用显式算，但是要多给点时间，这样虽然克服了不收敛的问题，但是求解的时间费用也是相当客观的。另外，隐式也可以求解动力学问题。
         显式求解与隐式在数学上说主要是在求解的递推公式一个是用显式方程表示，一个是用影视方程来表示。比如a(n)=a(n-1)+b(n-1),后一次迭代可以由前一次直接求解，这就是显示方程，如果a(n)=a(n-1)+f[a(n)]，f[a(n))为a(n)的函数，此时a(n) 不能用方程显示表示，及数学上的隐函数，一般很难直接求解，多用迭代试算法间接求解。有限元在求解动力学问题中直接积分法中的中心差分积分就是显示求解，而Newmark积分法则为隐式积分。
 

 隐式积分求解有限元问题
 
      假设现在一个物体已经被离散成有点个单元。
 
 
       显式求解与隐式在数学上说主要是在求解的递推公式一个是用显式方程表示，一个是用影视方程来表示。比如a(n)=a(n-1)+b(n-1),后一次迭代可以由前一次直接求解，这就是显示方程，如果a(n)=a(n-1)+f[a(n)]，f[a(n))为a(n)的函数，此时a(n) 不能用方程显示表示，及数学上的隐函数，一般很难直接求解，多用迭代试算法间接求解。有限元在求解动力学问题中直接积分法中的中心差分积分就是显示求解，而Newmark积分法则为隐式积分。显式求解与隐式在数学上说主要是在求解的递推公式一个是用显式方程表示，一个是用影视方程来表示。比如a(n)=a(n-1)+b(n-1),后一次迭代可以由前一次直接求解，这就是显示方程，如果a(n)=a(n-1)+f[a(n)]，f[a(n))为a(n)的函数，此时a(n) 不能用方程显示表示，及数学上的隐函数，一般很难直接求解，多用迭代试算法间接求解。
 
      有限元在求解动力学问题中直接积分法中的中心差分积分就是显示求解，而Newmark积分法则为隐式积分。显式求解与隐式在数学上说主要是在求解的递推公式一个是用显式方程表示，一个是用影视方程来表示。比如a(n)=a(n-1)+b(n-1),后一次迭代可以由前一次直接求解，这就是显示方程，如果a(n)=a(n-1)+f[a(n)]，f[a(n))为a(n)的函数，此时a(n) 不能用方程显示表示，及数学上的隐函数，一般很难直接求解，多用迭代试算法间接求解。有限元在求解动力学问题中直接积分法中的中心差分积分就是显示求解，而Newmark积分法则为隐式积分。
 

 
       首先定义几个变量：

 
      x ： 当前物体位置；则 表示速度，表示加速度。
 
      为物体的质量矩阵，
 

 
 
对于牛顿第二定律： F=ma，用矩阵的形式表示的话:
 
其中：表示物体在X位置下，速度为X导的情况下的受力。
 

 
 
首先问题的初始条件是初始位移和初始速度。
 
目的是求得h时间后的位移和速度。
 

 
 
对于式子：
 

 
 

 
 
若用显示欧拉求解，记，，则可得到：
 

 
 
这样，就利用欧拉前向方法在小步长的条件下求得当前状态的位置和速度。
 

 
 
对于欧拉隐式解法，上式就变成了
 

 
 
前向解法和后向解法的区别就是前向的求解只依赖于前一时刻的状态量，而后向求解则不仅依赖于前一时刻的状态，还依赖于当前时刻的状态。
 
上式是一个非线性方程，不好直接求解，先对 f 进行泰勒级数展开：
 

 
 
代入原式：
 

 
 

 
 
 

 
 
用 I 表示单位矩阵，对上式进行移项，有
 
 

 
 
通过这个式子很容易求得 detaV，然后detaX也可以求出，那么当前时刻的状态就求出来了。
 

 
 
参考
 
Large Steps in Cloth Simulation
 
 

本人初学者，零基础入门（大二数学基础），因此本教程还算比较舒适，但是也免不了有错误，还请批评指正。
 
 
数值积分
 
数值积分，是用于求定积分的近似值的一种方法。在数学分析中，有很多计算给定函数的定积分是不可行的，而数值积分是利用黎曼积分等数学定义，用数值逼近的方法近似计算给定的定积分值。借助计算机和编程，数值积分可以快速而有效地计算复杂的积分。
 
 
欧拉方法
 
欧拉方法是一种数值积分方法，又称为欧拉折线法，是用折线来逼近曲线的一种方法。
 
例如$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$，可以转化为$y_{n+1}-y_n=f(x_n,y_n)h$，其中h则为折线的步长。
 
由泰勒公式$y(x+h)=y(x)+y^{{}^{\prime }}(x)h+o(h)$，可以看出欧拉公式实际上是泰勒公式的离散形式。很显然，h越小，欧拉方法的结果越精确，h越大，结果越不精确。
 
但是h较大时，除了不精确之外，还会导致使用欧拉方法得到的值不收敛，即不稳定。
 
欧拉方法分为显式积分和隐式积分两种形式，其中显式积分条件稳定，隐式积分无条件稳定：
 
 
 
弹簧质点系统
 
在清楚了数值积分的解决方法之后，我们使用它来解决一个最简单的物理模拟问题——弹簧质点系统。
 
弹簧质点系统中主要有弹力和阻力。
 
 
 总结弹力和阻力的计算公式如下：
 
$$\{\begin{array}{c}f(x_a{)}_s=-k_s\frac{x_a-x_b}{||x_a-x_b||}(||x_a-x_b||-l)\\ \\ f(x_a{)}_d=-k_d\frac{x_a-x_b}{||x_a-x_b||}(x_a^{{}^{\prime }}-x_b^{{}^{\prime }})\cdot \frac{x_a-x_b}{||x_a-x_b||}\end{array}$$
 
显式方法
 
$$\{\begin{array}{c}{f}_t={\sum }_{b=0}^{n}f(x_a{)}_s+{\sum }_{b=0}^{n}f(x_a{)}_d\\ \\ v_{t+dt}=v_t+dt\ast \frac{f_t}{m}\\ \\ x_{t+dt}=x_t+dt\ast v_t\end{array}$$
 
显式方法直接实现即可。
 
半隐式方法
 
$$\{\begin{array}{c}{v}_{t+dt}=v_t+dt\ast \frac{f_t}{m}\\ \\ x_{t+dt}=x_t+dt\ast v_{t+dt}\end{array}$$
 
可以直接实现，求速度时使用显式，求位移时使用隐式。
 
隐式方法
 
$$\{\begin{array}{c}{v}_{t+dt}=v_t+dt\ast \frac{f_{t+dt}}{m}\\ \\ x_{t+dt}=x_t+dt\ast v_{t+dt}\end{array}$$
 
隐式方法需要进行特殊的推导。
 
由泰勒公式的一阶展开，可以得到f的近似：
 
$f_{t+dt}=f_t+\frac{\partial f}{\partial x}△x+\frac{\partial f}{\partial v}△v$
 
代入上式，可以求得△v的表示形式为：
 
$△v=v_{t+dt}-v_t=dt\ast \frac{f_{t+dt}}{m}$
 
$△v=\frac{dt}{m}\ast (f_t+\frac{\partial f}{\partial x}△x+\frac{\partial f}{\partial v}△v)$
 
将△x也表示为△v的式子：
 
$△x=x_{t+dt}-x_t=dt\ast v_{t+dt}=dt\ast (v_t+△v)$
 
代入上式，消去△x：
 
$△v=\frac{dt}{m}\ast (f_t+dt\ast \frac{\partial f}{\partial x}(v_t+△v)+\frac{\partial f}{\partial v}△v)$
 
展开括号：
 
$△v=\frac{dt}{m}\ast f_t+\frac{d{t}^2}{m}\frac{\partial f}{\partial x}{v}_t+\frac{d{t}^2}{m}\frac{\partial f}{\partial x}△v+\frac{dt}{m}\frac{\partial f}{\partial v}△v$
 
移项：
 
$△v-\frac{d{t}^2}{m}\frac{\partial f}{\partial x}△v-\frac{dt}{m}\frac{\partial f}{\partial v}△v=\frac{dt}{m}\ast f_t+\frac{d{t}^2}{m}\frac{\partial f}{\partial x}{v}_t$
 
整理：
 
$(1-\frac{d{t}^2}{m}\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{dt}{m}\frac{\partial f}{\partial v})△v=\frac{dt}{m}(f_t+dt\ast \frac{\partial f}{\partial x}{v}_t)$
 
别忘了我们操作的是一个矩阵：
 
$(I-\frac{d{t}^2}{M}\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{dt}{M}\frac{\partial f}{\partial v})△v=\frac{dt}{M}(f_t+dt\ast \frac{\partial f}{\partial x}{v}_t)$
 
两边乘以M：
 
$(M-d{t}^2\frac{\partial f}{\partial x}-dt\frac{\partial f}{\partial v})△v=dt(f_t+dt\ast \frac{\partial f}{\partial x}{v}_t)$
 
解隐式积分需要求解上述的线性方程组，并解出△v。
 
其中$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial v}$的计算方法在参考文献中写的很清楚，这里直接给出结果：
 
 
 
 
 
 
雅克比迭代
 
在隐式方法中，最终需要求解的线性方程组往往是一个巨大的稀疏矩阵，因此很难通过矩阵求逆的方式求解，这里介绍最简单的迭代求解线性方程组的方法——雅克比迭代。
 

 
 
 
实例代码
 
弹簧质点系统的显式方法
 
弹簧质点系统的隐式方法
 
 
 
代码由python语言以及taichi框架编写而成。
 
 
单击鼠标添加质点，相邻质点自动添加弹簧，其中红色弹簧表示伸长中，绿色弹簧表示收缩中。
 
 
 
公式和求导部分参考
 隐式方法推导部分参考
 雅克比迭代部分参考