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  • 最优化理论 运筹学
    2021-04-18 09:20:35

    前言

    运筹学在自然科学、社会科学、工程技术、生产实践、经济建设及现代化管理中有着重要的意义。随着科学技术和社会经济建设的不断发展,运筹学得到了迅速的发展和广泛的应用。作为运筹学的重要组成部分——线性规划、非线性规划、目标规划、整数规划、层次分析法、遗传算法等内容成为管理、经济类以及大多数工科类学生所应具备的知识和学习其他相应课程的重要基础。本书根据管理、经济类以及大多数工种类学生知识结构的需要,利用MATLAB软件的特性,在理论知识与实际应用目标间建立桥梁。.

    本书是一本有关对运筹学与最优化理论、方法知识的理解、认识与提高的参考教材,可以独立使用。同时,它也可以作为《运筹学与最优化方法》(吴祈宗编著,机械工业出版社出版)的重要补充参考教材。由于运筹学与最优化方法涉及的数学基础较多,所以对于工科、管理、经济类的硕士研究生来说,完全从理论方面掌握这些必要的基础难度较大。考虑到运筹学与最优化方法理论性及应用性密切结合的特征,要学好这门课程必须注重对运筹学本质性知识的掌握,并需在实践中能够灵活运用这些运筹学与最优化方面的知识。

    本书的编写原则是,注重教育思想和教育内容的改革,注意激发学生独立思考问题和创新的意识;把基础理论的研究、方法构造的思路、应用前景与利用MATLAB编程有机地结合起来;注重强调运筹学与实践的紧密联系,遵循“实践-理论-实践”的发展过程。..

    本书利用算法编程分析、算法语言实现、程序模块源码与教材文字配合,注意对学生知识结构的构建,把学科特征、较新发展成果、发展趋势与提高学生的研究、开创能力有机结合起来考虑,能使教学和自学收到较好的效果。

    在教育、教学中,培养学生自学能力是十分重要的,本书在这方面作了有益的探索。本书在编写过,程中,注意让学生感受、理解知识产生和发展的过程,培养学生的科学精神和创新思维习惯,重视培养学生收集处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力等。

    本书的编著由吴祈宗、郑志勇、邓伟、侯福均、朱世慧、刘颖、陈明超、吴明灯等多人协作完成。我们在编著过程中参考了大量的国内外有关文献,它们对本书的成文起了重要作用。在此对一切给予我们支持和帮助的朋友、同事、有关人员以及参考文献的作者一并表示衷心的感谢。

    限于编著者水平,书中难免有不当或失误之处,敬请广大读者批评指正。

    编者

    2009年7月...

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    以一个实际问题为例引出列生成算法。

    Cutting stockproblem 切割下料问题

    假设工厂有标准长度为218cm的钢管,现有客户需要44个长度为81cm的钢管,3个长度为70cm的钢卷,48个长度为68cm的钢卷。请问如何将标准长度为218cm的钢管进行切割,才能保证所使用标准长度钢管的数目最小?

    切法1:将1个标准长度的钢管切成1个81cm的钢管

    切法2:将1个标准长度的钢管切成1个70cm的钢管

    切法3:将1个标准长度的钢管切成1个68cm的钢管

    ……

    切法n:

    可能各位也发现上述3种切法有点浪费材料,但这么切一定能满足要求,所以可以作为文末求解该问题时的初始解

    还可以有好多种切法,文章的最后会对该问题进行求解。

     

    切割下料问题经典的数学模型如下所示:

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    线性规划的单纯形法的几何解释是什么? 

    很显然,用单纯形法求解线性规划问题,我们首先需要明白线性规划问题的可行域的边界实际上都是直线或者是平面,因此借用这位大神说的一句话“单纯形就是很多超平面围成的区域”,(超平面就是不止二维的线性空间)。书中讲到,单纯性方法的基本思想:就是从一个基本可行解出发,求一个使目标函数值有所改善的基本可行解;通过不断改进基本可行解,力图达到最优基本可行解

     

    其实基本可行解的概念,博主在最开始学习单纯形法的时候也是不理解,在查找各方面资料后理解了基本可行解的概念。

    优化 | 在单纯形法之前

     

     

    下面博主以书中的一道例题为例讲一下单纯形法的思路:

    首先第一步需要引入松弛变量,将约束条件的不等式转化成等式(也就是俗称的标准型):

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    最近博主复习了一下无约束问题最优化算法中的共轭梯度法。无约束问题最优化方法包括最速下降法、牛顿法、共轭梯度法、拟牛顿法等等。借用书中的一句话:

    无约束优化问题的求解通过一系列一维搜索来实现。因此怎样选择搜索方向是解无约束问题的核心,搜索方向的不同选择,形成不同的最优化方法

     

    既然我们说到搜索方向的不同选择会形成不同的最优化算法,那么今天复习的共轭梯度法是基于共轭方向的一种算法。那么问题来了,什么是共轭方向?

    其实说白了两个方向共轭和两个方向正交从某种角度来说意思差不多,只不过正交在观感上更容易被大家理解,而共轭也是两个方向之间一种特殊的关系,只不过是通过正定矩阵将这两个方向联系起来

     

    在介绍完共轭方向之后,接下来介绍共轭梯度法(简称FR法),书中说道:

    共轭梯度法的基本思想是把共轭性与最速下降方法相结合,利用已知点的梯度构造一组共轭方向,并沿这组方向进行搜索,求出目标函数的极小点

     

    接下来不太想给出完整的证明,如果各位小伙伴想看完整的证明可以看

    展开全文
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空空如也

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