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  • 现代应用数学手册_运筹学最优化理论
  • 运筹学最优化理论,线性规划等问题,数学推算等,以及优化软件介绍等。
  • 最近小编复习了一下无约束问题最优化算法中的共轭梯度法。无约束问题最优化方法包括最速下降法、牛顿法、共轭梯度法、拟牛顿法等等。借用书中的一句话: 无约束优化问题的求解通过一系列一维搜索来实现。因此怎样...

    最近博主复习了一下无约束问题最优化算法中的共轭梯度法。无约束问题最优化方法包括最速下降法、牛顿法、共轭梯度法、拟牛顿法等等。借用书中的一句话:

    无约束优化问题的求解通过一系列一维搜索来实现。因此怎样选择搜索方向是解无约束问题的核心,搜索方向的不同选择,形成不同的最优化方法

     

    既然我们说到搜索方向的不同选择会形成不同的最优化算法,那么今天复习的共轭梯度法是基于共轭方向的一种算法。那么问题来了,什么是共轭方向?

    其实说白了两个方向共轭和两个方向正交从某种角度来说意思差不多,只不过正交在观感上更容易被大家理解,而共轭也是两个方向之间一种特殊的关系,只不过是通过正定矩阵将这两个方向联系起来

     

    在介绍完共轭方向之后,接下来介绍共轭梯度法(简称FR法),书中说道:

    共轭梯度法的基本思想是把共轭性与最速下降方法相结合,利用已知点的梯度构造一组共轭方向,并沿这组方向进行搜索,求出目标函数的极小点

     

    接下来不太想给出完整的证明,如果各位小伙伴想看完整的证明可以看书学习。

    这里博主想给出用共轭梯度法求一个二次凸函数的求解步骤:

     

     

    其实不知道大家体会到没有,共轭梯度法的思路其实比较清晰,就两件事:首先确定搜索方向,然后确定沿该方向的搜索步长,只不过每一步的搜索方向都与上一步的搜索方向有关。我们可以这么理解,相比于最速下降法搜索方向一直是负梯度方向,共轭梯度法的搜索方向是对负梯度方向的一种修正,其实当前共轭梯度法的搜索方向与上一步的搜索方向关于正定矩阵共轭,所以我们在一开始才会引入共轭方向的概念。

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  • --题记可以理解机器学习用到了最优化,但是最优化却没有用到机器学习的方法(至少很少,难道最优化是自成一体吗)。机器学习常常是为了训练模型的得到模型参数。为了达到目的,模型的训练往往首先给参数赋上随机初值...

    随写啊。--题记

    可以理解机器学习用到了最优化,但是最优化却没有用到机器学习的方法(至少很少,难道最优化是自成一体吗)。

    机器学习常常是为了训练模型的得到模型参数。为了达到目的,模型的训练往往首先给参数赋上随机初值,然后用各种下降法来寻找能让分类错误率更小的参数设置,此时用到了最优化方法:梯度下降、牛顿法、共轭梯度法和Levenberg—Marquard法都是常见的方法。

    但是在优化的方法论里面,如何使用机器学习呢?这是一个开放性的问题

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  • 切割下料问题经典的数学模型如下所示: 但是这个数学模型从计算角度和理论角度而言效率不高。 主要原因是这个数学模型的线性松弛问题LP很差(即LP问题的解与原问题的解相差很大)。事实上,松弛问题LP的界为 改进的...

    以一个实际问题为例引出列生成算法。

    Cutting stockproblem 切割下料问题

    假设工厂有标准长度为218cm的钢管,现有客户需要44个长度为81cm的钢管,3个长度为70cm的钢卷,48个长度为68cm的钢卷。请问如何将标准长度为218cm的钢管进行切割,才能保证所使用标准长度钢管的数目最小?

    切法1:将1个标准长度的钢管切成1个81cm的钢管

    切法2:将1个标准长度的钢管切成1个70cm的钢管

    切法3:将1个标准长度的钢管切成1个68cm的钢管

    ……

    切法n:

    可能各位也发现上述3种切法有点浪费材料,但这么切一定能满足要求,所以可以作为文末求解该问题时的初始解

    还可以有好多种切法,文章的最后会对该问题进行求解。

     

    切割下料问题经典的数学模型如下所示:

    但是这个数学模型从计算角度和理论角度而言效率不高。

    主要原因是这个数学模型的线性松弛问题LP很差(即LP问题的解与原问题的解相差很大)。事实上,松弛问题LP的界为

     

    改进的数学模型

    符号:

     

     

    虽然上述模型看起来比第一个模型简单了,但是我们并不知道一共有多少种切法,所以这个模型无法用显式表达出来。

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  • 优化 | 在单纯形法之前 下面博主以书中的一道例题为例讲一下单纯形法的思路: 首先第一步需要引入松弛变量,将约束条件的不等式转化成等式(也就是俗称的标准型): 接下来博主用单纯形表求解上述问题。博主把求解...

    线性规划的单纯形法的几何解释是什么? 

    很显然,用单纯形法求解线性规划问题,我们首先需要明白线性规划问题的可行域的边界实际上都是直线或者是平面,因此借用这位大神说的一句话“单纯形就是很多超平面围成的区域”,(超平面就是不止二维的线性空间)。书中讲到,单纯性方法的基本思想:就是从一个基本可行解出发,求一个使目标函数值有所改善的基本可行解;通过不断改进基本可行解,力图达到最优基本可行解

     

    其实基本可行解的概念,博主在最开始学习单纯形法的时候也是不理解,在查找各方面资料后理解了基本可行解的概念。

    优化 | 在单纯形法之前

     

     

    下面博主以书中的一道例题为例讲一下单纯形法的思路:

    首先第一步需要引入松弛变量,将约束条件的不等式转化成等式(也就是俗称的标准型):

     

     

    接下来博主用单纯形表求解上述问题。博主把求解的过程写了下来,用单纯形表的求解过程与上述求解过程一一对应,各位小伙伴可以对照着看,这里博主没有介绍许多基本概念,目的是希望大家别被一些概念所迷惑,其实我们求解的目的只有一个:就是将目标函数中系数小于0的变量全都替换掉,我们期望的形式是目标函数中所有变量的系数全都大于0(PS:因为是求最小值问题,且变量都有大于等于0的限制)

     

     

     

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空空如也

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