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  • 此函数应用 L 方法(Salvador 和 Chan,2005 年)来估计评估图上的适当聚类数。 该软件已由作者在论文中创建和使用: [1] A. Zagouras, RH Inman, CFM Coimbra,关于确定用于公用事业规划和运营的相干太阳能微气候...
  • 在确定最佳聚类数的过程中采用K-means算法,针对K-means算法随机选择初始聚类中心的缺陷,提出以欧式距离度量样本相似度,基于样本方差,选出方差最小的前K个样本作为初始聚类中心,避免噪声点成为初始聚类中心,...
  • 然后,该函数使用 kmeans 和轮廓系数来确定最佳聚类数。 该函数输出每个 k 和最佳 k 的 S-score。 关于Silhouette聚类算法的详细信息,请参考以下链接: https://en.wikipedia.org/wiki/Silhouette_(聚类)
  • 文章目录主要内容确定最佳聚类数 本课程来自深度之眼,部分截图来自课程视频以及李航老师的《统计学习方法》第二版。 公式输入请参考:在线Latex公式 主要内容 确定最佳聚类数初步方法:理解给定阈值法,数据点散布...


    本课程来自深度之眼,部分截图来自课程视频以及李航老师的《统计学习方法》第二版。
    公式输入请参考: 在线Latex公式

    主要内容

    确定最佳聚类数初步方法:理解给定阈值法,数据点散布图法
    总离差平方和的分解:SST=SSA+SSE
    聚类相关统计量: R 2 R^2 R2统计量定义与表达式理解
    统计量法:半偏 R 2 R^2 R2统计量:半偏 R 2 R^2 R2统计量定义与表达式理解
    统计量法:伪F统计量:伪F统计量定义与表达式理解
    统计量法:伪 t 2 t^2 t2统计量:伪 t 2 t^2 t2统计量定义与表达式理解
    谱系图法:根据谱系图进行分类的准则
    伪F统计量案例分析:观察伪F统计量值与分类数的散点图,分析聚类树形图

    确定最佳聚类数

    选定某种聚类方法,按系统聚类的步骤并类后,得到谱系聚类图,反映样本(或变量)间的亲属关系。

    1、给定阈值

    给出合适的阀值 T T T,当类间距离 ≤ T \le T T时,形成的各个类中所包含的样品间关系密切,应属于同一类;反之不并类。

    2、数据点散布图

    a.若考察2个指标,可通过数据点的散布图直观确定类的个数。
    b.若考察3个指标,可通过绘制三维散布图,旋转三维坐标轴,由数据点的分布确定应分为几个类。
    c.若考察3个以上指标,可由这些指标综合出2个或3个综合变量,绘制数据点在综合变量上的散布图。

    3、根据统计量分析聚类数量

    预备知识

    总离差平方和(Sum of Squares Total)
    残差平方和(Sum of Squared Errors)
    回归平方和(Sum of Squares Regression )
    组间离差平方和 (Sum of Squares for factor A)

    这里关于总离差平方和的分解简单推导一下:
    ∑ i = 1 n ( y i − y ˉ ) 2 = ∑ k = 1 K ∑ i = 1 n k ( y i ( k ) − y ˉ ( k ) ) 2 + ∑ k = 1 K ∑ i = 1 n k ( y ˉ ( k ) − y ˉ ) 2 \sum_{i=1}^n(y_i-\bar y)^2=\sum_{k=1}^K\sum_{i=1}^{n_k}(y_i^{(k)}-\bar y^{(k)})^2+\sum_{k=1}^K\sum_{i=1}^{n_k}(\bar y^{(k)}-\bar y)^2 i=1n(yiyˉ)2=k=1Ki=1nk(yi(k)yˉ(k))2+k=1Ki=1nk(yˉ(k)yˉ)2
    右边第一项第k类里面的第i项 y i ( k ) y_i^{(k)} yi(k)减去该类平均值 y ˉ ( k ) \bar y^{(k)} yˉ(k),然后累加该类的 n k n_k nk项,累加K个类;第二项是第k类平均值 y ˉ ( k ) \bar y^{(k)} yˉ(k)减去总平均值 y ˉ \bar y yˉ,然后累加该类的 n k n_k nk项,累加K个类。
    本来右边是:
    ∑ k = 1 K ∑ i = 1 n k ( y i ( k ) − y ˉ ( k ) + y ˉ ( k ) − y ˉ ) 2 \sum_{k=1}^K\sum_{i=1}^{n_k}(y_i^{(k)}-\bar y^{(k)}+\bar y^{(k)}-\bar y)^2 k=1Ki=1nk(yi(k)yˉ(k)+yˉ(k)yˉ)2
    两两看成一项展开:
    ∑ k = 1 K ∑ i = 1 n k ( y i ( k ) − y ˉ ( k ) ) 2 + ∑ k = 1 K ∑ i = 1 n k ( y ˉ ( k ) − y ˉ ) 2 + 2 ∑ k = 1 K ∑ i = 1 n k ( y i ( k ) − y ˉ ( k ) ) ( y ˉ ( k ) − y ˉ ) \sum_{k=1}^K\sum_{i=1}^{n_k}(y_i^{(k)}-\bar y^{(k)})^2+\sum_{k=1}^K\sum_{i=1}^{n_k}(\bar y^{(k)}-\bar y)^2\\ +2\sum_{k=1}^K\sum_{i=1}^{n_k}(y_i^{(k)}-\bar y^{(k)})(\bar y^{(k)}-\bar y) k=1Ki=1nk(yi(k)yˉ(k))2+k=1Ki=1nk(yˉ(k)yˉ)2+2k=1Ki=1nk(yi(k)yˉ(k))(yˉ(k)yˉ)
    在计算内层累加的时候 ( y ˉ ( k ) − y ˉ ) (\bar y^{(k)}-\bar y) (yˉ(k)yˉ)不用累加(没有i),只用算前面一项:
    ∑ i = 1 n k ( y i ( k ) − y ˉ ( k ) ) = ∑ i = 1 n k y i ( k ) − ∑ i = 1 n k y ˉ ( k ) = n k y ˉ ( k ) − n k y ˉ ( k ) = 0 \sum_{i=1}^{n_k}(y_i^{(k)}-\bar y^{(k)})=\sum_{i=1}^{n_k}y_i^{(k)}-\sum_{i=1}^{n_k}\bar y^{(k)}\\ =n_k\bar y^{(k)}-n_k\bar y^{(k)}=0 i=1nk(yi(k)yˉ(k))=i=1nkyi(k)i=1nkyˉ(k)=nkyˉ(k)nkyˉ(k)=0
    所以交叉项为0.
    有了这个结论,我们来看如果有一个矩阵,其每个列都是一个类:
    [ x 11 x 12 ⋯ x 1 p x 21 x 22 ⋯ x 2 p ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x n 1 x n 2 ⋯ x n p ] x ˉ 1 x ˉ 2 ⋯ x ˉ p \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} &\cdots &x_{1p} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2p}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x_{n1} &x_{n2} &\cdots &x_{np} \end{bmatrix}\\\begin{matrix} \bar x_1 & \bar x_2 & \cdots& \bar x_p \end{matrix} x11x21xn1x12x22xn2x1px2pxnpxˉ1xˉ2xˉp
    那么这个矩阵的总离差平方和的分解为(各个类减去该类均值):
    ( x 11 − x ˉ 1 ) 2 + ⋯ + ( x n 1 − x ˉ 1 ) 2 + ⋯ + ( x 1 p − x ˉ p ) 2 + ⋯ + ( x n p − x ˉ p ) 2 (x_{11}-\bar x_1)^2+\cdots+(x_{n1}-\bar x_1)^2+\cdots+(x_{1p}-\bar x_p)^2+\cdots+(x_{np}-\bar x_p)^2 (x11xˉ1)2++(xn1xˉ1)2++(x1pxˉp)2++(xnpxˉp)2

    把总的影响平方和记为SST,它分为两个部分,一部分是由控制变量引起的离差,记为SSA(组间离差平方和),另一部分是由随机变量引起的SSE(组内离差平方和)。
    即SST=SSA+SSE。
    F记为
    F = S S A / ( k − 1 ) S S E / ( n − k ) F=\cfrac{SSA/(k-1)}{SSE/(n-k)} F=SSE/(nk)SSA/(k1)
    那么它是服从分布 F ( k − 1 , n − k ) F(k-1,n-k) F(k1,nk)
    当数据集的F大于上面的 F α F_\alpha Fα表明组间离差平方和较大(k个类的差异较大)。反之类间的差异不明显。

    R 2 R^2 R2统计量

    R 2 = S S R S S T = ∑ i = 1 n ( y ^ i − y ˉ ) 2 ∑ i = 1 n ( y i − y ˉ ) 2 R^2=\cfrac{SSR}{SST}=\cfrac{\sum_{i=1}^n(\hat y_i-\bar y)^2}{\sum_{i=1}^n(y_i-\bar y)^2} R2=SSTSSR=i=1n(yiyˉ)2i=1n(y^iyˉ)2
    y ^ i , y i \hat y_i,y_i y^i,yi分别是估计值和真实值,如果预测准确,二者非常接近,则 R 2 R^2 R2趋近于1。
    假定数据集已将样本分为k类, G 1 , G 2 , ⋯   , G k G_1,G_2,\cdots,G_k G1,G2,,Gk,第i类含样品数 n i n_i ni,且有: n 1 + n 2 + ⋯ + n k = n n_1+n_2+\cdots+n_k=n n1+n2++nk=n,记 G t G_t Gt重心为 X ˉ ( t ) \bar X^{(t)} Xˉ(t) G t G_t Gt中第i个样本为: X ˉ ( i ) ( t ) , ( i = 1 , 2 , ⋯   , n t ) \bar X^{(t)}_{(i)},(i=1,2,\cdots,n_t) Xˉ(i)(t),(i=1,2,,nt),所有样本的重心为 X ˉ \bar X Xˉ,则 G t G_t Gt类中 n t n_t nt个样本的离差平方和为:
    W t = ∑ i = 1 n t ( X ˉ ( i ) ( t ) − X ˉ ( t ) ) T ( X ˉ ( i ) ( t ) − X ˉ ( t ) ) W_t=\sum_{i=1}^{n_t}(\bar X^{(t)}_{(i)}-\bar X^{(t)})^T(\bar X^{(t)}_{(i)}-\bar X^{(t)}) Wt=i=1nt(Xˉ(i)(t)Xˉ(t))T(Xˉ(i)(t)Xˉ(t))
    所有样本SST:
    S S T = ∑ t = 1 k ∑ i = 1 n t ( X ˉ ( i ) ( t ) − X ˉ ( t ) ) T ( X ˉ ( i ) ( t ) − X ˉ ( t ) ) SST=\sum_{t=1}^k\sum_{i=1}^{n_t}(\bar X^{(t)}_{(i)}-\bar X^{(t)})^T(\bar X^{(t)}_{(i)}-\bar X^{(t)}) SST=t=1ki=1nt(Xˉ(i)(t)Xˉ(t))T(Xˉ(i)(t)Xˉ(t))
    SST可以分解(上面的形式是:SST=SSA+SSE):
    S S T = ∑ t = 1 k W t + B k = P k + B k SST=\sum_{t=1}^kW_t+B_k=P_k+B_k SST=t=1kWt+Bk=Pk+Bk
    R k 2 = B k S S T = 1 − P k S S T R^2_k=\cfrac{B_k}{SST}=1-\cfrac{P_k}{SST} Rk2=SSTBk=1SSTPk
    R 2 R^2 R2越大,则类间差异越明显。

    半偏 R 2 R^2 R2统计量

    半 偏 R 2 = B K L 2 S S T = R k + 1 2 − R k 2 半偏R^2=\cfrac{B_{KL}^2}{SST}=R^2_{k+1}-R^2_{k} R2=SSTBKL2=Rk+12Rk2
    如果某一个步骤的半偏 R 2 R^2 R2越大,说明这一步取消一个分类后(从k+1分类变成k类)的类间差异变小了,因此上一个步骤分为k+1个分类聚类效果好。

    伪F统计量

    伪 F k = ( S S T − P k ) / ( k − 1 ) P k / ( n − k ) = B k P k n − k k − 1 伪F_k=\cfrac{(SST-P_k)/(k-1)}{P_k/(n-k)}=\cfrac{B_k}{P_k}\cfrac{n-k}{k-1} Fk=Pk/(nk)(SSTPk)/(k1)=PkBkk1nk
    因为我们不知道原总体理论分布是否为正态分布,因此 F k F_k Fk统计量并不精确服从F分布,若某步骤伪 F k F_k Fk统计量较⼤,则表明这n个样品可显著地分为k个类

    t 2 t^2 t2统计量

    伪 t 2 = B K L 2 ( W K + W L ) / ( n K + n L − 2 ) 伪t^2=\cfrac{B^2_{KL}}{(W_K+W_L)/(n_K+n_L-2)} t2=(WK+WL)/(nK+nL2)BKL2
    若某步骤伪 t 2 t^2 t2统计量值较大,则表明 G K G_K GK G L G_L GL合并为 G K L G_{KL} GKL后类内离差平方和增量 B K L 2 B^2_{KL} BKL2 G K G_K GK G L G_L GL合并前的类内离差平方和大,那么就说明上一步没有合并前的 G K G_K GK G L G_L GL两个类的类间差异较大,不应该合并为 G K L G_{KL} GKL

    谱系图

    Bermirmen(1972)提出根据谱系图进⾏分类的准则:
    a.各类重心间距离较远
    b.确定的类中各类包含元素不宜多
    c.分类数符合研究目的
    d.若运⽤集中不同的聚类方法处理,则应在各自的聚类图中发现相同的类

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  • 最佳聚类数指标matlab工具箱

    热门讨论 2013-02-19 17:22:09
    为验证在聚类分析的聚类结果,重要的是要使用一些客观评价聚类质量的指标。本matlab工具箱提供4个外部效度指标和8个内部效度指标: Rand index, Adjusted Rand index, Silhouette, Calinski-Harabasz, Davies-Bouldin,...
  • 定义了新的样本相似度,用模糊等价聚类确定数据集可能的最大类簇数Kmax以Kmax为搜索上界,利用改进全局K-均值聚类算法,以BWP(Between-within Proportion)为聚类有效性度量指标,提出确定最佳聚类数的一种新方法....
  • 在聚类分析中, 决定聚类质量的关键是确定最佳聚类数. 对此, 从样本几何结构的角度定义了样本聚类距离 和样本聚类离差距离, 设计了一种新的聚类有效性指标. 在此基础上, 提出一种基于近邻传播算法确定样本最佳...
  • 根据方差分析理论,提出应用混合F统计量来确定最佳分类数,并应用模糊划分熵来验证最佳分类数的正确性,综合运用上述两个指标可以准确确定最佳聚类数。通过实际算例说明这两个指标的有效性。
  • 一种新的最佳聚类数确定方法一种新的最佳聚类数确定方法摘要:为了更有效地确定数据集的聚类数最佳聚类数,提出一种新的确定数据集最佳聚类数的算法。该算法借签层次聚类的思想,一次性地生成所有可能的划分,然后...

    一种新的最佳聚类数确定方法

    一种新的最佳聚类数确定方法

    要:

    为了更有效地确定数据集的聚类数最佳聚类数,提出一种新的确定数据集最佳聚类数

    的算法。

    该算法借签层次聚类的思想,

    一次性地生成所有可能的划分,

    然后根据有效性指标选择

    最佳的聚类划分,

    进而获得最佳聚类数。

    理论分析和实验结果证明,

    该算法具有良好的性能。

    键词:

    层次聚类;最佳聚类数;聚类有效性指标;聚类

    最佳聚类数的判定通常采用一种基于迭代的

    trial-and-error

    过程

    [1]

    进行,该过程是在给

    定的数据集上,使用不同的参数(通常是聚类数

    k

    )

    ,

    运行特定的聚类算法

    ,

    对数据集进行不同的

    划分,

    然后计算每种划分的指标值。

    通过比较各个指标值,

    其中符合预定条件的指标值所对应的

    聚类个数被认为是最佳的聚类数。

    实际上,

    trial-and-error

    过程存在两个不足之处

    :(1)

    聚类数

    k

    值的确定对于缺乏丰富聚类分析经验的用户来说是难以准确确定的

    [2]

    ,这需进一步提出寻找更

    合理的聚类数

    k

    的方法

    ;

    (2)

    目前提出的许多检验聚类有效性的指标,如

    Vxie

    指标

    [3]

    Vwsj

    [1]

    等,但这些指标都是基于某个特定聚类算法提出的,在实际应用中受到了极大限制。鉴于

    上述两种情况,

    本文借鉴层次聚类的思想一次性地生成所有可能的聚类划分,

    并计算其对应的有

    效性指标,

    然后选择指标值最小的聚类划分来估计数据集的最佳聚类数,

    这样可以避免对大型数

    据集的反复聚类,而且该过程不依赖于特定的聚类算法。

    1

    聚类有效性指标

    本文采用的是

    一个不依赖于具体算法的有效性指标

    Q(C)

    来评估数据集的聚类效果。该有效性指标主要是通过

    类内数据对象的紧凑度以及类间数据对象的分离度

    [4]

    衡量聚类质量。

    1.3

    噪声点与孤立点的消

    基于数据集中存在的噪声点与孤立点对聚类结果的影响,

    本文认为单独利用有效性指标所

    得出的聚类数为最佳聚类数

    k*

    的结论并不成立。根据

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  • 针对K-means聚类算法通常无法事先设定聚类数,而人为设定初始聚类数目容易导致聚类结果不够稳定的问题,提出一种新的高效率的K-means最佳聚类数确定算法。该算法通过样本数据分层来得到聚类数搜索范围的上界,并设计...
  • 基于聚类中心优化的k-means最佳聚类数确定方法.pdf
  • 一种确定最佳聚类数的新算法.pdf
  • K-均值聚类算法是以确定的类数K和随机选取的初始聚类中心为前提对数据集进行聚类的。通常聚类数K实现无法确定,随机选定的初始聚类中心容易使聚类结果不稳定。
  • K均值聚类 在这个项目中,我使用K均值聚类为虹膜数据搜索了最佳聚类数
  • @在R语言中用 elbow 方法确定最佳聚类数录 如何用在R语言中用 elbow 方法确定最佳聚类数 在无监督学习中,我们有时候使用 k-means 方法进行聚类,对数据进行分析。k-means 很好用,但是确定最佳类别数是一个需要技术...

    @在R语言中用 elbow 方法确定最佳聚类数

    如何在R语言中用 elbow 方法确定最佳聚类数


    在无监督学习中,我们有时候使用 k-means 方法进行聚类,对数据进行分析。k-means 很好用,但是确定最佳类别数是一个需要技术的活。如何科学地确定最佳类别数?下面介绍:使用elbow method确定 k-means的最佳类别数。

    k-means 方法

    k-means 算法流程

    伪代码

    用符号写出来就是符号形式的算法流程࿰

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  • 聚类有效性——最佳聚类数

    万次阅读 2015-09-09 21:39:27
    另一种是内部指标,用于评价同一聚类算法在不同聚类数条件下聚类结果的优良程度,通常用来确定数据集的最佳聚类数。 一 最佳聚类数判定的方法 对于内部指标,通常分为三种类型:基于数据集模糊划分的指标;基于...

    聚类有效性的评价标准有两种:一是外部标准,通过测量聚类结果和参考标准的一致性来评价聚类结果的优良;另一种是内部指标,用于评价同一聚类算法在不同聚类数条件下聚类结果的优良程度,通常用来确定数据集的最佳聚类数。
    一 最佳聚类数判定的方法
    对于内部指标,通常分为三种类型:基于数据集模糊划分的指标;基于数据集样本几何结构的指标;基于数据集统计信息的指标。基于数据集样本几何结构的指标根据数据集本身和聚类结果的统计特征对聚类结果进行评估,并根据聚类结果的优劣选取最佳聚类数,这些指标有Calinski-Harabasz(CH)指标,Davies-Bouldin(DB)指标Weighted inter-intra(Wint)指标,Krzanowski-Lai(KL)指标,Hartigan(Hart)指标,In-Group Proportion(IGP)指标等。本文主要介绍Calinski-Harabasz(CH)指标和Davies-Bouldin(DB)指标。
    (1) CH指标
    CH指标通过类内离差矩阵描述紧密度,类间离差矩阵描述分离度,指标定义为
    这里写图片描述

    其中,n表示聚类的数目 ,k 表示当前的类, trB(k)表示类间离差矩阵的迹, trW(k) 表示类内离差矩阵的迹。有关公式更详细的解释可参考论文“ A dendrite method for cluster analysis ”。
    可以得出 CH越大代表着类自身越紧密,类与类之间越分散,即更优的聚类结果。

    (2) DB指标
    DB指标通过描述样本的类内散度与各聚类中心的间距,定义为
    这里写图片描述
    其中,K是聚类数目,Wi表示类Ci中的所有样本到其聚类中心的平均距离,Wj表示类Ci中的所有样本到类Cj中心的平均距离,Cij表示类Ci和Cj中心之间的距离。可以看出,DB越小表示类与类之间的相似度越低,从而对应越佳的聚类结果。

    最佳聚类数的确定过程一般是这样的:给定K 的范围[Kmin,Kmax],对数据集使用不同的聚类数K运行同一聚类算法,得到一系列聚类结果,对每个结果计算其有效性指标的值,最后比较各个指标值,对应最佳指标值的聚类数即为最佳聚类数。

    二 实验结果
    在Matlab中,函数evalclusters提供了四种方法进行聚类效果的评估,包括’CalinskiHarabasz’ 、 ‘DaviesBouldin’ 、’gap’ 、 ‘silhouette’。选取一组数据,进行聚类效果评估。这里分别选用’CalinskiHarabasz’ 、 ‘DaviesBouldin’指标,聚类算法选择k-means.

    (1) CH指标
    给定K值范围1~3,计算每个聚类结果的CH 指标,最大指标值对应的K 值为最优值。
    这里写图片描述
    这里写图片描述

    (2) DB指标
    给定K值范围1~3,计算每个聚类结果的DB 指标,最大指标值对应的K 值为最优值。
    这里写图片描述
    这里写图片描述

    备注:出现NAN是因为这两种方法均不适用与聚类数为1的情况。

    Matlab代码

    cluster = zeros(size(data,1),3);
    for i=1:3
    cluster(:,i) = kmeans(data,i,'replicate',5); %%%保存每次聚类结果
    end
    eva = evalclusters(data,cluster,'DaviesBouldin'); 
    
    
    subplot(1,3,1);
    plot(data(cluster(:,1)==1,1),data(cluster(:,1)==1,2),'r*');
    hold on
    
    subplot(1,3,2);
    plot(data(cluster(:,2)==1,1),data(cluster(:,2)==1,2),'r*');
    hold on
    plot(data(cluster(:,2)==2,1),data(cluster(:,2)==2,2),'b*');
    hold on
    
    subplot(1,3,3);
    data=[c1 r1];
     [idx,ctrs] = kmeans(data,3);
    plot(data(cluster(:,3)==1,1),data(cluster(:,3)==1,2),'r*');
    hold on
    plot(data(cluster(:,3)==2,1),data(cluster(:,3)==2,2),'b*');
    hold on
    plot(data(cluster(:,3)==3,1),data(cluster(:,3)==3,2),'k*');
    hold on
    
    
    
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