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  • 最大似然检测ML SM.rar

    2020-07-19 21:54:19
    此文件为无线通信系统,mimo通信中空间调制和广义空间调制利用最大似然检测算法bit error rate仿真结果
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    千次阅读 2019-06-13 10:06:24
    为什么80%的码农都做不了架构师?>>> ...
     
    Nt = 2 ;
    Nr = 2 ;
    Len = 10000 ;
    M= 4 ;
    bitsPerSymbol = log2(M) ;
    bitsTotal = bitsPerSymbol * Nt * Len ;
    
    ALP = [-1+1i  ;-1-1* 1i ;1+1i ;1-1i] * sqrt(3/(2*(M-1)))  ; %QAM符号
    %ALPbin = dec2bin( 0:M-1 , log2(M))  ; %QAM的二进制编码
    SNRVect = 0:2:20 ;
    SER = zeros( 1 ,length(SNRVect) )  ;
    for snrLoop =  1: length (SNRVect)
        fprintf(' snrLoop = %d \n',snrLoop) ;
        %计算信噪比
        SNRdB = SNRVect(snrLoop) ;
        SNR  = 10^(SNRdB/10) ;
        %此处我们假设每根天线发送的信号能量为1   
        %N0 表示噪声的能量
        N0 = Nt * 1 / SNR ;   
    
        %产生随机比特流
        send = round(rand(1,bitsTotal)) ;
        sendReshape = reshape(send , Nt * bitsPerSymbol , Len ) ;
        symbols = zeros(Nt, Len) ;
        symbolsModulation = zeros(Nt ,Len) ;
        %发送端 4QAM调制
        fprintf('\n正在调制并发送 \n') ;
        for sendLoop = 1 :Len
            for antennaLoop = 1: Nt
                twoBits = sendReshape ( 2* antennaLoop-1 :2* antennaLoop, sendLoop) ;
                symbols  ( antennaLoop ,sendLoop)  = 2 * twoBits(1) + 1 * twoBits(2) +1 ;
                symbolsModulation ( antennaLoop ,sendLoop) = ALP(symbols  ( antennaLoop ,sendLoop) ) ;
            end
        end
        %经过信道
        H = (randn(Nr, Nt) + sqrt(-1) * randn(Nr , Nt))/ sqrt(2)  ; % 除以sqrt(2) 保证信道的能量为1
        n = (randn(Nr , Len) + sqrt(-1)*randn(Nr, Len )) * sqrt(N0) /sqrt(2) ; %保证噪声 n ~N(0,N0)
        y = H* symbolsModulation + n ;
        %接收端
        fprintf('\n正在译码 \n') ;
        symbolsDetect = zeros(2 , Len) ;
        for sendLoop = 1 :Len
             fprintf('%d %d \n',snrLoop ,sendLoop) ;
            %得到M*M种组合
            dml = zeros(M ,M ,Len) ;
            for i1 = 1:M
                for i2 = 1:M
                    dml(i1, i2, sendLoop) = (norm (  y(: , sendLoop) - H * [ALP(i1) ; ALP(i2)] ) )  .^2 ; % 共16种组合
                end
            end
            dml_min = min( reshape(dml( :, :, sendLoop ) .' , 1, M*M)  ) ;
            %找到最合适的  然后译码
            for j1 = 1: M ;
                for j2 = 1:M
                    if dml(j1 , j2, sendLoop) ==dml_min ;
                        symbolsDetect(1, sendLoop) = j1 ;
                        symbolsDetect(2, sendLoop) = j2 ;
                    end
                end
            end
    
        end
        % 一个信噪比结束  统计SER
        SER(snrLoop)  = sum ( reshape(symbolsDetect , 1, Len * Nt) ~= reshape (symbols , 1, Len *Nt) )/ (Len * Nt) ;
    end
    
    semilogy( 0: 2 : 20 , SER)
      L=1000时,仿真结果如下:

    转载于:https://my.oschina.net/itfanr/blog/195637

    展开全文
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  • 上学期,在学习《信号检测与估计理论》这门课程是就接触了:最大后验估计(maximum a posteriori probability estimate, 简称MAP)和最大似然估计(maximum-likelihood estimation, 简称MLE)。学的时候没打弄明白其...

    上学期,在学习《信号检测与估计理论》这门课程是就接触了:
    最大后验估计(maximum a posteriori probability estimate, 简称MAP)和最大似然估计(maximum-likelihood estimation, 简称MLE)。
    学的时候没打弄明白其原理,就会按照书上的例子,照猫画虎,应付一下考试!不过最近要用到这两个东西了,所以从新学习了。

    其实这两个参数估计方法计算起来都很简单。关键在于如何理解其原理,就是要问一下:问什么要这么估计?这么估计有什么道理在?
    下面是我自己的理解,说得过去,但不知道对不对?
    假设你得到某个或者某些特定的观察数据 x,然后需要根据x ,估计未知的总体参数 θ。

    一个自然的想法就是:在所有可能的θ取值中,逐个寻找,直到找到一个值\widehat{\theta},能够让你获得观测数据x的“可能性”最大。
    实际上就是寻找θ使概率P(x, θ)最大。

    对于MAP来说,θ是已知先验概率密度函数P(θ)的随机变量。

    对于MLE来说,θ是非随机变量或者分布未知的随机变量,这两种情况都可以认为P(θ)均匀分布的,即P(θ)=C。

     

    下面来个具体的例子:

    假设有五个袋子,各袋中都有无限量的饼干(樱桃口味或柠檬口味),已知五个袋子中两种口味的比例分别是

    樱桃 100%

    樱桃 75% + 柠檬 25%

    樱桃 50% + 柠檬 50%

    樱桃 25% + 柠檬 75%

    柠檬 100%

    如果只有如上所述条件,那问从同一个袋子中连续拿到2个柠檬饼干,那么这个袋子最有可能是上述五个的哪一个?

    我们首先采用最大似然估计来解这个问题,写出似然函数。假设从袋子中能拿出柠檬饼干的概率为p(我们通过这个概率p来确定是从哪个袋子中拿出来的),则似然函数可以写作

    由于p的取值是一个离散值,即上面描述中的0,25%,50%,75%,1。我们只需要评估一下这五个值哪个值使得似然函数最大即可,得到为袋子5。这里便是最大似然估计的结果。

    上述最大似然估计有一个问题,就是没有考虑到模型本身的概率分布,下面我们扩展这个饼干的问题。

    假设拿到袋子1或5的机率都是0.1,拿到2或4的机率都是0.2,拿到3的机率是0.4,那同样上述问题的答案呢?这个时候就变MAP了。我们根据公式写出我们的MAP函数。

    根据题意的描述可知,p的取值分别为0,25%50%75%1g的取值分别为0.10.2,0.4,0.2,0.1.分别计算出MAP函数的结果为:0,0.0125,0.1,0.1125,0.1.
    由上可知,通过MAP估计可得结果是从第四个袋子中取得的最高。

    转载于:https://www.cnblogs.com/emituofo/archive/2011/12/02/2271410.html

    展开全文
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    学习《现代通信原理》(曹志刚)时,对其中相关接收机的近似阐述非常不解。借此机会,整理了大量课外资料,对相关接收机的原理有了比较清楚的认识。

    一、 接收机的概念

    接收机:由信号解调器检测器组成。

    1、信号解调器

    功能:将接受波形\(r(t)\)变换为N维向量\(\boldsymbol r=[r_1,r_2,...,r_N]\),N为发送信号波形的维数。

    目的:求接受波形在各基向量上的投影,即求\(r_i\)

    实现方式:

    • 基于匹配滤波器的实现方法(匹配滤波器)。
    • 基于信号相关器的实现方法(相关解调器)。

    2、检测器

    根据信号解调器输出的N维向量\(r=[r_1,r_2,...,r_N]\),判断发送波形。

    发送信号波形的集合为\(\{S_m(t),m=1,2,...,M\}\),维数为N。

    二、 相关解调器的解调过程及其原理

    1、构造相关解调器

    根据发送信号波形集合\(\{S_m(t),m=1,2,...,M\}\),构造正交基\(\{f_n(t),n=1,2,...,n\}\)

    要求:每一个\(S_m(t)\)都可以表示为\(\{f_n(t)\}\)的线性加权组合:
    \[ S_m(t)=\sum_{k=1}^N {S_{mk}f_k(t)} \]
    其中\(S_{mk}\)是在某个基向量上的幅度(投影)。

    注意:尽管接收信号中会叠加信道噪声:

    通信过程

    但在构造正交基\(\{f_n(t)\}\)时,我们不考虑噪声空间。
    因此接收信号会被分解为:
    \[ r(t)=\sum_{k=1}^N {S_{mk}f_k(t)}+n(t)=\sum_{k=1}^N {S_{mk}f_k(t)}+\sum_{k=1}^N {n_kf_k(t)}+n'(t) \]
    其中\(n'(t)\)是无法用基函数组合的噪声组分。

    至于为什么不考虑噪声空间,我们马上揭晓。

    2、得到接收信号在基向量上的投影

    令接收信号\(r(t)\)通过一组并行的N个互相关器:

    相关解调器

    注意:在后面结合检测器,我们会对改图作改进和简化。因此这不是最终电路图!

    各个相关器的输出为:

    \[ \int_0^T {r(t)f_k(t)dt} = S_{mk}+n_k = r_k \]

    \(S_{mk}\)就是我们想要的投影,\(n_k\)是噪声的投影,是一个高斯随机变量,由信道引入的加性噪声决定。

    而无法被基向量表示的\(n'(t)\)(在线性空间外),积分为0(由于噪声均值为0,因此不相关和正交等价),因此对输出没有任何影响!
    这就是为什么我们在构造正交基时,不考虑噪声空间!

    3、相关器输出的性质

    由于\(S_{mk}\)是一个确定的值,而\(n_k\)是一个高斯随机变量,因此:
    \(r_k\)也是一个高斯随机变量,其均值为\(S_{mk}\),方差同\(n_k\),为\(\frac{n_0}{2}\)

    因此,相关解调器最终输出的N维向量\(\boldsymbol r=[r_1,r_2,...,r_N]\),其概率满足联合高斯分布:

    \[ P(\boldsymbol r|\boldsymbol S_m) = \prod_{k=1}^N {P(r_k|S_{mk})} \]

    \[ = \frac{1}{(\sqrt{2\pi\frac{n_0}{2}})^N}exp[\frac{-\sum_{k=1}^N{(r_k-S_{mk})^2}}{2\frac{n_0}{2}}] \]

    三、检测器的实现及其数学原理

    尽管相关器已经为我们得到了一个满足联合高斯分布的N维向量,但由于噪声的存在,为了使判错率最小,我们还需要合理地选出最合适的波形,作为最终判断结果。

    1、MAP准则

    全称为最大后验概率Maximum A posteriori Probability,其中A posteriori在拉丁文中是“后验”的意思。

    根据推导(参见信息论相关书籍),选择后验概率\(P(\boldsymbol S_m|\boldsymbol r)\)最大对应的发送信号\(S_m(t)\)作为判断结果,则错误率最小。
    这一点也很好理解。在接收到\(r(t)\)并转换得到\(\boldsymbol r\)的条件下,发送信号最有可能是\(S_m(t)\),那么我们当然选择它作为输出结果啦~

    可惜的是,后验概率很难通过电路获得
    因此,我们无法直接利用MAP准则。

    2、ML准则

    全称为最大似然Maximum Likelihood

    根据贝叶斯公式:

    \[ P(\boldsymbol S_m|\boldsymbol r)=\frac{P(\boldsymbol S_m,\boldsymbol r)}{P(\boldsymbol r)}=\frac{P(\boldsymbol r|\boldsymbol S_m)P(\boldsymbol S_m)}{\sum_{i=1}^M{P(\boldsymbol r|S_i)P(S_i)}} \]

    其中:

    • \(P(\boldsymbol S_m)\)是先验概率,一般设为等概。
    • \(P(\boldsymbol r)=P(\boldsymbol r|S_i)P(S_i)\)与发送信号无关。因为无论发的是哪个\(P(\boldsymbol S_m)\)\(P(\boldsymbol r)\)都是既定的,客观存在且无法改变的。具体而言,其中的先验概率\(P(S_i)\)和发送概率\(P(\boldsymbol r|S_i)\)都不随发送信号的变化而改变。

    这么看来,我们有重要结论:

    • \(P(\boldsymbol S_m)\)等概时,最大的\(P(\boldsymbol S_m|\boldsymbol r)\),对应最大的\(P(\boldsymbol r|\boldsymbol S_m)\)!这就是MAP准则到ML准则的转化!
    • 当不等概时,最大的\(P(\boldsymbol S_m|\boldsymbol r)\),对应最大的\(P(\boldsymbol r|\boldsymbol S_m)P(\boldsymbol S_m)\),稍微复杂一些,但也很好求。

    先剧透一波,ML准则非常容易通过电路实现!我们接着看~

    3、简化ML准则,实现检测器

    现在我们讨论\(P(\boldsymbol S_m)\)等概的情况,即ML准则可以使用。

    由第一部分我们知道:解调器输出为:

    \[ P(\boldsymbol r|\boldsymbol S_m)=\frac{1}{(\sqrt{2\pi\frac{n_0}{2}})^N}exp[\frac{-\sum_{k=1}^N{(r_k-S_{mk})^2}}{2\frac{n_0}{2}}] \]

    我们取对数:

    \[ ln[P(\boldsymbol r|\boldsymbol S_m)]=-\frac{N}{2}ln(\pi n_0)-\frac{\sum_{k=1}^N{(r_k-S_{mk})^2}}{n_0} \]

    显然,第一项是常数,对判断发送信号没有贡献。

    第二项是关于\(\sum_{k=1}^N{(r_k-S_{mk})^2}\)单调的函数。
    因此,最大后验概率,对应着最小的欧氏距离:
    \[ D(\boldsymbol r,\boldsymbol S_m)=\sum_{k=1}^N{(r_k-S_{mk})^2} \]

    因此,基于ML准则的判决,又称为最小距离检测

    进一步展开、化简得到:
    \[ D(\boldsymbol r,\boldsymbol S_m)=\sum_{k=1}^N{(r_k)^2}+\sum_{k=1}^N{(S_{mk})^2}-2\sum_{k=1}^N{r_kS_{mk}} \]

    其中,第一项是向量\(\boldsymbol r\)的模值,对判断没有贡献。
    第二项是接收信号的能量:\(\varepsilon_m\),与发送信号有关,需要考虑。
    第三项是投影,显然也需要考虑:
    \[ 2\sum_{k=1}^N{r_kS_{mk}}=2\boldsymbol r\bigodot \boldsymbol S_m = 2 \int_0^T {r(t)S_m(t)}dt \]

    我们把需要考虑的后两项的相反数合称为相关度量
    \[ C(\boldsymbol r, \boldsymbol S_m)=2\sum_{k=1}^N{r_kS_{mk}}-\varepsilon_m \]

    综上,我们得到判断的最终准则:
    最大相关度量\(C(\boldsymbol r, \boldsymbol S_m)\)对应的发送信号\(S_m(t)\),就是最终判决结果。

    因此,我们希望整个相关接收机实现如下流程:

    • 将接收信号\(r(t)\)转换为N维向量\(\boldsymbol r\)
    • 求出\(\boldsymbol r\)和各个\(\boldsymbol S_m\)的相关度量\(C(\boldsymbol r, \boldsymbol S_m)\)
    • 选择最大相关度量对应的发送信号波形\(S_m(t)\)输出

    最终电路图(相关接收机)如下:

    final realization

    如果发送波形不等概率,那么MAP准则就不可以直接转换为ML准则啦。此时只需要寻找最大\(P(\boldsymbol r|\boldsymbol S_m)P(\boldsymbol S_m)\)对应的发送波形,化简方式类似,这里就不赘述了。

    转载于:https://www.cnblogs.com/RyanXing/p/9468275.html

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  • 信号检测、雷达动目标检测是假设检验的经典问题;估计理论涉及的范围更广泛,它被分为非参数化和参数化。 参数化估计与系统模型的辨识密切相关,其主要理论是优化理论,即被估计的参数应在某种准侧下是最优的,...

    导论

    信号处理的基本任务是利用观测数据作出关于信号与(或)系统的某种统计决策。

    1. 统计决策理论主要解决两大类问题:假设检验与估计。
    2. 信号检测、雷达动目标检测是假设检验的经典问题;估计理论涉及的范围更广泛,它被分为非参数化和参数化
    3. 参数化估计与系统模型的辨识密切相关,其主要理论是优化理论,即被估计的参数应在某种准侧下是最优的,以及如何获得最优的参数估计。
    4. 非参数化方法不假定数据服从某种特定的概率模型,例如基于离散傅里叶变换的功率谱估计和高阶谱估计等就是典型的非参数化方法。

    现代谱估计本质上为参数化谱估计

    自适应滤波器介绍的是时域或空域滤波器参数的自适应更新

    高阶统计量理论的中心问题是基于高阶统计量的系统参数估计与高阶谱的参数化估计

    时频信号分析——线性变换/非线性变换 则讨论非平稳信号的参数化表示

    一、估计子的性能

    导入:

    参数估计理论关心的问题是:假定随机变量x具有一累计分布函数,它是一特定概率分布集合中的一员,但并不知道它究竟是其中的哪一个。

           实验:测量随机变量的各次实现(也称样本或观测值),并希望通过N各样本x1,x2,...xN猜出决定随机变量分布的参数值\theta。例如:

           令x1,x2,...xN是服从正态分布N\left ( \theta\cdot {\sigma ^ 2} \right )得到的N个数据样本,现在根据这些样本值估计出均值参数\theta。很显然,有很多的数据函数都可以用来估计\theta,最简单的做法就是取第一个样本x1做\theta的估计,虽然x1的期望值等于\theta,但是很显然,使用更多的样本数据的平均得到的\theta估计会比之使用x1作出的估计更好;我们会猜想:样本平均\overline{_{xN}}= \frac{1}{N} \sum_{N}^{i=1}{xi}可能是\theta的最优估计。


    1、在参数估计理论中,通常把一个真实参数\theta的估计方法或估计值称为\theta的估计子。一个估计子是一个统计量,它在某种意义下“最接近”真实参数\theta

                   如何衡量或评价一个估计子与真实参数之间的“接近度”呢?又如何对它进行估计呢?这些问题形成了参数估计理论的两个核心内容:

                      (1)对估计子与真实参数的接近度进行量化定义

                       (2)研究不同的估计方法以及它们的性能比较

    2、 无偏估计与渐进无偏估计

    估计子{\widehat{\theta }}是用来近似参数\theta的。因此希望它具有某种逼近的适合度。最简单的测度是估计子{\widehat{\theta }}的误差{\widehat{\theta }}-\theta

    (1)无偏估计

    参数\theta的估计子的偏差定义为该估计子{\widehat{\theta }}误差的期望值,即\small b\left ( \widehat{\theta } \right ) = E\left \{ \widehat{\theta }- \theta \right \} = E\left \{ \widehat{\theta } \right \}-\theta  。估计子{\widehat{\theta }}称为无偏的,若偏差\small b\left ( \widehat{\theta } \right )等于零或\small E\left \{ \widehat{\theta } \right \} = \theta,即估计子的期望等于真实参数。例子:

    式(2.1.2)

    (2)渐进无偏估计

    估计子{\widehat{\theta }}是真实参数\theta的渐进无偏估计子,若当样本长度\small N \to\infty时,偏差\small b\left ( \widehat{\theta } \right ) \to 0,即

                   \small _{lim_n \to\infty } E\left \{ \widehat{_{\theta _N}} \right \} = \theta 

    式中\small \widehat{\theta _N}表示由N个样本得到的估计子。

    注意:一个无偏的估计子一定是渐进无偏的,但渐进无偏的估计子不一定是无偏的。

    例子:

    (3)一致性

    偏差是误差的期望值,但是偏差为零并不保证估计子误差取低值的概率就搞,评价估计子的小误差概率的指标称为一致性。

    3、估计子的有效性

    (1)两个无偏估计子的比较

    如果两个根据N个观测样本得到的无偏估计子,我们倾向于选择具有较小方差的那个估计子。例如:假定{\widehat{\theta }}1具有比{\widehat{\theta }}2更大的方差,即var({\widehat{\theta }}1)>var({\widehat{\theta }}2),则{\widehat{\theta }}2的值比{\widehat{\theta }}1的值更密集地聚集在真值\theta的附近。换句话说,{\widehat{\theta }}2位于某个区域(\theta+\small \varepsilon\theta-\small \varepsilon)的概率比{\widehat{\theta }}1位于同一个区域的概率要高。因此我们说{\widehat{\theta }}2比{\widehat{\theta }}1更有效。

    (2)无偏与渐近无偏估计子之间的比较

           现在假定{\widehat{\theta }}1和{\widehat{\theta }}2中一个是无偏的,另一个是渐近无偏的;或者二者都是渐近无偏的。在这样的情况下,方差就不在是估计子有效性的唯一合适测度。例如:{\widehat{\theta }}1具有比{\widehat{\theta }}2更大的偏差,但却有较小的方差,此时应该在{\widehat{\theta }}1和{\widehat{\theta }}2当中选择哪一个更好呢?

          显然,一种合理的做法是同时考虑偏差和方差,即引入估计子的均方误差。

    均方误差:参数\theta的估计子{\widehat{\theta }}的均方误差\small ^{M^{2}}{\widehat{\theta }})定义为该估计子与真实参数的误差平方的期望值,即

                                \small ^{M^{2}}{\widehat{\theta }})=  \small E\left \{ ^{\left ( \widehat{\theta }-\theta \right )^{2}} \right \}

    二、Fisher信息与Cramer-Rao不等式

    假定随机信号x(t)隐藏有真实参数\theta,根据信号的一次实现x,我们已获得了\theta的一估计子,但是,这个估计子是否是最优的呢?这个问题等价于:

          在真实参数\theta给定的情况下,根据信号实现值x能够得到的最优估计子应该使用什么标准评价呢?

    将x当做一随机变量看待,我们现在来对条件分布密度函数f(x|\theta)的质量进行评估。这样一种评价测度称为随机变量x的品质函数

     

    三、贝叶斯估计

    参数估计子的质量取决于采用什么样的准则和方法进行参数估计。参数估计方法分为两大类,一类只是用于特殊的问题,另一类则可以适用于大量的问题。

    贝叶斯估计 

    当使用{\widehat{\theta }}作为参数\theta的估计时,估计误差\theta - {\widehat{\theta }}通常不为零。因此,估计值{\widehat{\theta }}的质量决定于估计误差究竟有多小。

    利用误差的范围作为估计误差的测度,这样一种测度称为代价函数或损失函数,用符号C({\widehat{\theta }}\theta)。

     

    2、最小均方误差估计

    是使二次型风险函数最小的估计称为最小均方误差估计。风险函数可写作:

    贝叶斯估计可写作:

    3、均匀损失函数、最大后验概率估计

    均匀损失函数的风险函数为:

    最大似然估计:

    四、最大似然估计

    part 1

    (1)最大似然估计是最常用和最有效的估计方法之一。最大似然估计的基本思想是:

    在对被估计的未知量(或参数)没有任何先验知识的情况下,利用已知的若干观测值估计该参数。因此,在使用最大似然估计方法时,被估计的参数假定是常数,但未知;而已知的观测数据则是随机变量。C({\widehat{\theta }}\theta

    (2)令x1,x2...,xN是随机变量x的N个观测值,{f(x1,x2...,xN)|\theta\theta属于Q}是给定参数\theta情况下观测样本(x1,x2...,xN)的联合条件概率密度函数。

    (3)假定联合条件概率密度函数存在,且有界,我们来考虑未知(固定)参数\theta的估计问题。

    (4)当把联合条件分布密度函数f(x1,x2...,xN|\theta)视为真实参数\theta的函数时,称之为似然函数。

    (5)所谓似然函数,就是包含未知参数\theta信息的可能性函数。

    (6)最大似然估计就是使似然函数f(x1,x2...,xN|\theta)最大化的估计值{\widehat{\theta }}。将未知参数\theta的最大似然估计记做:

    因此,最大似然估计也可以看做是联合条件概率密度函数f(x1,x2...,xN|\theta)的全局极大点。

     

    part 2

    由于对数是严格单调的,故f(x1,x2...,xN|\theta)的极大点与lnf(x1,x2...,xN|\theta)的极大点 一致。对数函数lnf(x1,x2...,xN|\theta)称为对数似然函数,常用来代替似然函数f(x1,x2...,xN|\theta)。

    在很多信号处理的文献中,习惯将lnf(x1,x2...,xN|\theta)简称为似然函数。简记为;

    L(\theta)=lnf(x1,x2...,xN|\theta

    于是,\theta的最大似然估计可以通过令求得。

    最大似然估计具有以下性质:

    part 3

     

     

    申明:内容依据张贤达教授所著《现代信号处理》第二版所总结归纳 

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