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  • 在统计学中,最大期望(EM)算法是在概率(probabilistic)模型中寻找参数最大似然估计或者最大后验估计的算法,其中概率模型依赖于无法观测的隐藏变量(Latent Variable) 1)计算期望(E),利用概率模型参数的...

    概念:

    在统计学中,最大期望(EM)算法是在概率(probabilistic)模型中寻找参数最大似然估计或者最大后验估计的算法,其中概率模型依赖于无法观测的隐藏变量(Latent Variable)

    1)计算期望(E),利用概率模型参数的现有估计值,计算隐藏变量的期望;
    2)最大化(M),利用E 步上求得的隐藏变量的期望,对参数模型进行最大似然估计。
    3)M 步上找到的参数估计值被用于下一个 E 步计算中,这个过程不断交替进行。
    总体来说,EM的算法流程如下:
    1.初始化分布参数
    2.重复直到收敛:
    E步骤:估计未知参数的期望值,给出当前的参数估计。
    M步骤:重新估计分布参数,以使得数据的似然性最大,给出未知变量的期望估计。

    预备知识

    • 1 极大似然估计
      (1)举例说明:经典问题——学生身高问题
        我们需要调查我们学校的男生和女生的身高分布。 假设你在校园里随便找了100个男生和100个女生。他们共200个人。将他们按照性别划分为两组,然后先统计抽样得到的100个男生的身高。假设他们的身高是服从正态分布的。但是这个分布的均值μ和方差σ2我们不知道,这两个参数就是我们要估计的。记作θ=[μ,σ]T。
        问题:我们知道样本所服从的概率分布的模型和一些样本,需要求解该模型的参数。如图
        
      这里写图片描述
    我们已知的有两个:样本服从的分布模型、随机抽取的样本;我们未知的有一个:模型的参数。根据已知条件,通过极大似然估计,求出未知参数。总的来说:极大似然估计就是用来估计模型参数的统计学方法。 (2)如何估计   问题数学化:设样本集X=x1,x2,…,xN,其中N=100 ,p(xi|θ)为概率密度函数,表示抽到男生xi(的身高)的概率。由于100个样本之间独立同分布,所以我同时抽到这100个男生的概率就是他们各自概率的乘积,也就是样本集X中各个样本的联合概率,用下式表示:
    ![这里写图片描述](https://img-blog.csdn.net/20180626151732748?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3UwMTQyNTgzNjI=/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70)   
    这个概率反映了,在概率密度函数的参数是θ时,得到X这组样本的概率。 我们需要找到一个参数θ,使得抽到X这组样本的概率最大,也就是说需要其对应的似然函数L(θ)最大。满足条件的θ叫做θ的最大似然估计量,记为
    θ^=argmaxL(θ)
    (3)求最大似然函数估计值的一般步骤   首先,写出似然函数:
    ![这里写图片描述](https://img-blog.csdn.net/20180626151959655?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3UwMTQyNTgzNjI=/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70)
      然后,对似然函数取对数:
    ![这里写图片描述](https://img-blog.csdn.net/20180626152013618?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3UwMTQyNTgzNjI=/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70)
    接着,对上式求导,令导数为0,得到似然方程; 最后,求解似然方程,得到的参数θ即为所求。 - **2 Jensen不等式** 设f是定义域为实数的函数,如果对于所有的实数x,f(x)的二次导数大于等于0,那么f是凸函数。   Jensen不等式表述如下:如果f是凸函数,X是随机变量,那么:E[f(X)]≥f(E[X])。当且仅当X是常量时,上式取等号。其中,E[x]表示x的数学期望。   例如,图2中,实线f是凸函数,X是随机变量,有0.5的概率是a,有0.5的概率是b。X的期望值就是a和b的中值了,图中可以看到E[f(X)]≥f(E[X])成立。   注:   1、Jensen不等式应用于凹函数时,不等号方向反向。当且仅当X是常量时,Jensen不等式等号成立。   2、关于凸函数,百度百科中是这样解释的——“对于实数集上的凸函数,一般的判别方法是求它的二阶导数,如果其二阶导数在区间上非负,就称为凸函数(向下凸)”。关于函数的凹凸性,百度百科中是这样解释的——“中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义是反的。国内教材中的凹凸,是指曲线,而不是指函数,图像的凹凸与直观感受一致,却与函数的凹凸性相反。只要记住“函数的凹凸性与曲线的凹凸性相反”就不会把概念搞乱了”。关于凹凸性这里,确实解释不统一,博主暂时以函数的二阶导数大于零定义凸函数,此处不会过多影响EM算法的理解,只要能够确定何时E[f(X)]≥f(E[X])或者E[f(X)]≤f(E[X])就可以。   
    ![这里写图片描述](https://img-blog.csdn.net/20180626152257580?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3UwMTQyNTgzNjI=/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70)
      

    EM算法详解

    • 1 问题描述
       我们目前有100个男生和100个女生的身高,共200个数据,但是我们不知道这200个数据中哪个是男生的身高,哪个是女生的身高。假设男生、女生的身高分别服从正态分布,则每个样本是从哪个分布抽取的,我们目前是不知道的。这个时候,对于每一个样本,就有两个方面需要猜测或者估计: 这个身高数据是来自于男生还是来自于女生?男生、女生身高的正态分布的参数分别是多少?EM算法要解决的问题正是这两个问题。如图
      这里写图片描述

      -2 EM算法推导
       样本集X={x1,…,xm},包含m个独立的样本;每个样本xi对应的类别zi是未知的(即上文中每个样本属于哪个分布是未知的);我们需要估计概率模型p(x,z)的参数θ,即需要找到适合的θ和z让L(θ)最大。根据上文2.1 极大似然估计中的似然函数取对数所得logL(θ),可以得到如下式:
    ![这里写图片描述](https://img-blog.csdn.net/20180626152847544?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3UwMTQyNTgzNjI=/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70)  
      其中,(1)式是根据xi的边缘概率计算得来,(2)式是由(1)式分子分母同乘一个数得到,(3)式是由(2)式根据Jensen不等式得到。   这里简单介绍一下(2)式到(3)式的转换过程:由于∑Qi(z(i))[p(x(i),z(i);θ)Qi(z(i))]为p(x(i),z(i);θ)Qi(z(i))的期望,且log(x)为凹函数,根据Jensen不等式(当f是凸函数时,E[f(X)]≥f(E[X])成立;当f是凹函数时,E[f(X)]≤f(E[X])成立)可由(2)式得到(3)式。此处若想更加详细了解,可以参考博客the EM algorithm。   上述过程可以看作是对logL(θ)(即L(θ))求了下界。对于Qi(z(i))的选择,有多种可能,那么哪种更好呢?假设θ已经给定,那么logL(θ)的值就取决于Qi(z(i))和p(x(i),z(i))]了。我们可以通过调整这两个概率使下界不断上升,以逼近logL(θ)的真实值,那么什么时候算是调整好了呢?当不等式变成等式时,说明我们调整后的概率能够等价于logL(θ)了。按照这个思路,我们要找到等式成立的条件。根据Jensen不等式,要想让等式成立,需要让随机变量变成常数值,这里得到: p(x(i),z(i);θ)Qi(z(i))=c c为常数,不依赖于z(i)。对此式做进一步推导:由于∑z(i)Qi(z(i))=1,则有∑z(i)p(x(i),z(i);θ)=c(多个等式分子分母相加不变,则认为每个样例的两个概率比值都是c),因此得到下式:
    ![这里写图片描述](https://img-blog.csdn.net/20180626152908548?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3UwMTQyNTgzNjI=/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70)  
     至此,我们推出了在固定其他参数θ后,Qi(z(i))的计算公式就是后验概率,解决了Qi(z(i))如何选择的问题。这一步就是E步,建立logL(θ)的下界。接下来的M步,就是在给定Qi(z(i))后,调整θ,去极大化logL(θ)的下界(在固定Qi(z(i))后,下界还可以调整的更大)。这里读者可以参考文章EM算法。 3.3 EM算法流程   初始化分布参数θ; 重复E、M步骤直到收敛:   E步骤:根据参数θ初始值或上一次迭代所得参数值来计算出隐性变量的后验概率(即隐性变量的期望),作为隐性变量的现估计值:
    ![这里写图片描述](https://img-blog.csdn.net/20180626152925203?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3UwMTQyNTgzNjI=/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70)
      M步骤:将似然函数最大化以获得新的参数值:
    ![这里写图片描述](https://img-blog.csdn.net/20180626152932755?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3UwMTQyNTgzNjI=/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70)

    EM算法优缺点以及应用

    优点:稳定上升的步骤能非常可靠地找到“最优的收敛值”。 有时候缺失数据并非是真的缺少了,而是为了简化问题而采取的策略,这时EM算法被称为数据添加技术,所添加的数据通常被称为“潜在数据”,复杂的问题通过引入恰当的潜在数据,能够有效地解决我们的问题。
    缺点:对初始值敏感:EM算法需要初始化参数θ,而参数θ的选择直接影响收敛效率以及能否得到全局最优解。
    EM算法的应用:k-means算法是EM算法思想的体现,E步骤为聚类过程,M步骤为更新类簇中心。GMM(高斯混合模型)也是EM算法的一个应用,感兴趣的小伙伴可以查阅相关资料。

    文章参考
    https://blog.csdn.net/zhihua_oba/article/details/73776553

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  • 期望值最大算法

    千次阅读 2015-12-12 19:54:36
    在参数估计中常常通过最大似然函数进行估计,由于隐变量的存在,不能直接求解这个最大似然函数,期望值最大算法就是将这个最大似然函数的求解问题转化为求解其下界的最大值的问题,通过一个求隐变量的分布的“期望...

    一,最大似然估计与隐变量

    期望值最大化算法是用来对包含隐变量的样本点的分布函数的参数估计方法。在参数估计中常常通过最大似然函数进行估计,由于隐变量的存在,不能直接求解这个最大似然函数,期望值最大化算法就是将这个最大似然函数的求解问题转化为求解其下界的最大值的问题,通过一个求隐变量的分布的“期望值”步骤和一个求似然函数最大化的“最大值”步骤完成。

    假如有一批训练样本Xi (i=1,2,..I),这批样本服从参数为 \theta 的分布,要估计 \theta的值,可以通过求解如下似然函数的最大值进行:

    (1)

    如果Xi的分布函数仅仅依赖于\theta, 就可以写出 p(x|theda)的表达式,这个最优化问题可以直接求解。

    现在的情况是Xi的分布函数不仅依赖于\theta,还依赖于另一个变量h, 每一个样本Xi都对应着h的一个值,h本身服从一个未知的分布。实际上 x和h的联合分布是以theta作为参数的,而p(x|theda)是这个联合分布的边缘分布:

    (2)

    因此现在的似然函数就变为:

    (3)

    二,期望值最大化的原理

    期望最大化求解上述似然函数的中心思想是为了回避直接求解这个函数的困难,转而求解它的一个下界函数B(theda)的最大值。这个下界函数要保证始终不大于原函数,并且通过精心的选择,以使得求解这个下界函数的最优化参数相当容易。考虑到隐变量h的分布函数qi(hi)未知,要估计的参数theta未知,这个下界函数是关于qi(hi)和theta的函数,其定义如下:

    (4)

    上面的不等式是根据Jensen不等式得出的。Jensen不等式为E(f(x))=<f(E(x)),其中E()表示期望值,f(x)是一个凹函数,因为log函数是一个凹函数,可推导出上式。

    得到这个下界函数后要使其最大化,分为两个迭代的步骤进行,第一个步骤称为“期望值(E)”步骤,求qi(hi)的最优化参数,第二个步骤称为“最大化”(M)步骤,求theta的最优化参数。

    E步骤

    对公式(4)进行变换可得,

    (5)

    其中第一项与qi(hi)无关,因此qi(hi)的最优化参数为:

    (6)

    上式把最大化问题转化为最小化问题。根据log(y)<=y-1,可得


    7)

    上式取得最优值即等号满足的条件是,在给定的theta和Xi的条件下计算方法如下:

    (8)

    利用上式对每一个样本的隐变量hi所有可能存在的取值进行计算,可得到这些隐变量的分布函数。其中分母通过全概率公式计算得到。

    M步骤

    这一步算theta的最优值。

    (9)

    上式再根据具体的问题中xi与hi的联合密度函数展开求最优值。

    三,高斯混合模型的参数估计

    高斯混合模型的参数为,分别是各个高斯分布的比重,均值和方差,可通过EM进行估计。这里的隐变量的含义就是各个样本所属的高斯分布编号即类别,每一个类别表示一个高斯分布。在所得到的样本中只知道各样本的特征值xi,而不知道该样本所属的类别hi。此处的问题就是如何利用这些未知类别标号的样本来估计高斯混合分布的参数。

    在E步骤中,计算各个样本分别属于各个类别的概率,得到该样本的类别,即隐变量的分布函数:

    (10)

    在M步骤中,求参数的最优值,公式(9)变为:

    (11)

    可以通过对参数求导得到其最优值,结果为:

    (12)

    以上E和M步骤交替进行,直到收敛。







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  • EM算法(期望最大值算法

    千次阅读 2019-03-22 23:47:55
    (3)M-step:根据期望值反推模型的 参数值,用于更新初始化的参数分布。 硬币A投正的期望和/(硬币A投正的期望和 + 硬币A投反的期望和) 硬币B投正的期望和/(硬币B投正的期望和 + 硬币B投反的期望和) 用以上...

    一、问题提出: 身高问题

    假如我们现在手头上有200个学生的身高合集,其中有男生和女生,而且男生、女生分别服从不同的高斯分布。如果把这个数据集的概率密度画出来,大致可能像这样:

    提出问题: 求解这两种身高的概率分布参数。

    这个图形所对应的便是混合高斯模型(GMM)概率分布函数,表示其由两个高斯模型混合而成。即:

    \large P(x_i;\theta)=\sum_{i=1}^{k}\alpha_k\Phi(x;\theta_k)

    其中,\large \Phi(x;\theta_k)是第k个分高斯模型的概率密度函数,其可以定义如下:

    \large \theta_k=(\mu_k,\sigma_k^2)

     \large \phi(y|\theta_k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_k}\;exp(-\frac{(y-\mu_k)^2}{2\sigma_k^2})

    \large \alpha_k是第K个分模型的权重系数,且满足\large \alpha_k\geq 0\large \sum_{k=1}^{K}\alpha_k=1

    对GMM模型的参数估计,就要用EM算法。更一般的讲,EM算法适用于带有隐变量的概率模型的估计。在我们上面的问题中,某一个身高样本可能来自男学生或女学生,假设某样本来自男生的概率分布,设Z=1,反之则设Z=0,这个Z就是引入的隐变量。

    那么极大似然函数可写为:

    l(\theta)=\sum_{i=1}^{k}log\;p(x_i;\theta)=\sum_{i=1}^{k}log\;\sum_{Z}p(x_i;Z;\theta)

    Z取值有两种情况(=0,=1),而这两种情况都需要考虑,因此在上式中,额外产生了一个求和的操作。

    因为这个似然函数的log后面还有求和操作,用求偏导的方式来求解比较困难,因此往往采用迭代求解的方式。

    二、迭代求解

    首先,初始化参数θ

    (1)E-Step:根据参数θ计算每个样本属于Z的概率,即这个身高样本来自男生或女生的概率,这个概率就是Q

    (2)M-Step:根据计算得到的Q,求出含有θ的似然函数的下界并最大化它,得到新的参数θ

    重复(1)和(2)直到收敛

    三、实例:硬币问题

    (1)有两个硬币A和B,假设出现正面的概率分别为0.6,0.5,即初始化参数。

    (2)E-step:根据样本估算隐变量Z分别来自A或B的概率

    开始观察第一个样本:投掷10次,5次正面。

    考虑隐变量Z,可能是A可能是B,现在分别计算俩硬币投出5正5反的概率:

    pA=C_{10}^5 \;*\;0.6^5\;*\;0.4^5

    pB=C_{10}^5 \;*\;0.5^5\;*\;0.5^5

    以pA为例,C(10,6)表示10次投掷6次为正的组合数;0.6的6次方表示6次为正的概率,0.4的4次方表示4次为反的概率,相乘表示6次正4次反的概率。

    那么选择硬币A的概率=pA/(pA+pB)=0.45,选择硬币B的概率为1-选硬币A的概率=0.55。

    那么硬币A投掷正的期望=0.45*5=2.2,投掷反的期望=0.45*5=2.2

    那么硬币B投掷正的期望=0.55*5=2.8,投掷反的期望=0.55*5=2.8

    以上,对第一个样本的期望计算完毕;

    按照以上的方法继续计算剩下所有样本的期望,并将所有样本计算出来的期望相加,如下:

    硬币A投掷正的期望累加和;

    硬币A投掷反的期望累加和;

    硬币B投掷正的期望累加和;

    硬币B投掷反的期望累加和;

    (3)M-step:根据期望值反推模型的\theta参数值,用于更新初始化的参数分布。

    \hat{\theta_A}=硬币A投正的期望和/(硬币A投正的期望和 + 硬币A投反的期望和)

    \hat{\theta_B}=硬币B投正的期望和/(硬币B投正的期望和 + 硬币B投反的期望和)

    用以上的两个参数替换开始的假设的参数,并重复以上步骤直至收敛,即两个参数不再发生大的变化为止。

    4、图例: 以下图说明了第三步的过程。

     

     

     

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  • 最大期望算法

    2017-06-27 09:17:52
    原链接:https://community.bwbot.org/topic/132什么是最大期望算法在我们进行数据分析的... 最大期望算法(Expectation Maximization algorithm )就是这样一种分类算法。 原理原理上也是十分的简单的。对于一个随机

    原链接:https://community.bwbot.org/topic/132

    什么是最大期望算法

    在我们进行数据分析的时候经常会遇到这个的问题。我们有一系列的数据点,可以看出他们大致上属于不同的类别。比如下面的数据点。如何找到一种算法把这些点分类?

    0_1480936447212_ex8r_sm.png

    最大期望算法(Expectation Maximization algorithm )就是这样一种分类算法。

    0_1480936793260_ex8_sm.png

    原理

    原理上也是十分的简单的。对于一个随机过程来说,一般数据分布都是一个高斯分布。所以我们就可以假设这样的数据是几个高斯分布叠加出来的结果。下面只要通过一定的方法找到这些高斯分布的参数就可以了。为什么叫做最大期望呢?因为找到的分布是最有可能的产生这样的数据结果的分布。具体找参数的方法我就不介绍了,可以详细看这里

    如何在opencv里面使用最大期望算法

    在opencv中已经实现了EM算法,所以我们可以直接使用,官方文档
    这里是opencv官方给的sample code

    下面是我写的更简单一些的sample code。作用是对三维空间中的点进行归类。

      cv::Mat framePos = cv::Mat( vpKF.size(), 3, sizeof(float));
      for(size_t it = 0; it < vpKF.size(); it ++){
        framePos.at<float>(it * 3) = 0; // 构造数据
        framePos.at<float>(it * 3 + 1) = 0;
        framePos.at<float>(it * 3 + 2) = 0;
      }
    
      // 所有点的坐标信息都已经存入framePos
      cv::EM em = cv::EM(); // 创建一个EM对象
      cv::Mat labels;
      cv::Mat pos = cv::Mat( 1, 3, sizeof(float)); // pos是需要进行判断分类的点
      // 开始训练数据
      em.train( framePos, cv::noArray(), labels, cv::noArray() );
      // 开始判断分类
      em.predict(pos, cv::noArray())[1]; // 返回值就是分类
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    千次阅读 2018-08-06 21:23:14
    em算法是一种迭代算法,用于含有隐变量的参数模型的最大似然估计或极大后验概率估计。EM算法,作为一个框架思想,它可以应用在很多领域,比如说数据聚类领域----模糊聚类的处理,待会儿也会给出一个这样的实现例子。...
  • 图像处理基础知识系列之四:最大似然和EM(期望最大化)算法简单梳理    最大似然估计(Maximum likelihoodestimation),还可以翻译为最大可能估计,主要算法... EM算法,指的是最大期望算法(Expectation Maximi
  • MLE极大似然估计和EM最大期望算法

    千次阅读 2017-01-20 11:21:26
    机器学习十大算法之一:EM算法。能评得上十大之一,让人听起来觉得挺NB的。什么是NB啊,我们一般说某个人很NB,是因为他能解决一些别人解决不了的问题。神为什么是神,因为神能做很多人做不了的事。那么EM算法能解决...
  •  最大期望算法(Expectation Maximization Algorithm,又译期望最大化算法),是一种迭代算法,用于含有隐变量(hidden variable)的概率参数模型的最大似然估计或极大后验概率估计。可以有一些比较形象的比喻说法...
  • 期望最大算法(The EM algorithm)

    千次阅读 2017-04-12 10:27:35
    这一章中,将EM算法进一步推广。为此先讲解了Jensen不等式,再由含有隐参数的分布,符合凸函数条件时可使用EM算法有效解决此类问题。
  • 最大期望算法(Expectation Maximization Algorithm,又译期望最大化算法),是一种迭代算法。在概率(probabilistic)模型中寻找参数最大似然估计或者最大后验估计的算法,其中概率模型依赖于无法观测的隐藏变量...
  • 机器学习期望最大算法:实例解析

    千次阅读 2017-11-28 00:00:00
    包含但不限于:经典算法,机器学习,深度学习,LeetCode 题解,Kaggle 实战。期待您的到来! 01 — 回顾 已经分析了朴素贝叶斯分类,拉普拉斯修正,半朴素贝叶斯分类器,在这些理论阐述中,都带有...
  • 有时候需要琢磨算法为什么奏效?背后到底有什么原因?什么时候算法会失效?这些问题都搞明白了,才算真正理解了算法。这里我想探讨一下K均值和EM算法背后深层的东西。 如果把来自不同样本类型的两组数据样本混在...

空空如也

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最大期望值算法