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  • 曲线拟合曲线拟合可以说在多种领域都有其用武之地,因为其主要的功能就是寻求平滑曲线来更好的表现带有噪声的测量数据。一般对于进行曲线拟合操作,都是先给定一部分采集的离散的数据点,在这些点的基础上建立数学...

    7f45a4955b40c891e36db07f62b13c51.png

    这些日子一直在想写些什么东西,而写东西的初衷就是把自己平时学习到、接触到的东西,以理性的方式表达出来。

    最近在看如何用matlab来进行曲线拟合,故在此做一个学习成果汇报。

    • 曲线拟合

    曲线拟合可以说在多种领域都有其用武之地,因为其主要的功能就是寻求平滑的曲线来更好的表现带有噪声的测量数据。

    一般对于进行曲线拟合操作,都是先给定一部分采集的离散的数据点,在这些点的基础上建立数学模型,再求得一系列微小的直线段把这些插值点连接成曲线。因此,插值操作就是曲线拟合的核心所在。

    插值也有很多种方式,通常如果采用多项式进行插值,通常数据都会出现震荡。Spline插值的方式能够很好的得到平滑的效果,但是在无形中又会引入过多的参数。

    换另一个角度来思考问题,我们需要的是较好的表现带有噪声的测量数据。在这里,重点的两个词分别是较好带有噪声。因此我们所产生的拟合曲线并不需要知道所有的点,只需要我们拟合后的数据整体上与原数据的误差最小。误差是我们口语上的说法,换成相对专业点的术语来说就是“方差”。因为形象的来说,方差就是经过拟合处理后的数据和采样得到的数据之间的垂直距离。

    • 加权最小方差拟合原理(weighted least squares,WLS)

    加权最小方差是根据基础数据本身各自的准确程度不同,在拟合时给每个数据以不同的加权数值。这种方法比单纯的最小方差法更加符合较好这一拟合的初衷。

    以N阶多项式为例。

    54c80c7615ad5ecdd83cfdd692cd987c.png

    如上,如果要求解拟合系数就得先求解线性方程组,线性方程组的系数矩阵(A)和需要求解的拟合系数矩阵(θ)。

    2196037a2eb17b0afe2d7bfa9662dcb0.png

    就是上面这个东西,其对应的加权最小方差的表达式应为

    a471b5bdee2e264c1508f15c8784ceed.png

    因此问题到这里就解决了。

    但是你照着这样做效果也许不是那么好,因此我们就可以继续对其进行LS多项式拟合,这样……效果你知道的。

    最后,扔大家一篇有关的参考文章:计算机视觉--加权最小二乘(WLS)滤波器 - CodeTutor - CSDN博客

    反正我觉得不错。

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  • 1基本命令一般画函数或方程式之图形,都是先标上几个图形上的点,进而再将点连接即为函数图形,其点愈多图形越平滑。MATLAB在简易2维画图(plot),也是相同做法,必须先点出x 和y 坐标(离散数据),再将这些点连接,...
    1 基本命令

     一般画函数或方程式之图形,都是先标上几个图形上的点,进而再将点连接即为函数图形,其点愈多图形越平滑。MATLAB在简易2维画图(plot),也是相同做法,必须先点出 x 和 y 坐标(离散数据),再将这些点连接,语法如下:

     若取图形上n个点,则x=(x1,x2,…,xn), y=(y1,y2,…,yn)

    plot(x,y)  % x为图形上之x坐标向量,y为其对应的y坐标向量

    Review:快速产生一维A数组数据方法有二

    利用 V=[a : b : c] 即以 a 起始,间隔为 b ,至 c 结束。(若后面间格位坐落在 c,则不包含)。<方便做等间格数据点>

    X=linspace(a , b , n)  %a代表起始点,b代表终点,n代表所取点的个数。<方便做固定数据数>

    例1:绘制y=sin(x)图像,x=0~2π,依序分别取 5,10,100个资料点个别画出。

    >> x5= linspace(0,2*pi,5); %在 0 到2π 间,等分取 5 个点>> y5 = sin(x5);           %计算 x 的正弦函数值>> plot(x5,y5);            %进行二维平面描点作图

    57f2f5079f3699f775fa5ebae4acecc2.png

    >> figure;                 % 开新画图窗口>> x10= linspace(0,2*pi,10); %在 0 到2π 间,等分取 10 个点>> y10 = sin(x10);           %计算 x 的正弦函数值>> plot(x10,y10);

    fe86cc42b92af98b1391bba2700bc98a.png

    >> figure;                  % 开新画图窗口>> x100= linspace(0,2*pi,100); %在 0 到2π 间,等分取 100 个点>> y1000 = sin(x10);           %计算 x 的正弦函数值>> plot(x100,y100);

    c095542119c9ed6cfc52c886d43c26b4.png

    >> plot(x, sin(x), x, cos(x))  %进行多条曲线作图,输入依序为各曲线的x,y值

    8c76ef650d5d2aa695ddfd863ebedeff.png

    2 快速方程式画图(fplot,ezplot)

    fplot:单纯画方程式图形,图形上之(x,y)坐标值会自动取,但必须输入x坐标的范围,其指令如下:

    fplot('函式',[xmin,xmax,ymin,ymax])  %绘出函式图形,x轴的范围取xmin到%xmax,y轴的范围取ymin到ymax

    例1:绘出图形

    25f82ce6c8619148e1eb180f8e6e4959.png

    >> fplot('x-cos(x^3)-sin(2*x^2)',[-3,3])   %绘出图形

    18fcb54d23f88d3c1e8b1bdf7fa8fad7.png

     ezplot:类似fplot,可以绘出y=f(x)显函数,也可绘出f(x,y)=0隐函数以及参数式。指令如下: 

      ezplot('函式')

      ezplot('函式',[xmin,xmax,ymin,ymax])     % 绘出函式图形,x轴的范围取xmin到xmax

      ezplot('x参数式','y参数式',[tmin, tmax])  % 绘出参数式图形,t范围取tmin到tmax

    例1:利用 ezplot 绘出f(x)=x2

    >> ezplot('x^2')

    94343c4326c12a7af50f350acbe32e08.png

    提示:

    à在' '内不需要写成先前x.^2元素对元素的形式,方程式直接像打计算器操作一样。

    例2:利用 ezplot 绘出 f(x,y)=x2-y=0

    >> ezplot('x^2-y',[-6 6 -2 8])  % 若不设x或y范围,则为预设的-2π到2π

    901883157e4cb46c3ed229ef5e235e0e.png

    ab213b1bc3c3345d2bad2f7481497e13.png

    >> ezplot('cos(2*t)','sin(6*t)',[0,pi])  %绘图,t取0~π

    练习:

    a8df70364ab60d8c62a4d2e688043319.png

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  • 主要为大家详细介绍了python利用插值法对折线进行平滑曲线处理,具有一定的参考价值,感兴趣的小伙伴们可以参考一下
  • 实现说明见: https://blog.csdn.net/listlike/article/details/107460386
  • 平滑曲线连接多个点

    千次阅读 2019-07-24 20:41:22
    给定一组点,用平滑曲线按顺序连接点: 考虑过贝塞尔曲线,但是贝塞尔曲线只经过首尾两个点,其余点是控制点,不经过曲线 于是找到了接下来的Catmull-Rom样条曲线: 参考资料:Centripetal Catmull–Rom spline...

     给定一组点,用平滑曲线按顺序连接点:

     

    考虑过 贝塞尔曲线 ,但是贝塞尔曲线只经过首尾两个点,其余点是控制点,不经过曲线

    于是找到了接下来的 Catmull-Rom样条曲线:

    参考资料:Centripetal Catmull–Rom spline

    using System.Collections;
    using System.Collections.Generic;
    using UnityEngine;
    
    //https://en.wikipedia.org/wiki/Centripetal_Catmull%E2%80%93Rom_spline
    public class SmoothCurveHandler : MonoBehaviour
    {
        [SerializeField] LineRenderer lineRender;
    
        [SerializeField] List<Transform> posList;
    
        const int countBetween2Point = 20;
    
        Vector3[] curvePoints;
    
        void Start()
        {
            curvePoints = new Vector3[countBetween2Point * (posList.Count - 1) + 1];
    
            lineRender.positionCount = curvePoints.Length;
        }
          
        void Update()
        {
            CalculateCurve();
            lineRender.SetPositions(curvePoints);
        }
    
        //-----------------------
    
        Vector3 firstPos, curPos, nextPos, lastPos;
        void CalculateCurve()
        {
            //依次计算相邻两点间曲线
            //由四个点确定一条曲线(当前相邻两点p1,p2,以及前后各一点p0,p3)
            for (int i = 0; i < posList.Count - 1; i++)
            {
                //特殊位置增加虚拟点
                //如果p1点是第一个点,不存在p0点,由p1,p2确定一条直线,在向量(p2p1)方向确定虚拟点p0
                if (i == 0)
                    firstPos = posList[i].position * 2 - posList[i + 1].position;
                else
                    firstPos = posList[i - 1].position;
                //中间点
                curPos = posList[i].position;
                nextPos = posList[i + 1].position;
                //特殊位置增加虚拟点,同上
                if (i == posList.Count - 2)
                    lastPos = posList[i + 1].position * 2 - posList[i].position;
                else
                    lastPos = posList[i + 2].position;
    
                CatmulRom(firstPos, curPos, nextPos, lastPos, ref curvePoints, countBetween2Point * i);
            }
            //加入最后一个点位
            curvePoints[curvePoints.Length - 1] = posList[posList.Count - 1].position;
        }
    
        //平滑过渡两点间曲线(p1,p2为端点,p0,p3是控制点)
        void CatmulRom(Vector2 p0, Vector2 p1, Vector2 p2, Vector2 p3, ref Vector3[] points, int startIndex)
        {
            //计算Catmull-Rom样条曲线
            float t0 = 0;
            float t1 = GetT(t0, p0, p1);
            float t2 = GetT(t1, p1, p2);
            float t3 = GetT(t2, p2, p3);
    
            float t;
            for (int i = 0; i < countBetween2Point; i++)
            {
                t = t1 + (t2 - t1) / countBetween2Point * i;
    
                Vector2 A1 = (t1 - t) / (t1 - t0) * p0 + (t - t0) / (t1 - t0) * p1;
                Vector2 A2 = (t2 - t) / (t2 - t1) * p1 + (t - t1) / (t2 - t1) * p2;
                Vector2 A3 = (t3 - t) / (t3 - t2) * p2 + (t - t2) / (t3 - t2) * p3;
    
                Vector2 B1 = (t2 - t) / (t2 - t0) * A1 + (t - t0) / (t2 - t0) * A2;
                Vector2 B2 = (t3 - t) / (t3 - t1) * A2 + (t - t1) / (t3 - t1) * A3;
    
                Vector2 C = (t2 - t) / (t2 - t1) * B1 + (t - t1) / (t2 - t1) * B2;
    
                points[startIndex + i] = C;
            }
        }
    
        float GetT(float t, Vector2 p0, Vector2 p1)
        {
            return t + Mathf.Pow(Mathf.Pow((p1.x - p0.x), 2) + Mathf.Pow((p1.y - p0.y), 2), 0.5f);
        }
    
    }

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  • 原帖地址:科研画图-率失真曲线图:散点连接平滑(基于Matlab和Python)_Kobaayyy的博客-CSDN博客_set(gca,fontsize,13,fontweight,bold);python​blog.csdn.net网上关于科研画图相关的代码比较少,就参照别人论文...

    6e9e74cb6f5c9e114745e75ecefe8510.png

    原帖地址:

    科研画图-率失真曲线图:散点连接并平滑(基于Matlab和Python)_Kobaayyy的博客-CSDN博客_set(gca,fontsize,13,fontweight,bold);python​blog.csdn.net
    3a772e260858afcbe22753f6528e1564.png

    网上关于科研画图相关的代码比较少,就参照别人论文里的图,自己鼓捣了下。
    参考图:

    34c553c330e31fcf1bc687a8dc832385.png

    附上自己整合验证过的代码:

    功能:将散点连接并平滑

    1)Matlab

    效果图:

    c8191c448437546ecd06fc484ed2990e.png
    x1=[431.50032,759.5552,1335.3736,2530.388] %输入以下三组数据
    y1=[34.06366,35.73132,37.2244,38.61294]
    x2=[263.8656,458.7952,839.6584,1740.9088]
    y2=[33.5318074,35.1415668,36.8603528,38.244926]
    x3=[253.91296,441.854,803.4116,1625.2548]
    y3=[34.3625,35.88912,37.5403,38.45364]
    a=linspace(min(x1),max(x1)); %插值后将散点连线平滑化
    b=interp1(x1,y1,a,'cubic');
    c=linspace(min(x2),max(x2));
    d=interp1(x2,y2,c,'cubic');
    e=linspace(min(x3),max(x3));
    f=interp1(x3,y3,e,'cubic');
    plot(a,b, 'LineWidth',2, 'LineSmoothing', 'on'); %画ab对应曲线,粗细,平滑
    hold on
    plot(c,d, 'LineWidth',2, 'LineSmoothing', 'on'); %画cd对应曲线,粗细,平滑
    hold on
    plot(e,f, 'LineWidth',2, 'LineSmoothing', 'on'); %画ef对应曲线,粗细,平滑
    axis([0,3000,33,39])  %确定x轴与y轴框图大小
    legend({'MRMV','MVDM','MVLL'},'FontSize',13,'Location','southeast','Orientation','vertical') %题注设置:名称,字号,位置,方向
    xlabel('Bit rates(kbps)','FontSize',13,'FontWeight','bold') %x轴设置:标题,字号,字体粗细
    ylabel('PSNR(dB)','FontSize',13,'FontWeight','bold') %y轴设置:名称,字号,字体粗细
    title('Balloons','FontSize',15,'FontWeight','bold') %标题描述,名称,字号,字体粗细
    set(gca,'ygrid','on','gridlinestyle','--','Gridalpha',0.3) %网格设置
    grid on; %网格
    print(gcf, '-dpng', '-r800', 'C:UsersAdministratorDesktoptest.png') %保存图片,格式为png,分辨率800,保存路径
    

    2)Python
    效果图:

    3b881f93198334ce4def21c2fa37aa1c.png

    小问题:翘尾问题需要解决 

    # author: Kobay time:2019/10/18
    

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    2012-05-06 16:15:19
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    千次阅读 2014-05-25 22:21:42
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空空如也

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曲线连接要平滑