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  • 曲线的导数
    2020-12-18 20:47:19

    模拟方法:

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    代码

    :

    clc; clear all; close all;

    x0 = linspace(0, 1);

    y0 = sin(x0).*cos(x0);

    h = abs(diff([x0(2), x0(1)]));

    %

    模拟一阶导

    figure; box on; hold on;

    ythe1 = cos(x0).^2 - sin(x0).^2; %

    理论一阶导

    yapp1 = gradient(y0, h); %matlab

    数值近似

    plot(x0, ythe1, '.');

    plot(x0, yapp1, 'r');

    legend('

    理论值

    ', '

    模拟值

    ');

    title('

    模拟一阶导

    ');

    %

    模拟二阶导

    figure; box on; hold on;

    ythe2 = (-4)*cos(x0).*sin(x0); %

    理论二阶导

    yapp2 = 2*2*del2(y0, h); %matlab

    数值近似

    plot(x0, ythe2,'.');

    plot(x0, yapp2,'r');

    legend('

    理论值

    ', '

    模拟值

    ');

    title('

    模拟二阶导

    ');

    %

    模拟曲率

    syms x y

    y = sin(x)*cos(x);

    yd2 = diff(y, 2);

    yd1 = diff(y, 1);

    k = abs(yd2)/(1+yd1^2)^(3/2);

    k1 = subs(k, x, x0);

    k2 = abs(yapp2)./(1+yapp1.^2).^(3/2);

    figure; box on; hold on;

    plot(x0, k1, '.');

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    冶金分析 ,2010 ,30(10) :1619Metallurgical Analysis ,2010 ,30(10) :16219文章编号 :1000 - 7571(2010) 10 - 0016 - 04 基于 MATLAB的电化学滴定曲线导数变换的实现 应海松1 ,张会红2 (11北仑出入境检验检疫局 ,浙江宁波   315800 ;21宁波大学信息科学与工程学院 ,浙江宁波   315211) 摘  要 :利用 MA TLAB 软件的命令行编程、一维离散小波的工具箱 GUI 功能和 Simulink 仿真三种方式 ,以电位滴定曲线为例 ,分别对电化学滴定曲线进行导数变换 ,以提高仪器检出信号和曲线突跃点确定的精度 ,为电化学定量检测提供一种有效的方法。此三种导数变换方式可以应用于一些基础电化学仪器的定量分析 ,尤其是对未配备相关计算软件的读数型电位滴定仪十分有效。本文所介绍的例程、例举可使电化学工作者在进行相关参数设置或导入、导出设定后直接应用到电化学分析实际工作。 关键词 :电化学 ;滴定曲线 ;导数变换 中图分类号 :O657115     文献标识码 :A 收稿日期 :2009 - 12 - 03 基金项目 :宁波出入境检验检疫局计划课题作者简介 :应海松(1965 - ) ,男 ,高级工程师 ,主要从事化矿金检验 ; Tel :0574 - 86884594 ; E2mail :yhsciq @yahoo. com. cn   电化学是研究电和化学反应相互关系的科学 ,电化学的研究内容应包括电解质的研究和电极的研究 ,电解质和电极的研究都会涉及到化学热力学、化学动力学和物质结构。电极电势理论的发展及能斯特公式的建立 ,也大大促进了电化学在理论探讨和实验方法方面的发展 ,应用电化学原理发展起来的各种电化学分析法已成为实验室和工业监控的不可缺少的手段。利用电解质浓度的变化和电极电势的关系形成的曲线是电位滴定的定量分析实现基础 ,但将曲线进行导数变换而再次形成的曲线 ,可以使 S 形曲线变为尖锐的单峰型一阶导数曲线 ,或成为以 X 轴正负对称的双峰型二阶导数曲线[122] 。这些变换都可以提高 定量分析的精确度。将曲线进行导数变换可以利用多种工具 ,本文利用 MA TLAB 软件应用于曲线的导数变换。MA TLAB 软件是第四代高级计算机语言[3] ,该语言可以使人从繁琐的程序代码中解放出来 ,它丰富的函数无需开发者重复编程 , 其拥有的科学计算、可视化工具、开放可扩展性和多领域工具箱和模块组 ,使各种工程问题变得简 单。MA TLAB 允许用数学形式编写程序 ,因此比 FORTRAN、 C 语言更加接近书写计算公式的思维方式。下面以某一电位滴定曲线为例 ,用 MA TLAB 的三种方法实现曲线的导数变换。 1  利用 MATLAB的命令行功能 MA TLAB 的导数变换命令行功能可直接调用 diff 函数 ,diff 为差分函数 ,它与导数变换异曲同工 ,但也可以利用 MA TLAB 的 M 文件编制达到导数变换目的。如将某包含滴定曲线数据的Excel 文件 a1xls ,通过 MA TLAB 的 M 文件代码 编制 ,画出原数据曲线、一阶导数曲线、二阶导数曲线 ,然后将一阶导数变换值写入文件名为 bb 的 TXT 文件 ,通过比较纵坐标极大值对应横坐标值 ,可计算电位滴定终点。 例程 : A = xlsread(’a1xls’) ; [x ,y] = size(A) ; A = A’; hold on ; —61— 应海松 ,张会

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      每个基函数的导数可计算如下:

      

      将这些导数代回曲线方程得到下列结果:

      

      其中 Qi定义如下:

      

      因此,一个B-样条曲线的导数是另一个p - 1次B-样条曲线,在原来的节点向量上,而有新的n 个控制点Q0, Q1, ..., Qn-1。

      如果原始的clamped节点向量是u0(p+1), up+1, ..., um-p-1, um(p+1),那么移动第一个和最后一个节点使得第一个和最后一个节点重复度变成, p 而不是p+1,我们有一个m - 1 个节点u0(p), up+1, ..., um-p-1, um(p)的新节点序列。那么,可证明在原来节点序列计算的Ni+1,p-1(u) 等于在新节点序列上的Ni,p-1(u)。因此,在新节点序列上的一个B-样条曲线的导数如下:

      

      下面左图是一个5次的B-样条曲线。它的导数曲线,其是一个由新 n 个控制点定义的 p-1次B-样条曲线,显示在中图。如同贝塞尔曲线的情况,这是一个原始曲线的矢端曲线(hodograph)。下面右图显示的是控制折线删除后的矢端曲线(hodograph)。

             

        Clamped B-样条曲线

      我们知道一个clamped B-样条曲线经过第一个和最后一个控制点。实际上,它也与控制折线的第一边和最后一边相切。回忆上面的p 次B-样条曲线C(u)的导数是

      

      其节点向量通过将第一个节点和最后一个节点从原始节点序列去掉获得。因此,第一个(和最后一个)节点的重复度是p,因此,上面的 p-1次B-样条曲线是clamped。因为一个clamped B-样条曲线经过它的第一个和最后一个控制点,我们有C'(0) = Q0 和 C'(1) = Qn-1。 因为,对i = 0有 u0 = .... = up = 0 ,所以我们有

      

      因此,在C'(0)上的切向量与从P0 到 P1 的向量有相同的方向,而 C(u) 与第一边相切。基于同样的推理,我们有下列结果:

       

        因此,C(u) 与最后一边相切。总之,我们有下列重要事实: 

      

      更高阶导数 

      因为一个B-样条曲线的一阶导数是另一个B-样条曲线,所以可以毫无困难地递归应用该技术来计算更高阶导数。

      

     

     

    展开全文
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