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一、无约束优化问题及算法
min f ( x ) g r a d i e n t d e s c e n t d k = − ∇ f ( x k ) s t e e p e s t d e s c e n t d k = arg min ∣ ∣ v ∣ ∣ = 1 { ∇ f T ( x k ) v } c o o r d i n a t e d e s c e n t s u b g r a d i e n t d e s c e n t d k = − ∂ f ( x k ) ∂ x N e w t o n ′ s M e t h o d d k = arg min v { ∇ f T ( x ) v + 1 2 v T ∇ 2 f ( x ) v } = − ( ∇ 2 f ( x k ) ) − 1 ∇ f ( x k ) Q u a s i − N e w t e n M e t h o d d k = − B − 1 ∇ f ( x k ) \min f(x)\\gradient\;descent\;d^k=-\nabla f(x^k)\\steepest\;descent\;d^k=\argmin_{||v||=1}\{\nabla f^T(x^k)v\}\\coordinate\;descent\\subgradient\;descent\;d^k=-\frac{\partial f(x^k)}{\partial x}\\Newton's\;Method\;d^k=\argmin_v\{\nabla f^T(x)v+\frac12v^T\nabla^2f(x)v\}=-(\nabla^2f(x^k))^{-1}\nabla f(x^k)\\Quasi-Newten\;Method\;d^k=-B^{-1}\nabla f(x^k) minf(x)gradientdescentdk=−∇f(xk)steepestdescentdk=∣∣v∣∣=1argmin{∇fT(xk)v}coordinatedescentsubgradientdescentdk=−∂x∂f(xk)Newton′sMethoddk=vargmin{∇fT(x)v+21vT∇2f(x)v}=−(∇2f(xk))−1∇f(xk)Quasi−NewtenMethoddk=−B−1∇f(xk)
二、有约束优化问题
min f ( x ) s . t . A x = b \min f(x)\\s.t.\;Ax=b minf(x)s.t.Ax=b
KKT条件
A x ∗ = b ∇ f ( x ∗ ) + A T v ∗ = 0 Ax^*=b\\\nabla f(x^*)+A^Tv^*=0 Ax∗=b∇f(x∗)+ATv∗=0
1)线性方程组
min 1 2 X T P X + q T X + r P ∈ S + n s . t . A x = b \min \frac12X^TPX+q^TX+r\;\;P\in S_+^n\\s.t. \;Ax=b min21XTPX+qTX+rP∈S+ns.t.Ax=b
KKT条件
A x ∗ = b P X ∗ + q + A T v ∗ = 0 ⇔ [ P A T A O ] [ x ∗ v ∗ ] = [ − q b ] Ax^*=b\\PX^*+q+A^Tv^*=0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} P& A^T \\ A& O \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x^* \\ v^* \\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -q \\ b \\ \end{matrix} \right] Ax∗=bPX∗+q+ATv∗=0⇔[PAATO][x∗v∗]=[−qb]
2)非线性方程组
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