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    blogTitle:'有两个约束条件的条件极值',

    blogAbstract:'

    本博文推导三元函数在两个约束条件下取得极值的必要条件。

    我们使用的教材(同济大学《高等数学》第六版)给出了有两个约束条件的条件极值的拉格朗日乘数法,但是没有给出推导。现将推导补充于下,供大家参考。

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    展开全文
  • 有约束条件的极值问题称为约束极值问题,也叫规划问题。 求解约束极值问题要比求解无约束极值问题困难得多。为了简化其优化工作,可采用下面两种方法: 1.将约束问题转化为无约束问题; 2.将非线性规划问题转化为...
    • 约束极值问题的定义及优化方法

    带有约束条件的极值问题称为约束极值问题,也叫规划问题。
    求解约束极值问题要比求解无约束极值问题困难得多。为了简化其优化工作,可采用下面两种方法:
    1.将约束问题转化为无约束问题;
    2.将非线性规划问题转化为线性规划问题。

    什么样的目标函数可以用二次规划求解呢?
    1.非线性规划的目标函数为自变量x的二次函数
    2.约束条件是线性的

    • 二次规划数学模型

    在这里插入图片描述
    其中,H是实对称矩阵;f,b,beq,lb,ub是列向量;A,Aeq是相应维数的矩阵。
    Matlab中求解二次规划的命令:
    [x,fval]=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)
    返回值x是决策向量x的值,返回值fval是目标函数在x处的值。

    • 二次规划求解的例子

    Example:
    在这里插入图片描述
    编写程序如下:
    H=[4,-4;-4,8];
    f=[-6;-3];
    A=[1,1;4,1];
    b=[3,9];
    [x,fval]=quadprog(H,f,A,b,[ ],[ ],zeros(2,1))
    这里x1和x2有下界,没有上界,所以根据第三个约束,lb为两行一列的0矩阵,上界为空。
    求解得:x1=1.9500,x2=1.0500,minf(x)=-11.0250

    展开全文
  • [CO] 无约束极值问题的解法

    千次阅读 2015-11-07 20:57:34
    最后修改日期 2015/11/7无约束极值问题可以表述为 minf(X),X∈Rnmin f(X), X \in R^n 对于这类问题的求解一般要用到迭代法。迭代法可分为两大类。一类是要用到函数一阶导数或二阶导数的解析法;另一类是迭代过程中...

    华电北风吹
    最后修改日期 2015/11/7

    无约束极值问题可以表述为
    minf(X),XRn
    对于这类问题的求解一般要用到迭代法。迭代法可分为两大类。一类是要用到函数一阶导数或二阶导数的解析法;另一类是迭代过程中只用到函数值的直接法。常见的解析法有梯度下降法,共轭梯度法,变尺度法。常见的直接法有步长加速法。

    一、梯度下降法
    假设Xk表示极小值点的第k次迭代。求解第k+1次迭代过程为
    Xk+1=Xk+λPk
    Pk表示函数f(X)在点Xk处的负梯度。λ是步长。
    其中,步长可以设定为一个常数值。当然,也可以通过一维搜索求解使得函数f(X)在点Xk沿方向Pk下降最多的步长(最速下降法)。

    二、共轭梯度法

    三、变尺度法

    四、步长加速法

    展开全文
  • 第一类: 无约束最优化问题找到一个合适的x,是的f(x)最小: minxf(x) \min_x f(x) 没有任何约束的最优化问题,这个一般解法 梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。第二类: 等式约束的非线性minxf(x)subject to hi...

    动机

    非数学专业,只是用得到,所以学一下。

    问题描述

    首先来看一下非线性最优化问题,一般有这么几类。

    第一类: 无约束最优化问题

    找到一个合适的x,是的f(x)最小:

    minxf(x)

    没有任何约束的最优化问题,这个一般解法有 梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。

    第二类: 有等式约束的非线性

    minxf(x)subject to hi(x)=0i[1,n]

    第三类: 有等式和不等式约束的非线性问题

    minxf(x)subject to hi(x)=0gj(x)<=0i[1,m],j[1,n]

    上面的式子是说, 在满足m个等式 即 hi(x)=0 和 n个不等式 gj(x)<=0 的条件下求f(x)的最小值。

    拉格朗日乘子法

    对于第二类问题,可以转化为一下问题

    minF(x)=min[f(x)+i=1nλihi(x)]

    λi 为拉格朗日乘子。
    F(x)/x=0 , F(x)/λ=0 ,该最优化问题即可的解。

    拉格朗日乘子法原理分析

    上面公式中的x是一个向量,多维的数据难以绘图和理解,这里以二维为例。有这样的最优化问题:

    minz=minf(x,y)s.t.g(x,y)=c

    如果将 z=f(x,y)绘制成一个三维图像,可以想象必定有波峰有波谷,如果想用二维图像绘制这个函数,只能以等高线的形式(想象一下等高线地形图),下图给出了等高线图。因为极值点必须是一个可行解,即必须满足g(x,y)=c 这个条件,所以极值点处的等高线必定和g(x,y)=c 相较于一点。 假设两条线不相切,那么必定有另外一条等高线与之相切。考虑相切的情况,f(x,y)取得极值,且满足等式条件。

    在相切时,其梯度方向平行,即

    [f(x,y)+λ(g(x,y)c)]=0λ0

    给出一个新的函数 F(x,y)=[f(x,y)+λ(g(x,y)c)]=0
    在求其极值的时候,令 F(x,y)=0,即可的解。

    这里写图片描述

    #
    第三类与KKT条件

    在满足KKT条件时,可以将带有不等式的非线性最优化问题转化为无约束的最优化问题。

    这里写图片描述

    首先将原目标公式和等式不等式合为一个公式

    F(x,λ,μ)=f(x)+iλihi(x)+jμjgj(x)

    并需满足以下条件

    (1) F(x,λ,μ)/x=0 这个条件是计算最优化问题的核心。 使用梯度下降法可以迭代求解。

    (2) λi0 这个条件保证等式约束是成立的,如果该值为零,相当于丢失了约束条件。
    (3) μj>=0 ,原条件中 gj(x)<=0 ,公式加上一个小于等于0的数,符合最小化的方向。如果加一个正数,则与最小化方向相反,所以 这个条件保证了 μjgj(x) 小于等于0 。
    (4) ujgj(x)=0 ,该条件表明只有在该项取最大值时,整个公式取极小值才是真正的极小值。 这个式子最大为0, 所以要求其为0。

    进一步思考, 这两项相乘为0,那么至少有一项为0, 如果是 uj 为0 ,说明这个条件并未生效,就是说整个函数的极小值并不在这个条件的边界上。 如果gj(x)=0 极小值说明在这个条件的边界上。

    (5)原本的约束条件 gj(x)<=0 , hi(x)=0

    证明

    证明见 参考文献[1]

    参考文献

    [1] http://www.cnblogs.com/zhangchaoyang/articles/2726873.html
    [2] http://blog.csdn.net/xianlingmao/article/details/7919597
    [3] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%89%E6%A0%BC%E6%9C%97%E6%97%A5%E4%B9%98%E6%95%B0

    展开全文
  • 用matlab求有约束条件函数的极值

    万次阅读 2017-04-22 21:54:07
    用matlab求有约束条件函数的极值机房里的R2010a版本命令:1、fmincon FMINCON finds a constrained minimum of a function of several variables. 2、fmincon用法: X = FMINCON(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,...
  • 其二,对自变量一些附加的约束条件限制下的极值,称为 条件极值。例如给定椭球       求这个椭球的内接长方体的最大体积。这个问题实际上就是条件极值问题,即在条件       下,求的最大值。
  • 此程序里主要是解决无约束一维极值问题的matlab源代码,主要进退法、黄金分割法、斐波那契法等相关算法,经测试好用
  • 约束问题的极值条件

    千次阅读 2014-03-25 18:37:15
    时候,我们希望根据一定的条件找到优化问题的极值点;另外一些时候,我们得到若干候选解,希望判断候选解中哪些是真正的极值点。这其中涉及非线性规划的极值条件问题。所谓非线性规划的极值条件,是指非线性规划...
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空空如也

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有约束极值