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  • z = (y - Xw )T (y - Xw) // y 列向量 X 矩阵 w 列向量 dz / dw = d{ ( y - Xw )T (y - Xw) } / dw dz / dw = d( tr{ ( y - Xw )T (y - Xw) } ) / dw // 由展开的计算公式而来,tr()为矩阵的迹 ...
    z = (y - Xw )T (y - Xw)  
    // y 列向量 X 矩阵 w 列向量
    
    dz / dw = d{ ( y - Xw )T (y - Xw) } / dw
    
    dz / dw = d( tr{ ( y - Xw )T (y - Xw) } ) / dw  
    // 由展开的计算公式而来,tr()为矩阵的迹
    
    dz / dw = d( tr{ yTy - wTXTy - yTXw + wTXTXw } ) / dw
    // 定理 (AB)T = BTAT
    
    dz / dw = d( tr{ yTy } ) / dw - d( tr{ wTXTy } ) / dw - d( tr{ yTXw } ) / dw + d( tr{ wTXTXw } ) / dw
    // 由迹的定理
     
    dz / dw = - d( tr{ wTXTy } ) / dw - d( tr{ yTXw } ) / dw + d( tr{ wTXTXw } ) / dw
    // 去掉0项
    
    dz / dw = - XTy - d( tr{ yTXw } ) / dw + d( tr{ wTXTXw } ) / dw
    // 定理 d(tr{ATB}) / dA = d(tr{BAT}) / dA = B
    
    dz / dw = - XTy - d( tr{ (yTXw)T } ) / dw + d( tr{ wTXTXw } ) / dw
    // 定理 tr(A) = tr(AT)
    
    dz / dw = - XTy - XTy + d( tr{ wTXTXw } ) / dw
    // 由前面定理
    
    dz / dw = - XTy - XTy + d( tr{ wIwTXTX } ) / dw
    // 定理 tr(AB) = tr(BA),其中补齐I为单位阵
    
    dz / dw = - XTy - XTy + XTXw + XTXw
    // 定理 d( tr{ABATC} ) / dA = CAB + CTABT
    // 其中A = w,B = I,C = XTX
    
    dz / dw = -2XTy + 2XTXw = 2XT(Xw - y)
    // 合并
    
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  • 1.矩阵求导: 函数自变量是矩阵,求导是对矩阵的每一个元素分别求导后,组成新的矩阵。 例: 2.矩阵的迹: 矩阵迹的常用性质: ... 矩阵迹与矩阵求导相关结论: ...3.证明最小二乘的正规方程(矩阵...

    1.矩阵求导:

                

        函数自变量是矩阵,求导是对矩阵的每一个元素分别求导后,组成新的矩阵。

        例:

                

    2.矩阵的迹:

                

        矩阵迹的常用性质:

                

        矩阵迹与矩阵求导相关结论:

                

                

    3.证明最小二乘的正规方程(矩阵求导法):

                

                

     

     

                                    

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  • 矩阵求导最小二乘

    千次阅读 2016-11-15 10:29:58
    关于最小二乘问题的求解,之前已有梯度下降法,还有比较快速的牛顿迭代。今天来介绍一种方法,是基于 矩阵求导来计算的,它的计算方式更加简洁高效,不需要大量迭代,只需解一个正规方程组。   在开始之前...

    转自:http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/44662633


    关于最小二乘问题的求解,之前已有梯度下降法,还有比较快速的牛顿迭代。今天来介绍一种方法,是基于

    矩阵求导来计算的,它的计算方式更加简洁高效,不需要大量迭代,只需解一个正规方程组

     

    在开始之前,首先来认识一个概念和一些用到的定理。矩阵的迹定义如下

     

    一个的矩阵的迹是指的主对角线上各元素的总和,记作。即

     

               

     

     

                            

                 

     

    好了,有了上述7个定理,就可以来求最小二乘解了。设

     

      

     

    那么进一步得到

     

        

     

    接下来会涉及到矩阵求导,因为

     

        

     

    那么进一步利用矩阵求导并利用上述定理,得到

     

        

     

    我们知道在极值点处梯度值为零,即

     

        

     

    上述得到的方程组叫做正规方程组,那么最终得到

     

        

     

    这样最小二乘问题只需解一个线性方程组即可,不再需要像梯度下降那样迭代了。

     

    既然说到了正规方程组,在介绍一种方程组,叫做超定方程组,它的定义为:把方程个数大于未知量个数的方

    程组叫做超定方程组。通常来说,对于一个超定方程组来说,求最小二乘解只需要两边同时乘的转

    置,然后得到正规方程组,然后解这个方程就得到了最小二乘解。

     


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  • 矩阵求导最小二乘问题

    万次阅读 多人点赞 2015-03-27 00:44:12
    关于最小二乘问题的求解,之前已有梯度下降法,还有比较快速的牛顿迭代。今天来介绍一种方法,是基于 矩阵求导来计算的,它的计算方式更加简洁高效,不需要大量迭代,只需解一个正规方程组。   在开始之前,首先来...

    关于最小二乘问题的求解,之前已有梯度下降法,还有比较快速的牛顿迭代。今天来介绍一种方法,是基于

    矩阵求导来计算的,它的计算方式更加简洁高效,不需要大量迭代,只需解一个正规方程组

     

    在开始之前,首先来认识一个概念和一些用到的定理。矩阵的迹定义如下

     

    一个的矩阵的迹是指的主对角线上各元素的总和,记作。即

     

               

     

     

                            

                 

     

    好了,有了上述7个定理,就可以来求最小二乘解了。设

     

      

     

    那么进一步得到

     

        

     

    接下来会涉及到矩阵求导,因为

     

        

     

    那么进一步利用矩阵求导并利用上述定理,得到

     

        

     

    我们知道在极值点处梯度值为零,即

     

        

     

    上述得到的方程组叫做正规方程组,那么最终得到

     

        

     

    这样最小二乘问题只需解一个线性方程组即可,不再需要像梯度下降那样迭代了。

     

    既然说到了正规方程组,在介绍一种方程组,叫做超定方程组,它的定义为:把方程个数大于未知量个数的方

    程组叫做超定方程组。通常来说,对于一个超定方程组来说,求最小二乘解只需要两边同时乘的转

    置,然后得到正规方程组,然后解这个方程就得到了最小二乘解。

     

     

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  • [机器学习] 矩阵求导最小二乘问题

    千次阅读 2018-05-28 14:01:33
    关于最小二乘问题的求解,之前已有梯度下降法,还有比较快速的牛顿迭代。今天来介绍一种方法,是基于矩阵求导来计算的,它的计算方式更加简洁高效,不需要大量迭代,只需解一个正规方程组。 在开始之前,首先来认识...
  • http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/44662633
  • 其实递推最小二乘法:就是想使方差之和最小,然后发现,方差之和就是估计误差的协方差矩阵的迹,迹里面又包含了K,所以也就是求K使得迹最小,即对K求导。 参考链接:https://zhuanlan.zhihu.com/p/59532437 ...
  • 数学:最小二乘问题

    2021-04-11 23:11:39
    Content在更大的背景下基本定义拟合函数最小二乘问题线性最小二乘问题 和 非线性最小二乘问题最小二乘问题的二次模型大残量问题 和小残量问题算法Line SearchGauss-Newton拟牛顿法Non-linear Conjugate Gradients, ...
  • ~~~~ 这里写自定义目录标题采用求导的方法新的改变功能快捷键合理的创建标题,有助于目录的生成如何改变文本的样式插入链接与图片如何插入一段漂亮的代码片生成一个适合你的列表创建一个表格设定内容居中、居左、居...
  • 最小二乘

    2019-08-23 11:31:56
    最小二乘问题可以分为线性和非线性: 参考https://blog.csdn.net/zhubaohua_bupt/article/details/74973347 线性:两种求解办法,可以参考上述文章求解,也可以进行SVD分解 非线性:因为不能直接对目标函数求导得到...
  • 一、 矩阵求导方法 1. 对于映射f:ℜm∗n↦ℜf:\Re^{m*n} \mapsto \Re,即将m∗nm * n的矩阵AA映射为实数f(A)f(A),则函数ff关于AA的偏导为: ∇Af(A)=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢∂f∂A11⋮∂f∂Am1⋯⋱⋯∂f∂A1n⋮∂f∂Amn⎤...
  • 最小二乘解总结

    2020-08-14 21:04:41
    最小二乘的原理与要解决的问题 最小二乘的原理就是找到一组未知数,能使得目标值与估计值之间的残差最小化。 最小二乘法的解法: 1.线性回归解法: 用矩阵的形式将损失函数表示出来,然后对损失函数矩阵求导, 这...
  • 关于 最小二乘的推导

    2018-03-11 18:03:33
    看了网上一些博客,对于最小二乘的推导 讲的不是很清楚,,于是 翻出了老师之前的ppt 回顾一下,,,大概是下面这样子:后面会用到的证明:1.2.核心是 ii)推导过程:关于最小二乘的展开, 很多博客 上在这一步把...
  • 最小二乘的几何解释

    2019-04-10 16:00:40
    最小二乘主要用来做线性回归。 数据集形式为:(X,T),X ,T 分别代表自变量与因变量。用矩阵来表示训练数据时,往往每行代表一个数据。假设w 是回归系数,与x的维数相同。那么最小二乘估计形式为: ,L是loss ...
  • 拟合—最小二乘

    2021-02-16 09:03:58
    最小二乘几何解释: 问:为何拟合时不使用绝对值,三次方,四次方模型 绝对值:不容易求导,计算复杂 四次方:避免极端数据对拟合曲线的影响,最小二乘法得到的结果和MLE极大似然估计一致 三次方(奇数次方):...
  • 2.3 两种简单的预测方式(上篇):最小二乘 原文 The Elements of Statistical Learning 翻译 szcf-weiya 时间 2018-08-21 解读 Hytn Chen 更新 2020-01-06 翻译原文 在这一部分中我们讨论两种简单...
  • 关于最小二乘问题的求解,之前已有梯度下降法,还有比较快速的牛顿迭代。今天来介绍一种方法,是基于 矩阵求导来计算的,它的计算方式更加简洁高效,不需要大量迭代,只需解一个正规方程组。   在开始之前,首先...
  • 最小二乘、极大似然估计、梯度下降法,是机器学习中常出现的名词。 最小二乘和极大似然是目标函数,梯度下降是优化算法。 机器学习的基本框架基本是模型、目标和算法。 对于一个数据集,根据数据的特点和目的来...
  • 首先假设直线为y=ax+by=ax+by=ax+b我们的目标函数就可以设为χ2=Σin(yi−y(xi))2\chi^2=\Sigma_i^n(y_i-y(x_i))^2χ2=Σin​(yi​−y(xi​))2最小二乘估计比较简单易懂,只需把数据代入这个公式,然后求导等于零,...
  • 非线性最小二乘问题

    2020-04-17 11:24:31
    使总残差最小 ,一般为多个代价函数平方之和 :½ ∑ || e(x)||² e (x):代价函数=误差项=残差 x为待优化参数 求解增量过程: 1、关于待优化参数x对e一阶泰勒展开 2、带入½∑ ||e(x)|| 3、对增量△x求导 4、得到...
  • 我们希望得到一个刚体变换是的两组点集最小二乘结果最小 ---------------------(1) 其中R就是旋转矩阵,t是平移向量,w_i就是每对点的权重。 2、计算平移 首先假定R是固定的,求解公式就是通过对F(t)求导,t的...
  • 考虑一个简单的最小二乘问题 这里自变量 , f 是任意一个非线性函数,我们设它有 m 维: 。下面讨论如何求解这样一个优化问题 方法一:求导分析 ,得到了导数为零处的极值,比较它们的函数值大小即可。 (实际...
  • 第1部分介绍最小二乘的基础流程; 第2部分介绍牛顿法; 第3部分介绍梯度下降法; 第4部分介绍高斯牛顿法; 第5部分介绍列文伯格-马夸特法; 第6部分介绍几种方法的联系。 1、最小二乘 我们想要求解的问题是...
  • 鉴于我看过的一些资料或言之不详、或繁乱无绪,本文来做个科普,分作两篇,上篇讲标量对矩阵的求导术,下篇讲矩阵对矩阵的求导术。本文使用小写字母x表示标量,粗体小写字母表示(列)向量,大写字母X表示矩阵。 ...
  • 线性回归模型的最小二乘估计1、对w求导2、对b求导 (本文为个人学习总结笔记) 1、对w求导 原公式: ∂E(w,b)∂w=2(w∑i=1mxi2−∑i=1m(yi−b)xi)\frac{\partial E_{(w, b)}}{\partial w}=2\left(w \sum_{i=1}^{m} x...
  • 有如下最小二乘系统,对应的模型如下所示: ξ=argminξ12∑i∥ri∥∑i2\xi = \underset{\xi}{argmin}{1\over 2}\sum_i\lVert r_i\rVert^2_{\sum_i}ξ=ξargmin​21​i∑​∥ri​∥∑i​2​对上式展开求导,令其导数...
  • 1、研究了线性模型,写出损失函数,然后求导就给自己卡了一下午,我不知道矩阵该怎么求导,方法就是所谓的最小二乘,在解决这个问题的过程中,我也温故了一下数学知识 。 向量内积:又称向量点积(dot product),两...
  • 最小二乘是一个最简单的二次型凸优化问题,在不考虑约束问题时,方式式可写为: 其解为: x的求解方法可以有不同的理解,在这里详细讲述线性代数法和矩阵求导求解法。 一、线性代数法: 假设A=(m×n)大小的...

空空如也

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最小二乘求导