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  • z = (y - Xw )T (y - Xw) // y 列向量 X 矩阵 w 列向量 dz / dw = d{ ( y - Xw )T (y - Xw) } / dw dz / dw = d( tr{ ( y - Xw )T (y - Xw) } ) / dw // 由展开的计算公式而来,tr()为矩阵的迹 ...
    z = (y - Xw )T (y - Xw)  
    // y 列向量 X 矩阵 w 列向量
    
    dz / dw = d{ ( y - Xw )T (y - Xw) } / dw
    
    dz / dw = d( tr{ ( y - Xw )T (y - Xw) } ) / dw  
    // 由展开的计算公式而来,tr()为矩阵的迹
    
    dz / dw = d( tr{ yTy - wTXTy - yTXw + wTXTXw } ) / dw
    // 定理 (AB)T = BTAT
    
    dz / dw = d( tr{ yTy } ) / dw - d( tr{ wTXTy } ) / dw - d( tr{ yTXw } ) / dw + d( tr{ wTXTXw } ) / dw
    // 由迹的定理
     
    dz / dw = - d( tr{ wTXTy } ) / dw - d( tr{ yTXw } ) / dw + d( tr{ wTXTXw } ) / dw
    // 去掉0项
    
    dz / dw = - XTy - d( tr{ yTXw } ) / dw + d( tr{ wTXTXw } ) / dw
    // 定理 d(tr{ATB}) / dA = d(tr{BAT}) / dA = B
    
    dz / dw = - XTy - d( tr{ (yTXw)T } ) / dw + d( tr{ wTXTXw } ) / dw
    // 定理 tr(A) = tr(AT)
    
    dz / dw = - XTy - XTy + d( tr{ wTXTXw } ) / dw
    // 由前面定理
    
    dz / dw = - XTy - XTy + d( tr{ wIwTXTX } ) / dw
    // 定理 tr(AB) = tr(BA),其中补齐I为单位阵
    
    dz / dw = - XTy - XTy + XTXw + XTXw
    // 定理 d( tr{ABATC} ) / dA = CAB + CTABT
    // 其中A = w,B = I,C = XTX
    
    dz / dw = -2XTy + 2XTXw = 2XT(Xw - y)
    // 合并
    
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  • 这个公式推导过程不理解,求指导。 ![图片说明](https://img-ask.csdn.net/upload/201809/03/1535961354_20434.png)
  • 最小二乘法矩阵求导

    2021-10-05 17:10:15
    本文目录一、求导法则二、两个常用例子例子1例子2三、最小二乘法1. 没有加权的回归2. 加权回归 一、求导法则 本文采用矩阵求导中的分母布局,即:分子横向,分母纵向 乘法公式:dvTudx=dudxv+dvdxu\frac{dv^{T}u}{...

    一、求导法则

    本文采用矩阵求导中的分母布局,即:分子横向,分母纵向

    • 乘法公式: d v T u d x = d u d x v + d v d x u \frac{dv^{T}u}{dx} = \frac{du}{dx}v + \frac{dv}{dx}u dxdvTu=dxduv+dxdvu
    • 加法公式: d ( u + v ) d x = d u d x + d v d x \frac{d(u+v)}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} dxd(u+v)=dxdu+dxdv

    二、两个常用例子

    例子1

    f ( x ) = A T X f(x) = A^{T}X f(x)=ATX,其中 A T = ( a 1 , a 2 , . . . a n ) A^{T} = \begin{pmatrix} a_{1}, & a_{2}, & ... & a_{n} \end{pmatrix} AT=(a1,a2,...an) X T = ( x 1 , x 2 , . . . x n ) X^{T} = \begin{pmatrix} x_{1}, & x_{2}, & ... & x_{n} \end{pmatrix} XT=(x1,x2,...xn)

    s o l :    f ( x ) = A T X = ∑ i = 1 n a i x i d f ( x ) d x = ( d f ( x ) d x 1 d f ( x ) d x 2 . . . d f ( x ) d x n ) = ( a 1 a 2 . . . a n ) = A sol:~~f(x) =A^{T}X = \sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i} \\ \frac{df(x)}{dx} = \begin{pmatrix} \frac{df(x)}{dx_{1}} \\ \frac{df(x)}{dx_{2}}\\ ... \\ \frac{df(x)}{dx_{n}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ ... \\ a_{n} \end{pmatrix} = A sol:  f(x)=ATX=i=1naixidxdf(x)=dx1df(x)dx2df(x)...dxndf(x)=a1a2...an=A

    所以: d A T X d x = d X T A d x = A \frac{dA^{T}X}{dx} = \frac{dX^{T}A}{dx} = A dxdATX=dxdXTA=A

    例子2

    f ( x ) = X T A X f(x) = X^{T}AX f(x)=XTAX,其中 X T = ( x 1 , x 2 , . . . x n ) X^{T} = \begin{pmatrix} x_{1}, & x_{2}, & ... & x_{n} \end{pmatrix} XT=(x1,x2,...xn) A = ( a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ) A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{pmatrix} A=a11a21...an1a12a22...an2............a1na2n...ann

    s o l :   f ( x ) = X T A X = ( x 1 , x 2 , . . . x n ) ( a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ) ( x 1 x 2 . . . x n ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j x i x j sol:~f(x) = X^{T}AX = \begin{pmatrix} x_{1}, & x_{2}, & ... & x_{n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ... \\ x_{n} \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j} sol: f(x)=XTAX=(x1,x2,...xn)a11a21...an1a12a22...an2............a1na2n...annx1x2...xn=i=1nj=1naijxixj

    化简得

    d f ( x ) d x = ( d f ( x ) d x 1 d f ( x ) d x 2 . . . d f ( x ) d x n ) = ( ∑ j = 1 n a 1 j x j + ∑ i = 1 n a i 1 x i ∑ j = 1 n a 2 j x j + ∑ i = 1 n a i 2 x i . . . ∑ j = 1 n a n j x j + ∑ i = 1 n a i n x i )   = ( ∑ j = 1 n a 1 j x j ∑ j = 1 n a 2 j x j . . . ∑ j = 1 n a n j x j ) + ( ∑ i = 1 n a i 1 x i ∑ i = 1 n a i 2 x i . . . ∑ i = 1 n a i n x i ) = A X + A T X \frac{df(x)}{dx} = \begin{pmatrix} \frac{df(x)}{dx_{1}} \\ \frac{df(x)}{dx_{2}}\\ ... \\ \frac{df(x)}{dx_{n}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum_{j=1}^{n}a_{1j}x_{j}+\sum_{i=1}^{n}a_{i1}x_{i} \\ \sum_{j=1}^{n}a_{2j}x_{j}+\sum_{i=1}^{n}a_{i2}x_{i} \\ ... \\ \sum_{j=1}^{n}a_{nj}x_{j}+\sum_{i=1}^{n}a_{in}x_{i} \end{pmatrix} \\ ~\\ = \begin{pmatrix} \sum_{j=1}^{n}a_{1j}x_{j} \\ \sum_{j=1}^{n}a_{2j}x_{j} \\ ... \\ \sum_{j=1}^{n}a_{nj}x_{j} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^{n}a_{i1}x_{i} \\ \sum_{i=1}^{n}a_{i2}x_{i} \\ ... \\ \sum_{i=1}^{n}a_{in}x_{i} \end{pmatrix} = AX+A^{T}X dxdf(x)=dx1df(x)dx2df(x)...dxndf(x)=j=1na1jxj+i=1nai1xij=1na2jxj+i=1nai2xi...j=1nanjxj+i=1nainxi =j=1na1jxjj=1na2jxj...j=1nanjxj+i=1nai1xii=1nai2xi...i=1nainxi=AX+ATX

    所以: d X T A X d x = A X + A T X \frac{dX^{T}AX}{dx} = AX+A^{T}X dxdXTAX=AX+ATX

    从上面两个例子中可以得到两个结论:

    • d A T X d x = d X T A d x = A \frac{dA^{T}X}{dx} = \frac{dX^{T}A}{dx} = A dxdATX=dxdXTA=A
    • d X T A X d x = A X + A T X \frac{dX^{T}AX}{dx} = AX+A^{T}X dxdXTAX=AX+ATX

    接下来我们会用到上面的两个结论

    三、最小二乘法

    1. 没有加权的回归

    各个参数形式如下:

    Y = ( y 1 y 2 . . . y n ) n × 1     X = ( x 1 T x 2 T . . . x n T ) n × p     w = ( w 1 w 2 . . . w n ) p × 1 Y = \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ ... \\ y_{n} \end{pmatrix}_{n\times 1}~~~ X = \begin{pmatrix} x_{1}^{T} \\ x_{2}^{T} \\ ... \\ x_{n}^{T} \end{pmatrix}_{n\times p}~~~ w = \begin{pmatrix} w_{1} \\ w_{2} \\ ... \\ w_{n} \end{pmatrix}_{p\times 1} Y=y1y2...ynn×1   X=x1Tx2T...xnTn×p   w=w1w2...wnp×1

    将最小二乘表示成矩阵相乘的形式

    L ( w ) = ∑ i = 1 n ( y i − x i T w ) 2 = ∣ ∣ Y − X w ∣ ∣ 2 = ( Y − X w ) T ( Y − X w ) = ( Y T − w T X T ) ( Y − X w ) = ( Y T Y − Y T X w − w T X T Y + w T X T X w ) \begin{aligned} L(w) & = \sum_{i=1}^{n}(y_{i}-x_{i}^{T}w)^{2} \\ & = ||Y-Xw||^{2} \\ & = (Y-Xw)^{T}(Y-Xw) \\ & = (Y^{T}-w^{T}X^{T})(Y-Xw) \\ & = (Y^{T}Y-Y^{T}Xw-w^{T}X^{T}Y+w^{T}X^{T}Xw) \end{aligned} L(w)=i=1n(yixiTw)2=YXw2=(YXw)T(YXw)=(YTwTXT)(YXw)=(YTYYTXwwTXTY+wTXTXw)

    对上述形式的矩阵求导得到最终的结果

    L ( w ) d w = d ( Y T Y ) d w − d ( Y T X w ) d w − d ( w T X T Y ) d w + d ( w T X T X w ) d w    = 0 − X T Y − X T Y + 2 X T X w = 0 \begin{aligned} \frac{L(w)}{dw} & = \frac{d(Y^{T}Y)}{dw} - \frac{d(Y^{T}Xw)}{dw} - \frac{d(w^{T}X^{T}Y)}{dw} + \frac{d(w^{T}X^{T}Xw)}{dw} \\ ~~ \\ & = 0 - X^{T}Y - X^{T}Y + 2X^{T}Xw \\ & = 0 \end{aligned} dwL(w)  =dwd(YTY)dwd(YTXw)dwd(wTXTY)+dwd(wTXTXw)=0XTYXTY+2XTXw=0

    整理得: − X T Y − X T Y + 2 X T X w = 0 , w ∗ = ( X T X ) − 1 X T Y -X^{T}Y - X^{T}Y + 2X^{T}Xw = 0, w^{*} = (X^{T}X)^{-1}X^{T}Y XTYXTY+2XTXw=0w=(XTX)1XTY ,将 w ∗ w^{*} w带入原式

    X w ∗ = X ( X T X ) − 1 X T Y = Y ^ = H ^ Y H ^ = X ( X T X ) − 1 X T Xw^{*} = X (X^{T}X)^{-1}X^{T}Y = \hat Y = \hat H Y \\ \hat H = X (X^{T}X)^{-1}X^{T} Xw=X(XTX)1XTY=Y^=H^YH^=X(XTX)1XT

    2. 加权回归

    各个参数形式与没有加权的回归一致
    将最小二乘表示成矩阵相乘的形式

    L ( w ) = ∑ i = 1 n r i ( y i − x i T w ) 2 = r ∣ ∣ Y − X w ∣ ∣ 2 = ( Y − X w ) T r ( Y − X w ) = ( Y T − w T X T ) r ( Y − X w ) = ( Y T r Y − Y T r X w − w T X T r Y + w T X T r X w ) \begin{aligned} L(w) & = \sum_{i=1}^{n}r_{i}(y_{i}-x_{i}^{T}w)^{2} \\ & = r||Y-Xw||^{2} \\ & = (Y-Xw)^{T}r(Y-Xw) \\ & = (Y^{T}-w^{T}X^{T})r(Y-Xw) \\ & = (Y^{T}rY-Y^{T}rXw-w^{T}X^{T}rY+w^{T}X^{T}rXw) \end{aligned} L(w)=i=1nri(yixiTw)2=rYXw2=(YXw)Tr(YXw)=(YTwTXT)r(YXw)=(YTrYYTrXwwTXTrY+wTXTrXw)

    对上述形式的矩阵求导得到最终的结果

    L ( w ) d w = d ( Y T r Y ) d w − d ( Y T r X w ) d w − d ( w T X T r Y ) d w + d ( w T X T r X w ) d w    = 0 − X T r Y − X T r Y + 2 X T r X w = 0 \begin{aligned} \frac{L(w)}{dw} & = \frac{d(Y^{T}rY)}{dw} - \frac{d(Y^{T}rXw)}{dw} - \frac{d(w^{T}X^{T}rY)}{dw} + \frac{d(w^{T}X^{T}rXw)}{dw} \\ ~~ \\ & = 0 - X^{T}rY - X^{T}rY + 2X^{T}rXw \\ & = 0 \end{aligned} dwL(w)  =dwd(YTrY)dwd(YTrXw)dwd(wTXTrY)+dwd(wTXTrXw)=0XTrYXTrY+2XTrXw=0

    整理得: − X T r Y − X T r Y + 2 X T r X w = 0 , w ∗ = ( X T r X ) − 1 X T r Y -X^{T}rY - X^{T}rY + 2X^{T}rXw = 0, w^{*} = (X^{T}rX)^{-1}X^{T}rY XTrYXTrY+2XTrXw=0w=(XTrX)1XTrY ,将 w ∗ w^{*} w带入原式

    X w ∗ = X ( X T r X ) − 1 X T r Y = Y ^ = H ^ Y H ^ = X ( X T r X ) − 1 X T r Xw^{*} = X(X^{T}rX)^{-1}X^{T}rY = \hat Y = \hat H Y \\ \hat H = X(X^{T}rX)^{-1}X^{T}r Xw=X(XTrX)1XTrY=Y^=H^YH^=X(XTrX)1XTr

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  • 矩阵求导最小二乘问题

    万次阅读 多人点赞 2015-03-27 00:44:12
    关于最小二乘问题的求解,之前已有梯度下降法,还有比较快速的牛顿迭代。今天来介绍一种方法,是基于 矩阵求导来计算的,它的计算方式更加简洁高效,不需要大量迭代,只需解一个正规方程组。   在开始之前,首先来...

    关于最小二乘问题的求解,之前已有梯度下降法,还有比较快速的牛顿迭代。今天来介绍一种方法,是基于

    矩阵求导来计算的,它的计算方式更加简洁高效,不需要大量迭代,只需解一个正规方程组

     

    在开始之前,首先来认识一个概念和一些用到的定理。矩阵的迹定义如下

     

    一个的矩阵的迹是指的主对角线上各元素的总和,记作。即

     

               

     

     

                            

                 

     

    好了,有了上述7个定理,就可以来求最小二乘解了。设

     

      

     

    那么进一步得到

     

        

     

    接下来会涉及到矩阵求导,因为

     

        

     

    那么进一步利用矩阵求导并利用上述定理,得到

     

        

     

    我们知道在极值点处梯度值为零,即

     

        

     

    上述得到的方程组叫做正规方程组,那么最终得到

     

        

     

    这样最小二乘问题只需解一个线性方程组即可,不再需要像梯度下降那样迭代了。

     

    既然说到了正规方程组,在介绍一种方程组,叫做超定方程组,它的定义为:把方程个数大于未知量个数的方

    程组叫做超定方程组。通常来说,对于一个超定方程组来说,求最小二乘解只需要两边同时乘的转

    置,然后得到正规方程组,然后解这个方程就得到了最小二乘解。

     

     

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  • 1.矩阵求导: 函数自变量是矩阵,求导是对矩阵的每一个元素分别求导后,组成新的矩阵。 例: 2.矩阵的迹: 矩阵迹的常用性质: ... 矩阵迹与矩阵求导相关结论: ...3.证明最小二乘的正规方程(矩阵...

    1.矩阵求导:

                

        函数自变量是矩阵,求导是对矩阵的每一个元素分别求导后,组成新的矩阵。

        例:

                

    2.矩阵的迹:

                

        矩阵迹的常用性质:

                

        矩阵迹与矩阵求导相关结论:

                

                

    3.证明最小二乘的正规方程(矩阵求导法):

                

                

     

     

                                    

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  • 最小二乘问题求解

    2021-06-03 16:45:23
    使用非线性优化的方法优化相机位姿和路标点时需要进性最小二乘问题的求解 一、问题定义 目标是找到一个x使得F(x)有最小值: 二、损失函数泰勒展开 其中JJJ为雅克比矩阵,HHH为海塞矩阵 三、求解方法 1.最速下降法...

空空如也

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