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  • 最小二乘&梯度下降

    2019-04-02 09:21:01
    最小二乘法: 最终求得结果: 梯度下降法: 1.随机初始化 ​θ 2.沿着负梯度方向迭代,使更新后的 θ​ 令 J(θ) ​ 更小 3.当下降到无法下降或某个定义的极小值时,则停止下降。 (注:梯度下降的最终点...

    损失函数:
    在这里插入图片描述
    最小二乘法:
    在这里插入图片描述
    最终求得结果:
    在这里插入图片描述

    梯度下降法:

    1.随机初始化 ​θ
    2.沿着负梯度方向迭代,使更新后的 θ​ 令 J(θ) ​ 更小在这里插入图片描述

    3.当下降到无法下降或某个定义的极小值时,则停止下降。
    (注:梯度下降的最终点并非是全局最小点,可能是一个局部最小点)

    相似:
    1.本质相同:两种方法都是在给定已知数据(independent & dependent variables)的前提下对dependent variables算出出一个一般性的估值函数。然后对给定新数据的dependent variables进行估算。
    2.目标相同:都是在已知数据的框架内,使得估算值与实际值的总平方差尽量更小(事实上未必一定要使用平方),估算值与实际值的总平方差的公式为:
      在这里插入图片描述

    不同:
    实现方法和结果不同:最小二乘法是直接求导找出全局最小,是非迭代法。而梯度下降法是一种迭代法,先给定一个,然后向\Delta下降最快的方向调整,在若干次迭代之后找到局部最小。梯度下降法的缺点是到最小点的时候收敛速度变慢,并且对初始点的选择极为敏感,其改进大多是在这两方面下功夫。

    通常来说都是采用GD来进行参数求解!

    机器学习中不使用第一种方法的原因主要是因为涉及方阵求逆——矩阵求逆的复杂度是O(N^3),其中,N为特征数目。次要原因是因为如果特征数目大于样本数目,则方阵是奇异矩阵,逆不存在(——这其实常常通过惩罚因子来解决)

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  • 最小二乘法则是一种统计学习优化技术,它的目标是最小化误差平方之和来作为目标,从而找到最优模型,这个模型可以拟合(fit)观察数据。 回归学习最常用的损失函数是平方损失函数,在此情况下,回归问题可以用著名...

    最小二乘法

    转自:https://blog.csdn.net/iterate7/article/details/78992015

    1. 最小二乘法的思想

    最小二乘法则是一种统计学习优化技术,它的目标是最小化误差平方之和来作为目标,从而找到最优模型,这个模型可以拟合(fit)观察数据。
    回归学习最常用的损失函数是平方损失函数,在此情况下,回归问题可以用著名的最小二乘法来解决。最小二乘法就是曲线拟合的一种解决方法。
    最小二乘法的问题分为两类:

    • 线性最小二乘法
    • 非线性最小二乘法

    如果是线性的则有闭式解(closed-form solution),唯一解。理解为所有点都在某条线上,全拟合好了。
    非线性的经常需要数值方法来求解。比如:随机梯度下降或者牛顿法等。当然,随机梯度下降也可以解决线性问题。

    目标公式

    J(θ)=i=1m(fθ(xi)yi)2(1)(1)J(θ)=∑i=1m(fθ(xi)−yi)2

    最小二乘法的目标就是最小化公式1。f则是模型(取自假设空间),y则是观察值。
    通俗来讲,就是观察值和拟合值(模型给出)之间的距离平方和最小化作为目标来优化。

    求解方法

    矩阵求导方法

    思想就是把目标函数划归为矩阵运算问题,然后求导后等于0,从而得到极值。以线性回归问题为例:
    求解最小二乘的问题推导为如下:求解变量θθ
    这是利用矩阵得到的最小二乘法的一种解法。
    注意这是线性回归的最小二乘法的求解结果,不是其他问题的,其他问题的假设函数有时候很复杂。比如下面的博文对线性回归的推算挺好,但没有说明求导的大前提条件:线性回归,这容易把最小二乘法和最小二乘法的求解混在一起。
    http://blog.csdn.net/ACdreamers/article/details/44662633

    数值方法随机梯度下降

    思路:对参数向量求导,使其梯度为0,然后得到参数变量的迭代更新公式。

    θj:=θjαJ(θ)(θj)(3)(3)θj:=θj−α∗∂J(θ)∂(θj)

    请参考: http://blog.csdn.net/iterate7/article/details/76709492

    数值方法牛顿法

    利用泰勒公式展开,利用梯度和海塞矩阵进行迭代下降。速度很快。

    xk+1=xkH1kgk(4)(4)xk+1=xk−Hk−1gk

    请参考:

    http://blog.csdn.net/iterate7/article/details/78387326

    最小二乘和梯度下降区别

    最小二乘看做是优化问题的话,那么梯度下降是求解方法的一种。梯度下降是一种解决最优化问题的数值方法。最小二乘法则是一个最优化问题。

    简单总结

    数值方法的基本含义则是对一个函数求极值,在无法直接求得解析解的情况下,通过求导为0的方法,找到迭代方向保证可以下降目标值,梯度方向或者牛顿方向等等。 逐步下降直到满足一些工程要求则结束迭代。

    后记

    1. 最小二乘法是一种对于偏差程度的评估准则思想,由公式1给出。个人认为,应该称之为:最小二乘准则。
    2. 公式1里没有给出f的值,也就是说假设空间。如果是线性回归,也就是wx+b的形式,那么公式2就是最小二乘法的解。所以大部分的博文都在此范畴讨论。为何都用这个线性回归直接说呢,其实最小二乘准则更适合线性回归。应该称之为狭义的最小二乘方法,是线性假设下的一种有闭式解的参数求解方法,最终结果为全局最优。
    3. 梯度下降只是数值求解的具体操作,和最小二乘准则下面的最优化问题都可以用随机梯度下降求解。

    线性回归python (with codes)

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    data = np.array([
        [1, 6],
        [2, 5],
        [3, 7],
        [4, 10]
    ])
    m = len(data)
    X = np.array([np.ones(m), data[:, 0]]).T
    print("X:", X)
    y = np.array(data[:, 1]).reshape(-1, 1)
    print("y:",y)
    W = np.linalg.solve(X.T.dot(X), X.T.dot(y)) ## 求解XW=y的值,W
    print("W:",W)
    
    ##show
    plt.figure(1)
    xx = np.linspace(0, 5, 2)
    yy = np.array(W[0] + W[1] * xx)
    plt.plot(xx, yy.T, color='b')
    plt.scatter(data[:, 0], data[:, 1], color='r')
    plt.show()
    
    

    这里写图片描述

    参考:
    机器学习 周志华 线性模型和最小二乘法
    https://en.wikipedia.org/wiki/Least_squares
    https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_least_squares_(mathematics)
    https://en.wikipedia.org/wiki/Newton‘s_method_in_optimization

    数学知识:最小二乘法

    ​引言

           言归正传,在此先列举一下最小二乘家族成员。最小二乘法直线拟合,最小二乘法多项式(曲线)拟合,机器学习中线性回归的最小二乘法,系统辨识中的最小二乘辨识法,参数估计中的最小二乘法,等等。由此可见,我们每次碰到的都是最小二乘法这个多面体的其中一个面。如果只从单个面研究,就看不到它的整体,也就不能理解它的内涵。因此,为了搞明白这个多面体,我们就要从它的核心入手,剖析它最本质的内容。

           先从最小二乘的名字来看,所谓最小二乘,其实也可以叫做最小平方和。那么,是什么的平方和最小呢?那肯定是误差最小,那是什么的误差呢?就是目标对象和拟合对象的误差。连起来看,就是通过最小化误差的平方和,使得拟合对象无限接近目标对象,这就是最小二乘的核心思想。可以看出,最小二乘解决的是一类问题,就是需要拟合现有对象的问题。这么看来,是不是也就可以理解为什么最小二乘应用如此广泛了呢。

    2.最小二乘法解析

           解释完了最小二乘的思想,下面就具体说一说最小二乘的方法(方法其实是将思想具体化)。从最小二乘思想中,我们可以提出以下几个问题。

    1. 怎么列出误差方程?

    2. 怎么最小化误差方程?

    3. 怎么验证结果的准确性?

    最小二乘法的核心,其实就是针对上述提出的三个问题的解法。​

    除此之外,还有一个重要的内容:​

    最小二乘应该说是一种思想,而只有结合了具体对象,才变成最小二乘法。这也就导致了多种多样的最小二乘公式、推导、证明等等。但是,其核心是最小二乘的思想,只是展示形式不同。那么,这个不同在哪里呢?​

    用一句话来说:基底不同。​那么什么又是基底呢?​​

    上式中的x1,x2,.....,xn就是基底。对于曲线拟合而言(见后面应用部分),x1=1,x2=x,x3=x^2.....。对于其他应用而言,x的含义又有所不同。看到这里,可能大家有一个疑问:都说最小二乘求解的是线性问题,为什么曲线拟合方程中出现幂次方这个非线性的环节了呢?​

    这就又涉及到了一个重要概念,那就是:所谓线性方程,是有针对的对象的,也就是有所指的。就像一个坐标点(x,y),其含义是针对x坐标轴和y坐标轴而言的。那么这里,对于曲线拟合过程。虽然方程针对x是非线性的,但是针对各个参数θ而言,这个方程就是线性的了。​那么,如果所求是x,那么就无法用最小二乘法。换句话说,如果针对所求参数,方程是线性的,那么就可以使用最小二乘法求解。

    2.1.误差方程

           先说误差方程,就是用目标函数减去拟合函数,再取其平方即可。这里又涉及到一个问题,为什么要取平方和?如果不取平方和,取误差的绝对值之和,会有什么效果呢?可以从几个方面理解这个问题,先从几何的角度看这个问题。假设有一条直线y=ax+b,要在这条直线上找到一点,距离(x0,y0)这个点的距离最短。如果用绝对值的方法寻找,也就是取min(|y-y0|+|x-x0|),由于绝对值最小为0,所以最小的情况就是x=x0或者y=y0处,如下图1所示。

     

          如果用平方和的方法寻找,就是取 ,可以看出该式是两点间距离公式,也就是距离的概念。那么最短的距离,就是点到直线的垂线,如下图2所示。

       

    ​注:忽略纵轴与横轴的比值,在此只是示意图。

           因此,相比于绝对值的方法,平方和的方法可以得到更短的距离,使得拟合函数更接近于目标函数。其实上述例子,就是从范数的角度考虑这个问题,绝对值对应的是1范数,最小二乘对应的就是2范数。此外,据说还可以从极大似然法中推导出平方和的公式,有兴趣的可以深入探究一下,我再次就不再赘述(其实我也没研究过。。哈哈。。)

    2.2最小化误差函数

           从高中我们就学过如何取极值,只不过不同于此的是,求取对象是一个一元二次方程。而最小二乘的误差函数形式多样,但其解决方法与求一元二次方程极值的方法相同。无非就是将原来对变量求导,变成了对向量求偏导(就是在向量某一个维度上的导数)。如果不是对向量求导,而是对函数求导,就是复变函数的变分法(可见都是换汤不换药,思想不变,重要的区别是求导对象不同)。求导之后,就是另求导的式子为0,解出极值点。再判断该极值点是极大值点还是极小值点,这样就得到了使误差函数最小化的向量值。到此,就完成了最小二乘法,是不是很简单呢。

    2.3最小二乘的统计特性

           如果只考虑应用,这部分的内容就不需要了解了。因为最小二乘的统计特性是探讨,最小二乘结果可靠的原因,需要用到随机过程这个工具,推导出最小二乘适用的原理。为了不让大家迷惑,以后单独探讨这个问题。

    3.最小二乘法证明举例

           已有N组{x,y}的数据,利用函数y=f(x;theta)去拟合数据,求当theta为何值时,拟合的效果最佳。​

    注:由于最小二乘法的应用场景多种多样,所以很多推导公式都是基于特定应用对象的。如遇到曲线拟合的问题,各参数基底是x的幂次方。在推导的过程中,就会出现范德蒙德矩阵,经常让人一脸懵逼。为了更简便的学习最小二乘推理过程,建议大家采用本文中的全部用符号替代所有参数基地,这样反而使得推导过程更加清晰。

    3.1误差函数

     

    3.2误差函数求偏导

             针对误差和求偏导,有如下方程:

    此处使用线性方程f去拟合数据。将上式经过化简整理,写为矩阵形式如下:

    再结合 ,将上式每一行展开,再纵向求和,代入化简(化简过程比较繁琐,不过自己推导一遍会加深理解,有兴趣的可以自己推导一下,竟然可以将上式化简为非常简单的形式,很神奇)后可以得到如下方程:​

    注:下面公式(2)应为公式(1)​

    从以上计算可以看出,矩阵形式跟方程形式的最小二乘法是等价的,只不过是书写形式不同。如果直接从矩阵形式推导,可以更简便的得到结果(6)。特别注意,不可以直接用如下方法:

     

    ​貌似这样得到的结果与我们计算得到的一样,但是其实是错误的因为第一步Y=XA就是错误的,只有当误差项为0的时候,才可以这么写,否则的话存在误差项。​

    4.最小二乘法应用分析

     4.1直线拟合

             如果将最小二乘法中向量的维数设置为2,即(xi,1),拟合函数为y=ax+b,参数theta为2维,化简后的公式就是我们在书本上常见的直线拟合公式。

    4.2曲线拟合

    如果将最小二乘法中x,设置为如下形式:

    ​最小二乘法就变成了曲线拟合公式。

    4.3线性回归

             机器学习中的线性回归算法,就是上面举例使用的公式。其中,线性代表的是拟合函数的形式,回归也可以称为拟合(起名问题都是历史遗留问题,哎。。)。在线性回归中,往往还经常听到一个名词,叫梯度下降。这种方法经常在如下情况使用,当XTX的逆无法求得的,也就无法用矩阵形式得到最小二乘的解。那么,就可以利用梯度下降的方法逐步的逼近出最优解。梯度下降可以算作解最小二乘的方法,跟矩阵解法、方程解法并列。具体区别可以参看知乎上对该问题的解释:

    https://www.zhihu.com/question/24900876

    4.4系统辨识中的最小二乘

             就是将拟合函数用传递函数的时域表达式写出,通过输入输出数据,最终计算得到时域表达式中的各项参数,就实现了系统辨识。

    展开全文
  • 1.前言 最小二乘法线性回归作为最基础的...假设我们的拟合函数是y=ax+by = ax + by=ax+b,标准的线性最小二乘采用MSE做为loss function。那么在用梯度下降求解的时候,参数a,b对应的梯度分别为: ∂∂aL(a,b)=∂∂...

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    1.前言

    最小二乘法线性回归作为最基础的线性回归,在统计和机器学习中都有重要的地位。在机器学习中,线性回归用来从数据中获得启示来帮助预测,因此如何得到最拟合数据的函数和防止过拟合是研究重点。
    假设我们的拟合函数是 y = a x + b y = ax + b y=ax+b,标准的线性最小二乘采用MSE做为loss function。那么在用梯度下降求解的时候,参数a,b对应的梯度分别为:

    ∂ ∂ a L ( a , b ) = ∂ ∂ a ( 1 2 m ∑ i = 1 m ( a x i + b − y i ) 2 ) = 1 m ∑ i = 1 m ( a x i + b − y i ) x i \frac{\partial}{\partial a} L(a, b) = \frac{\partial}{\partial a} \left(\frac{1}{2m} \sum_{i=1}^m(ax^i + b - y^i)^2 \right) = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(ax^i + b - y^i) x^i aL(a,b)=a(2m1i=1m(axi+byi)2)=m1i=1m(axi+byi)xi
    ∂ ∂ b L ( a , b ) = ∂ ∂ b ( 1 2 m ∑ i = 1 m ( a x i + b − y i ) 2 ) = 1 m ∑ i = 1 m ( a x i + b − y i ) \frac{\partial}{\partial b} L(a, b) = \frac{\partial}{\partial b} \left(\frac{1}{2m} \sum_{i=1}^m(ax^i + b - y^i)^2 \right) = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(ax^i + b - y^i) bL(a,b)=b(2m1i=1m(axi+byi)2)=m1i=1m(axi+byi)

    2.梯度下降求解最小二乘

    import numpy as np
                                                  
    alpha = 0.01                                  
    eps = 1e-6                                    
                                                  
    x = [1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9.]      
    y = [3., 5., 7., 9., 11., 13., 15., 17., 19.] 
    
    def solve_by_gradient():
        # m is sample num
        m = len(x)
        a, b= 0, 0
        sse, sse_new = 0, 0
        grad_a, grad_b = 0, 0
        count = 0
        for step in range(100000):
            count += 1
            for i in range(m):
                base = a * x[i] + b - y[i]
                grad_a += x[i] * base
                grad_b += base
    
                grad_a = grad_a / m
                grad_b = grad_b / m
    
                a -= alpha * grad_a
                b -= alpha * grad_b
    
                # loss function: Mean Squared Error, MSE
                # because 2m is a const, so 1/2m can be ignored
                for j in range(m):
                    sse_new += (a * x[j] + b - y[j]) ** 2
    
            if abs(sse_new - sse) < eps:
                break
            else:
                sse = sse_new
        print('{0} * x + {1}'.format(a, b))
        print "count is: " , count
    
    solve_by_gradient()
    

    上面的代码严格按照梯度进行迭代而来,最后输出的结果为:

    2.00003690546 * x + 0.999758438895
    count is:  3386
    

    由结果可知,最后还是比好好的拟合出了数据反应的y=2x+1的规律。
    不过问题也比较明显,也比较好的证明了梯度下降的一个缺点:收敛速度很慢。像我们这个简单的例子,用了3386次迭代才最终收敛。

    3.用矩阵求解的方式直接计算

    在参考文献1中,我们给出了最小二乘矩阵求解的直接计算方式:
    θ = ( A T A ) − 1 A T Y \theta = (A^TA)^{-1}A^TY θ=(ATA)1ATY

    利用这个公式我们来实现一下:

    x = [1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9.]
    y = [3., 5., 7., 9., 11., 13., 15., 17., 19.]
    
    
    def solve_by_gd_matrix():
        x0 = [1.0 for i in range(9)]
        xarray = np.column_stack((x, x0))
        xmatrix = np.mat(xarray, float)
        yarray = np.array(y)
        ymatrix = np.mat(yarray, float)
        theta = (xmatrix.T * xmatrix).I * xmatrix.T * ymatrix.T
        print(theta)
    

    代码中的x0,就是相当于偏置项b。 θ \theta θ求解公式直接套用上面的公式,最后代码运行的结果为:

    [[2.]
     [1.]]
    

    直接精确求出a=2, b=1。

    最小二乘法矩阵求解的推导过程如下,内容来自参考文献2.
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    参考文献:
    1.https://mp.csdn.net/mdeditor/51589143#
    2.https://zhuanlan.zhihu.com/p/33899560

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    ​1. 线性回归中的"线性"

    注:线性回归中的线性只是指其中的拟合函数是线性,和损失函数没有关系;损失函数是衡量一个拟合函数和真实值之间偏差的一种函数

    线性回归中的线性和我们通常理解的线性有着本质的区别,例如:

    y=ax+b

    X为自变量

    函数的次数指的是自变量的最高次项,线性函数表示自变量的最高次项为1;在高中和大学的学习中,我们往往要求解最优的x,因此我们认为x为变量,这时函数是否为线性函数我们要看自变量x指数位置的最大值是否为1;我们的到模型后对样本进行分类和预测时,参数是确定的,而样本x是自变量,此时的线性是指特征x和y是线性的,一般我们说的用线性函数取拟合数据或者 激活函数增加了非线性变换都是指的是特征和y的关系

    参数为自变量

    而在机器学习中,我们往往要求解最优的参数(上式中的a),因此,这时我们将a看做是自变量,x看作是常数,这时函数的次数就取决于参数a的最高次项;因此线性回归中如果参数的最高次项为1,则我们将这个求解过程称之为线性回归;模型训练时,样本是确定的,参数是变量,线性回归是指模型训练时的函数是线性的就是说参数和y之间是线性关系

    补充:

    1. 函数的次数是指自变量最高次项的值
    2. 当函数为多项式,我们只取所有单项式中的次数最大值作为函数的次数
    3. 当单项式中有多个自变量相乘,那么这个单项式的次数为两个自变量次数的和
    4. 将多个单项式通过加法组合得到的函数叫做多项式
    5. 单项式是将自变量和常数通过有限次乘法组合的到的式子

    2. 线性回归和最小二乘的关系

    在机器学习中,我们一般使用最小二乘法构造损失函数(即误差的平方和):

    loss=\sum_{i=1}^{m}(y(x_i)_{predict}-y(x_i))^2=\sum_{i=1}^{m}(wx_i+b-y(x_i))^2

    最小二乘巧妙的地方在于将损失函数转化为凸优化问题:如果拟合函数是线性函数,那么通过最小二乘处理后损失函数将转化为二次函数,此时损失函数为凸函数,最小化损失函数可以转化为凸优化问题;

    而凸优化问题可以通过令所有参数的偏导数为零,从而得到损失函数的全局最小值,在计算机中是通过矩阵运算 w^*=(XX^T)^{-1}X^TY 得到

    3. 梯度下降

    梯度下降和直接求导的区别:

    1. 通过导数为零求参数值得方法要求损失函数必须是严格的凸函数,而神经网络中由于激活函数的的加入导致损失函数很多时候不是凸函数,因此会存在很多局部极小值,无法通过偏导数为零的方式得到全局最优解
    2. 在神经网络中,除了线性变换(矩阵乘法),激活函数还会产生非线性变换,引入非线性变换后很大概率损害函数已经不是严格的凸函数了;即使是凸函数,参数的偏导数为零的解析解一般也很难得到;因此需要使用梯度下降算法得到近似的数值解(数值解是对过程做近似处理得到近似解)
    3. 梯度下降只计算每个参数的偏导数,不需要得到导数为零的解,因此计算量大的减小,更适合大规模的数据
    4. 当损失函数为凸函数,且数据量较小的情况下,可以使用偏导数为零的方式一次得到全局最优解
    展开全文
  • 用Python自己写的线性回归。其方法包括用最小二乘法直接求解和梯度下降法求解。理解代码能让你更好东其原理
  • 考虑一个最简单的问题,假如构建了一个如图的散点,需要线性拟合。首先,数据我们自己产生吧。import numpy as np import pylab as plt x = np.linspace(0,20,40) #0到20,40个点 ...我们先用最小二乘
  • 本文针对线性回归这一无约束最优化问题,深入分析最小二乘梯度下降和牛顿法三种优化求解方法的优缺点,是对三种方法的原理学习总结。 无约束最优化问题,是指在一个给定的集合S上泛函J(θ)的极小化或极大化问题。 ...
  • title: 梯度下降求解最小二乘 date: 2018-05-11 01:31:10 ...梯度下降求解算法是一种迭代算法,即在求最小二乘的时候 朝向梯形负方向(梯形正方向定义为增长速度最快)按照一定步长迭代下降 直到符合我...
  • 最小二乘 梯度下降 大都会-哈丁斯 使用JAGS进行吉布斯采样 该代码用于具有一个预测变量的线性回归问题(单变量回归)。 目的是通过一个简单的示例并为所有方法提供基本实现,以介绍机器学习中广泛使用的重要方面,...
  • 其实,最小二乘的方法,还有多种,下面介绍其中三种的基本原理。 2.3 梯度下降法 2.3.1 梯度 在微积分里面,对多元函数的参数偏导数,把求得的各个参数的偏导数以向量的形式写出来,就是梯度。比如函数f(x,y), ...
  • ---------------------梯度下降法-------------------梯度的一般解释: f(x)在x0的梯度:就是f(x)变化最快的方向。梯度下降法是一个最优化算法,通常也称为最速下降法。 假设f(x)是一座山,站在半山腰,往x方向走1...
  • 基于递推最小二乘时间差异和梯度校正的自适应策略评估网络
  • 矩阵分解算法的求解 随机梯度下降SGD和最小二乘ALS优化时为何选择偏导数的负方向?随机梯度下降算法(Stochastic Gradient Descent, SGD)交替最小二乘算法(Alternating Least Squares, ALS) 优化时为何选择偏导数的负...
  • 作者:田志晨 来源:小田学Python最小二乘法所谓的最小二乘法是一种数学优化技术,它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。最小二乘法通常用于函数拟合以及...
  • 这是机器学习中最常见的模型--线性回归的python实现,其中包含了最小二乘法和梯度下降法两种拟合算法
  • 这两天,翻了下以前的笔记材料,顺便把机器学习中经典的线性回归最小二乘梯度下降复习用一下; 在机器学习中,我们分为两大类, ①监督学习;②无监督学习; 如何理解 监督学习和 无监督学习呢, 很简单, 有监督学习,...
  • 最小二乘梯度下降

    2017-01-20 14:37:24
    最小二乘和极大似然是目标函数,梯度下降是优化算法。 机器学习的核心是一个model,一个loss fuction,再加上一个优化的算法。一个目标函数可以用不同的优化算法,不同的目标函数也可以用相同的优化算法。所以最小...
  • 具有L1正则化的最小二乘回归的加速梯度逼近
  • 改动源数据地址即可运行
  • 梯度下降算法 以下内容参考 微信公众号 AI学习与实践平台 SIGAI 导度和梯度的问题 因为我们做的是多元函数的极值求解问题,所以我们直接讨论多元函数。多元函数的梯度定义为: 其中称为梯度算子,它作用于一个多元...
  • 今天正式开始学习机器学习的算法,老师首先举了一个实例:已知某地区的房屋面积与价格的一个数据集,...最小二乘拟合法: 为了能进行下面的公式推导,需要有下面一些知识预备: 公式推导过程:
  • LZ听师兄讲,SLAM的优化方法是基础知识,尤其最小二乘法是所有优化的基础。接下来将对以下知识进行总结。...最小二乘问题通常可以表述为,通过搜集到的一些数据(获取得到的样本),对某一个模型进行拟合,并...
  • 二维FIR滤波器的加权最小二乘设计基于矩阵的广义共轭梯度
  • 事实上,虽然Winner滤波问题存在最优解,但是逆过程带来的反面影响就是计算复杂度较高。因此,引入迭代求解的思路。 目的是根据新的数据调整Winner Filter的系数 W W W 。思路如下公式得出 (4.5) W ( n + 1 ) ...
  • 一、最小二乘法 先来解释几个概念 拟合函数/估值函数:在回归问题中,当给定一组样本时,找到一个最佳的函数来匹配所有的样本,这个函数就是拟合函数/估值函数 损失函数:判断函数拟合的好不好的函数,损失函数越小...
  • 最小二乘

    千次阅读 2016-09-26 13:20:12
    最小二乘策略是误差的最小平方和,对应两种情况:线性和非线性。线性情况下的解是closed-form solution(通过最小二乘法求得,这种情况下可以找到全局最优解)。而非线性的情况没有closed-form solution,通常用...
  • 是不可逆的,所以无法出其最小二乘解。当直线接近垂直于 x x x 轴的时候,矩阵 X T X \boldsymbol{X}^T\boldsymbol{X} X T X 接近奇异,如果直接逆,也会导致很大的偏差。 所以当拟合的直线垂直或者接近垂直于...

空空如也

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最小二乘求梯度