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  • 最小二乘法 求解
    2022-04-04 13:58:56

    参考:《机器学习》西瓜书————周志华

    以下为个人笔记,不免有很多细节不对之处。仅供参考!


    1、原理:        

            均方误差MES有非常好的几何意义,它对应了常用的欧几里得距离或简称“欧氏距离”(Euclidean distance).基于均方误差最小化来进行模型求解的方法称为“最小二乘法”(least square method).在线性回归中,最小二乘法就是试图找到一条直线,使所有样本到直线上的欧氏距离之和最小.

    2、模型分析:

    如何确定w和b呢?显然,关键在于如何衡量f(z)与y之间的差别,均方误差(2.2)是回归任务中最常用的性能度量,因此我们可试图让均方误差最小化,即:

     

     然后令式(3.5)(3.6)为零可得到w和b最优解得闭式解:

     

    3、利用最小二乘法求解线性回归

    关于求偏导过程:

    推导手稿:

    注意:

    1.前面乘以二分之一是对损失函数求导时消除误差评分项的影响

    2.,m是一个常数


     以上是参考周志华西瓜书

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    线性最小二乘法

    可逆矩阵条件:

    1.A 为 方阵

    2. det(A) 不等于 0  即 A是满秩矩阵 即 A是非奇异矩阵

     

     

     

     

    非线性最小二乘法求解

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/42383070

    很多问题最终归结为一个最小二乘问题,如SLAM算法中的Bundle Adjustment,位姿图优化等等。求解最小二乘的方法有很多,高斯-牛顿法就是其中之一。

     

    推导

    对于一个非线性最小二乘问题: 

    [公式]

    高斯牛顿的思想是把 [公式] 利用泰勒展开,取一阶线性项近似。

    [公式]

    带入到(1)式:

    [公式]

    对上式求导,令导数为0。

    [公式]

    令 [公式] , [公式] , 式(4)即为

    [公式]

    求解式(5),便可以获得调整增量 [公式] 。这要求 [公式]可逆(正定),但实际情况并不一定满足这个条件,因此可能发散,另外步长[公式]可能太大,也会导致发散。

    使用 H 代替了 二阶导数 海参矩阵,减少了计算量,,,(二阶展开就是海参矩阵)

    综上,高斯牛顿法(Gauss-Newton)的步骤为

    STEP1. 给定初值 [公式]
    STEP2. 对于第k次迭代,计算 雅克比 [公式] , 矩阵[公式] , [公式] ;根据(5)式计算增量 [公式] ;
    STEP3. 如果 [公式] 足够小,就停止迭代,否则,更新 [公式] .
    STEP4. 循环执行STEP2. SPTE3,直到达到最大循环次数,或者满足STEP3的终止条件。

    编程实现

    问题:非线性方程: [公式] ,给定n组观测数据 [公式] ,求系数 [公式] .

    分析:令 [公式] ,N组数据可以组成一个大的非线性方程组

    [公式]

    我们可以构建一个最小二乘问题:

    [公式] .

    要求解这个问题,根据推导部分可知,需要求解雅克比。

    [公式]

    使用推导部分所述的步骤就可以进行解算。代码实现:

    ydsf16/Gauss_Newton_solver​github.com

     


    /**
     * This file is part of Gauss-Newton Solver.
     *
     * Copyright (C) 2018-2020 Dongsheng Yang <ydsf16@buaa.edu.cn> (Beihang University)
     * For more information see <https://github.com/ydsf16/Gauss_Newton_solver>
     *
     * Gauss_Newton_solver is free software: you can redistribute it and/or modify
     * it under the terms of the GNU General Public License as published by
     * the Free Software Foundation, either version 3 of the License, or
     * (at your option) any later version.
     *
     * Gauss_Newton_solver is distributed in the hope that it will be useful,
     * but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
     * MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. See the
     * GNU General Public License for more details.
     *
     * You should have received a copy of the GNU General Public License
     * along with Gauss_Newton_solver. If not, see <http://www.gnu.org/licenses/>.
     */
    
    #include <iostream>
    #include <eigen3/Eigen/Core>
    #include <vector>
    #include <opencv2/opencv.hpp>
    #include <eigen3/Eigen/Cholesky>
    #include <eigen3/Eigen/QR>
    #include <eigen3/Eigen/SVD>
    #include <chrono>
    
    /* 计时类 */
    class Runtimer{
    public:
        inline void start()
        {
            t_s_  = std::chrono::steady_clock::now();
        }
        
        inline void stop()
        {
            t_e_ = std::chrono::steady_clock::now();
        }
        
        inline double duration()
        {
            return std::chrono::duration_cast<std::chrono::duration<double>>(t_e_ - t_s_).count() * 1000.0;
        }
        
    private:
        std::chrono::steady_clock::time_point t_s_; //start time ponit
        std::chrono::steady_clock::time_point t_e_; //stop time point
    };
    
    /*  优化方程 */
    class CostFunction{
    public:
            CostFunction(double* a, double* b, double* c, int max_iter, double min_step, bool is_out):
            a_(a), b_(b), c_(c), max_iter_(max_iter), min_step_(min_step), is_out_(is_out)
            {}
            
            void addObservation(double x, double y)
            {
                std::vector<double> ob;
                ob.push_back(x);
                ob.push_back(y);
                obs_.push_back(ob);
            }
            
            void calcJ_fx()
            {
                J_ .resize(obs_.size(), 3);
                fx_.resize(obs_.size(), 1);
                
                for ( size_t i = 0; i < obs_.size(); i ++)
                {
                    std::vector<double>& ob = obs_.at(i);
                    double& x = ob.at(0);
                    double& y = ob.at(1);
                    double j1 = -x*x*exp(*a_ * x*x + *b_*x + *c_);
                    double j2 = -x*exp(*a_ * x*x + *b_*x + *c_);
                    double j3 = -exp(*a_ * x*x + *b_*x + *c_);
                    J_(i, 0 ) = j1;
                    J_(i, 1) = j2;
                    J_(i, 2) = j3;
                    fx_(i, 0) = y - exp( *a_ *x*x + *b_*x +*c_);
                }
            }
           
           void calcH_b()
            {
                H_ = J_.transpose() * J_;
                B_ = -J_.transpose() * fx_;
            }
            
            void calcDeltax()
            {
                deltax_ = H_.ldlt().solve(B_); 
            }
           
           void updateX()
            {
                *a_ += deltax_(0);
                *b_ += deltax_(1);
                *c_ += deltax_(2);
            }
            
            double getCost()
            {
                Eigen::MatrixXd cost= fx_.transpose() * fx_;
                return cost(0,0);
            }
            
            void solveByGaussNewton()
            {
                double sumt =0;
                bool is_conv = false;
                for( size_t i = 0; i < max_iter_; i ++)
                {
                    Runtimer t;
                    t.start();
                    calcJ_fx();
                    calcH_b();
                    calcDeltax();
                    double delta = deltax_.transpose() * deltax_;
                    t.stop();
                    if( is_out_ )
                    {
                        std::cout << "Iter: " << std::left <<std::setw(3) << i << " Result: "<< std::left <<std::setw(10)  << *a_ << " " << std::left <<std::setw(10)  << *b_ << " " << std::left <<std::setw(10) << *c_ << 
                        " step: " << std::left <<std::setw(14) << delta << " cost: "<< std::left <<std::setw(14)  << getCost() << " time: " << std::left <<std::setw(14) << t.duration()  <<
                        " total_time: "<< std::left <<std::setw(14) << (sumt += t.duration()) << std::endl;
                    }
                    if( delta < min_step_)
                    {
                        is_conv = true;
                        break;
                    }
                    updateX();
                }
               
               if( is_conv  == true)
                    std::cout << "\nConverged\n";
                else
                    std::cout << "\nDiverged\n\n";
            }
            
            Eigen::MatrixXd fx_;
            Eigen::MatrixXd J_; // 雅克比矩阵
            Eigen::Matrix3d H_; // H矩阵
            Eigen::Vector3d B_;
            Eigen::Vector3d deltax_;
            std::vector< std::vector<double>  > obs_; // 观测
            double* a_, *b_, *c_;
            
            int max_iter_;
            double min_step_;
            bool is_out_;
    };//class CostFunction
    
    
    
    
    int main(int argc, char **argv) {
        
        const double aa = 0.1, bb = 0.5, cc = 2; // 实际方程的参数
        double a =0.0, b=0.0, c=0.0; // 初值
        
        /* 构造问题 */
        CostFunction cost_func(&a, &b, &c, 50, 1e-10, true);
        
        /* 制造数据 */
        const size_t N = 100; //数据个数
        cv::RNG rng(cv::getTickCount());
        for( size_t i = 0; i < N; i ++)
        {
            /* 生产带有高斯噪声的数据 */
           double x = rng.uniform(0.0, 1.0) ;
           double y = exp(aa*x*x + bb*x + cc) + rng.gaussian(0.05);
           
           /* 添加到观测中 */
           cost_func.addObservation(x, y);
        }
        /* 用高斯牛顿法求解 */
        cost_func.solveByGaussNewton();
        return 0;
    }
    展开全文
  • 最小二乘法求解一元线性回归

    千次阅读 2021-06-22 19:33:15
    最小二乘法求解一元线性回归 介绍线性回归模型以及简单一元线性回归模型的解法。 通过代码实现最小二乘法求解一元线性回归实例,并对结果进行预测。 一、线性回归 二、回归问题的解决 三、最小二乘法介绍 四、...

    最小二乘法求解一元线性回归

    介绍线性回归模型以及简单一元线性回归模型的解法。

    通过代码实现最小二乘法求解一元线性回归实例,并对结果进行预测。

    一、线性回归

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    二、回归问题的解决

    在这里插入图片描述

    三、最小二乘法介绍

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    四、最小二乘法求解线性回归

    在这里插入图片描述

    五、实例验证

    案例背景:数据中参数x为学习时间,y为得分。通过最小二乘法求解参数w,b,均方差。并预测x=80时的得分。

    数据链接:
    链接: https://pan.baidu.com/s/1KVw_9O5o9vqQnpgRNfLGVQ
    提取码:8u8e

    1.导入数据

    # 导入必要库
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    points = np.genfromtxt('E:/PythonData/machine_learning/data.csv',delimiter=',')
    
    # 查看前5行数据
    points[:5]
    

    在这里插入图片描述

    2.绘制散点图

    # 分别提取points中的x和y数据
    x = points[:,0]
    y = points[:,1]
    
    # 绘制散点图
    plt.scatter(x,y)
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    3.定义损失函数

    # 损失函数是系数w,b的函数,另外还要传入数据x,y
    def computer_cost(w,b,points):
        total_cost = 0
        M = len(points)
      
        # 逐点计算平方损失误差,然后求平均数
        for i in range(M):
            x = points[i,0]
            y = points[i,1]
            total_cost +=(y - w *x - b)**2
        # 取平均
        return total_cost/M
    

    4.定义算法拟合函数

    # 先定义求均值函数
    def average(data):
        sum = 0
        num = len(data)
        for i in range(num):
            sum+=data[i]
        return sum/num
        
    # 定义核心拟合函数
    def fit(points):
        M = len(points)
        x_bar = average(points[:,0])
        
        sum_yx = 0
        sum_x2 = 0
        sum_delta = 0
        
        for i in range(M):
            x = points[i,0]
            y = points[i,1]
            sum_yx += y*(x-x_bar)
            sum_x2 += x**2
            
        # 根据公式计算w
        w = sum_yx/(sum_x2 - M*(x_bar**2))
        
        # 再次创建for循环计算b
        for i in range(M):
            x = points[i,0]
            y = points[i,1]
            sum_delta += y-w*x
        b = sum_delta/M
        return w,b 
    

    5.测试(得到参数w,b,均方误差)

    # 将测试集传入拟合函数中
    w,b = fit(points)
    print('w is :',w)
    print('b is :',b)
    
    cost = computer_cost(w,b,points)
    print('cost is ',cost)
    

    在这里插入图片描述

    6.绘制拟合曲线

    plt.scatter(x,y)
    
    # 针对每一个x,绘制出预测的值
    pred_y = w*x+b
    
    # 画出拟合曲线,颜色设置为红色
    plt.plot(x,pred_y,c='r')
    

    在这里插入图片描述

    7.预测分数

    # 给出参数x,得出预测结果
    pred_y1 = w*80+b
    print(pred_y1)
    

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 简单的来说,最小二乘法为一类线性算法,将需要求解的系数当作未知数,f(x)与x当作已知数,通过多组对应关系求得系数的方法。所以,最小二乘法仅适合系数为一次项方程式例如:,k与b作为系数是可通过最小二乘法求的...

    ci最小二乘法定义(摘抄于百度百科):

    基本思路(摘抄于百度百科):

    简单的来说,最小二乘法为一类线性算法,将需要求解的系数当作未知数,f(x)与x当作已知数,通过多组对应关系求得系数的方法。

    所以,最小二乘法仅适合f(x)=\alpha 1\varphi 1(x)+\alpha 2\varphi 2(x)+\alpha 3\varphi 3(x)+\alpha 4\varphi 4(x)+......+\alpha m\varphi m(x)系数为一次项方程式

    例如:y=kx+b,k与b作为系数是可通过最小二乘法求的

    而:y=x^{A},A作为系数,是不可通过最小二乘法求得的

    理论过程:

    当圆心为(0,0),半径为r时,可得圆的方程式为:

    x^{2}+y^{2}=r^{2}

    令圆心为(h,k)时,

    圆方程为:(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}

    这是在连续数据的情况下,我们将其代入离散数据点的情况:

    圆方程为:\left ( \sum_{i=1}^{n}X_{n}-h\right )^{2}+\left ( \sum_{i=1}^{n}Y_{n}-k\right )^{2}=r^{2}

    展开式为:\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}+\sum_{i=1}^{n}Y_{i}^{2}-2h\sum_{i=1}^{n}X_{i}-2k\sum_{i=1}^{n}Y_{i}+h^{2}+k^{2}-r^{2}=0

    为了简化方程式,令h^{2}+k^{2}-r^{2}=p

    则方程为:\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}+\sum_{i=1}^{n}Y_{i}^{2}-2h\sum_{i=1}^{n}X_{i}-2k\sum_{i=1}^{n}Y_{i}+p=0

    既误差函数为:E=\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}+\sum_{i=1}^{n}Y_{i}^{2}-2h\sum_{i=1}^{n}X_{i}-2k\sum_{i=1}^{n}Y_{i}+p\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{0}=0

    对误差函数的二次进行求导,已知E=0,既误差函数的二次方对任何数求导均为0:

    所以:\frac{\partial \left | E \right |^2 }{\partial h}=0;\frac{\partial \left | E \right |^2 }{\partial k}=0;\frac{\partial \left | E \right |^2 }{\partial p}=0

    推得:

    \small 2\left ( \sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}+\sum_{i=1}^{n}Y_{i}^{2}-2h\sum_{i=1}^{n}X_{i}-2k\sum_{i=1}^{n}Y_{i}+p\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{0} \right )\times (-2\sum_{i=1}^{n}X_{i})=0\small 2\left ( \sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}+\sum_{i=1}^{n}Y_{i}^{2}-2h\sum_{i=1}^{n}X_{i}-2k\sum_{i=1}^{n}Y_{i}+p\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{0} \right )\times (-2\sum_{i=1}^{n}Y_{i})=0

     \small 2\left ( \sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}+\sum_{i=1}^{n}Y_{i}^{2}-2h\sum_{i=1}^{n}X_{i}-2k\sum_{i=1}^{n}Y_{i}+p\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{0} \right )\times\left (\sum_{i=1}^{n}{X_{i}}^{0} \right )=0

    展开并化简得:

    \small \sum_{i=1}^{n}X_{i}^{3}+\sum_{i=1}^{n}X_{i}Y_{i}^{2}-2h\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}-2k\sum_{i=1}^{n}X_{i}Y_{i}+p\sum_{i=1}^{n}X_{i}=0

    \small \sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}Y_{i}+\sum_{i=1}^{n}Y_{i}^{3}-2h\sum_{i=1}^{n}X_{i}Y_{i}-2k\sum_{i=1}^{n}{Y_{i}}^{2}+p\sum_{i=1}^{n}Y_{i}=0

    \small \sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}+\sum_{i=1}^{n}Y_{i}^{2}-2h\sum_{i=1}^{n}X_{i}-2k\sum_{i=1}^{n}{Y_{i}}+p\sum_{i=1}^{n}Y_{i}=0

    系数放等号左边,常数放等号右边

    \small 2h\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}+2k\sum_{i=1}^{n}X_{i}Y_{i}-p\sum_{i=1}^{n}X_{i}=\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{3}+\sum_{i=1}^{n}X_{i}Y_{i}^{2}

    \small 2h\sum_{i=1}^{n}X_{i}Y_{i}+2k\sum_{i=1}^{n}{Y_{i}}^{2}-p\sum_{i=1}^{n}Y_{i}=\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}Y_{i}+\sum_{i=1}^{n}Y_{i}^{3}

    \small 2h\sum_{i=1}^{n}X_{i}+2k\sum_{i=1}^{n}{Y_{i}}-p\sum_{i=1}^{n}Y_{i}=\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}+\sum_{i=1}^{n}Y_{i}^{2}

    使用矩阵表示既为

    \small \begin{bmatrix} C11&C12&C13 \\ C21&C21&C23 \\ \ C31&C32&C33 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} h\\ k\\ p \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} R1\\ R2\\R3 \end{bmatrix}

    其中

    \small C11=\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}\small C12=\sum_{i=1}^{n}X_{i}Y_{i}\small C13=\sum_{i=1}^{n}X_{i}

    \small C21=\sum_{i=1}^{n}X_{i}Y_{i}\small C22\sum_{i=1}^{n}{Y_{i}}^{2}\small C23\sum_{i=1}^{n}Y_{i}

    \small C31=\sum_{i=1}^{n}X_{i}\small C32=\sum_{i=1}^{n}{Y_{i}}\small C33=\sum_{i=1}^{n}Y_{i}

    \small R1=\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{3}+\sum_{i=1}^{n}X_{i}Y_{i}^{2}

    \small R2=\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}Y_{i}+\sum_{i=1}^{n}Y_{i}^{3}

    \small R3=\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}+\sum_{i=1}^{n}Y_{i}^{2}

    求解矩阵方程既可得到圆心(h,k)

    r=\sqrt{h^{2}+k^{2}-p}

    可以利用克莱姆求解矩阵方程

    \Delta=\begin{vmatrix} C11&C12&C13 \\ C21&C21&C23 \\ C31&C32&C33 \end{vmatrix}

    \Delta h=\begin{vmatrix} R1&C12&C13 \\ R2&C21&C23 \\ R3&C32&C33 \end{vmatrix}

    \Delta k=\begin{vmatrix} C11&R2&C13 \\ C21&R2&C23 \\ C31&R3&C33 \end{vmatrix}

    \Delta p=\begin{vmatrix} C11&C12&R1\\ C21&C21&R2\\ C31&C32&R3\end{vmatrix}

    解得:

    h=\frac{\Delta h}{\Delta}k=\frac{\Delta k}{\Delta}p=\frac{\Delta p}{\Delta}

    此方法和推导同样适合多项式方程、椭圆方程等,这边不再做详细介绍

    MATLAB代码(为MATLAB R2022版本下.mlapp回调代码):

                [file,path] = uigetfile;
                if isempty(file)
                    return;
                end 
                if ~contains(file,'.csv')
                    msgbox("请确定选择文件为<.csv>文件后重试!")
                    return;
                end
                filepath=strcat(path,file);
                LineData=readtable(filepath);
                LineAll=table2array(LineData);
                LineX=LineAll(:,1);
                Liney=LineAll(:,2);
    
                nSum=0;
                XSum=0;
                YSum=0;
                XYSum=0;
                X2Sum=0;            
                Y2Sum=0;
    
                X2YSum=0;
                XY2Sum=0;
                X3Sum=0;
                Y3Sum=0;
    
    
                N=size(LineX);
              
                for i=1:N
                    nSum=nSum+1;
                    XSum=XSum+LineX(i);
                    YSum=YSum+Liney(i);
                    XYSum=XYSum+LineX(i)*Liney(i);
                    X2Sum=X2Sum+LineX(i)*LineX(i);
                    Y2Sum=Y2Sum+Liney(i)*Liney(i);
    
                    X2YSum=X2YSum+LineX(i)*LineX(i)*Liney(i);
                    XY2Sum=XY2Sum+LineX(i)*Liney(i)*Liney(i);
                    X3Sum=X3Sum+LineX(i)*LineX(i)*LineX(i);
                    Y3Sum=Y3Sum+Liney(i)*Liney(i)*Liney(i);
                end 
                
                C11=2*X2Sum;
                C12=2*XYSum;
                C13=-1*XSum;
                C21=2*XYSum;
                C22=2*Y2Sum;
                C23=-1*YSum;
                C31=2*XSum;
                C32=2*YSum;
                C33=-1*nSum;
    
                R1=X3Sum+XY2Sum;
                R2=X2YSum+Y3Sum;
                R3=X2Sum+Y2Sum;
                
                M1=[C11,C12,C13;
                    C21,C22,C23;
                    C31,C32,C33;];
    
                M2=[R1;R2;R3];
    
                M3=M1\M2;
    
                A=M3(1);
                B=M3(2);
                R=sqrt((A^2+B^2-M3(3)));
                Resultstring=strcat("圆心(",num2str(A),",",num2str(B),")","半径:",num2str(R));
                msgbox(Resultstring);

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空空如也

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最小二乘法 求解