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  • 假设 y = f(x),那么每个x应该会...最小二乘法就是最常用的一配线方式。最小二乘法是一数学优化技术,它通过最小误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。最小二乘法常用于曲线拟合。下面,我们通过一个例子来...

    假设 y = f(x),那么每个x应该会对应一个y。对一个未知公式的 f(x)系统,在科学实验中,常常需要测量两个变量的多组数据,然后找出他们的近似函数关系。通常,我们把这种处理数据的方法称之为经验配线,所找到的函数关系称为经验公式。最小二乘法就是最常用的一种配线方式。

    最小二乘法是一种数学优化技术,它通过最小误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。最小二乘法常用于曲线拟合。

    下面,我们通过一个例子来研究最小二乘法函数polyfit的使用。

    首先,我们通过数据采集,得到一组y和x数据的对应关系并绘制成曲线。

    x = [88    88    96    98    99   101   101   102   102   104   105   106   107   109   111   113   113   113   116   119   121   121   126   128   128   132   134   140   140   141   141  145   147   148  150   153   154   154   154   155   158   160   161   165   166   168   172   174];
    
    y = [2.5882       2.7059       2.8729       2.8834       2.9814       3.0909       3.1638       3.2353       3.3929       3.5404       3.6158       3.7569       3.8235        3.865   3.8824       3.9286       3.9394       4.1765       4.2353       4.3558       4.5856       4.6061       4.6584       4.7059       4.7826       4.8066       4.8214       4.8824   4.9697       5.0847        5.092        5.092       5.1381       5.1553       5.1786       5.2381       5.2727       5.4118       5.4237       5.5882       5.5932       5.8564   5.9627        6.135       6.4972       6.6071       6.6471       6.8485];
    
    plot(x,y,'o');

    2f0e6c2fe2125fc5d25d8f9bbbe70564.png
    原始采样数据

    通过polyfit进行一阶拟合

    x = [88    88    96    98    99   101   101   102   102   104   105   106   107   109   111   113   113   113   116   119   121   121   126   128   128   132   134   140   140   141   141  145   147   148  150   153   154   154   154   155   158   160   161   165   166   168   172   174];
    
    y = [2.5882       2.7059       2.8729       2.8834       2.9814       3.0909       3.1638       3.2353       3.3929       3.5404       3.6158       3.7569       3.8235        3.865   3.8824       3.9286       3.9394       4.1765       4.2353       4.3558       4.5856       4.6061       4.6584       4.7059       4.7826       4.8066       4.8214       4.8824   4.9697       5.0847        5.092        5.092       5.1381       5.1553       5.1786       5.2381       5.2727       5.4118       5.4237       5.5882       5.5932       5.8564   5.9627        6.135       6.4972       6.6071       6.6471       6.8485];
    
    %一阶拟合
    coefficient=polyfit(x,y,1);
    
    %将拟合后系数带入公式 Y = P(1)*X^N + P(2)*X^(N-1) + ... + P(N)*X + P(N+1)
    yn=polyval(coefficient,x);
    
    plot(x,y,'o');hold on;
    plot(x,yn,'-k');hold on;
    legend(sprintf("x-y"),sprintf("yn = (%f)x + (%f)",coefficient(1,1),coefficient(1,2)));

    d0be262be6593537acd8411d04ddcfd0.png
    1阶拟合的曲线效果

    通过polyfit进行二阶拟合

    x = [88    88    96    98    99   101   101   102   102   104   105   106   107   109   111   113   113   113   116   119   121   121   126   128   128   132   134   140   140   141   141  145   147   148  150   153   154   154   154   155   158   160   161   165   166   168   172   174];
    
    y = [2.5882       2.7059       2.8729       2.8834       2.9814       3.0909       3.1638       3.2353       3.3929       3.5404       3.6158       3.7569       3.8235        3.865   3.8824       3.9286       3.9394       4.1765       4.2353       4.3558       4.5856       4.6061       4.6584       4.7059       4.7826       4.8066       4.8214       4.8824   4.9697       5.0847        5.092        5.092       5.1381       5.1553       5.1786       5.2381       5.2727       5.4118       5.4237       5.5882       5.5932       5.8564   5.9627        6.135       6.4972       6.6071       6.6471       6.8485];
    
    %二阶拟合
    coefficient=polyfit(x,y,2);
    
    %将拟合后系数带入公式 Y = P(1)*X^N + P(2)*X^(N-1) + ... + P(N)*X + P(N+1)
    yn=polyval(coefficient,x);
    
    plot(x,y,'o');hold on;
    plot(x,yn,'-k');hold on;
    legend(sprintf("x-y"),sprintf("yn = (%f)x² + (%f)x + (%f)",coefficient(1,1),coefficient(1,2),coefficient(1,3)));

    7746e98dd98eda228955c93bf236a7c6.png

    同理,可得到更多阶拟合的效果

    a16aa830f437aaa90b1831a0ead9d31e.png
    3阶拟合

    479ecfb8b2c2b57641a30c5de81d5b12.png
    6阶拟合

    由此可见,在系统允许的条件下,阶数越多,拟合出来的曲线越逼近真实的测量曲线。这个工作要是放在人工设计里实现,将会是一个非常繁琐的事情,最小二乘法恰恰非常适合解决这类曲线拟合的工作。

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  • n,也就是方程数要大于未知数,才用最小二乘法求系数矩阵W。下面根据Y矩阵是否为零矩阵来讨论如何求W: Y矩阵不为零矩阵 直接套用公式: Y矩阵为零矩阵 在||W||=1的前提下,的最小(n-rank(X))个特征值对应的...

    输入矩阵X:

    \left [ \begin{matrix} x_{11} &x_{12} &... &x_{1n} \\ x_{21} &x_{22} &... &x_{2n} \\ ...& ...& ...&... \\ x_{m1} &x_{m2} &... &x_{mn} \\ \end{matrix}\right ]

    系数矩阵W:

    \left [ \begin{matrix} w_{1}\\ w_{2}\\ ...\\ w_{n} \end{matrix} \right ]

    输出矩阵Y:

    \left [ \begin{matrix} y_{1}\\ y_{2}\\ ...\\ y_{m} \end{matrix} \right ]

    一般情况下,m>n,也就是方程数要大于未知数,才用最小二乘法求系数矩阵W。下面根据Y矩阵是否为零矩阵来讨论如何求W:

    Y矩阵不为零矩阵

    直接套用公式:

    W=(X^{T}X)^{-1}X^{T}Y

    Y矩阵为零矩阵

    在||W||=1的前提下,X^{T}X的最小(n-rank(X))个特征值对应的特征向量的线性组合为W。也就是对X进行SVD奇异值分解:

    U,S,V=SVD(X)

    X=USV^{T}

    即V矩阵最右侧(n-rank(X))个特征值对应的特征向量的线性组合为W。

    W=\lambda _{1}V_{n-r+1}+\lambda _{2}V_{n-r+2}+...+\lambda _{r}V_{n-r+1}

    其中\lambda可以根据\left \| W \right \|=1及其他一些条件求解。

     

     

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  • 普通最小二乘法两种推导方法

    千次阅读 2019-06-24 14:51:58
    对于一个简单的线性回归模型,其形式为 其中是因变量,是自变量,表示出了之外其他可能影响的因素。我们要用这个模型来寻找在其他因素不变的情况下,对的影响大小,也就是说,在的情况下 ...第一是利用...

    对于一个简单的线性回归模型,其形式为[公式]

    其中[公式]是因变量,[公式]是自变量,[公式]表示出了[公式]之外其他可能影响[公式]的因素。我们要用这个模型来寻找在其他因素[公式]不变的情况下,[公式][公式]的影响大小[公式],也就是说,在[公式]的情况下

    [公式]

    这个线性公式表明不管[公式]的初值是多少,它的任何一个单位的变化对[公式]的影响都是相同的,这和很多经济学上的边际递增或者边际递减都是不符合的,这个问题之后再讨论。

    今天我们怎样估算出最准确的[公式]呢,我门有两个方法:

    • 第一种是利用两个假定推出
    • 第二种是利用残差的最小平方和最小

     

    那么我们要做出怎样的假定,才能估算出最准确的[公式]呢?

    首先,我们要保证

    [公式]

    其实这个假定并不是特别的强,因为只要截距[公式]被包含在等式之中,假设总体中[公式]就不会失掉什么。

    其次要保证,因素[公式][公式]之间不相关,也就是

    [公式] 或者说是 [公式]

    举一个例子,假设[公式]是受教育的年数,[公式]是工资水平,[公式]是影响工资水平的其他因素,这里是天生能力,如果受过8年教育的人的天生能力和受过16年教育的人的天生能力一样的话,那么就说明天生能力和受教育年数不相关,它们独立影响工资水平。如果天生能力越强的人受到的教育越多,那么这个假定则不成立。

    对于给定的样本[公式]

    [公式]

    对于所有的[公式]都成立,其中[公式]是第[公式]次观察的误差项,包含了出了自变量之外的所有其他变量

    根据[公式],就可以把[公式][公式]改写成为

    [公式]

    [公式]

     

    根据以上两个假设,我们就可以推导出最小二乘法的两个结果

    [公式]

    [公式]

    这里要强调,x和y回归的beta值,和两者之间的相关系数并不一样,相关系数等于

    [公式]

    当然,这个也可以利用残差的平方和推导出

    [公式]

    为了使得残差的平方和最小,使得此公式对[公式]的偏导为0,可以和前面得到相同的公式

    [公式]

    [公式]

    同样可以得到对[公式]的合理估计

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  • 公式推导

    机器学习(3)


    实例(公式推导)

    梯度下降法与最小二乘法都是解决线性问题的常用方法。为了说明最小二乘法,我们先看如下例子:
    在这里插入图片描述
    为了研究自变量x与y的关系,我们画出散点图如下:
    在这里插入图片描述
    我们可以发现,y随着x的增大而增大,并且二者之间大致呈线性关系,我们很自然地就会想到用一条直线 y = kx +b 来表示两者之间的关系。
    由这6个坐标,我们可以得到6个方程:
    在这里插入图片描述
    现任取两个点,便可解出 k 与 b 的值,进而得到一个线性回归方程,然鹅我们再次选取另两个点时,就会得到另一个不同的方程。
    我们需要一个方法来找到这个最精确的方程。
    这时,在初见中提到的均方误差就再次起到了至关重要的作用:
    在这里插入图片描述
    我们将E分别对k和b求偏导数:
    在这里插入图片描述
    再令二者为零,即
    在这里插入图片描述
    现在我们把m=6代入,便可解出k与b的值
    在这里插入图片描述
    再回到坐标系绘制出曲线:
    在这里插入图片描述

    最小二乘法

    到目前为止,我们虽然用k和b的关系式计算出了k和b的值
    在这里插入图片描述
    但是并没有将其化简完全,实际上,我们有很多种办法可以求解:

    第一种推导方式

    在这里插入图片描述
    先求出k,然后把k代入求b的公式即可。

    第二种推导方式

    我们再看最初的数据:
    在这里插入图片描述
    由线性代数的知识可知,其可写成:(注意加粗字体)
    在这里插入图片描述
    其中
    在这里插入图片描述
    即将向量y表成向量x1x2的线性组合。
    但是,在这个方程组并没有解,即找不到 y 使得 r = y - (bx1 + kx2) = 0。或者说是在x1和x2组成的平面中也找不到 y 使方程组有解
    在这里插入图片描述
    因此,我们需要找到一个 r 的最小值
    在这里插入图片描述
    r的长度是y到平面上点的距离,当且仅这个点是垂足,即r与平面垂直时,r才会有最小值。
    于是有:
    在这里插入图片描述
    现在我们把 r 的表达式r = y - (bx1 + kx2) 代入,便可得如下式子:
    在这里插入图片描述
    并且,若记
    在这里插入图片描述
    则刚才的方程组可以写为:
    在这里插入图片描述
    而这个推导的过程刚好可以解释在多元线性回归中,最小二乘法的公式的来源。


    最小二乘法有很多种用途,除了基本的线性模型, 它还可以将一些非线性的数据通过倒数、对数等方式转化为线性模型,在面对一些维度略小的训练集时,最小二乘法往往更能得到一个比较准确的线性回归方程。

    最小二乘法(正规方程法)与梯度下降法各有利弊,二者的对比将在本系列的下一期中讲到。

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  • [python数值分析]最小二乘法

    千次阅读 2017-10-15 15:21:26
    最小二乘法是一数学优化方法,通过最小化误差的平方和寻找最佳的匹配函数。一般常用于曲线的拟合,我最早接触到最小二乘法也是在高中的数学课上用来拟合一次函数曲线。 最小二乘法的基本公式如下: (来自百度...
  • 最小二乘法的矩阵解法

    千次阅读 2018-07-09 21:39:00
    1.公式推导 PPT参考自:中国科学院的PPT ,矩阵解的...2.两种最小二乘法的平面拟合MATLAB代码对比 2.1用传统的∑方式求平面方程z=ax + by + c的参数 1 function [ a,b,c ]=FitPlane( input_X , input_Y , in...
  • 最小二乘法的概念 ...最小二乘法的目标:求误差的最小平方和,根据cost function的对应有两种:线性和非线性(取决于对应的残差(residual)是线性的还是非线性的)。 公式推导: 而非线性最小二乘没有c...
  • 学过统计学的朋友们应该知道最小二乘法至关重要的地位,目前我的研究方面要对数据进行拟合,具体任务是在平面坐标系中拟合出圆心位置和半径来,首当其冲的想到了这一方法,因此便把所学内容整理出来和大家分享。...
  • Cholesky分解求系数参考: [1]冯天祥. 多元线性回归最小二乘法及其...算法设计也可以参考两种系数最终公式设计。 下面的Java代码由网友设计,采用第一种方法计算参数。 1 /** 2 * 多元线性回归分析 3 ...
  • 最小二乘法其实又叫最小平方法,是一数据拟合的优化技术。实质上是利用最小误差的平方寻求数据的最佳匹配函数,利用最小二乘法可以便捷的求得未知的数据,起到预测的作用,并且是的这些预测的数据与实际数据之间的...
  • 最小二乘法处理数据

    万次阅读 2011-09-09 14:19:27
    最小二乘法处理数据  直线拟合求最佳经验公式的一数据处理方法是最小二乘法(又称作一元线性回归),它可克服用作图法求直线公式时图线的绘制引入的误差,结果更精确,在科学实验中得到了广泛的应用。 1.最...
  • 让我们了解普通最小二乘法和最大似然估计之间的差异。 普通最小二乘法或OLS也可以称为线性最小二乘。这是一用于近似确定位于线性回归模型中的未知参数的方法。通过最小化数据集内观察到的响应与线性近似预测的响应...
  • 具体来说, 最小二乘法的矩阵公式是, 这里的 A 是一个矩阵, b 是一个向量. 如果有离散数据点,, 而想要拟合的方程又大致形如, 那么, A 就是一个的矩阵, 第 i 行的数据点分别是, 而 b 则是一个向量, 其值为. 而又已知, ...
  • 求解下列最小二乘的解: ,其中 解法一:由基本的实值函数对向量的求导公式推导 ...下面只对上面两种解法解析,具体如下: 求解BN的反向传播公式 1.BN算法的计算过程如下: 其中m是批的...
  • 目录1、线性回归的原理基础定义公式推导简单理解2、最小二乘法PYTHON实现0. 导入相关库1. 导入数据2. 定义损失函数3. 定义算法拟合函数4. 测试定义的函数5. 画出拟合曲线3、最小二乘简单例子 1、线性回归的原理 基础...
  • 对于所有的线性回归模型(包括多项式回归),我们都可以用最小二乘法或者梯度下降法去求解,这两种算法各有利弊,其中: 对于最小二乘法来说,它是利用线性代数里求解矩阵方程的方法得到参数向量,不需要多次迭代,...
  • 最近搞了点机器学习的东西,因为0基础所以老老实实上了斯坦福的公开课,这期间解决了我一直想不清楚的一个问题:最小二乘法的统计学解释。当我们遇到一个原理的时候,实用主义者会认为可以应用就可以了,但总有些吃...
  • 1.本质相同:两种方法都是在给定已知数据(independent & dependent variables)的前提下对dependent variables算出出一个一般性的估值函数。然后对给定新数据的dependent variables进行估算。 2.目标相同:都是在...
  • 本质相同:两种方法都是在给定已知数据(independent & dependent variables)的前提下对dependent variables算出出一个一般性的估值函数。然后对给定新数据的dependent variables进行估算。 2.目标相同:都是在...
  • 许多工程问题,常常需要根据个变量的几组实验...下面我们通过举例介绍常用的一建立经验公式的方法。  例1:为了测定道具的磨损速度,我们做这样的实验:经过一定时间(如每隔一小时),测量一次刀具的厚度,得到一
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  • 岭回归(ridge regression)是一专用于共线性数据分析的有偏估计,实质上就是一改良的最小二乘法。我们知道,最小二乘法是通过优化 而岭回归则是通过优化 通过,上面公式可以发现其实岭回归只是在平方差的...
  • 方式一:最小二乘法(正规方程) 公式推导 其中: 代码实现: 1.导入库 import numpy as np from sklearn.datasets import load_boston boston = load_boston() x = boston.data y = boston.target 2.由于...
  • 岭回归、LASSO回归(包括公式推导)

    万次阅读 2018-10-03 16:09:32
    其原理都是最小二乘法,这是一很简单、很方便的算法,但也有它的局限性,所以本文讲述另外的回归方式岭回归、LASSO回归,作为一个补充,解决最小二乘法的一些缺点。 最小二乘法的局限性:  ...
  • 参考地震研究中b值的计算方法,当前岩石声发射b值主要有两种计算方法:最小二乘法和最大似然法。基于Gutenberg-Richter关系和声发射原始数据,可以计算声发射b值。声发射b值的计算公式如下:式中M为地震的震级;N是M...
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  • 前面两篇文章,我们聚焦于线性回归的回归系数,理清了样本与总体回归方程的区别、回归系数的最小二乘法估计等问题,今天我们重点来看看线性回归的残差和预测值。前面我们谈到过样本回归方程有两种写法:不难发现,头...
  • Logistic回归、传统多层神经网络 1.1 线性回归、线性神经网络、Logistic/...①解优化多元一次方程(矩阵)的传统方法,在数值分析里通常被称作”最小二乘法",公式θ=(XTX)−1XTY ②迭代法:有一阶导数(梯度下降)优
  • 线性回归线性回归是基于最小二乘法的距离公式,求解损失函数最小值的θ:求解损失函数最小值的方法有两种:梯度下降和正规方程。如果是直接解正规方程,会有一定的局限性,主要表现为有的线性方程无逆矩阵,所以没法...

空空如也

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最小二乘法两种公式