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  • 最小二乘法拟合matlab代码
    2022-07-20 23:03:36

    1、内容简介


    414-可以交流、咨询、答疑

    2、内容说明


    3、仿真分析

    close all
    clear
    clc
    x=2:15;
    y=[6.42,8.20,9.58,9.50,9.70,10.00,9.93,9.99,10.49,10.59,10.60,10.80,10.60,10.9];
    p = polyfit(x,y,6);
    x1 = 2:0.01:15;
    y1 = polyval(p,x1);
    figure
    plot(x,y,'*',x1,y1,'r')
    xlabel 'x 轴' 
    ylabel 'y 轴' 
    title('最小二乘polyfit拟合图') 
    figure
    bar(x,polyval(p,x)-y)
    xlabel 'x 轴' 
    ylabel '残差' 
    title('最小二乘polyfit拟合图') 
    
    k = length(x); 
    X=[ones(k,1) x' x.^2' x.^3']; 
    [b, bint, r, rint, stats] = regress(y',X);
    x2 = 2:0.01:15;
    y2 = b(1)+b(2)*x2+x2.^2*b(3)+x2.^3*b(4);
    figure
    plot(x,y,'*',x2,y2,'r')
    xlabel 'x 轴' 
    ylabel 'y 轴' 
    title('最小二乘regress拟合图') 
    figure
    bar(x,r)
    xlabel 'x 轴' 
    ylabel '残差' 
    title('最小二乘regress拟合图') 

     


    4、参考论文

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    1、最小二乘原理

    2016785130dffd7c2ebed4eeed66be5c.png

    Matlab直接实现最小二乘法的示例:

    67d0865f17d9be527254bf8a8ff6c5b4.gif

    close

    x = 1:1:100;

    a = -1.5;

    b = -10;

    y = a*log(x)+b;

    yrand = y + 0.5*rand(1,size(y,2));

    %%最小二乘拟合

    xf=log(x);

    yf=yrand;

    xfa = [ones(1,size(xf,2));xf]

    w = inv(xfa*xfa')*xfa*yf';%直接拟合得到的结果

    67d0865f17d9be527254bf8a8ff6c5b4.gif

    参考资料:

    2、matlab调用函数实现最小二乘法

    利用matlab的最小二乘拟合函数对非线性函数进行拟合,具体地拟合的函数:

    [q r] = lsqcurvefit(fun, q_0, xdata, ydata);

    输入参数:

    fun:需要拟合的函数,假定有n个需要拟合的参数,那么 q = [q1,q2,...,qn]

    q_0:表示用户给定的一个起始点

    xdata:函数的自变量

    ydata:函数的因变量

    输出参数:

    q:表示求解得到的最优参数

    r:表示最小二乘的目标函数值,即残差。

    实现代码

    67d0865f17d9be527254bf8a8ff6c5b4.gif

    close

    x = 1:1:100;

    a = -1.5;

    b = -10;

    y = a*log(x)+b;

    plot(x,y);

    yrand = y + 0.5*rand(1,size(y,2));

    plot(x,yrand,'ro');

    %%最小二乘拟合

    xf=log(x);

    yf=yrand;

    f=inline('a(1)+a(2).*x','a','x');

    [q,r]=lsqcurvefit(f,[1,0],xf,yf)

    plot(x,yrand,'ro','LineWidth',2) %绘制图表

    hold on;

    %%绘制拟合曲线

    yn = q(1)+q(2)*log(x);

    hold on;

    plot(x,yn,'b','LineWidth',2);

    %%设置Legend

    hleg = legend(['原始函数(y=' num2str(b,3) '+' num2str(a,3) 'ln(x)' ')数据'],['拟合结果:y=' num2str(q(1),3) '+' num2str(q(2),3) 'ln(x)'],'Location','NorthEast');%本身不能设置字体的大小,需要通过set进行设置

    set(hleg,'FontSize', 15, 'FontAngle','italic','FontWeight','bold',...

    'TextColor',[.6,.2,.1],'Color',[1,1,1]);%Color为设置坐标的背景颜色

    %%设置标题

    title('最小二乘拟合:y=a+b*ln(x)','Color','k','FontSize',20);

    %%坐标轴标题设置

    xlabel('x','Color','k','FontSize',15);%横轴标题

    ylabel('y','Color','k','FontSize',15);%纵轴标题

    %%保存图像

    set(1, 'InvertHardCopy', 'off');%设置的背景色有效,如果为on则图形不保存背景色,maltab 默认为 on

    filename = 'lnx';

    print(1, '-djpeg', filename);%其他格式 -djpeg,-dpng,-dbmp,-dtiff,-dgif

    67d0865f17d9be527254bf8a8ff6c5b4.gif

    拟合结果

    如下图所示

    ef53e954fc46cd0a8f68435ec0a0c32f.png

    3、Excel的实现

    使用 lenest函数进行最小二乘拟合,对以上生成的数据进行拟合,拟合结果和matlab是一致的。

    已知拟合函数y=ax+b,那么

    斜率计算公式为:

    a = lenest(ydata,xdata,,FALSE)

    截距计算公式为:

    b = index(lenest(ydata,xdata),,FALSE),2)

    拟合的代码,请查阅附件:最小二乘拟合.xlsx,包含了带噪声的原始数据,拟合公式,拟合结果图

    拟合结果如下图所示:

    5dd5ebbd79cbea60a1f1be89b6935eda.png

    http://www.cnblogs.com/cv-pr/p/4741262.html

    展开全文
  • ols,正交最小二乘法matlab代码,在曲线拟合中可以使用到,有注释。ols,正交最小二乘法matlab代码,在曲线拟合中可以使用到,有注释。
  • MATLAB实战应用源代码MATLAB实现最小二乘法函数多元线性回归&多项式拟合.zip
  • Matlab最小二乘法拟合多项式

    千次阅读 2022-03-14 20:53:40
    前言 在最近的电机项目中,有遇到有传感器数据并不线性...最小二乘法拟合曲线需要首先知道曲线的通用公式。一次函数的通用公式为y = k * x + b,使用matlab编写很容易实现。这里我直接写入了几个点,随便编了一组数据

    前言

    在最近的电机项目中,有遇到有传感器数据并不线性的问题,然后想要用最小二乘法做个曲线拟合,反过来去校准不线性的传感器的数据,因此记录一下使用最小二乘法来拟合多项式的曲线的步骤。本篇从最小二乘法的原始公式入手编写M文件,目的是方便使用单片机实现,或者说是方便用C来实现。

    拟合一次函数:

    我们先试着拟合一个简单一点的,从一元一次函数开始。最小二乘法拟合曲线需要首先知道曲线的通用公式。一次函数的通用公式为y = k * x + b,使用matlab编写很容易实现。这里我直接写入了几个点,随便编了一组数据。

    %*************************************************************************%
                    %最小二乘法
    %**********************************************************************%
    
    clc;
    clear;
    
    %假定拟合曲线的公式为:y = ax^2 +b^x + c;
    x = [1 2 3 4 5 6 7 8 9];
    y = [1.2  2.5  3.6  4.8  5.6  7.4  8.0  9.8  12.0];
    [m , n] = size(x);
    sumx = 0;
    sumy = 0;
    sumxx = 0;
    sumxy = 0;
    Xaver = 0;
    Yaver = 0;
    XYaver = 0;
    XXaver = 0;
    
    %求平均
    for i = 1 : n
        sumx = sumx + x(i);
        sumy = sumy + y(i);
        sumxy = sumxy + x(i) * y(i);
        sumxx = sumxx + x(i) * x(i);
    end
    Xaver = sumx / n;
    Yaver = sumy / n;
    XYaver = sumxy / n;
    XXaver = sumxx / n;
    
    k = (XYaver - Xaver * Yaver) / (XXaver - Xaver * Xaver);
    b = Yaver - k * Xaver;
    
    plot(x,y,'s');   %画数据点不连线
    hold on;  %不加此句,两个图形将显示在两张图像上
    
    %画出拟合曲线
    x1 = [0 : 0.1 : 10];
    y1 = k * x1 + b;
    
    plot(x1,y1);

    效果:

    拟合二次函数:

    之后开始拟合二次函数,可以从最小二乘法的原理上进行程序编写。

    最小二乘法原理:

    假设我们的多项式表达式为:

    之后采集x与y的样本数据:

    x = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13];
    y = [1.2  2.5  3.6  4.8  5.6  6.6  7.4  8.0  9.8  12.0  12.5 13.1 14.6];

    最小二乘法是要达到最优函数的各项系数使的误差平方和S取得最小值,即S对各项式的偏导为0:

    整理上式可得:

    将其转化为矩阵形式:

    即,我们需要求取样本x的和,x^2的和,,,,,x^n的加和,以及y的加和,xy的加和。。。。。x^n*y的加和。

    假定我们的曲线是二次多项式,那么这个XY矩阵都是一个3行3列的矩阵,那么只需要求到x^4的加和即可,程序如下:

    sumx = 0;
    sumxx = 0;
    sumxxx = 0;
    sumxxxx = 0;
    sumy = 0;
    sumxy = 0;
    sumxxy = 0;
    
    %求矩阵数据
    for i = 1 : n
        sumx = sumx + x(i);
        sumxx = sumxx + x(i) * x(i);
        sumxxx = sumxxx + x(i) * x(i) * x(i);
        sumxxxx = sumxxxx + x(i) * x(i) * x(i) * x(i);
        sumy = sumy + y(i);
        sumxy = sumxy + x(i) * y(i);
        sumxxy = sumxxy + x(i) * x(i) * y(i);
    end

    将x加和的相关项写成X矩阵,将y加和的相关项写成Y矩阵,之后:

    多项式矩阵就可以通过X矩阵的逆 * Y矩阵求得:

    %写出矩阵
    U = [n  sumx  sumxx ; sumx  sumxx  sumxxx ; sumxx  sumxxx  sumxxxx];
    W = [sumy ; sumxy ; sumxxy];
    
    %求出矩阵的逆,进而求出多项式矩阵
    V =  pinv(U) * W;   % U * V = W    V = U(-1) * W
    a = V(1,1); b = V(2,1); c = V(3,1);

    之后就可以画出图形:

    %画出拟合曲线
    x1 = [0 : 0.1 : 15];
    y1 = a + b .* x1 + c .* x1 .* x1;
    
    plot(x1,y1);

    注意:有一个点乘

    结果图像如下:

    完整代码如下:

    %*************************************************************************%
                    %最小二乘法拟合多项式
    %**********************************************************************%
    
    clc;
    clear;
    
    %假定拟合曲线的公式为:y = a +b^x + c * x^2;
    x = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13];
    y = [1.2  2.5  3.6  4.8  5.6  6.6  7.4  8.0  9.8  12.0  12.5 13.1 14.6];
    [m , n] = size(x);
    a = 0;
    b = 0;
    c = 0;
    sumx = 0;
    sumxx = 0;
    sumxxx = 0;
    sumxxxx = 0;
    sumy = 0;
    sumxy = 0;
    sumxxy = 0;
    
    %求矩阵数据
    for i = 1 : n
        sumx = sumx + x(i);
        sumxx = sumxx + x(i) * x(i);
        sumxxx = sumxxx + x(i) * x(i) * x(i);
        sumxxxx = sumxxxx + x(i) * x(i) * x(i) * x(i);
        sumy = sumy + y(i);
        sumxy = sumxy + x(i) * y(i);
        sumxxy = sumxxy + x(i) * x(i) * y(i);
    end
    
    
    %写出矩阵
    U = [n  sumx  sumxx ; sumx  sumxx  sumxxx ; sumxx  sumxxx  sumxxxx];
    W = [sumy ; sumxy ; sumxxy];
    
    %求出矩阵的逆,进而求出多项式矩阵
    V =  pinv(U) * W;   % U * V = W    V = U(-1) * W
    a = V(1,1); b = V(2,1); c = V(3,1);
    
    plot(x,y,'s');   %画数据点不连线
    hold on;  %不加此句,两个图形将显示在两张图像上
    
    %画出拟合曲线
    x1 = [0 : 0.1 : 15];
    y1 = a + b .* x1 + c .* x1 .* x1;
    
    plot(x1,y1);

    拟合多项式:

    拟合多项式其实与拟合二次函数的方法是一样的,因为都是通用的矩阵。那就用一个4阶的举例,如果是4阶,那么拟合出来的多项式就是3次多项式。这里我们先随便编一个4次多项式,生成一个4次多项式的点:

    for i = 1 : n
        y(i) = 0.3 + 0.04 * x(i) + 1.2 * x(i) * x(i) + 0.06 * x(i) * x(i) * x(i) + 0.003 * x(i) * x(i) * x(i) * x(i);
    end

    这里的y就是4次多项式了,生成了点之后,我们使用最小二乘法来拟合一个3次多项式,尽量与4次多项式的点接近。依旧是按照最小二乘法的矩阵公式,先求出需要的加和数据:

    %求矩阵数据
    for i = 1 : n
        sumx = sumx + x(i);
        sumxx = sumxx + x(i) * x(i);
        sumxxx = sumxxx + x(i) * x(i) * x(i);
        sumxxxx = sumxxxx + x(i) * x(i) * x(i) * x(i);
        sumxxxxx = sumxxxxx + x(i) * x(i) * x(i) * x(i) * x(i);
        sumxxxxxx = sumxxxxxx + x(i) * x(i) * x(i) * x(i) * x(i) * x(i);
        sumy = sumy + y(i);
        sumxy = sumxy + x(i) * y(i);
        sumxxy = sumxxy + x(i) * x(i) * y(i);
        sumxxxy = sumxxxy + x(i) * x(i) * x(i) * y(i);
        sumxxxxy = sumxxxxy + x(i) * x(i) * x(i) * x(i) * y(i);   
    end

    然后写出矩阵:

    %写出矩阵
    U = [n  sumx  sumxx  sumxxx; 
        sumx  sumxx  sumxxx  sumxxxx; 
        sumxx  sumxxx  sumxxxx  sumxxxxx;
        sumxxx  sumxxxx  sumxxxxx  sumxxxxxx];
    W = [sumy ; sumxy ; sumxxy; sumxxxy];

    求出逆矩阵之后求多项式:

    %求出矩阵的逆,进而求出多项式矩阵
    V =  pinv(U) * W;   % U * V = W    V = U(-1) * W
    a = V(1,1); b = V(2,1); c = V(3,1);d = V(4,1);

    之后将图像画出来,对比之前生成的点的图像:

    plot(x,y,'s');   %画数据点不连线
    hold on;  %不加此句,两个图形将显示在两张图像上
    
    %画出拟合曲线
    x1 = [0 : 0.1 : 40];
    y1 = a + b .* x1 + c .* x1 .* x1 + d .* x1 .* x1 .* x1;
    
    plot(x1,y1);

    展开全文
  • matlab最小二乘法拟合

    千次阅读 2021-04-21 00:37:52
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    41528d3028836879cd698677c3999917.gifmatlab最小二乘法拟合

    数学建模与数学实验 拟 合 1 实验目的 实验内容 2. 掌握用数学软件求解拟合问题. 1. 直观了解拟合基本内容. 1. 拟合问题引例及基本原理. 4. 实验作业. 2. 用数学软件求解拟合问题. 3. 应用实例. 2 拟 合 2. 拟合的基本原理 1. 拟合问题引例 3 拟 合 问 题 引 例 1 温度t(ºC) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7 电阻R() 765 826 873 942 1032 已知热敏电阻数据 : 求60ºC时的电阻R. 设 R=at+b a,b为待定系数 4 拟 合 问 题 引 例 2 t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8 c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01 已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg) 求血药浓度随时间的变化规律c(t). 作半对数坐标系(semilogy)下的图形 MATLAB(aa1) 5 曲 线 拟 合 问 题 的 提 法 已知一组(二维)数据,即平面上 n个点(xi,yi) i=1,…,n, 寻求一个函数(曲线)y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所有 数据点最为接近,即曲线拟合得最好. + + + + + + + + + x y y=f(x) (xi,yi) i i 为点(xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离 6 拟合与插值的关系 函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作 为近似,由于近似的要求不同,二者在数学方法上是完全不同 的. 实例:下面数据是某次实验所得,希望得到X和 f之间的关系? MATLAB(cn) 问题:给定一批数据点,需确定满足特定要求的曲线或曲面 解决方案: •若不要求曲线(面)通过所有数据点,而是要求它反映对象 整体的变化趋势,这就是数据拟合,又称曲线拟合或曲面拟合 . •若要求所求曲线(面)通过所给所有数据点,就是插值问题; 7 最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果: 8 曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路 第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), …,rm(x), m0) 模型假设 1.机体看作一个房室,室内血药浓度均匀——一室模型 模型建立 在此,d=300mg,t及c(t)在某些点处的值见前表, 需经拟合求出参数k、v. 32 用线性最小二乘拟合c(t) MATLAB(lihe1) 计算结果: d=300; t=[0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8]; c=[19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01]; y=log(c); a=polyfit(t,y,1) k=-a(1) v=d/exp(a(2)) 程序: 用非线性最小 二乘拟合c(t) 33 给药方案 设计 c c2 c1 Ot • 设每次注射剂量D, 间隔时间 • 血药浓度c(t) 应c1 c(t)  c2 • 初次剂量D0 应加大 给药方案记为: 2. 1. 计算结果: 给药方案: c1=10,c2=25 k=0.2347 v=15.02 34 故可制定给药方案: 即: 首次注射375mg, 其余每次注射225mg, 注射的间隔时间为4h. 35 估计水塔的流量 2. 解题思路 3. 算法设计与编程 1. 问题 36 某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔,一 般可以通过测量其水位来估计水的流量,但面临 的困难是,当水塔水位下降到设定的最低水位时 ,水泵自动启动向水塔供水,到设定的最高水位 时停止供水,这段时间无法测量水塔的水位和水 泵的供水量.通常水泵每天供水一两次,每次约 两小时. 水塔是一个高12.2m,直径17.4m的正圆柱.按照 设计,水塔水位降至约8.2m时,水泵自动启动, 水位升到约10.8m时水泵停止工作. 表1 是某一天的水位测量记录,试估计任何时刻 (包括水泵正供水时)从水塔流出的水流量,及 一天的总用水量. 37 38 流量估计的解题思路 拟合水位~时间函数 确定流量~时间函数 估计一天总用水量 39 拟合水位~时间函数 从测量记录看,一天有两个供水时段(以下称第1供 水时段和第2供水时段),和3个水泵不工作时段(以 下称第1时段t=0到t=8.97,第2次时段t=10.95到t=20.84 和第3时段t=23以后).对第1、2时段的测量数据直接 分别作多项式拟合,得到水位函数.为使拟合曲线比 较光滑,多项式次数不要太高,一般在3~6.由于第3 时段只有3个测量记录,无法对这一时段的水位作出较 好的拟合. 40 确定流量~时间函数 对于第1、2时段只需将水位函数求导数即可, 对于两个供水时段的流量,则用供水时段前后( 水泵不工作时段)的流量拟合得到,并且将拟合 得到的第2供水时段流量外推,将第3时段流量包 含在第2供水时段内. 41 一天总用水量的估计 总用水量等于两个水泵不工作时段和 两个供水时段用水量之和,它们都可以 由流量对时间的积分得到. 42 算法设计与编程 1. 拟合第1、2时段的水位,并导出流量 2. 拟合供水时段的流量 3. 估计一天总用水量 4. 流量及总用水量的检验 43 1. 拟合第1时段的水位,并导出流量 设t,h为已输入的时刻和水位测量记录(水泵启动的4个时刻 不输入),第1时段各时刻的流量可如下得: 1) c1=polyfit(t(1:10),h(1:10),3); %用3次多项式拟合第1时段水位,c1输出3次多项式的系数 2)a1=polyder(c1); % a1输出多项式(系数为c1)导数的系数 3)tp1=0:0.1:9; x1=-polyval(a1,tp1);% x1输出多项式(系数a1) 在tp1点的函数值(取负后边为正值),即tp1时刻的流量 MATLAB(llgj1) 4)流量函数为: 44 拟合第2时段的水位,并导出流量 设t,h为已输入的时刻和水位测量记录(水泵启动的4个时刻 不输入),第2时段各时刻的流量可如下得: 1) c2=polyfit(t(10.9:21),h(10.9:21),3); %用3次多项式拟合第2时段水位,c2输出3次多项式的系数 2) a2=polyder(c2); % a2输出多项式(系数为c2)导数的系数 3)tp2=10.9:0.1:21; x2=-polyval(a2,tp2); % x2输出多项式(系数为a2) 在tp2点的函数值(取负后边为正值),即tp2时刻的流量 MATLAB(llgj2) 4)流量函数为: 45 2. 拟合供水时段的流量 在第1供水时段(t=9~11)之前(即第1时段)和之后(即第2时 段)各取几点,其流量已经得到,用它们拟合第1供水时段的流量 .为使流量函数在t=9和t=11连续,我们简单地只取4个点,拟合3次 多项式(即曲线必过这4个点),实现如下: xx1=-polyval(a1,[8 9]);%取第1时段在t=8,9的流量 xx2=-pol

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