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  • % 求D维中两组N点之间的最小均方根% 和刚性变换(即平移和旋转) % 雇用以使一组接近另一组, % 使用 Kabsch (1976) 算法。 % 注意点是成对的,即我们知道一组中的哪个点% 应该与另一组中的给定点进行比较。 % % ...
  • 拟合函数参数和误差--最小均方根

    千次阅读 2021-02-18 21:42:38
    拟合函数参数和误差——方法(1)leastsq python的Scipy.optimize中有函数可以用来拟合函数,可以用来求参数和误差。需要有一组二维数据X和Y样本,根据数据假设函数的形式,然后根基最函数值与样本数据Y的差的平方的...

    拟合函数参数和误差——方法(1)leastsq

    python的Scipy.optimize中有函数可以用来拟合函数,可以用来求参数和误差。需要有一组二维数据XY样本,根据数据假设函数的形式,然后根基最函数值与样本数据Y的差的平方的和来判定合适的参数,然后再求得误差。代码为:

    import numpy as np
    from scipy.optimize import leastsq
    
    ## 定义函数
    
    def xw20(x,A,a,b,D):
        return (A*(((x+D)/(8.3+D))**a)*(math.e**(-b*((x-8.3)/(8.3+D)))))
    ###需要拟合的函数func及误差error###
    def rexw20(p,y,x):
       ### 误差
        A,a,b,D = p
        return (y -  yk04(x,A,a,b,D))**2
    
    # 求参数、和协方差矩阵  
    X = [0,1.5,3,4.5,6,7.5,9,10.5,12,13.5,15]
    Y = [22,36,67,98,54,41,32,21,10,4,1] 
    
    p0 = [1]*4
    para,pcov,infodict,errmsg,success = leastsq(rexw20,p0,args=(Y,X),full_output=1)
    
    A,a,b,D = para
    print("函数的参数为: ",para)
    print("协方差矩阵: ",pcov)   
    
    err = np.sqrt(pcov.diagonal()) / para  
    print("参数误差为:",err) 
    
      
    
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  • 均方根误差最小准则应用于流域典型年的选取,以乌江流域7级梯级水库为例选择流域丰、平、枯典型年,研究表明,均方根误差最小准则能够统筹考虑各个电站的实际情况,选取的各种频率下典型年与设计年径流量平均相对误差...
  • 方差、协方差、标准差(标准偏差/均方差)、均方误差、均方根误差(标准误差)、均方根

    均值、均方值、均方差、均方根值、均方误差、均方根误差、方差、协方差、标准差

    均值(Mean Value)

    均值表示信号中直流分量的大小,用E(x)表示。高斯白噪声的均值为0,因此它只有交流分量
    x=i=0nxin\overline{x}=\frac{\displaystyle \sum^{n}_{i = 0}{x_i}}{n}

    均值的平方,即{E(x)}^2,表示信号中直流分量的功率。

    均方值

    均方值表示信号平方后的均值,用E(x^2)表示。均方值表示信号的平均功率。信号的平均功率 = 信号交流分量功率 + 信号直流分量功率。

    均方根(方均根值或有效值)

    均方根值,也称作为方均根值或有效值,用RMS(root mean square),即均方值开平方。在物理学中常用均方根值来分析噪声,反映物理量的有效值。
    xrms=i=0nxi2nx_{rms}=\sqrt{\frac{\displaystyle \sum^{n}_{i = 0}{x^2_i}}{n}}

    方差(Variance)

    方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。统计学中的方差(样本方差)是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在许多实际问题中,研究方差即偏离程度有着重要意义1
    统计学中计算公式
    在统计描述中,方差用来计算每一个变量(观察值)与总体均数之间的差异。为避免出现离均差总和为零,离均差平方和受样本含量的影响,统计学采用平均离均差平方和来描述变量的变异程度。
    总体方差计算公式(有偏估计):
    σ2=(Xμ)N\sigma^2=\frac{\sum(X-\mu)}{N}
    σ2\sigma^2为总体方差,X为变量,μ\mu为总体均值,N为总体例数
    样本方差计算公式:
    s2=(XXˉ)n1s^2=\frac{\sum(X-\bar{X})}{n-1}
    s2s^2为总体方差,X为变量,Xˉ\bar{X}为样本均值,n-1为样本例数
    Xˉ\bar{X}为样本均值是μ\mu为总体均值的无偏估计,因此μ\mu可替换为Xˉ\bar{X}

    标准差(Standard Deviation)、均方差

    标准差(Standard Deviation) ,中文环境中又常称均方差,是离均差平方的算术平均数的平方根,用σ表示。在概率统计中最常使用作为统计分布程度上的测量。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。

    标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中,做重复性测量时,测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。
    如是总体(即估算总体方差),根号内除以n;
    如是抽样(即估算样本方差),根号内除以(n-1);
    百度百科

    方差与标准差:
    方差与我们要处理的数据的量纲是不一致的,虽然能很好的描述数据与均值的偏离程度,但是处理结果是不符合我们的直观思维的。例如:一个班级里有60个学生,平均成绩是70分,标准差是9,方差是81,成绩服从正态分布,那么我们通过方差不能直观的确定班级学生与均值到底偏离了多少分,通过标准差我们就很直观的得到学生成绩分布在[61,79]范围的概率为0.6826,即约等于下图中的34.2%*2。

    均方误差(mean-square error, MSE)

    均方误差(mean-square error, MSE)是反映估计量与被估计量之间差异程度的一种度量。MSE可以评价数据的变化程度,MSE值越小,则预测模型对实验数据的描述越精确。
    均方误差常运用于信号处理的滤波算法(最小均方差)中,表示观测值observed与估计值 predicted之间的偏差,即
    MSE=1Ni=1N(observedtpredictedt)2MSE={\frac{1}{N}\sum^N_{i=1}(observed_t -predicted_t)^2}

    一般地在样本量一定时,评价一个点估计的好坏标准使用的指标总是点估计与参数真值
    的距离的函数,最常用的函数是距离的平方,由于估计量具有随机性,可以对该函数求期望,这就是下式给出的均方误差:
    MSE(θ^)=E[(θ^θ)2]=E[(θ^E(θ^)+E(θ^)θ)2]=D(θ^)+[E(θ^)θ]2{MSE(\hat{\theta})}=E[(\hat{\theta}-\theta)^2] =E[(\hat{\theta}-E(\hat{\theta})+E(\hat{\theta})-\theta)^2] =D(\hat{\theta})+[E(\hat{\theta})-\theta]^2均方误差由点估计的方差D(θ^)D(\hat{\theta})与偏差E(θ^)θ|E(\hat{\theta})-\theta|的平方两部分组成。
    如果θ^\hat{\theta}θ\theta的无偏估计,则此时用均方误差评价点估计与用方差是完全一致的,这也说明了用方差考察无偏估计是合理的。
    如果θ^\hat{\theta}不是θ\theta的无偏估计,就要看其均方误差,即不仅看方差大小,还要看其偏差大小。
    百度百科

    均方根误差(RMSE)

    均方根误差亦称标准误差,是均方误差的算术平方根。换句话说,是观测值与真值(或模拟值)偏差(而不是观测值与其平均值之间的偏差)的平方与观测次数n比值的平方根,在实际测量中,观测次数n总是有限的,真值只能用最可信赖(最佳)值来代替。标准误差对一组测量中的特大或特小误差反映非常敏感,所以,标准误差能够很好地反映出测量的精密度。这正是标准误差在工程测量中广泛被采用的原因。因此,标准差是用来衡量一组数自身的离散程度,而均方根误差是用来衡量观测值同真值之间的偏差。

    协方差(Covariance)

    协方差在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况,即当两个变量是相同的情况。协方差表示的是两个变量的总体的误差,这与只表示一个变量误差的方差不同。 如果两个变量的变化趋势一致,也就是说如果其中一个大于自身的期望值,另外一个也大于自身的期望值,那么两个变量之间的协方差就是正值。 如果两个变量的变化趋势相反,即其中一个大于自身的期望值,另外一个却小于自身的期望值,那么两个变量之间的协方差就是负值。
    cov(X,Y)=i=1n(XiXˉ)(YiYˉ)n1cov(X,Y)=\frac{\sum^n_{i=1}(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})}{n-1}
    cov(X,Y)=E[XY]E[X]E[Y]cov(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]

    相关系数(correlation coefficient)

    协方差作为描述X和Y相关程度的量,在同一物理量纲之下有一定的作用,但同样的两个量采用不同的量纲使它们的协方差在数值上表现出很大的差异,因此引入相关系数,用于研究变量之间线性相关程度的量。
    Pearson相关系数:
    ρX,Y=cov(X,Y)D(X)D(Y)\rho_{X,Y}=\frac{cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}


    1. 百度百科https://baike.baidu.com/item/方差/3108412?fr=aladdin ↩︎

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  • 均方根误差(RMSE),平均绝对误差(MAE),标准差(Standard Deviation) RMSE Root Mean Square Error,均方根误差 是观测值与真值偏差的平方和与观测次数m比值的平方根。 是用来衡量观测值同真值之间的偏差 MAE ...

    均方根误差(RMSE),平均绝对误差(MAE),标准差(Standard Deviation)

    RMSE

    • Root Mean Square Error,均方根误差
    • 观测值与真值偏差的平方和与观测次数m比值的平方根。
    • 是用来衡量观测值同真值之间的偏差

    MAE

    • Mean Absolute Error ,平均绝对误差
    • 是绝对误差的平均值
    • 能更好地反映预测值误差的实际情况.

    标准差

    • Standard Deviation ,标准差
    • 是方差的算数平方根
    • 是用来衡量一组数自身的离散程度
    • 其中N应为n-1

    这里写图片描述


    RMSE与标准差对比:标准差是用来衡量一组数自身的离散程度,而均方根误差是用来衡量观测值同真值之间的偏差,它们的研究对象和研究目的不同,但是计算过程类似。

    RMSE与MAE对比:RMSE相当于L2范数,MAE相当于L1范数。次数越高,计算结果就越与较大的值有关,而忽略较小的值,所以这就是为什么RMSE针对异常值更敏感的原因(即有一个预测值与真实值相差很大,那么RMSE就会很大)。

     

    平均值、标准差、相关系数、回归线及最小二乘法

     

     

    • N个数据平均值计算公式:

       [1]

     

     

     

    • 标准差表示了所有数据与平均值的平均距离,表示了数据的散度,如果标准差小,表示数据集中在平均值附近,如果标准差大则表示数据离标准差比较远,比较分散。标准差计算公式:

     [1]

     

    x、y两个变量组成了笛卡尔坐标系中的一个坐标(x,y),这个坐标标识了一个的位置。

    各包含n个常量的X,Y两组数据在笛卡尔坐标系中以n个点来进行表示。

     

    • 相关系数用字母r来表示,表示两组数据线性相关的程度(同时增大或减小的程度),从另一方面度量了相对于标准差的散布情况,它没有单位。包含n个数值的X、Y两组数据的相关系数r的计算方法:

    简单的说,就是 r=[(以标准单位表示的 x )X(以标准单位表示的 y )]的平均数

    根据上面点的定义,将X、Y两组数据的关系以点的形式在笛卡尔坐标系中画出,SD线表示了经过中心点(以数据组X、Y平均值为坐标的点),当r>0时,斜率=X的标准差/Y的标准差;当r<0时,斜率=-X的标准差/Y的标准差;的直线。通常用SD线来直观的表示数据的走向:

    1、当r<0时,SD线的斜率小于0时,则说明数据负相关,即当x增大时y减少。

    2、当r>0时,SD线的斜率大于0时,则说明数据正相关,此时当x增大时y增大。

    3、相关系数r的范围在[-1,1]之间,当r=0时表示数据相关系数为0(不相关)。当r=正负1时,表示数据负相关,此(x,y)点数据都在SD线上。

    4、r的值越接近正负1说明(x,y)越靠拢SD线,说明数据相关性越强,r的值越接近0说明(x,y)点到SD线的散度越大(越分散),数据相关性越小。

     

     

     

    • 回归方法主要描述一个变量如何依赖于另一个变量。y对应于x的回归线描述了在不同的x值下y的平均值情况,它是这些平均值的光滑形式,如果这些平均值刚好在一条直线上,则这些平均值刚好和回归线重合。通过回归线,我们可以通过x值来预测y值(已知x值下y值的平均值)。下面是y对应于x的回归线方程:

    简单的说,就是当x每增加1个SD,平均而言,相应的y增加r个SD。

    从方程可以看出:

    1、回归线是一条经过点,斜率为的直线。

    2、回归线的斜率比SD线小,当r=1或-1时,回归线和SD线重合。

     

    当用回归线从x预测y时,实际值与预测值之间的差异叫预测误差。而均方根误差就是预测误差的均方根。它度量回归预测的精确程度。y关于x的回归线的均方根误差用下面的公式进行计算:

    由公式可以看出,当r越接近1或-1时,点越聚集在回归线附近,均方根误差越小;反之r越接近0时,点越分散,均方根误差越大。

     

     

     

    • 最小二乘法寻找一条直线来拟合所有的点,使得这条直线到所有的点之间的均方根误差最小。可以看到,当求两个变量之间的关系时,最小二乘法求出的直线实际上就是回归线。只不过表述的侧重点不同:

     

    1、最小二乘法强调求出所有点的最佳拟合直线。

    2、回归线则是在SD线的基础上求出的线,表示了样本中已知变量x的情况下变量y的平均值。

     

    由以上可知,一个散点图可以用五个统计量来描述:

    1、所有点x值的平均数,描述了所有点在x轴上的中心点。

    2、所有点x值的SD,描述了所有点距离x中心点的散度。

    3、所有点y值的平均数,描述了所有点在y轴上的中心点。

    4、所有点y值的SD,描述了所有点距离y中心点的散度。

    5、相关系数r,基于标准单位,描述了所有点x值和y值之间的关系。

     

    相关系数r将平均值、标准差、回归线这几个概念联系起来:

    1、r描述了相对于标准差,沿SD线的群集程度。

    2、r说明了y的平均数如何的依赖于x --- x每增加1个x标准差,平均来说,y将只增加r个y标准差。

    3、r通过均方根误差公式,确定了回归预测的精确度。

     

    注意:以上相关系数、回归线、最小二乘法的计算要在以下两个条件下才能成立:

    1、x、y两组样本数据是线性的,如果不是线性的先要做转换。

    2、被研究的两组样本数据之间的关系必须有意义。

     

    参考:

    https://blog.csdn.net/capecape/article/details/78623897

    https://blog.csdn.net/Raymond_Lu_RL/article/details/6701064

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  •  均方根值也称作为方均根值或有效值,在数据统计分析中,将所有值平方求和,求其均值,再开平方,就得到均方根值。在物理学中,我们常用均方根值来分析噪声。  比如幅度为100V而占空比为0.5的方波信号,如果按...

        方差(Variance)

           方差用于衡量随机变量或一组数据的离散程度,方差在在统计描述和概率分布中有不同的定义和计算公式。①概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度;②统计中的方差(样本方差)是每个样本值与全体样本均值之差的平方值的平均数,代表每个变量与总体均值间的离散程度。

    概率论中计算公式

    离散型随机变量的数学期望:

                                                                                                               ---------求取期望值

    连续型随机变量的数学期望:

                                                                                                        ----------求取期望值

    其中,pi是变量,xi发生的概率,f(x)是概率密度。

                                                         ---------求取方差值

     

    统计学中计算公式

     总体方差,也叫做有偏估计,其实就是我们从初高中就学到的那个标准定义的方差:

                                                                                                  -----------求取总体均值

    其中,n表示这组数据个数,x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值。

                                                        ------------求取总体方差

    其中,\bar{X}为数据的平均数,n为数据的个数,s^{2}为方差。

    样本方差,无偏方差,在实际情况中,总体均值\bar{X}是很难得到的,往往通过抽样来计算,于是有样本方差,计算公式如下

                                                        --------------求取样本方差           

    此处,为什么要将分母由n变成n-1,主要是为了实现无偏估计减小误差,请阅读《为什么样本方差的分母是 n-1》。    

        协方差(Covariance)

          协方差在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况,即当两个变量是相同的情况。协方差表示的是两个变量的总体的误差,这与只表示一个变量误差的方差不同。 如果两个变量的变化趋势一致,也就是说如果其中一个大于自身的期望值,另外一个也大于自身的期望值,那么两个变量之间的协方差就是正值。 如果两个变量的变化趋势相反,即其中一个大于自身的期望值,另外一个却小于自身的期望值,那么两个变量之间的协方差就是负值。

    formula

    formula

    其中,E[X]与E[Y]分别为两个实数随机变量X与Y的数学期望,Cov(X,Y)为X,Y的协方差。

         标准差(Standard Deviation)

           标准差也被称为标准偏差,在中文环境中又常称均方差,是数据偏离均值的平方和平均后的方根,用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度,只是由于方差出现了平方项造成量纲的倍数变化,无法直观反映出偏离程度,于是出现了标准差,标准偏差越小,这些值偏离平均值就越少,反之亦然。

     

                                                                                                   ------------求取样本标准差

    其中,  代表所采用的样本X1,X2,...,Xn的均值。

                                                                                                     -------------求取总体标准差

     其中, 代表总体X的均值。

    例:有一组数字分别是200、50、100、200,求它们的样本标准偏差。

    = (200+50+100+200)/4 = 550/4 = 137.5

    = [(200-137.5)^2+(50-137.5)^2+(100-137.5)^2+(200-137.5)^2]/(4-1)

    样本标准偏差 S = Sqrt(S^2)=75

        均方误差(mean-square error, MSE)

           均方误差是反映估计量与被估计量之间差异程度的一种度量,换句话说,参数估计值与参数真值之差的平方的期望值。MSE可以评价数据的变化程度,MSE的值越小,说明预测模型描述实验数据具有更好的精确度。

        均方根误差(root mean squared error,RMSE)

          均方根误差亦称标准误差,是均方误差的算术平方根。换句话说,是观测值与真值(或模拟值)偏差(而不是观测值与其平均值之间的偏差)的平方与观测次数n比值的平方根,在实际测量中,观测次数n总是有限的,真值只能用最可信赖(最佳)值来代替。标准误差对一组测量中的特大或特小误差反映非常敏感,所以,标准误差能够很好地反映出测量的精密度。这正是标准误差在工程测量中广泛被采用的原因。因此,标准差是用来衡量一组数自身的离散程度,而均方根误差是用来衡量观测值同真值之间的偏差。

        均方根值(root-mean-square,RMES)

           均方根值也称作为方均根值或有效值,在数据统计分析中,将所有值平方求和,求其均值,再开平方,就得到均方根值。在物理学中,我们常用均方根值来分析噪声。

            比如幅度为100V而占空比为0.5的方波信号,如果按平均值计算,它的电压只有50V,而按均方根值计算则有70.71V。这是为什么呢?举一个例子,有一组100伏的电池组,每次供电10分钟之后停10分钟,也就是说占空比为一半。如果这组电池带动的是10Ω电阻,供电的10分钟产生10A 的电流和1000W的功率,停电时电流和功率为零。
    ---------------------
    作者:cqfdcw
    来源:CSDN
    原文:https://blog.csdn.net/cqfdcw/article/details/78173839
    版权声明:本文为博主原创文章,转载请附上博文链接!

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  • 4]) 1.6000000000000001 hmean([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]) 2.6997245179063363 另:四种平均值受样本点中离群值的影响程度也遵循此种顺序,即调和平均受离群值影响最小均方根受离群值影响最大。
  • 算法解析 前言 中位数 众数 平均数 方差(variance) 均值、标准差、标准误差是如何计算的 均值 归一化 标准差 均值的标准误差 标准差\均方差(Standard Deviation) 均方误差 MSE (mean squared error) 均方根误差...
  • 2) 由式(2)可以看出,体积流量、阀门前后压差、密度是必要参数,所有工况下这些参数工艺专业人员要提供。 3) 由第3节可以看出,液体饱和蒸气压和液体临界压力是判断液体介质是否出现阻塞流的必要参数,对于液体...
  • 统计/估计概念(方差、标准差、均方误差、均方根误差、绝对平均误差、协方差等等) 说明: 均值μ=E(X)\mu = E(X)μ=E(X) 样本均值μˉ=1N∑n=1Nxn(N个样本的均值)\bar{\mu} = \frac{1}{N}\sum^N_{n=1}{x_n}(N个...
  • 均方根误差 RMSE(Root Mean Squard Error) 均方根误差是均方误差的算术平方根亦称标准误差, 均方误差是各数据偏离真实值差值的平方和的平均数,也就是误差平方和的平均数,均方根误差才和标准差形式上接近。...
  • 均方根误差在图像的质量评价中相当于一个中间的评价指标,很多后续的评价指标都是沿用均方根误差。均方根误差主要是评价已知图像和退化图像之间误差大小。其实这个指标跟最小二乘的原理多少有些类似,也跟统计知识的...
  • 均方根误差在图像的质量评价中相当于一个中间的评价指标,很多后续的评价指标都是沿用均方根误差。均方根误差主要是评价已知图像和退化图像之间误差大小。其实这个指标跟最小二乘的原理多少有些类似,也跟统计知识的...
  • 本工具可方便地对所测量的数据进行最小二乘法曲线拟合,并给出拟合系数、最小均方根差,同时显示其拟合曲线。该工具也可以存储拟合原始数据和系数。由于本工具较简单,并且本人工作较忙,因而未能制作帮助文件和安装...

空空如也

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最小均方根