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  • 可以与之前的dsp.LMSFilter作为对比,从原理来实现自适应滤波器中的最小均方误差算法(Least Mean Square) 注意:本程序仅兼容2018a以后版本 这个程序有一个地方目前还存在一些问题,就是求取自相关函数R时所用到的...

    可以与之前的dsp.LMSFilter作为对比,从原理来实现自适应滤波器中的最小均方误差算法(Least Mean Square)

    注意:本程序仅兼容2018a以后版本

    这个程序有一个地方目前还存在一些问题,就是求取自相关函数R时所用到的方法,我通过尝试自行编写自相关函数求取方程和matlab自带的corrmtx函数作为对比,发现数值有所不同,应该是matlab自带的corrmtx函数和书本上的求解方式并不相同,所以使用时需要自行判断使用哪种方式。

    clc
    clear
    %%构建信号%%
    N=256;%信号长度
    for j=1:50  %进行50次lms运算
    t=1:N;
    d=sin(0.1*pi*t);
    figure(1)
    plot(t,d);
    axis([0,N,-2,2]);
    %%加噪声%%
    x=awgn(d,20);%awgn 加性高斯白噪声  信噪比20DB
    
    % 一种简单的计算自相关矩阵方法
    % R=x'*x;%计算自相关矩阵
    
    %%直接计算自相关矩阵 设自相关矩阵长度为L自己写
    % L=256;%自相关长度
    % Rxx=zeros(L,L);
    % for m=1:L
    %     for n=1:L
    %         mm=abs(m-n);
    %         temp=0;
    %         for nn=1:N-mm
    %             temp=temp+x(nn)*x(nn+mm);
    %         end
    %         Rxx(m,n)=temp/(N-mm);
    %     end
    % end
    % [V,D]=eig(Rxx);%特征值分解求u
    % ma=max(max(D));
    % u=1/ma;
    
    % 一维实值信号x的自相关矩阵Rxx应为实对称的toeplitz矩阵,
    %而一维实值信号x,y的互相关矩阵Rxy为非对称的toeplitz阵,
    %matlab提供的corrmtx函数产生的并非通常意义下的autocorrelation matrix
    
    m= 255;% dfine the time lag m+1,and m+1<=n
    [rx,r]=corrmtx(x,m);%corrmtx为自相关矩阵
    R=rx'*rx;
    [V,D]=eig(R);%提取自相关矩阵的特征值对角阵D
    maxlamuda=max(D,[],'all');%提取自相关矩阵最大特征值
    u=1/maxlamuda-0.01;%保证LMS算法收敛并保持稳定的条件
    
    %%LMS迭代滤波%%
    T=50;
    k=25;
    p=zeros(T,N-k);%50次 误差矩阵
    e=zeros(1,N);%误差矩阵
    w=zeros(1,k);%滤波器长度系数
    y=zeros(1,N);%滤波输出
    y(1:k)=x(1:k);%假设滤波器前25点为输入值
        for i=(k+1):N%开始迭代更新参数
            Xn=x(i:-1:(i-k+1));%输入
            y(i)=w*Xn';%输出
            e(i)=d(i)-y(i);%误差
            w=w+2*u*e(i)*Xn;%权值更新
        end
        p(j,:)=(e(k+1:N)).^2;%误差信号功率
    end
    for i=1:N-k
        E(i)=sum(p(:,i))/T;%50次误差取平均
    end
    figure(2)
    t=1:N-k;
    plot(t,E);
    
    Copyright © 2020 by RichardYang. All rights reserved.
    仅供参考,严禁转载,感谢。
    

    算法工作模式

    参数

    • 抽头权系数向量w(n)
    • 输入向量x(n)
    • 期望输出d(n)
    • 滤波器输出y(n)
    • 滤波器抽头权更新参数w(n+1)

    流程

    • 滤波:y(n)=ωT(n)x(n)\displaystyle y(n)={{\omega }^{T}}(n)x(n)
    • 误差估计:e(n)=d(n)y(n)\displaystyle e(n)=d(n)-y(n)
    • 抽头权向量更新:ω(n+1)=ω(n)+2μe(n)x(n)\displaystyle \omega (n+1)=\omega (n)+2\mu e(n)x(n)

    注意

    • 为了保证算法的收敛和稳定性必须有:0<μ<1λmax\displaystyle 0<\mu <\frac{1}{{{{\lambda }_{{\max }}}}}
    • λmax\displaystyle {{\lambda }_{{\max }}}为输入自相关矩阵R的最大特征值(公式证明,但实际使用时可能会出现问题,通常不这么求最大步长,但测试可以使用 1

    1. 自适应滤波器原理及Matlab仿真应用(原书第2版) ↩︎

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  • 最小均方算法(LMS)的原理

    万次阅读 多人点赞 2017-07-26 23:03:05
    最小均方算法(Least Mean Square, LMS)是一种简单、应用为广泛的自适应滤波算法, 是在维纳滤波理论上运用速下降法后的优化延伸,早是由 Widrow 和 Hoff 提出来的。 该算法不需要已知输入信号和期望信号的统计特征...

    LMS算法介绍

    最小均方算法(Least Mean Square, LMS)是一种简单、应用为广泛的自适应滤波算法, 是在维纳滤波理论上运用速下降法后的优化延伸,早是由 Widrow 和 Hoff 提出来的。 该算法不需要已知输入信号和期望信号的统计特征,“当前时刻”的权系数是通过“上一 时刻”权系数再加上一个负均方误差梯度的比例项求得。这种算法也被称为 Widrow-Hoff LMS 算法,在自适应滤波器中得到广泛应用, 其具有原理简单、参数少、收敛速度较快而且易于实现等优点。

    1 最小均方误差以及均方误差曲面 

    自适应滤波算法从某种角度也被称为性能表面搜索法,在性能曲面中,它是通过不 断测量一个点是否接近目标值,来寻找优解的。目前,使用为广泛的曲面函数之一 是均方误差(MSE)函数,函数表达式如下:。准则函数设计为求均方误差函数的小值,我们称之为小均方误差准则(MMSE), 维纳滤波器就是基于这个准则推到出来的。公式:,从上式可以看出均方误差与滤波器权向量 是成二次函数关系,引入均方误差曲 面来描述函数的映射关系,对应的权向量w的二次函数就是一个超抛物曲面。

    2  LMS算法基本原理

    根据小均方误差准则以及均方误差曲面,自然的我们会想到沿每一时刻均方误差 的陡下降在权向量面上的投影方向更新,也就是通过目标函数 的反梯度向量来反 复迭代更新。由于均方误差性能曲面只有一个唯一的极小值,只要收敛步长选择恰当, 不管初始权向量在哪,后都可以收敛到误差曲面的小点,或者是在它的一个邻域内。 这种沿目标函数梯度反方向来解决小化问题的方法,我们一般称为速下降法,表达式如下:,基于随机梯度算法的小均方 自适应滤波算法的完整表达式如下: 
                         
                                           
    LMS 自适应算法是一种特殊的梯度估计,不必重复使用数据,也不必对相关矩阵 和互相关矩阵 进行运算,只需要在每次迭代时利用输入向量和期望响应,结构简单, 易于实现。虽然 LMS 收敛速度较慢,但在解决许多实际中的信号处理问题,LMS 算法 是仍然是好的选择。 

    3  LMS算法性能分析

    随机梯度 LMS 算法的性能前人有过大量研究,按照前一章所提到的自适应滤波性能 指标,假设输入信号和期望信号具有联合平稳性,详细讨论基于横向 FIR 结构的滤波器 的标准 LMS 算法的四个性能:一、收敛性;二、收敛速度;三、稳态误差;四、计算复 杂度。 只有在输入信号具有严格稳定的统计特性时,权向量的优解是不变的。否则, 将会随着统计特性的变化而变化。自适应算法则能够通过不断的调整滤波器权向量,使权向量接近优解 。因此,自适应算法在平稳条件下的性能表现可以认为是非平稳条件下的一种特殊情况。如果在平稳条件下,自适应算法能够快 速,平稳的逼近权向量的优值,那么在非平稳条件下,该算法也能很好的逼近时变的 权向量优解。 

    4  影响LMS性能的因素

    经过上节对 LMS 算法的性能分析,可知衡量其性能的指标主要有收敛速度,稳态误 差和计算复杂度等。因此在设计自适应滤波器时就必须考虑自适应滤波算法是否能够具 有快速的收敛速度,较低的稳态误差与计算复杂度,但是这些指标之间常常存在着矛盾 的。例如,收敛速度和稳态误差是成反比,有些改进算法的优异性能也通常相对的增加计算复杂度。因此我们需要在这些参数中寻找一个平衡,大程度的提高算法的性能。影响自适应算法性能参数,主要有步长因子,滤波器阶数和滤波器权系数的初始值。
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  • 文档和程序地址:https://download.csdn.net/download/cuihao1995/15909524 各种均衡算法在MIMO中的应用对比试验,内附原理推导,对比实验说明和结果等。包括MMSE,ZF,ZF-SIC等。代码附有原理推导小论文。仅供参考 ...

    文档和程序地址:https://download.csdn.net/download/cuihao1995/15909524

    各种均衡算法在MIMO中的应用对比试验,内附原理推导,对比实验说明和结果等。包括MMSE,ZF,ZF-SIC等。代码附有原理推导小论文。仅供参考

    邮箱:hqucuihao@163.com

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  • 首先从可行性的角度想到的是均方误差函数是光滑函数,能够采用梯度下降算法进行优化。但这似乎不是一个好的解释。而从概率统计的角度来理解,其背后的最终支撑是最小二乘估计假设误差是服从高斯分布的,为什么这...

    提到均方误差,可能最开始想到的就是求解回归问题的一种损失函数。而最早接触均方误差的时候可能在学习最小二乘法的时候。最小二乘法它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。那么其背后的原理是什么呢?

    首先从可行性的角度想到的是均方误差函数是光滑函数,能够采用梯度下降算法进行优化。但这似乎不是一个好的解释。而从概率统计的角度来理解,其背后的最终支撑是最小二乘估计假设误差是服从高斯分布的,为什么这样说呢。

    以线性回归为例,一般来讲假设预测结果与真实值有误差,那么预测结果和真实的应该满足

    一般来说,误差满足均值为0的高斯分布,即正态分布,于是在给定条件下样本点 x 来预测回归值 y 的条件概率密度就是:

    这样就估计了一个样本的结果概率,我们期待的是模型能够在全部样本上预测最准,即概率积最大。这个概率积就成为最大似然估计。下面就按照最大似然估计的方式来求解参数,首先写出似然函数如下:

     对上面式子左右取对数后可以得到:

    求对数似然函数的最大值问题,于是问题就可以写成如下形式:

    推导到这里之后问题就变得比较明了,上面的式子不就正是均方误差损失函数吗。这也解释了为什么均方误差会用作回归问题的损失函数.

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最小均方误差算法原理