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  • 计算最小生成树

    千次阅读 2014-10-04 18:23:37
    一,什么是最小生成树    1,什么是生成树 如果连通图G的一个子图是一棵包含G所有顶点的树,则该子图成为G的生成树。 生成树是含有该连通图全部顶点的一个极小连通子图,它并不是唯一的,从不同的顶点出发可以...

    一,什么是最小生成树

     


      1,什么是生成树


    如果连通图G的一个子图是一棵包含G所有顶点的树,则该子图成为G的生成树。

    生成树是含有该连通图全部顶点的一个极小连通子图,它并不是唯一的,从不同的顶点出发可以得到不同的子树。含有N个顶点的连通图的生成树有N-1条边。

     

    2,如何求一个连通图的生成树

     

    要求一个连通图的生成树只需要从一个顶点出发,做一次深度优先或广度优先的搜索,将所经过的N个顶点和N-1条边连接起来,就形成了一个极小连通子图,也就是一棵生成树。

     

    3,最小生成树

     

    对一个带权的图,在一棵生成树中,各条边的权值之和为这棵生成树的代价,其中代价最小的生成树成为最小生成树。



    二,计算最小生成树的两种算法


     


    1Prim算法

     

    假设G=V,E)是一个带权图,生成的最小生成树为MinT=(V,T),其中V为顶点的集合,T为边的集合。

     

    算法描述:

    1,初始化:U={u0},T={}.

    其中U为一个新设置的顶点的集合,初始U中只含有顶点u0,这里假设在构造最小生成树时,从顶点u0出发;

     

    2,对所有的uU, vV-U)的边中,找一条权最小的边(u',v',将这条边加入到集合T中,将顶点v'加入到集合U中;

     

     

    3,如果U=V,则算法结束;否则重复2,3步;






     
























    最后,找到V3和包围圈内的最小的边:









    2Kruskal算法

     

     

    算法描述:

    1,设G=V,E),令最小生成树初始状态为只有n个顶点而无边的,非连通图T=V,{}),每个顶点自成一个连通分量;

    2,在E中选取代价最小的边,若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上,则将此边加入到T中,否则,舍去此边,选取下一条代价最小的边。

    3,依此类推,重复2,直至T中所有顶点都在同一连通分量上。













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  • 最小生成树问题

    千次阅读 2016-05-26 09:02:58
    问题描述:给定一个地区的n个城市间的距离网,用Prim算法或Kruskal算法建立最小生成树,并计算得到的最小生成树的代价。(4) 要求: 1)城市间的距离网采用邻接矩阵表示,邻接矩阵的存储结构定义采用课本中给出的定义,若...

    1.  构造可以使n个城市连接的最小生成树。问题描述:给定一个地区的n个城市间的距离网,用Prim算法或Kruskal算法建立最小生成树,并计算得到的最小生成树的代价。(4)

    要求:

    1)城市间的距离网采用邻接矩阵表示,邻接矩阵的存储结构定义采用课本中给出的定义,若两个城市之间不存在道路,则将相应边的权值设为自己定义的无穷大值.要求在屏幕上显示得到的最小生成树中包括了哪些城市间的道路,并显示得到的最小生成树的代价。

    2)表示城市间距离网的邻接矩阵(要求至少6个城市,10条边);

    3)最小生成树中包括的边及其权值,并显示得到的最小生成树的代价。

      #include <stdio.h>
      #include <string.h>
      #include <stdlib.h>
      #define  max 20
      #define  MAX_LNT 10
      typedef struct node /*构造一个结构体,两个城市可以看成起点和终点,之间的道路可以看成一个边*/
      {
    	int str; /*起点*/
    	int end; /*终点*/
    	int dis;/*距离*/
      }node;
    
     node p[max],temp;		/*p记录城市信息*/
    
      int pre[100],rank[100];/*用于判断是否构成回路*/
      int n=0,arcs[MAX_LNT][MAX_LNT];/*n表示城市个数,arcs[][]记录城市间权值*/
    
      int menu(  )    /*菜单函数*/
      {	
    	int m;
    	printf("...................................................\n\n");
    	printf("                           求最小生成树\n");
    	printf("                  ________________________________\n\n");
    	printf("                    1 输入城市之间的信息\n");
    	printf("                    2 判断是否能构成一个最小生成树\n");
    	printf("                    3 遍历所有城市生成最小生成树\n");
    	printf("                    4 退出\n");
    	printf("                  ________________________________\n\n");
    	printf("                        请输入所选功能1-4\n");
    	scanf("%d",&m);
    	return m;
      }
    /*下面三个函数作用是检验当一条边添加进去,是否会产生回路*/
      void set(int x)/*初始化*/
      {
    	pre[x] = x;
    	rank[x] = 0;
      }
    int find(int x)/*找到这个点的祖先*/
       {
    	if(x != pre[x])
        pre[x] = find(pre[x]);
    	return pre[x];
       }
    
    void Union(int x,int y)/*将这两个添加到一个集合里去*/
       {
    	x = find(x);
    	y = find(y);
    	if(rank[x]  >= rank[y])
    	{
    	 pre[y] = x;
    	 rank[x] ++;
        }
    	else   pre[y] = x;
    	 
       }
    void Kruskal(   ) //克鲁斯卡尔
    	{
    		int ans = 0,i,j,k = 0;		/*ans用来记录生成最小树的权总值*/
    		int index;
    		int count = 0;				/*记录打印边的条数*/
    		for(i = 1;i <= n;i ++)      /*初始化数组pre[x],rank[x]*/
    			set(i);
    		for(i = 1;i <= n;i ++)
    		{
    			for(j = i + 1;j <= n;j ++)
    			{
    				p[++k].str = i;
    				p[k].end = j;
    				p[k].dis = arcs[i][j]; /*先把所有城市之间的路段看成一个边*/
    			}
    		}
    		for(i=1;i<=k;i++)			/*把所有的边按从小到大进行排序*/
    		{
    			index=i;
    			for(j=i+1;j<=k;j++) 
    				if(p[j].dis <p[index].dis)  
    					index=j;
    			temp=p[index];
    			p[index]=p[i];
    			p[i]=temp;
    		}
    		for(i = 1;i <= k;i ++)
    		{
    			if(find(p[i].str) != find(p[i].end))/*如果这两点连接在一起不构成一个回路,则执行下面操作*/
    			 {
    				printf("\t第%d条路段为:%d--%d,权值为%d\n",++ count,p[i].str,p[i].end,p[i].dis);/*将这条边的起点、终点打印出来*/
    				ans += p[i].dis;		/*说明这条路段要用*/
    				Union(p[i].str,p[i].end);
    			 }
    		}
    		printf("\t遍历所有城市得到最小生成树的代价为: %d\n\n",ans);
    	}
    
    void create(  )				/*输入城市信息*/
    	{
    	    int i,j;
    		printf("请输入城市的个数:\n");
    		scanf("%d",&n); 
    		printf("输入%d个城市的邻接矩阵:\n",n);
    		for(i = 1;i <= n;i ++)
    		{
    		for(j = 1;j <= n;j ++)
    		scanf("%d",&arcs[i][j]);
    		}
    	}
    void display(  )				/*显示生成的最小生成树*/
    	{
    	
    	if(n == 0)
    	{
    		printf("这里没有城市之间的信息\n");
    		return;
    	}
    	 printf("遍历所有城市得到最小生成树为:\n\n\n");
    	 Kruskal(  );
    	}
    
    
    void judge(  )/*判断是否能够生成最小生成树*/
    	{
    	 int close[100],low[100],i,j,ans = 0;/*close[j]表示离j最近的顶点,low[j]表示离j最短的距离*/
    	 int use[100];
    	 use[1] = 1;
    	 for(i = 2;i <= n;i ++)
    	 {
          low[i] = arcs[1][i]; /*初始化*/
          close[i] = 1;
          use[i] = 0;                                       
    	 }
    	 for(i = 1;i < n;i ++)
    	 {
    	  int min = 100000000,k = 0;
    	  for(j = 2;j <= n;j ++)
    		{
    		 if(use[j] == 0 && min > low[j])/*找到最小的low[]值,并记录*/
    			{
    				min = low[j];
    				k = j;
    			}
    		}
    	  for(j = 2;j <= n;j ++)
    	  {
    		if(use[j] == 0 && low[j] > arcs[k][j])
    		{
    		low[j] = arcs[k][j]; /*修改low[]值和close[]值*/
    		 close[j] = k;
    	    }
          }
    	    ans += arcs[close[k]][k];
    	 }
    	 if(ans >= 100000000)	 printf("不能构成最小生成树\n");
         else					 printf("能构成最小生成树\n");
    	}
    
    
    int main(  )        /*主函数*/
    {
     while(1)
     {
       switch(  menu(  ) )
       {
       case 1:create( );break;/*输入城市信息*/
       case 2:judge( );break;/*判断是否能够生成最小生成树*/
       case 3:display( );break;   /*显示生成的最小生成树*/                                                  
       case 4:exit( 0 );  
       }
     }
     return 0;
    }
    
    
    
    
    
    


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  • 算法作用计算最小生成树 生成树: 将一个图的顶点不变, 通过去除一些边, 使它成为一棵树 最小生成树: 所有生成树中的边和最小的生成树 比如下面图1的最小生成树是图2 图1 图2时间复杂度O(ElogE)E是边数...

    算法作用

    计算最小生成树
    生成树: 将一个图的顶点不变, 通过去除一些边, 使它成为一棵树
    最小生成树: 所有生成树中的边权和最小的生成树
    比如下面图1的最小生成树是图2
    这里写图片描述
    图1
    这里写图片描述
    图2

    时间复杂度

    O(ElogE)E是边数

    代码实现

    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    using namespace std;
    
    const int N = 1e5 + 10;
    const int M = 1e5 + 10;
    int pa[N];
    
    struct Edge {
        int from, to, cost;
        bool operator < (const Edge & rhs) const {
            return cost < rhs.cost;
        }
    };
    
    Edge oldEdge[N], newEdge[N];
    
    int find(int x) {
        return x == pa[x] ? x : pa[x] = find(pa[x]);
    }
    
    void readData();
    
    int main() {
        readDate();
        for(int i = 0; i < n; ++i)
            pa[i] = i;
        int cnt = 0;
        sort(oldEdge, olEdge + m);
        for(int i = 0; i < m; ++i) {
            int fx = find(oldEdge[i].from);
            int fy = find(oldEdge[i].to);
            if(fx == fy) continue;
            pa[fx] = fy;
            newEdge[cnt++] = oldEdge[i];
        }
    }

    其中oldEdge是老图, newEdge是新图, n是顶点数, m是边数, pa是用来实现并查集的父亲指向
    代码的主体部分仅两个
    1. sort的排序函数
    2. find的并查集查找函数(包括后面的合并操作)
    其中以前的图以边的方式存储在oldEdge中, 得到的新图的边同样以边的方式存在newEdge中, 如果想用邻接矩阵, 邻接表或者链式前向星等, 转化一下即可

    算法拓展

    某些看似和路径无关的可以转移过来, 看个人灵活性了吧

    算法证明

    算法的基本思想是: 从最小的边开始, 一直找, 不停的合并到新图中, 直到遍历所有边
    证明: 反证法
    设由Kruskal算法生成的T0序列为e1, e2, e3 … ev-1,假设其不是最小生成树。任意最小生成树T定义函数f(T):T0中不存在于T中边在T0的下标。设T1是使f(T)最大的变量,设f(T1)=k,即ek不存在于T1中,T1为树且ek不在T1中,所以由引理1得T1+ek必存在圈C,C上必有e,k ≠ek,e,k不在T0 中。现令T2 = T1 - e,k + ek,则T2也为生成树但由Kruskal算法可知ek是使e1, e2 … ek-1, ek无圈的权值最小的边,e1, e2 … ek-1, e,k是树的子图必无圈故e,k的权值必定小于ek,即T2的总权值不大于T1的权值,因T1是最小生成树,故必T2也是最小生成树,但f(T2)>k与k是f函数最大取值矛盾,故T0是最小生成树。

    代码实现的具体过程及思路

    主要就两个过程
    先sort一下, 然后不断的选最小的边来进行扩展, 知道用完所有的边
    要点无非两个:
    1. sort, 使用stl中的sort即可(用的是归并排序, 时间复杂度是ElogE)
    2. 并查集算法, 这个在我以前写的一篇博客中详细介绍了这种算法, 链接如下
    http://blog.csdn.net/fkjslee/article/details/48809903

    复杂度证明

    第一个复杂度来自sort, stl中的归并排序, 复杂度ElogE, 没什么好解释的
    第二个复杂度来自并查集, 并查集的一次查找的复杂度是反阿克曼函数, 近似等于O(1), 一个会查找E* 2次, 所以复杂度是O(E)
    所以总的复杂度是O(ElogE)

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  • 最小生成树

    2017-05-05 09:49:19
    最小生成树 给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上的总和为最小,这叫最小生成树. 求最小生成树的算法 (1) 克鲁斯卡尔算法 图的存贮结构采用边集数组,且权值相等的边在数组中排列次序...

    最小生成树

    给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树.

    求最小生成树的算法
    (1) 克鲁斯卡尔算法
    图的存贮结构采用边集数组,且权值相等的边在数组中排列次序可以是任意的.该方法对于边相对比较多的不是很实用,浪费时间.
    (2) 普里姆算法
    图的存贮结构采用邻接矩阵.此方法是按各个顶点连通的步骤进行,需要用一个顶点集合,开始为空集,以后将以连通的顶点陆续加入到集合中,全部顶点加入集合后就得到所需的最小生成树 .


    下面来具体讲下:
    克鲁斯卡尔算法
    方法:将图中边按其权值由小到大的次序顺序选取,若选边后不形成回路,则保留作为一条边,若形成回路则除去.依次选够(n-1)条边,即得最小生成树.(n为顶点数)

    第一步:由边集数组选第一条边

    第二步:选第二条边,即权值为2的边

    第三步:选第三条边,即权值为3的边

    第四步:选第四条边,即权值为4的边

    第五步:选第五条边

     


    这也是在网上找到的一个Kruskal构造过程图,贴出来:

    typedef struct          
    {        
        char vertex[VertexNum];                                //顶点表         
        int edges[VertexNum][VertexNum];                       //邻接矩阵,可看做边表         
        int n,e;                                               //图中当前的顶点数和边数         
    }MGraph; 
     
    typedef struct node  
    {  
        int u;                                                 //边的起始顶点   
        int v;                                                 //边的终止顶点   
        int w;                                                 //边的权值   
    }Edge; 
    
    void kruskal(MGraph G)  
    {  
        int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k;  
        int vset[VertexNum];                                    //辅助数组,判定两个顶点是否连通   
        int E[EdgeNum];                                         //存放所有的边   
        k=0;                                                    //E数组的下标从0开始   
        for (i=0;i<G.n;i++)  
        {  
            for (j=0;j<G.n;j++)  
            {  
                if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF)  
                {  
                    E[k].u=i;  
                    E[k].v=j;  
                    E[k].w=G.edges[i][j];  
                    k++;  
                }  
            }  
        }     
        heapsort(E,k,sizeof(E[0]));                            //堆排序,按权值从小到大排列       
        for (i=0;i<G.n;i++)                                    //初始化辅助数组   
        {  
            vset[i]=i;  
        }  
        k=1;                                                   //生成的边数,最后要刚好为总边数   
        j=0;                                                   //E中的下标   
        while (k<G.n)  
        {   
            sn1=vset[E[j].u];  
            sn2=vset[E[j].v];                                  //得到两顶点属于的集合编号   
            if (sn1!=sn2)                                      //不在同一集合编号内的话,把边加入最小生成树   
            {
                printf("%d ---> %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w);       
                k++;  
                for (i=0;i<G.n;i++)  
                {  
                    if (vset[i]==sn2)  
                    {  
                        vset[i]=sn1;  
                    }  
                }             
            }  
            j++;  
        }  
    }  

    普里姆算法
    方法:从指定顶点开始将它加入集合中,然后将集合内的顶点与集合外的顶点所构成的所有边中选取权值最小的一条边作为生成树的边,并将集合外的那个顶点加入到集合中,表示该顶点已连通.再用集合内的顶点与集合外的顶点构成的边中找最小的边,并将相应的顶点加入集合中,如此下去直到全部顶点都加入到集合中,即得最小生成树.
    例在下图中从1点出发求出此图的最小生成树,并按生成树的边的顺序将顶点与权值填入表中.

    ———————>先写出其邻接矩阵

    第一步:从①开始,①进集合,用与集合外所有顶点能构成的边中找最小权值的一条边
    ①——②权6
    ①——③权1 -> 取①——③边
    ①——④权5

     

    第二步:③进集合,①,③与②,④,⑤,⑥构成的最小边为
    ①——④权5
    ③——⑥权4 -> 取③——⑥边

    第三步:⑥进集合,①,③,⑥与②,④,⑤构成的各最小边
    ①——②权6
    ③——②权5
    ⑥——④权2 -> 取⑥——④边

    第四步:④进集合,①,③,⑥,④与②,⑤构成的各最小边
    ①——②权6
    ③——②权5 -> 取③——②边
    ⑥——⑤权6

    第四步:②进集合,①,③,⑥,②,④与⑤构成的各最小边
    ②——⑤权3 -> 取②——⑤边

    这也是在网上找到的Prim构造过程图,贴出来:

    这也是在网上找到的一个Kruskal和Prim构造过程图,贴出来:
     

    #define MAX  100000
    #define VNUM  10+1                                             //这里没有ID为0的点,so id号范围1~10
    
    int edge[VNUM][VNUM]={/*输入的邻接矩阵*/};
    int lowcost[VNUM]={0};                                         //记录Vnew中每个点到V中邻接点的最短边
    int addvnew[VNUM];                                             //标记某点是否加入Vnew
    int adjecent[VNUM]={0};                                        //记录V中与Vnew最邻近的点
    
    
    void prim(int start)
    {
         int sumweight=0;
         int i,j,k=0;
    
         for(i=1;i<VNUM;i++)                                      //顶点是从1开始
         {
            lowcost[i]=edge[start][i];
            addvnew[i]=-1;                                         //将所有点至于Vnew之外,V之内,这里只要对应的为-1,就表示在Vnew之外
         }
    
         addvnew[start]=0;                                        //将起始点start加入Vnew
         adjecent[start]=start;
                                                     
         for(i=1;i<VNUM-1;i++)                                        
         {
            int min=MAX;
            int v=-1;
            for(j=1;j<VNUM;j++)                                      
            {
                if(addvnew[j]!=-1&&lowcost[j]<min)                 //在Vnew之外寻找最短路径
                {
                    min=lowcost[j];
                    v=j;
                }
            }
            if(v!=-1)
            {
                printf("%d %d %d\n",adjecent[v],v,lowcost[v]);
                addvnew[v]=0;                                      //将v加Vnew中
    
                sumweight+=lowcost[v];                             //计算路径长度之和
                for(j=1;j<VNUM;j++)
                {
                    if(addvnew[j]==-1&&edge[v][j]<lowcost[j])      
                    {
                        lowcost[j]=edge[v][j];                     //此时v点加入Vnew 需要更新lowcost
                        adjecent[j]=v;                             
                    }
                }
            }
        }
        printf("the minmum weight is %d",sumweight);
    }




    展开全文
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空空如也

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最小生成树权的计算