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  • 目前已知的一种快速的求素数算法
    2013-05-16 16:11:26
    目前已知的一种最快速的求素数的算法就是 Sieve of Atkin 算法!
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  • 最快素数算法,求100000000以下所有素数0.3秒 , 在10000000以下的数中找到664579个素数,耗时53毫秒
  • 素数的高效算法

    千次阅读 2019-04-20 13:30:34
    素数最简单的判断方法是采用枚举,复杂度为O(n)。(这里不作解释) 这里将介绍下列几点: 1)素数判断,复杂度为O(√n)的原理及代码。 2)素数表的获取。 3)更为高效判断素数的"筛选法"。 (一)素数判断 ...

    素数最简单的判断方法是采用枚举,复杂度为O(n)。(这里不作解释)

    这里将介绍下列几点:
    1)素数判断,复杂度为O(√n)的原理及代码。
    2)素数表的获取。
    3)更为高效判断素数的"筛选法"。

    (一)素数判断
    这里介绍复杂度为O(√n)的原理:
    例:2~n-1中存在n的约数,不妨设为k,即n%k==0,那么由k*(n/k)==0,n/k也是n的一个约数,因此得到了k与n/k中一定满足:一个数小于√n,一个数大于√n。
    这里稍作解释:√n*√n=n,而k*n/k=n,因此一个约数小于√n,一个约数大于√n。
    启示:只需判断n能否被2,3...,|_√n_|中的一个整除即可(其中|_√n_|表示向下取整)。

    在此注意sqrt()函数的用法:
    1)传入的参数应为浮点型。
    2)返回的类型也为浮点型。

    因此:请严格按照标准来书写代码。

    bool isPrime(int n){
    	if(n<=1) return false;
    	int sqr=(int)sqrt(1.0*n);
    	for(int i=2;i<=sqr;i++){
    		if(n%i==0) return false;
    	}
    	return true;
    }

    可能你还有看到其他更为简单的写法如:

    bool isPrime(int n){
    	if(n<=1) return false;
    	for(int i=2;i*i<=n;i++){
    		if(n%i==0) return false;
    	}
    	return true;
    }

    建议新手不要使用此简单的写法,原因:在n接近int类型范围上界时,i*i极有可能越界溢出。(当然n在10^9以内是绝对安全的)
    不过这也是有解决办法的:将i定义为long long类型即可。

     

    (二)获取表
    方法:从1~n枚举,判断每个数是否为素数。
    时间复杂度:一部分O(n),另一部分O(n√n),因此获取表的复杂度为O(n*n√n)。

    #include <stdio.h>
    #include <math.h>
    
    //求100以内素数表 
    bool isPrime(int );
    int prime[101],Num=0;
    void Find_Prime(){
    	for(int i=1;i<101;i++){
    		if(isPrime(i)==true){
    			prime[Num++]=i;
    		}
    	}
    }
    
    //判断n是否为素数 
    bool isPrime(int n){
    	if(n<=1) return false;
    	int sqr=(int)sqrt(1.0*n);
    	for(int i=2;i<=sqr;i++){
    		if(n%i==0) return false;
    	}
    	return true;
    }
    int main(){
    	Find_Prime();
    	for(int i=0;i<Num;i++) {
    		printf("%d ",prime[i]);
    	}
    	return 0;
    } 

     

    (三)筛选法求素数
    原理:把2到n中所有的数都列出来,然后从2开始,先划掉n内所有2的倍数,然后每次从下一个剩下的数(必然是素数)开始,划掉其n内的所有倍数。最后剩下的数,就都是素数。

    具体过程:自己百度。

    int prime[101],Num=0;
    bool p[101]={0};//如何为素数则为false 
    void Find_Prime(){
    	for(int i=2;i<101;i++){
    		if(p[i]==false){
    			prime[Num++]=i;
    			for(int j=i+i;j<101;j=j+i){
    				p[j]=true;
    			}
    		}
    	}
    }

    时间复杂度为O(nloglogn)

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  • 素数最优算法

    2013-08-04 11:35:35
    简单的算法素数~ 免去了繁杂的运算,节约时间
  • 快速素数判断算法

    千次阅读 2019-02-16 15:51:44
    快速素数判断算法素数的一些性质吧C++代码实现与解析 最近在复习之前做的编程练习题,素数判断一直没有掌握,今天看到了一种新的方法,感觉特别好,记下来。(第一次写博客,很开心呀) 思想来源,看不懂我的,欢迎...

    欢迎访问最新博客地址

    最近在复习之前做的编程练习题,素数判断一直没有掌握,今天看到了一种新的方法,感觉特别好,记下来。(第一次写博客,很开心呀)
    思想来源,看不懂我的,欢迎看原作

    素数的一些性质吧

    1. 素数的分布规律
      大于5的素数一定于6的倍数相邻,例如5和7,11和13,17和19等等。
    2. 证明
      令 x ≥ 1,则大于5的自然数可以表示如下:
      …6x-1, 6x, 6x+1, 6x+2, 6x+3, 6x+4, 6x+5,6(x+1)-1…
      可以看到,不在6的倍数的两侧的6x+2, 6x+3, 6x+4,由于上式可表示为2(3x+1), 2(2x+3), 2(3x+2),So 他们一定不是素数,在除去6x本身,显然素数只能出现在6的倍数的两侧,但这只是素数的必要条件可不是充分必要条件,所以在6的倍数的两侧的数也不一定素数。
    3. 孪生素数
      题外话,放个题拿走练练

    C++代码实现与解析

    明确目的: 找到可以整除的数(这很重要)
    实现:

    • 首先对两个较小的素数进行处理
    • 接下来判断这个数是否在6的倍数的两侧,不是的话直接返回0,是的话接着处理
    • 由于一个数N如果可以被另一个数m整除,那m一定小于N的开方,没啥问题。所以我们就取判断的上界为N的开方。为了更快呢,直接取 i 的每次递增6,原因是,假如要判断的数为N,那N一定可以表示为6x-1或6x+1,对于循环中的 i 也可以表示为6的倍数加上或减去个数字,即6m-1,6m,6m+1,6m+2,6m+3,6m+4,如果N能被6m,6m+2,6m+4,整除那N至少是一个偶数,显然第二步已经把偶数排除了,所以不可能成立,而对于6m+3如果成立则N至少是3的倍数,但6x是3的倍数,显然6x+1,6x-1可能被3整除,所以N也不可能被6m+3整除,那现在就只剩下了6m-1,6m+1了,只需判断它俩能否把N整除,如果可以那就存在了一个数可以把N整除,就返回0。反之就不存在了,那就走到了最后就返回1,哈哈大功告成。
    bool isPrime(int num)
    {
        // 两个较小的数另外处理
        if(num == 2 || num == 3)
        {
            return 1;
        }
        // 不在6的倍数的两侧的一定不是素数
        if(num % 6 != 1 && num % 6 != 5)
        {
            return 0;
        }
        int tem = (int)sqrt(num);
        //在6的倍数的两侧的也不一定是素数
        for(int i = 5;i <= tem;i += 6)
        {
            if(num % i == 0 || num % (i + 2) == 0)
            {
                return 0;
            }
        }
        // 排除所有剩余的是素数
        return 1;
    }
    

    人生第一篇博客,如有错误欢迎指正讨论。谢谢我自己,也谢谢大家
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 判断素数最快的方法

    千次阅读 2021-05-25 09:36:53
    判断素数最快的方法 1、普通方法 bool is_prime(int n) { if (n < 2) return false; int i; for (i = 2; i < n; i++) { if (n % i == 0) { return false; } } return true; } 原理是对每个数进行...

    判断素数最快的方法

    1、普通方法

    bool is_prime(int n)
    {
        if (n < 2)
            return false;
        int i;
        for (i = 2; i < n; i++)
        {
            if (n % i == 0)
            {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    

    原理是对每个数进行开方,模运算。
    我们来统计0~100000之间有多少素数,并计算程序运行的时间。

    int main()
    {
        clock_t start, finish;
        double totaltime;
        start = clock();
        int n = 0;
        for (int i = 0; i < 100000; i++)
        {
            if (is_prime(i))
            {
                n++;
            }
        }
        cout << "n = " << n << endl;
        finish = clock();
        totaltime = (double)(finish - start) / CLOCKS_PER_SEC;
        cout << "\n此程序的运行时间为" << totaltime << "秒!" << endl;
        return 0;
    }
    

    运行结果如下:

    n = 9592
    此程序的运行时间为1.244秒!
    

    平时需求不太大,勉勉强强能接受这个速度吧。
    但是范围增加到0~1000000,

    for (int i = 0; i < 1000000; i++)
    
    n = 78498
    此程序的运行时间为102.255秒!
    

    这个时间太长了。如果数据量再大一点,那我岂不是要等到天荒地老?

    2、目前我发现的最快的方法

    n>3时,对一个数字进行模6运算,如果结果是0,2,3,4,那么这个数肯定不是素数。

    这样就节省了2/3的工作量。

    接下来和第一种方法类似,不过是从5开始,步长为6,
    除数i和i+2都是奇数并且都是质数,这又减少了特别多的工作量。

    bool is_prime(int num)
    {
        if (num <= 3)
            return num > 1;
        if (num % 6 != 1 && num % 6 != 5)
            return false;
        int s = sqrt(num);
        for (int i = 5; i <= s; i += 6)
            if (num % i == 0 || num % (i + 2) == 0)
                return false;
        return true;
    }
    

    现在运行一下0~100000的结果:

    for (int i = 0; i < 100000; i++)
    
    a = 9592
    此程序的运行时间为0.005秒!
    

    0.005秒,跟1.244秒比,速度是原来的248.8倍。

    接下来

    for (int i = 0; i < 1000000; i++)
    
    n = 78498
    此程序的运行时间为0.064秒!
    

    0.064秒相比于102.255秒,速度增加1597.7倍!简直是一个天上一个地下。

    接下来再增大范围:

    for (int i = 0; i < 10000000; i++)
    
    n = 664579
    此程序的运行时间为1.43秒!
    
    for (int i = 0; i < 100000000; i++)
    
    n = 5761455
    此程序的运行时间为36.375秒!
    

    行了行了,到此为止。

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