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  • matlab最速下降法
    2021-04-21 18:31:47

    matlab最速下降法

    function x=fsxsteep(f,e,a,b)

    % fsxsteep函数最速下降法

    % x=fsxsteep(f,e,a,b)为输入函数f为函数e为允许误差(a,b)为初始点; % fsx

    x1=a;x2=b;

    Q=fsxhesse(f,x1,x2);

    x0=[x1 x2]';

    fx1=diff(f,'x1'); %对x1求偏导数

    fx2=diff(f,'x2'); %对x2求偏导数

    g=[fx1 fx2]'; %梯度

    g1=subs(g); %把符号变量转为数值

    d=-g1;

    while (abs(norm(g1))>=e)

    t=(-d)'*d/((-d)'*Q*d); %求搜索方向

    x0=x0-t*g1; %搜索到的点

    v=x0;

    a=[1 0]*x0;

    b=[0 1]*x0;

    x1=a;

    x2=b;

    g1=subs(g);

    d=-g1;

    end;

    x=v;

    function x=fsxhesse(f,a,b)

    % fsxhesse函数求函数的hesse矩阵;

    % 本程序仅是简单的求二次函数的hesse矩阵!;

    % x=fsxhesse(f)为输入函数f为二次函数x1,x2为自变量;

    % fsx

    x1=a;x2=b;

    fx=diff(f,'x1'); %求f对x1偏导数

    fy=diff(f,'x2'); %求f对x2偏导数

    fxx=diff(fx,'x1'); %求二阶偏导数对x1再对x1

    fxy=diff(fx,'x2'); %求二阶偏导数对x1再对x2

    fyx=diff(fy,'x1'); %求二阶偏导数对x2再对x1

    fyy=diff(fy,'x2'); %求二阶偏导数对x2再对x2

    fxx=subs(fxx); %将符号变量转化为数值

    fxy=subs(fxy);

    fyx=subs(fyx);

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    MATLAB最速下降法求解函数极小值1.题目2.matlab代码2.1主函数2.2调用函数2.3运行结果3.分析 写在前面:最速下降法求解函数极小值的理论部分已经写在上一篇文章中,这篇文章直接进行具体问题的求解并附上matlab代码。...


    写在前面:最速下降法求解函数极小值的理论部分已经写在上一篇文章中,这篇文章直接进行具体问题的求解并附上matlab代码。

    1.题目

    在这里插入图片描述
    设初始点为[x1 x2]=[-2.5 4.5] ,ε≤0.01,求目标函数的极小值。

    2.matlab代码

    2.1主函数

    syms x1 x2 s; %声明符号变量
    
    f1 =  x1^4 - 2*x1^2*x2 - 2*x1*x2 + x1^2 + 2*x2^2 + 4.5*x1 - 4*x2 + 4;%设定目标函数
    
    k=steepest_descent(f1,x1,x2,s,[-2.5,4.25],10^(-2));  %设定起始点[x1 x2]=[-2.5,4.25]和精度10^(-2)
    
    result_string=sprintf('在 %d 次迭代后求出极小值\n',k);%在迭代多少次之后求出极小值
    disp(result_string);
    

    2.2调用函数

    function   k = steepest_descent(f,x1,x2,s,start_point,thereshold) 
        
        k = 0;%迭代次数赋值初始化
        
        grad_f = [diff(f,x1) diff(f,x2)]; %计算f的梯度
        
        delta = subs(grad_f,[x1,x2],[start_point(1),start_point(2)]);
        %计算起点的梯度
        
        step=1; %设置初始步长为1
        
        current_point = start_point;%起点值赋给当前点
        
        %最速下降法的主循环,判断条件为:梯度的模与所给精度值进行比较
        while norm(delta) > thereshold  
            
            k = k + 1;%迭代次数+1
            
            %一维探索 求最优步长(此时方向已知,步长s为变量)
            x_next = [current_point(1),current_point(2)] - s* delta/norm(delta);% 计算x(k+1)点,其中步长s为变量 
            f_val = subs(f,[x1,x2],[x_next(1),x_next(2)]);% 将x值带入目标函数中
            step = abs(double(solve(diff(f_val,s)))); % 对s求一阶导,并加绝对值符号,得到最优步长的绝对值
            step = step(1);%更新步长
            
            %计算x(k+1)点
            current_point = double([current_point(1),current_point(2)] - step * delta/norm(delta));
            
            %计算x(k+1)点的梯度值
            delta = subs(grad_f,[x1,x2],[current_point(1),current_point(2)]);
            
            %计算函数值
            f_value = double(subs(f,[x1,x2],[current_point(1),current_point(2)]));
            
            %输出迭代计算过程
            result_string=sprintf('k=%d, x1=%.6f, x2=%.6f, step=%.6f f(x1,x2)=%.6f',...
            k,current_point(1),current_point(2),step,f_value);
            disp(result_string);
            
        end
    end
    

    (使用代码时,只需要把主函数中目标函数 ;起始点; 精度,重新设置成你所需要的就可运行。)

    2.3运行结果

    在这里插入图片描述

    3.分析

    将收敛条件由ε≤0.01改为ε≤10^(-6),运行结果如下:
    在这里插入图片描述
    可以看出,利用最速下降法求函数极小值时,在最初几步迭代中函数值下降很快,但当函数值越接近理论极小值时,函数值下降的越慢,同时,越接近理论极小值时,步长也越小,因此最速下降法的收敛速度并不快,这是因为函数在x(k)点处的负梯度方向为其最速下降方向仅仅是针对该点处而言,,一旦离开该点,原先方向就不是最速下降方向了。

    最速下降方向只是针对当前的计算点而言,并非是全局的最速下降方向

    最速下降法优点:对初始点选择要求低,远离极值点时收敛速度快
         缺点:越逼近理论极小值,收敛速度越慢

    展开全文
  • 最速下降和NewtonMatlab实现

    千次阅读 2020-12-21 03:31:17
    本文是关于数值优化算法里最基础的最速下降法(Steepest Descent,SD)还有Newton法的Matlab实现本文参考了高立《数值最优化方法》北京大学出版社马昌凤 《最优化方法及其 Matlab程序设计》电子版似乎应该在写代码之前...

    本文是关于数值优化算法里最基础的最速下降法(Steepest Descent,SD)还有Newton法的Matlab实现

    本文参考了高立《数值最优化方法》北京大学出版社

    马昌凤 《最优化方法及其 Matlab程序设计》电子版

    似乎应该在写代码之前先把理论复习一下,但是由于懒,还是直接复制粘贴写好的代码来得爽

    在讲具体算法之前本应该介绍一下线搜索算法的框架和一些准则的,但是还没有写好,先发这个吧

    Armijo准则+回溯的线搜索方法

    function[alpha,flag]=Armijo(fun,gfun,x,d)% abs:使用Armijo准则回溯进行非精确线搜索

    % input:待搜索函数fun,梯度gfun,初始点x,方向d

    % output:搜索结果alpha

    %设置初始参数

    rho=10e-3;

    alpha=1;beta=0.5;

    m=0;m_max=20;flag=0;

    while (m < m_max )

    flag=(feval(fun,x+alpha*d) <= feval(fun,x)+ rho*alpha*feval(gfun,x)'*d);

    if flag == 1

    break;

    end

    m=m+1;

    alpha=alpha*beta;

    end

    SD法就是沿着下降方向最快的方向搜索的方法

    function [x,val,iter,flag] =SD(fun,gfun,x0)

    %abs:使用最速下降法(steepest descent)求解无约束优化问题

    %input:目标函数f,梯度函数g,初始点x0

    %output:最优解x,最优值y,迭代次数iter,flag表示是否正常终止

    %设置初始参数

    k_max=10000; %最大迭代次数

    rho=0.5;sigma=0.4;flag=0;

    k=0; epsilon=1e-5;xk=x0

    while(k < k_max)

    gk=gfun(xk); %计算梯度

    dk=-gk; %计算搜索方向

    if(norm(dk) < epsilon) flag=1;break; end

    m=0; mk=0;

    [alpha,] = Armijo(fun,gfun,xk,dk)

    xk=xk+alpha*dk;

    k=k+1;

    end

    x=xk;

    val=fun(xk);

    iter=k;

    end

    基本的Newton法

    function [x,val,iter,flag] = Newton(fun,gfun,Hess,x0)

    %abs:使用Newton法求解无约束优化问题

    %input:目标函数fun,梯度函数gfun,黑塞矩阵Hess,初始点x0

    %output:最优解x,最优值val,迭代次数iter

    %设置初始参数

    k_max=5000; %最大迭代次数

    k=0; epsilon=1e-5;

    xk=x0;

    while(k < k_max)

    gk=gfun(xk); %计算梯度

    Gk=Hess(xk);

    dk=-Gk\gk; %计算搜索方向

    if(norm(dk) < epsilon) flag=1; break; end

    xk=xk+dk;

    k=k+1;

    end

    x=xk;

    val=fun(xk);

    iter=k;

    end

    阻尼牛顿法:使用Newton法的方向加上线搜索技术

    function [x,val,iter,flag] = dampNewton(fun,gfun,Hess,x0)

    %abs:使用阻尼Newton法求解无约束优化问题

    %input:目标函数fun,梯度函数gfun,黑塞矩阵Hess,初始点x0

    %output:最优解x,最优值val,迭代次数iter,flag表示是否在最大迭代次数内终止

    %设置初始参数

    k_max=5000; %最大迭代次数

    k=0; epsilon=1e-5;

    xk=x0;

    while(k < k_max)

    gk=gfun(xk); %计算梯度

    Gk=Hess(xk);

    dk=-Gk\gk; %计算搜索方向

    if(norm(dk) < epsilon) flag=1; break; end

    [alpha,] = Armijo(fun,gfun,xk,dk)

    xk=xk+alpha*dk;

    k=k+1;

    end

    x=xk;

    val=fun(xk);

    iter=k;

    end

    下面两种方法都是在上面的算法实现上稍加改进,就不贴代码了(其实我也没写,因为感觉差不多)

    由于Hessian矩阵不一定是正定的,因此可以考虑混合牛顿法:在Hessian矩阵可逆时使用Newton法的方向,在Hessian矩阵不可逆时采取最速下降方向

    另外,若Hessian矩阵不可逆可以考虑加上一个单位矩阵的倍数来修正得到正定矩阵,修正系数可以考虑以几何级数增加来搜索.这就是Levenberg-Marquardt方法.这种思想在设计求解最小二乘问题的同名算法时也用到了.

    下面是一些测试的例子,里面的Rosenbrock是数值最优化里比较常用的检验函数

    %测试Armijio准则

    %[alpha,flag]=Armijo(@Rosenbrock,@DRosenbrock,[-1 1]',[1 -2]')

    %测试SD

    %[x,val,iter,flag] =SD(@Rosenbrock,@DRosenbrock,[-1.2,1]')

    %测试Newton法

    %[x,val,iter,flag] = Newton(@Rosenbrock,@DRosenbrock,@HRosenbrock,[-1.2,1]')

    %测试阻尼Newton法

    % [x,val,iter,flag] = dampNewton(@Rosenbrock,@DRosenbrock,@HRosenbrock,[-1.2,1]')

    按照我上面的参数运行了一下,SD用了大概1w次,Newton法5次,阻尼Newton法大概20次.

    函数里有一些参数会影响到算法的循环次数,可以自己调整

    展开全文
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    matlab实现最速下降法
    定义:沿负梯度方向进行搜索的算法(负梯度方向为最速下降方向)

    算法步骤:

    步0:选取初始点x0,容许误差是e=[0~1],令k=1

    步1:计算目标函数的梯度^{_{gk=\triangledown f(_{xk}))}}.若 ||gk||<=e,即达到误差要求,立即停止计算,并输出xk作为近似最优解。

    步2:取搜索方向为dk=-gk(即负梯度方向)。

    步3:利用线搜索技术确定步长\sigmak(这里采用Armijo准则来求步长) 

    步长为\alphak=\beta^mk       \beta是给定的,所以要求出mk

    Amrijo准则就是

    (1)给定\beta \varepsilon(0~1),\alpha \varepsilon(0,0.5),令m=0

    (2)若不等式

    f(xk+\beta^m*dk)<=f(xk)+\sigma*\beta^m*gk'*dk

    成立,则令mk=m,Xk+1=xk+\beta^m*dk.停止运算,输出mk得到步长

    (3)若不满足上述不等式,则令m=m+1,然后回到第二步。

    步4:确定步长后,令Xk+1=Xk+\sigmak*dk,k=k+1,转步骤1.

    matlab 具体代码如下:

    1.主函数

    clear all
    clc
    %利用grad函数求解 minif(x)=100*(x1^2-x2)^2+(x1-1)^2
    %此时还要建立两个函数,一个目标函数fun,一个梯度gfun
    x0=[-1.2 1]';
    [x,val,k]=grad('fun','gfun',x0);
    disp(['最优解:x = '])
    disp(x)
    disp(['此时: f(x) = ',num2str(val)]) 
    

     2.最速下降法

    function [x,val,k] = grad(fun,gfun,x0)
    %功能:用最速下降法求解无约束问题 minif(x)
    %输入:fun,gfun分别是目标函数和梯度,x0是初始点
    %输出:x,val分别是近似最优值和最优值,k是迭代次数
    maxk=5000; %最大迭代次数
    rho=0.5;
    sigma=0.4;
    k=0;
    e=1e-5; %精度
    while(k<maxk)
        g=feval(gfun,x0); %计算梯度
        d=-g;
        if(norm(d)<e),break;end
        %用Amrijo搜索技术确定步长
        m=0;mk=0;
        while(m<20) %最大迭代次数
           if(feval(fun,x0+rho^m*d)<feval(fun,x0)+sigma*rho^m*g'*d)
               mk=m;
               break;
           else 
               m=m+1;
           end
        end
        x0=x0+d*rho^mk;
        k=k+1;
    end
    x=x0;
    val=feval(fun,x0);
    end

     3.目标函数

    function f= fun(x)
    %目标函数
    f=100*(x(1)^2-x(2))^2+(x(1)-1)^2;
    end

    4.目标函数的梯度

    function  g=gfun(x)
    %目标函数的梯度
    g=[400*x(1)*(x(1)^2-x(2))+2*(x(1)-1),-200*(x(1)^2-x(2))]';
    end

    5.运行结果

     

     

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