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2021-04-21 18:31:47
matlab最速下降法
function x=fsxsteep(f,e,a,b)
% fsxsteep函数最速下降法
% x=fsxsteep(f,e,a,b)为输入函数f为函数e为允许误差(a,b)为初始点; % fsx
x1=a;x2=b;
Q=fsxhesse(f,x1,x2);
x0=[x1 x2]';
fx1=diff(f,'x1'); %对x1求偏导数
fx2=diff(f,'x2'); %对x2求偏导数
g=[fx1 fx2]'; %梯度
g1=subs(g); %把符号变量转为数值
d=-g1;
while (abs(norm(g1))>=e)
t=(-d)'*d/((-d)'*Q*d); %求搜索方向
x0=x0-t*g1; %搜索到的点
v=x0;
a=[1 0]*x0;
b=[0 1]*x0;
x1=a;
x2=b;
g1=subs(g);
d=-g1;
end;
x=v;
function x=fsxhesse(f,a,b)
% fsxhesse函数求函数的hesse矩阵;
% 本程序仅是简单的求二次函数的hesse矩阵!;
% x=fsxhesse(f)为输入函数f为二次函数x1,x2为自变量;
% fsx
x1=a;x2=b;
fx=diff(f,'x1'); %求f对x1偏导数
fy=diff(f,'x2'); %求f对x2偏导数
fxx=diff(fx,'x1'); %求二阶偏导数对x1再对x1
fxy=diff(fx,'x2'); %求二阶偏导数对x1再对x2
fyx=diff(fy,'x1'); %求二阶偏导数对x2再对x1
fyy=diff(fy,'x2'); %求二阶偏导数对x2再对x2
fxx=subs(fxx); %将符号变量转化为数值
fxy=subs(fxy);
fyx=subs(fyx);
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写在前面:最速下降法求解函数极小值的理论部分已经写在上一篇文章中,这篇文章直接进行具体问题的求解并附上matlab代码。1.题目
设初始点为[x1 x2]=[-2.5 4.5] ,ε≤0.01,求目标函数的极小值。2.matlab代码
2.1主函数
syms x1 x2 s; %声明符号变量 f1 = x1^4 - 2*x1^2*x2 - 2*x1*x2 + x1^2 + 2*x2^2 + 4.5*x1 - 4*x2 + 4;%设定目标函数 k=steepest_descent(f1,x1,x2,s,[-2.5,4.25],10^(-2)); %设定起始点[x1 x2]=[-2.5,4.25]和精度10^(-2) result_string=sprintf('在 %d 次迭代后求出极小值\n',k);%在迭代多少次之后求出极小值 disp(result_string);
2.2调用函数
function k = steepest_descent(f,x1,x2,s,start_point,thereshold) k = 0;%迭代次数赋值初始化 grad_f = [diff(f,x1) diff(f,x2)]; %计算f的梯度 delta = subs(grad_f,[x1,x2],[start_point(1),start_point(2)]); %计算起点的梯度 step=1; %设置初始步长为1 current_point = start_point;%起点值赋给当前点 %最速下降法的主循环,判断条件为:梯度的模与所给精度值进行比较 while norm(delta) > thereshold k = k + 1;%迭代次数+1 %一维探索 求最优步长(此时方向已知,步长s为变量) x_next = [current_point(1),current_point(2)] - s* delta/norm(delta);% 计算x(k+1)点,其中步长s为变量 f_val = subs(f,[x1,x2],[x_next(1),x_next(2)]);% 将x值带入目标函数中 step = abs(double(solve(diff(f_val,s)))); % 对s求一阶导,并加绝对值符号,得到最优步长的绝对值 step = step(1);%更新步长 %计算x(k+1)点 current_point = double([current_point(1),current_point(2)] - step * delta/norm(delta)); %计算x(k+1)点的梯度值 delta = subs(grad_f,[x1,x2],[current_point(1),current_point(2)]); %计算函数值 f_value = double(subs(f,[x1,x2],[current_point(1),current_point(2)])); %输出迭代计算过程 result_string=sprintf('k=%d, x1=%.6f, x2=%.6f, step=%.6f f(x1,x2)=%.6f',... k,current_point(1),current_point(2),step,f_value); disp(result_string); end end
(使用代码时,只需要把主函数中目标函数 ;起始点; 精度,重新设置成你所需要的就可运行。)
2.3运行结果
3.分析
将收敛条件由ε≤0.01改为ε≤10^(-6),运行结果如下:
可以看出,利用最速下降法求函数极小值时,在最初几步迭代中函数值下降很快,但当函数值越接近理论极小值时,函数值下降的越慢,同时,越接近理论极小值时,步长也越小,因此最速下降法的收敛速度并不快,这是因为函数在x(k)点处的负梯度方向为其最速下降方向仅仅是针对该点处而言,,一旦离开该点,原先方向就不是最速下降方向了。最速下降方向只是针对当前的计算点而言,并非是全局的最速下降方向
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本文参考了高立《数值最优化方法》北京大学出版社
马昌凤 《最优化方法及其 Matlab程序设计》电子版
似乎应该在写代码之前先把理论复习一下,但是由于懒,还是直接复制粘贴写好的代码来得爽
在讲具体算法之前本应该介绍一下线搜索算法的框架和一些准则的,但是还没有写好,先发这个吧
Armijo准则+回溯的线搜索方法
function[alpha,flag]=Armijo(fun,gfun,x,d)% abs:使用Armijo准则回溯进行非精确线搜索
% input:待搜索函数fun,梯度gfun,初始点x,方向d
% output:搜索结果alpha
%设置初始参数
rho=10e-3;
alpha=1;beta=0.5;
m=0;m_max=20;flag=0;
while (m < m_max )
flag=(feval(fun,x+alpha*d) <= feval(fun,x)+ rho*alpha*feval(gfun,x)'*d);
if flag == 1
break;
end
m=m+1;
alpha=alpha*beta;
end
SD法就是沿着下降方向最快的方向搜索的方法
function [x,val,iter,flag] =SD(fun,gfun,x0)
%abs:使用最速下降法(steepest descent)求解无约束优化问题
%input:目标函数f,梯度函数g,初始点x0
%output:最优解x,最优值y,迭代次数iter,flag表示是否正常终止
%设置初始参数
k_max=10000; %最大迭代次数
rho=0.5;sigma=0.4;flag=0;
k=0; epsilon=1e-5;xk=x0
while(k < k_max)
gk=gfun(xk); %计算梯度
dk=-gk; %计算搜索方向
if(norm(dk) < epsilon) flag=1;break; end
m=0; mk=0;
[alpha,] = Armijo(fun,gfun,xk,dk)
xk=xk+alpha*dk;
k=k+1;
end
x=xk;
val=fun(xk);
iter=k;
end
基本的Newton法
function [x,val,iter,flag] = Newton(fun,gfun,Hess,x0)
%abs:使用Newton法求解无约束优化问题
%input:目标函数fun,梯度函数gfun,黑塞矩阵Hess,初始点x0
%output:最优解x,最优值val,迭代次数iter
%设置初始参数
k_max=5000; %最大迭代次数
k=0; epsilon=1e-5;
xk=x0;
while(k < k_max)
gk=gfun(xk); %计算梯度
Gk=Hess(xk);
dk=-Gk\gk; %计算搜索方向
if(norm(dk) < epsilon) flag=1; break; end
xk=xk+dk;
k=k+1;
end
x=xk;
val=fun(xk);
iter=k;
end
阻尼牛顿法:使用Newton法的方向加上线搜索技术
function [x,val,iter,flag] = dampNewton(fun,gfun,Hess,x0)
%abs:使用阻尼Newton法求解无约束优化问题
%input:目标函数fun,梯度函数gfun,黑塞矩阵Hess,初始点x0
%output:最优解x,最优值val,迭代次数iter,flag表示是否在最大迭代次数内终止
%设置初始参数
k_max=5000; %最大迭代次数
k=0; epsilon=1e-5;
xk=x0;
while(k < k_max)
gk=gfun(xk); %计算梯度
Gk=Hess(xk);
dk=-Gk\gk; %计算搜索方向
if(norm(dk) < epsilon) flag=1; break; end
[alpha,] = Armijo(fun,gfun,xk,dk)
xk=xk+alpha*dk;
k=k+1;
end
x=xk;
val=fun(xk);
iter=k;
end
下面两种方法都是在上面的算法实现上稍加改进,就不贴代码了(其实我也没写,因为感觉差不多)
由于Hessian矩阵不一定是正定的,因此可以考虑混合牛顿法:在Hessian矩阵可逆时使用Newton法的方向,在Hessian矩阵不可逆时采取最速下降方向
另外,若Hessian矩阵不可逆可以考虑加上一个单位矩阵的倍数来修正得到正定矩阵,修正系数可以考虑以几何级数增加来搜索.这就是Levenberg-Marquardt方法.这种思想在设计求解最小二乘问题的同名算法时也用到了.
下面是一些测试的例子,里面的Rosenbrock是数值最优化里比较常用的检验函数
%测试Armijio准则
%[alpha,flag]=Armijo(@Rosenbrock,@DRosenbrock,[-1 1]',[1 -2]')
%测试SD
%[x,val,iter,flag] =SD(@Rosenbrock,@DRosenbrock,[-1.2,1]')
%测试Newton法
%[x,val,iter,flag] = Newton(@Rosenbrock,@DRosenbrock,@HRosenbrock,[-1.2,1]')
%测试阻尼Newton法
% [x,val,iter,flag] = dampNewton(@Rosenbrock,@DRosenbrock,@HRosenbrock,[-1.2,1]')
按照我上面的参数运行了一下,SD用了大概1w次,Newton法5次,阻尼Newton法大概20次.
函数里有一些参数会影响到算法的循环次数,可以自己调整
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定义:沿负梯度方向进行搜索的算法(负梯度方向为最速下降方向)算法步骤:
步0:选取初始点x0,容许误差是e=[0~1],令k=1
步1:计算目标函数的梯度
.若 ||gk||<=e,即达到误差要求,立即停止计算,并输出xk作为近似最优解。
步2:取搜索方向为dk=-gk(即负梯度方向)。
步3:利用线搜索技术确定步长
k(这里采用Armijo准则来求步长)
步长为
k=
^mk
是给定的,所以要求出mk
Amrijo准则就是
(1)给定
(0~1),
(0,0.5),令m=0
(2)若不等式
f(xk+
^m*dk)<=f(xk)+
*
^m*gk'*dk
成立,则令mk=m,Xk+1=xk+
^m*dk.停止运算,输出mk得到步长
(3)若不满足上述不等式,则令m=m+1,然后回到第二步。
步4:确定步长后,令Xk+1=Xk+
k*dk,k=k+1,转步骤1.
matlab 具体代码如下:
1.主函数
clear all clc %利用grad函数求解 minif(x)=100*(x1^2-x2)^2+(x1-1)^2 %此时还要建立两个函数,一个目标函数fun,一个梯度gfun x0=[-1.2 1]'; [x,val,k]=grad('fun','gfun',x0); disp(['最优解:x = ']) disp(x) disp(['此时: f(x) = ',num2str(val)])
2.最速下降法
function [x,val,k] = grad(fun,gfun,x0) %功能:用最速下降法求解无约束问题 minif(x) %输入:fun,gfun分别是目标函数和梯度,x0是初始点 %输出:x,val分别是近似最优值和最优值,k是迭代次数 maxk=5000; %最大迭代次数 rho=0.5; sigma=0.4; k=0; e=1e-5; %精度 while(k<maxk) g=feval(gfun,x0); %计算梯度 d=-g; if(norm(d)<e),break;end %用Amrijo搜索技术确定步长 m=0;mk=0; while(m<20) %最大迭代次数 if(feval(fun,x0+rho^m*d)<feval(fun,x0)+sigma*rho^m*g'*d) mk=m; break; else m=m+1; end end x0=x0+d*rho^mk; k=k+1; end x=x0; val=feval(fun,x0); end
3.目标函数
function f= fun(x) %目标函数 f=100*(x(1)^2-x(2))^2+(x(1)-1)^2; end
4.目标函数的梯度
function g=gfun(x) %目标函数的梯度 g=[400*x(1)*(x(1)^2-x(2))+2*(x(1)-1),-200*(x(1)^2-x(2))]'; end
5.运行结果
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