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  • 当前实现了十二种算法(包括Levenshtein编辑距离和同级,Jaro-Winkler,最长公共子序列,余弦相似性等)。 查看下面的摘要表以获取完整列表... 下载 使用Maven: <groupId>info.debatty <artifactId>java-...
  • python实现编辑距离 python实现最大公共子序列 python实现最长公共子串
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  • 那么如果X(i)的最后一个字符x(i)等于Y(j)的最后一个字符y(j)的话,那么z(k-1)也必然是X(i-1)和Y(j-1)的最长公共子序列。通过反证法很容易得到这一点。这就体现了最优子结构,问题的最优解包含了子问题...

    1.什么是动态规划

    动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支,是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时,提出了著名的最优化原理(principle of optimality),把多阶段过程转化为一系列单阶段问题,利用各阶段之间的关系,逐个求解,创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著Dynamic Programming,这是该领域的第一本著作。

    2.动态规划的适用范围

    动态规划通常应用于最优化问题。此类问题可能有很多种可行解,但我们需要找出一个符合我们条件的最优解。这类问题通常可通过分解成成子问题而求解。首先动态规划是通过组合子问题的解而解决整个问题的。这在某种程度上和分治有点类似,但分治法是将问题分成独立的子问题,而动态规划适用于子问题不是独立的情况,也就是说各个子问题包含着相同的子子问题。动态规划算法对各个子子问题只求解一次,将结果保存下来,下次遇到的时候即可直接适用而无需重复计算。

    3.动态规划的特征

    (1)最优子结构 

    如果问题的一个解中包含了子问题的最优解,则该问题具有最优子结构。

    (2)重叠子问题

    第二个特征是当分解原问题时我们所得到的子问题必须是相同的,而不是在产生新的子问题,比如分治法在应用的时候不断产生新的子问题。动态规划算法总是充分利用了子问题是相同的这一特征,每个子问题只求解一次,即第一次遇到的时候进行求解,将其保存在一张表中,以后在使用时直接查询获取。

    4.动态规划的两个例子

    (1)最长公共子序列

    问题描述: 一个序列 S ,如果分别是两个或多个已知序列的子序列,且是所有符合此条件序列中最长的,则 S 称为已知序列的最长公共子序列。

    首先我们定义X(i)为字符串X的的前i个字符组成的字串,Y(j)为字符串Y的前j个字符组成的字串,很明显Y(0)为空串。Z(k)为X(i)和Y(j)的最长公共子序列。那么如果X(i)的最后一个字符x(i)等于Y(j)的最后一个字符y(j)的话,那么z(k-1)也必然是X(i-1)和Y(j-1)的最长公共子序列。通过反证法很容易得到这一点。这就体现了最优子结构,问题的最优解包含了子问题的最优解。同时我们也看到有很多子子问题是相同的,需要我们重复解决。
    令c(i)(j)为X(i)和Y(j)的公共子序列长度。
    (a)如果X(i)=Y(j),那么c(i)(j)=c(i-1)(j-1);
    (b)如果X(i)!=Y(j),那么c(i)(j)=max(c(i-1)(j),c(i)(j-1));
    由上面的状态转移方程即可得出,原问题的解即为 c(len1)(len2),len1、len2分别为字符串的长度。

    (2)编辑距离

    问题描述: 编辑距离(Edit Distance),又称Levenshtein距离,是指两个字串之间,由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数。许可的编辑操作包括将一个 字符 替换成另一个字符,插入一个字符,删除一个字符。
    例如将kitten一字转成sitting: sitten (k→s) sittin (e→i) sitting (→g)
    同样的,我们定义c[i][j]为字符串X(i)向字符串Y(j)转换的操作步骤数。
    类似的,我们考虑如果
    (a). X(i)的最后一个字符x(i)==Y(j)的最后一个字符y(j)
    那么c[i][j]=c[i-1][j-1];     
    因为由定义我们知道c[i-1][j-1]是字符串X(i-1)向字符串Y(j-1)的编辑次数,最后一个字符相等的话即x(i)==Y(j),那么最后一个字符无需编辑即完成了字符串X(i)向Y(j)的编辑。
    (b).X(i)的最后一个字符!=Y(j)的最后一个字符y(j)
    这里又要分三种情况
    (1)如果最后一个字符x(i)需要替换成y(j)话,那么 c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
    (2)如果最后一个字符x(i)需要删除的话,那么     c[i][j]=c[i-1][j]+1;   
    因为由定义可知,c[i-1][j]是字符串X(i-1)转换成Y(j)所需的操作次数,那么也就是说在字符串X(i-1)已经成功转换成了Y(j),那么显然最后一个字符x(i)需要删除
    (3)如果需要在最后一个字符x(i)后面添加一个字符即y(j)的话,那么c[i][j]=c[i][j-1]+1;
    因为由定义知道,c[i][j-1]是字符串X(i)转换成Y(j-1)所需的操作次数,想要转换成Y(j)的话,只能增加一步添加字符的操作,即插入字符y(j)
    综上所述,c[i][j]=min(c[i-1][j-1],c[i-1][j],c[i][j-1])+1;

    csdn编程挑战模块有道简易版的编辑距离问题 http://student.csdn.net/mcs/programming_challenges   

    描述如下 :
    传统的编辑距离里面有三种操作,即增、删、改,我们现在要讨论的编辑距离只允许两种操作,即增加一个字符、删除一个字符。我们求两个字符串的这种编辑距离,即把一个字符串变成另外一个字符串的最少操作次数。 输入格式: 多组数据,每组数据两行,每行一个字符串。每个字符串长度不超过1000,只有大写英文字母组成。 输出格式: 每组数据输出一行包含一个整数,表示需要最少操作的次数。
    通过代码如下:
    #include "stdio.h"
    #include "string.h"
    #include "stdlib.h"
    int min(int a,int b)
    {
        return a<b?a:b;
    }
    int c[1030][1030];
    char stra[10130],strb[1030];
    int main(int argc, const char * argv[])
    {
        while(scanf("%s",stra)!=EOF)
        {
            scanf("%s",strb);
            
            int len1=strlen(stra);
            int len2=strlen(strb);
            for (int i=0; i<=len1; i++)
            {
                c[0][i]=i;
            }
            for (int j=0; j<=len2; j++)
            {
                c[j][0]=j;
            }
            for (int i=1; i<=len2;i++ )
                for (int j=1; j<=len1; j++)
                {
                    if (strb[i-1]==stra[j-1])
                    {
                        c[i][j]=c[i-1][j-1];
                    }
                    else
                    {
                        c[i][j]=min(c[i-1][j], c[i][j-1])+1;
                    }
                }
            printf("%d\n",c[len2][len1]);
        }
        return 0;
    }
    


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  • (一)先谈最短编辑距离 问题描述:编辑距离(Edit Distance),又称Levenshtein距离,是指两个字串之间,由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数。许可的编辑操作包括将一个字符替换成另一个字符,插入一个字符,...

    参考:https://blog.csdn.net/u014247371/article/details/26158635

    (一)先谈最短编辑距离

    问题描述:编辑距离(Edit Distance),又称Levenshtein距离,是指两个字串之间,由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数。许可的编辑操作包括将一个字符替换成另一个字符,插入一个字符,删除一个字符。

    例如将kitten一字转成sitting:sitten (k→s)sittin (e→i)sitting (→g)

    同样的,我们定义c[i][j]为字符串X(i)向字符串Y(j)转换的操作步骤数。

    类似的,我们考虑如果

    (a). X(i)的最后一个字符x(i)==Y(j)的最后一个字符y(j)

    那么c[i][j]=c[i-1][j-1];     

    因为由定义我们知道c[i-1][j-1]是字符串X(i-1)向字符串Y(j-1)的编辑次数,最后一个字符相等的话即x(i)==Y(j),那么最后一个字符无需编辑即完成了字符串X(i)向Y(j)的编辑。

    (b).X(i)的最后一个字符!=Y(j)的最后一个字符y(j)

    这里又要分三种情况

    (1)如果最后一个字符x(i)需要替换成y(j)话,那么 c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;

    (2)如果最后一个字符x(i)需要删除的话,那么     c[i][j]=c[i-1][j]+1;   

    因为由定义可知,c[i-1][j]是字符串X(i-1)转换成Y(j)所需的操作次数,那么也就是说在字符串X(i-1)已经成功转换成了Y(j),那么显然最后一个字符x(i)需要删除

    (3)如果需要在最后一个字符x(i)后面添加一个字符即y(j)的话,那么c[i][j]=c[i][j-1]+1;

    因为由定义知道,c[i][j-1]是字符串X(i)转换成Y(j-1)所需的操作次数,想要转换成Y(j)的话,只能增加一步添加字符的操作,即插入字符y(j)

    综上所述:

    (a). X(i)的最后一个字符x(i)==Y(j)的最后一个字符y(j)

    那么c[i][j]=c[i-1][j-1];    

    (b)在X(i)的最后一个字符!=Y(j)的最后一个字符y(j)时候,

    递推关系:c[i][j]=min(c[i-1][j],c[i][j-1])+1;

    边界条件:c[i][0]=i,i=1,2,......n

                      c[0][j]=j,j=1,2,.........m

    csdn编程挑战模块有道简易版的编辑距离问题 http://student.csdn.net/mcs/programming_challenges   

    描述如下 :

    传统的编辑距离里面有三种操作,即增、删、改,我们现在要讨论的编辑距离只允许两种操作,即增加一个字符、删除一个字符。我们求两个字符串的这种编辑距离,即把一个字符串变成另外一个字符串的最少操作次数。 输入格式: 多组数据,每组数据两行,每行一个字符串。每个字符串长度不超过1000,只有大写英文字母组成。 输出格式: 每组数据输出一行包含一个整数,表示需要最少操作的次数。

    通过代码如下:

    #include <cstdio>
    #include <stdlib.h>
    #include <cstring>
    
    int min(int a, int b)
    {
        return a<b ? a : b;
    }
    
    int c[100][100];
    char stra[100]; char strb[100];
    
    int main()
    {
        while (scanf("%s", stra) != EOF)
        {
            scanf("%s", strb);
    
            int lena = strlen(stra); int lenb = strlen(strb);
    
            for (int i = 0; i <=lena; ++i)     //字符数组stra作为表格的列,strb作为表格的行
                c[0][i] = i;                  //注意此处当一个序列是空,另一个不空时,改动次数时非空序列的strlen()
            for (int j = 0; j <= lenb; ++j)
                c[j][0] = j;
    
            for (int i = 1; i <= lenb; ++i)
                for (int j = 1; j <= lena; ++j)
                {
                    if (stra[i-1] == strb[j-1])        //字符再数组中是从0开始的,所以此处是i-1,j-1
                        c[i][j] = c[i - 1][j - 1];
    
                    else
                    {
                        c[i][j] = min(c[i - 1][j], c[i][j - 1])+1;
                    }
                }
    
            printf("%d\n", c[lenb][lena]);
        }
    
        return 0;
    }

    关于本文的scanf用法:https://blog.csdn.net/qq_34793133/article/details/80579587

    再试下这个,一个道理

    #include "stdio.h"  
    #include "string.h"  
    #include "stdlib.h"  

    char stra[1010];
    int main()
    {
    while(scanf("%s", stra)!=EOF)
    printf("%s\n", stra);

    return 0;
    }

    最长公共子序列 https://www.cnblogs.com/en-heng/p/3963803.html

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  • 1.编辑距离 编辑距离,又称Levenshtein距离(也叫做Edit Distance),是指两个字串之间,由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数。许可的编辑操作包括将一个字符替换成另一个字符,插入一个字符,删除一个字符。...

    1.编辑距离

    编辑距离,又称Levenshtein距离(也叫做Edit Distance),是指两个字串之间,由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数。许可的编辑操作包括将一个字符替换成另一个字符,插入一个字符,删除一个字符。俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein在1965年提出这个概念。

    例如将kitten一字转成sitting:

    1. sitten (k→s)
    2. sittin (e→i)
    3. sitting (→g)

    最小编辑距离代码实例

    View Code

    二维数组最后一个元素值就是最小编辑距离,也就是6.

    2.最长公共子序列

    2.1问题定义

    最长公共子序列,英文缩写为LCS(Longest Common Subsequence)。其定义是,一个序列 S ,如果分别是两个或多个已知序列的子序列,且是所有符合此条件序列中最长的,则 S 称为已知序列的最长公共子序列。而最长公共子串(要求连续)和最长公共子序列是不同的,因为最长公共子序列不要求子序列在原有序列中连续出现。

    2.2解题思路

    这种题目使用动态规划解决。为了节约重复求相同子问题的时间,引入一个数组,不管它们是否对最终解有用,把所有子问题的解存于该数组中,这就是动态规划法所采用的基本方法。所以此处引进一个二维数组c[][],用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度,b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的,以决定搜索的方向。

    我们首先进行自底向上的递推计算,那么在计算c[i,j]之前,c[i-1][j-1]c[i-1][j]c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j],就可以计算出c[i][j]。具体思路如下

    if(x[i]==y[j])//如果X[i] 和 Y[j]相等,那么c[i][j]的值可以通过1+c[i-1][j-1]得出。而c[i-1][j-1]已经推算出来。
      c[i][j]=1+c[i-1][j-1]
    else{//如果X[i] 和 Y[j]不相等,那么x[i]和y[j]的最长公共子序列可能是x[i]与y[j-1]的最长公共子序列,也可能是x[i-1]与y[j]的最长公共子序列,我们求其最大值
      c[i][j]=max(c[i][j-1],c[i-1][j])
    }

    我们上面的自底向上推算是在“c[i-1][j-1]c[i-1][j]c[i][j-1]已经计算出来后再求c[i,j]”这个前提下进行的。所以我们构建c[][]这个数组是从头开始的。在创建好c[][]以后我们需要初始化这个二维数组,c[0][0...n]=0,c[0...m][0]=0。这是为了便于计算后面的c[1][1]使用。用于表示x[1]和y[1]的最长公共子序列,但是我们发现字符数组char* x[]跟char* y[]是从下标0开始计算的,所以在这里x[i][j]表示的是x[i-1]和y[j-1]的最长公共子序列。

    最后问题可以用递归式写成:

    2.3最长公共子序列实例

    View Code

    根据上述解题思路给出代码实现

    View Code

    上述代码只给出了最长公共子序列的长度,但是没有输出最长公共子序列,如前所述我们需要通过一个b[][]来记录c[][]是由哪一步得到的。

    1. b[i][j]=0;//表示c[i][j]由c[i-1][j-1]+1得到
    2. b[i][j]=1;//表示c[i][j]由c[i][j-1]得到
    3. b[i][j]=-1;//表示c[i][j]由c[i-1][j]得到

    这样在输出最长子序列的时候,我们从c[][]最后一个位置开始递归遍历。代码实现如下:

    View Code

     3.最长公共子串

    3.1解体思路

    找两个字符串的最长公共子串,这个子串要求在原字符串中是连续的。可以用动态规划来求解。我们采用一个二维矩阵来记录中间的结果。这个二维矩阵怎么构造呢?首先初始化这个二维数组c[][],

    1. 如果x[0..i]=y[0],则c[i][0]=1,否则c[i][0]=0
    2. 如果y[0..j]=x[0],则c[0][j]=1,否则c[0][j]=0

    然后计算c[i][j]的值,如果x[i]==y[j],则c[i][j]=c[i-1][j-1]+1。

    直接举个例子吧:"ABCBDAB"和"BDCABA"(当然我们现在一眼就可以看出来最长公共子串是"AB"或"BD")

    复制代码
       B D C A B A
    A  0 0 0 1 0 1
    B  1 0 0 0 2 0
    C  0 0 1 0 0 0
    B  1 0 0 0 1 0
    D  0 2 0 0 0 0
    A  0 0 0 1 0 1
    B  1 0 0 0 2 0
    复制代码

    3.2代码实现

    View Code

    4.最长递增子序列

    4.1参考文献:

    http://blog.csdn.net/hhygcy/article/details/3950158

    4.2解题思路

    既然已经说到了最长公共子序列,就把这个递增子序列也说了。同样的,这里subsequence表明了这样的子序列不要求是连续的。比如说有子序列{1, 9, 3, 8, 11, 4, 5, 6, 4, 19, 7, 1, 7 },这样一个字符串的的最长递增子序列就是{1,3,4,5,6,7}或者{1,3,4,5,6,19}。

    其实这个问题和前面的最长公共子序列问题还是有一定的关联的。

    1. 假设我们的初始的序列                 S1= {1, 9, 3, 8, 11, 4, 5, 6, 4, 19, 7, 1,    7 }。
    2. 那我们从小到大先排序一下。得到了S1'={1, 1, 3, 4, 4,   5, 6, 7, 7 , 8,  9, 11, 19}。

    这样我们再求S1和S1'的最长公共子序列就是S1的最长递增子序列了。这个过程还是比较直观的。但是这个不是这次要说的重点,这个问题有比较传统的做法的.

    我们定义L(j)是一个优化的子结构,也就是最长递增子序列。那么L(j)和L(1..j-1)的关系可以描述成

    L(j) = max {L(i), i<j && Ai<Aj  } + 1;  也就是说L(j)等于之前所有的L(i)中最大的的L(i)加一。这样的L(i)需要满足的条件就是Ai<Aj。这个推断还是比较容易理解的。就是选择j之前所有的满足小于当前数组的最大值。

    最后求max(L(j))就是最长递增子序列,需要注意的是L[len-1]并不一定是最长递增子序列的长度。

    4.3代码实现

    View Code

    但是上面的 LIS和 LIS2两种实现都没有给出递增子序列本身,只给出了长度。而 LIS3能够输出一个子序列。举例说明其实现方式:

    复制代码
    arry[]={5,2893}
    L[0...i]                                 p[0...i]
    1, 1, 1, 1, 1                             -1, -1, -1, -1, -1
          2, 2                                         0,  0
                2                                              1      
             3                                             2
    复制代码

    如上述所示,我们首先初始化数组L[]和p[],其中L用于记录递增子序列的长度,而p[]用于回溯递增子序列,其中p[j]=i表示arry[i]->arry[j]是一个递增子序列。我们在L[]中能够求出递增子序列的长度max以及递增子序列的末尾元素所在位置k。然后通过k我们回溯数组p,因此这里使用了递归方式打印递增子序列。




    本文转自xwdreamer博客园博客,原文链接:http://www.cnblogs.com/xwdreamer/archive/2011/06/21/2296995.html,如需转载请自行联系原作者


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  • 最大子序列是要找出由数组成的一维数组中和最大的连续子序列。比如{5,-3,4,2}的最大子序列就是 {5,-3,4,2},它的和是8,达到最大;而 {5,-6,4,2}的最大子序列是{4,2},它的和是6。你已经看出来了,找最大子序列的方法...
  • 0 、前言 动态规划就是把一个大的问题拆分成几个类似的子问题,通过求解子问题来获得... 编辑距离 、最长公共子串、最长公共子序列以及最长递增子序列都是采用动态规划方法进行求解的,而且他们之间有相同和不同之处
  • 最大子序列、最长递增子序列、最长公共子串、最长公共子序列、字符串编辑距离 昨天百度二面写代码的时候第一个题就是最长公共子序列问题。。。
  • 最长公共子序列(Longest Common Subsequence,简称 LCS)是一道非常经典的面试题目,因为它的解法是典型的二维动态规划,大部分比较困难的字符串问题都和这个问题一个套路,比如说编辑距离。而且,这个算法稍加改造...
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  • 最长公共子序列 LCS

    2020-12-14 21:59:54
    给定两个字符串 text1 和 text2,返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。 一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串:它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符(也可以不删除任何字符)后...
  • 最长公共子序列(Longest Common Subsequence,简称 LCS)是一道非常经典的面试题目,因为它的解法是典型的二维动态规划,大部分比较困难的字符串问题都和这个问题一个套路,比如说编辑距离。而且,这个算法稍加改造...
  • 1183 编辑距离 基准时间限制:1 秒 空间限制:131072 KB 分值: 0 难度:基础题 编辑距离,又称Levenshtein距离(也叫做Edit Distance),是指两个字串之间,由一个转成另一个所需的最少编辑...
  • 最长公共子序列编辑距离,最长公共串 最长公共子序列编辑距离,最长公共串求文本的相似度与向量夹角求文本的相似度
  • 1. 递归+备忘录的方式写...1.1 只输出最长的值 1.2 使用备忘录 memo = [[0 for j in range(len(s2)+1)] for i in range(len(s1)+1)] def LCS(i, j, s1, s2, memo): if i >= len(s1) or j >= len(s2)...
  • 最长公共子序列(Longest Common Subsequence,简称 LCS)是一道非常经典的面试题目,因为它的解法是典型的二维动态规划,大部分比较困难的字符串问题都和这个问题一个套路,比如说编辑距离。而且,这个算法稍加改造...
  • 经典面试题:最长公共子序列

    千次阅读 2019-08-29 12:15:00
    点击蓝色“五分钟学算法”关注我哟加个“星标”,天天中午 12:15,一起学算法作者 | labuladong来源 | labuladong最长公共子序列(Longest ...
  • 首先子序列是指一个一个序列中,由若个数(字母)组成,然后从中任意删掉几个数(字母),保留剩下的数(字母)构成了一个序列,即称子序列。(或者从一个序列中,任意选取若干数或字符,按照这些数或字符原来的排序...

空空如也

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最长公共子序列编辑距离