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  • Java实现有向图强连通分量的Tarjan算法

    万次阅读 多人点赞 2019-07-26 18:01:13
    有向图的极大连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。 Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时,把当前搜索树中未处理的节点加入一个...

    1 问题描述
    引用自百度百科:

    如果两个顶点可以相互通达,则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。

    Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时,把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈,回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
    定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳),Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。
    当DFN(u)=Low(u)时,以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。

    2 解决方案
    下面代码所使用图:

    在这里插入图片描述

    package com.liuzhen.practice;
    
    import java.util.ArrayList;
    import java.util.Scanner;
    import java.util.Stack;
    
    public class Main {
        public static int MAX = 100;
        public static int count;   //用于对图中顶点遍历的次序进行计数
        public static int n;
        public static int[] DFN = new int[MAX];    //记录图中每个节点的DFS遍历的时间戳(即次序)
        public static int[] Low = new int[MAX];   //记录每个顶点的所在树的根节点编号
        public static boolean[] inStack = new boolean[MAX];  //用于记录当前节点是否在栈中
        public static Stack<Integer> stack;
        
        public void init(int n) {
            count = 0;
            stack = new Stack<Integer>();
            for(int i = 0;i <= n;i++) {
                DFN[i] = -1;   //代表顶点i未被遍历
                Low[i] = -1;
                inStack[i] = false;
            }
        }
        
        static class edge {
            public int a;  //边的起点
            public int b;  //边的终点
            
            edge(int a, int b) {
                this.a = a;
                this.b = b;
            }
        }
        
        public void dfs(ArrayList<edge>[] map, int start) {
            DFN[start] = count++;
            Low[start] = DFN[start];
            stack.push(start);
            inStack[start] = true;
            int j = start;
            for(int i = 0;i < map[start].size();i++) {
                j = map[start].get(i).b;
                if(DFN[j] == -1) {  //顶点j未被遍历
                    dfs(map, j);
                    Low[start] = Math.min(Low[start], Low[j]);
                } else if(inStack[j]) {
                    Low[start] = Math.min(Low[start], DFN[j]);
                }
            }
            if(DFN[start] == Low[start]) {
                System.out.print("强连通分量:");
                 do {
                    j = stack.pop();
                    System.out.print(j+" ");
                    inStack[j] = false;
                } while(start != j);
                System.out.println();
            }
            return;
        }
        
        public static void main(String[] args) {
            Main test = new Main();
            Scanner in = new Scanner(System.in);
            n = in.nextInt();
            test.init(n);
            int k = in.nextInt();  //有向图的边数目
            @SuppressWarnings("unchecked")
            ArrayList<edge>[] map = new ArrayList[n + 1];
            for(int i = 0;i <= n;i++)
                map[i] = new ArrayList<edge>();
            in.nextLine();    
            for(int i = 0;i < k;i++) {
                int a = in.nextInt();
                int b = in.nextInt();
                map[a].add(new edge(a, b));
            }
            test.dfs(map, 1);
        }
    }
    

    运行结果:

    8
    2
    3
    4
    4
    5
    1
    6
    6
    强连通分量:6 
    强连通分量:5 
    强连通分量:3 4 2 1
    
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  • 有向图强连通分量的Tarjan算法 作者:byvoid [有向图强连通分量] 在有向图G中,如果两个顶点间至少存在一条路径,称两个顶点连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都连通,称G是一个...

    有向图强连通分量的Tarjan算法

    • 作者:byvoid

    [有向图强连通分量]

    在有向图G中,如果两个顶点间至少存在一条路径,称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。

    下图中,子图{1,2,3,4}为一个强连通分量,因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

    image

    直接根据定义,用双向遍历取交集的方法求强连通分量,时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法,两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。

    [Tarjan算法]

    Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时,把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈,回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

    定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳),Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出,

    Low(u)=Min
    {
        DFN(u),
        Low(v),(u,v)为树枝边,u为v的父节点
        DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)
    }
    

    当DFN(u)=Low(u)时,以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。

    算法伪代码如下

    tarjan(u)
    {
        DFN[u]=Low[u]=++Index                      // 为节点u设定次序编号和Low初值
        Stack.push(u)                              // 将节点u压入栈中
        for each (u, v) in E                       // 枚举每一条边
            if (v is not visted)               // 如果节点v未被访问过
                tarjan(v)                  // 继续向下找
                Low[u] = min(Low[u], Low[v])
            else if (v in S)                   // 如果节点v还在栈内
                Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
        if (DFN[u] == Low[u])                      // 如果节点u是强连通分量的根
            repeat
                v = S.pop                  // 将v退栈,为该强连通分量中一个顶点
                print v
            until (u== v)
    }
    

    接下来是对算法流程的演示。

    从节点1开始DFS,把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时,DFN[6]=LOW[6],找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止,{6}为一个强连通分量。

    image

    返回节点5,发现DFN[5]=LOW[5],退栈后{5}为一个强连通分量。

    image

    返回节点3,继续搜索到节点4,把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边,节点1还在栈中,所以LOW[4]=1。节点6已经出栈,(4,6)是横叉边,返回3,(3,4)为树枝边,所以LOW[3]=LOW[4]=1。

    image

    继续回到节点1,最后访问节点2。访问边(2,4),4还在栈中,所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后,发现DFN[1]=LOW[1],把栈中节点全部取出,组成一个连通分量{1,3,4,2}。

    image

    至此,算法结束。经过该算法,求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

    可以发现,运行Tarjan算法的过程中,每个顶点都被访问了一次,且只进出了一次堆栈,每条边也只被访问了一次,所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

    求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法,为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法,其时间复杂度也是O(N+M)。与Trajan算法相比,Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS,不用建立逆图,更简洁。在实际的测试中,Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外,该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法,也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法,两者可以类比、组合理解。

    求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法,以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法,在此对Tarjan表示崇高的敬意。

    附:tarjan算法的C++程序

    void tarjan(int i)
    {
        int j;
        DFN[i]=LOW[i]=++Dindex;
        instack[i]=true;
        Stap[++Stop]=i;
        for (edge *e=V[i];e;e=e->next)
        {
            j=e->t;
            if (!DFN[j])
            {
                tarjan(j);
                if (LOW[j]<LOW[i])
                    LOW[i]=LOW[j];
            }
            else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i])
                LOW[i]=DFN[j];
        }
        if (DFN[i]==LOW[i])
        {
            Bcnt++;
            do
            {
                j=Stap[Stop--];
                instack[j]=false;
                Belong[j]=Bcnt;
            }
            while (j!=i);
        }
    }
    void solve()
    {
        int i;
        Stop=Bcnt=Dindex=0;
        memset(DFN,0,sizeof(DFN));
        for (i=1;i<=N;i++)
            if (!DFN[i])
                tarjan(i);
    }
    

    [参考资料]

    转载BYVoid ,转载请注明。

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  • [有向图强连通分量] 在有向图G中,如果两个顶点间至少存在一条路径,称两个顶点连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都连通,称G是一个连通图。非连通图有向图的极大连通子图,称为强连通...

    [有向图强连通分量]

    在有向图G中,如果两个顶点间至少存在一条路径,称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。

    下图中,子图{1,2,3,4}为一个强连通分量,因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

    wps_clip_image-24103

     

    大体来说有3中算法Kosaraju,Trajan,Gabow这三种!后续文章中将相继介绍,首先介绍Tarjan算法

     

    [Tarjan算法]

    Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时,把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈,回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

     

    定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳),Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。

     

    算法伪代码如下

    tarjan(u) 
    {

        DFN[u]=Low[u]=++Index     // 为节点u设定次序编号和Low初值

        Stack.push(u)                     // 将节点u压入栈中

        for each (u, v) in E               // 枚举每一条边

              if (v is not visted)          // 如果节点v未被访问过

                      tarjan(v)              // 继续向下找

                      Low[u] = min(Low[u], Low[v])

                else if (v in S)            // 如果节点v还在栈内

                Low[u] = min(Low[u], DFN[v])

        if (DFN[u] == Low[u])        // 如果节点u是强连通分量的根

           repeat

               v = S.pop                  // 将v退栈,为该强连通分量中一个顶点

               print v

          until (u== v)

    }

     

    接下来是对算法流程的演示。

    从节点1开始DFS,把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时,DFN[6]=LOW[6],找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止,{6}为一个强连通分量。

    wps_clip_image-16442

    返回节点5,发现DFN[5]=LOW[5],退栈后{5}为一个强连通分量。

    wps_clip_image-24939

    返回节点3,继续搜索到节点4,把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边,节点1还在栈中,所以LOW[4]=1。节点6已经出栈,(4,6)是横叉边,返回3,(3,4)为树枝边,所以LOW[3]=LOW[4]=1。

    wps_clip_image-17734

    继续回到节点1,最后访问节点2。访问边(2,4),4还在栈中,所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后,发现DFN[1]=LOW[1],把栈中节点全部取出,组成一个连通分量{1,3,4,2}。

    wps_clip_image-10846

    至此,算法结束。经过该算法,求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

    可以发现,运行Tarjan算法的过程中,每个顶点都被访问了一次,且只进出了一次堆栈,每条边也只被访问了一次,所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

    求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法,为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法,其时间复杂度也是O(N+M)。与Trajan算法相比,Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS,不用建立逆图,更简洁。在实际的测试中,Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外,该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法,也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法,两者可以类比、组合理解。

    求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法,以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法,在此对Tarjan表示崇高的敬意。

     

    #include "cstdlib" 
    #include "cctype" 
    #include "cstring" 
    #include "cstdio" 
    #include "cmath" 
    #include "algorithm" 
    #include "vector" 
    #include "string" 
    #include "iostream" 
    #include "sstream" 
    #include "set" 
    #include "queue" 
    #include "stack" 
    #include "fstream" 
    #include "strstream" 
    using namespace std;

    #define  M 2000              //题目中可能的最大点数       
    int STACK[M],top=0;          //Tarjan 算法中的栈 
    bool InStack[M];             //检查是否在栈中 
    int DFN[M];                  //深度优先搜索访问次序 
    int Low[M];                  //能追溯到的最早的次序 
    int ComponetNumber=0;        //有向图强连通分量个数 
    int Index=0;                 //索引号 
    vector <int> Edge[M];        //邻接表表示 
    vector <int> Component[M];   //获得强连通分量结果

    void Tarjan(int i) 

        int j; 
        DFN[i]=Low[i]=Index++; 
        InStack[i]=true; 
        STACK[++top]=i; 
        for (int e=0;e<Edge[i].size();e++) 
        { 
            j=Edge[i][e]; 
            if (DFN[j]==-1) 
            { 
                Tarjan(j); 
                Low[i]=min(Low[i],Low[j]); 
            } 
            else if (InStack[j]) 
                Low[i]=min(Low[i],DFN[j]); 
        } 
        if (DFN[i]==Low[i]) 
        { 
            cout<<"TT    "<<i<<"   "<<Low[i]<<endl; 
            ComponetNumber++; 
            do 
            { 
                j=STACK[top--]; 
                InStack[j]=false; 
                Component[ComponetNumber].push_back(j); 
            } 
            while (j!=i); 
        } 
    }

    void solve(int N)     //此图中点的个数,注意是0-indexed! 

        memset(STACK,-1,sizeof(STACK)); 
        memset(InStack,0,sizeof(InStack)); 
        memset(DFN,-1,sizeof(DFN)); 
        memset(Low,-1,sizeof(Low)); 
        for(int i=0;i<N;i++) 
            if(DFN[i]==-1) 
                Tarjan(i);    

    /* 
    此算法正常工作的基础是图是0-indexed的。 
    */ 
    int main() 

        Edge[0].push_back(1);Edge[0].push_back(2); 
        Edge[1].push_back(3); 
        Edge[2].push_back(3);Edge[2].push_back(4); 
        Edge[3].push_back(0);Edge[3].push_back(5); 
        Edge[4].push_back(5); 
        int  N=6; 
        solve(N); 
        cout<<"ComponetNumber is "<<ComponetNumber<<endl; 
        for(int i=0;i<N;i++) 
            cout<<Low[i]<<" "; 
        cout<<endl; 
        for(int i=0;i<N;i++) 
        { 
            for(int j=0;j<Component[i].size();j++) 
                cout<<Component[i][j]; 
            cout<<endl; 
        } 
        return 0; 
    }

     

     

    这个程序的运行过程和上图中表述的有些不同,他是先遍历到了1 2 4 6  3 5

     

    Reference : 以上基本上是全文摘抄自

    http://www.byvoid.com/blog/scc-tarjan/

    http://www.notonlysuccess.com/?p=181

    两篇总结都不错。。这里只是做一个回顾。。

    展开全文
  • [有向图强连通分量] 在有向图G中,如果两个顶点间至少存在一条路径,称两个顶点连通(strongly connected)。...非连通图有向图的极大连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。 下图中,子...

    出处https://www.byvoid.com/zhs/blog/scc-tarjan

    [有向图强连通分量]

    在有向图G中,如果两个顶点间至少存在一条路径,称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图,称为强连通分量(strongly connected components)。

    下图中,子图{1,2,3,4}为一个强连通分量,因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。

    image

    直接根据定义,用双向遍历取交集的方法求强连通分量,时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法,两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法。

    [Tarjan算法]

    Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法,每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时,把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈,回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

    定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳),Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出,

    Low(u)=Min
    {
        DFN(u),
        Low(v),(u,v)为树枝边,u为v的父节点
        DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)
    }
    

    当DFN(u)=Low(u)时,以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。

    算法伪代码如下

    tarjan(u)
    {
        DFN[u]=Low[u]=++Index                      // 为节点u设定次序编号和Low初值
        Stack.push(u)                              // 将节点u压入栈中
        for each (u, v) in E                       // 枚举每一条边
            if (v is not visted)               // 如果节点v未被访问过
                tarjan(v)                  // 继续向下找
                Low[u] = min(Low[u], Low[v])
            else if (v in S)                   // 如果节点v还在栈内
                Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
        if (DFN[u] == Low[u])                      // 如果节点u是强连通分量的根
            repeat
                v = S.pop                  // 将v退栈,为该强连通分量中一个顶点
                print v
            until (u== v)
    }
    

    接下来是对算法流程的演示。

    从节点1开始DFS,把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时,DFN[6]=LOW[6],找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止,{6}为一个强连通分量。

    image

    返回节点5,发现DFN[5]=LOW[5],退栈后{5}为一个强连通分量。

    image

    返回节点3,继续搜索到节点4,把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边,节点1还在栈中,所以LOW[4]=1。节点6已经出栈,(4,6)是横叉边,返回3,(3,4)为树枝边,所以LOW[3]=LOW[4]=1。

    image

    继续回到节点1,最后访问节点2。访问边(2,4),4还在栈中,所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后,发现DFN[1]=LOW[1],把栈中节点全部取出,组成一个连通分量{1,3,4,2}。

    image

    至此,算法结束。经过该算法,求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

    可以发现,运行Tarjan算法的过程中,每个顶点都被访问了一次,且只进出了一次堆栈,每条边也只被访问了一次,所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

    求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法,为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法,其时间复杂度也是O(N+M)。与Trajan算法相比,Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS,不用建立逆图,更简洁。在实际的测试中,Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外,该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法,也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法,两者可以类比、组合理解。

    求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法,以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法,在此对Tarjan表示崇高的敬意。

    附:tarjan算法的C++程序(模板代码)

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<cmath>
    #include<algorithm>
    #include<queue>
    #define memset(a,v)  memset(a,v,sizeof(a))
    #define eps 1.0E-8
    using namespace std;
    const int MAXL(5*1e4);
    const int INF(0x3f3f3f3f);
    const int mod(1e9+7);
    typedef long long int LL;
    struct node
    {
        int to,next;
    } edge[MAXL+50];
    int head[MAXL+50];
    int DFN[MAXL+50];//节点u搜索的序号(时间戳)
    int LOW[MAXL+50];//u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的序号(时间戳)
    int Belong[MAXL+50];//n:点的个数;m:边的条数
    int instack[MAXL+50];//标记点是否在栈中
    int stack[MAXL+50];
    int top,Bcnt;//top:栈的顶点标记 Bcnt:强连通分量的个数
    int index;//序号(时间戳)
    int cnt=0;
    int n,m;
    void addedge(int u,int v)
    {
        edge[cnt].to=v;
        edge[cnt].next=head[u];
        head[u]=cnt++;
    }
    void Tarjan(int u)
    {
        DFN[u]=LOW[u]=++index;
        instack[u]=true;
        stack[++top]=u;
        for(int i=head[u]; ~i; i=edge[i].next)
        {
            int v=edge[i].to;
            if( !DFN[v] )
            {
                Tarjan(v);
                LOW[u]=min(LOW[u],LOW[v]);
            }
            else if( instack[v] && DFN[v]<DFN[u])
                LOW[u]=DFN[v];
        }
        if( DFN[u]==LOW[u])
        {
            int temp;
            Bcnt++;
            do
            {
                temp=stack[top--];
                instack[temp]=false;
                Belong[temp]=Bcnt;
            }
            while(temp!=u);
        }
    
    }
    void solve()
    {
        for(int i=1; i<=n; i++)
            if(!DFN[i])
                Tarjan(i);
    }
    void init()
    {
        cnt=top=Bcnt=index=0;;
        memset(head,-1);
        memset(DFN,0);
        memset(LOW,0);
    }
    int main()
    {
        while(~scanf("%d%d",&n,&m))
        {
            init();
            for(int i=1; i<=m; i++)
            {
                int x,y;
                scanf("%d%d",&x,&y);
                addedge(x,y);
            }
            solve();
            for(int i=1; i<=n; i++)
                cout<<Belong[i]<<endl;
        }
    }
    

     

    下面就来做道缩点的题叭。

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有向图的强连通分量一定有环