378. 有序矩阵中第 K 小的元素

给你一个 n x n 矩阵 matrix ，其中每行和每列元素均按升序排序，找到矩阵中第 k 小的元素。
请注意，它是 排序后 的第 k 小元素，而不是第 k 个 不同 的元素。

你必须找到一个内存复杂度优于 O(n2) 的解决方案。

示例 1：

输入：matrix = [[1,5,9],[10,11,13],[12,13,15]], k = 8
输出：13 解释：矩阵中的元素为
[1,5,9,10,11,12,13,13,15]，第 8 小元素是 13

示例 2：

输入：matrix = [[-5]], k = 1 输出：-5

提示：

n == matrix.length n == matrix[i].length 1 <= n <= 300
-109 <= matrix[i][j] <= 109 题目数据 保证 matrix 中的所有行和列都按 非递减顺序 排列 1 <= k <= n2

进阶：

你能否用一个恒定的内存(即 O(1) 内存复杂度)来解决这个问题? 你能在 O(n)
的时间复杂度下解决这个问题吗?这个方法对于面试来说可能太超前了，但是你会发现阅读这篇文章（ this paper ）很有趣。

分析
1，根据矩阵元素值范围二分，left=1 , right=16 , mid=8,可以发现大于8的全都在右下角，小于8的在左上角，因此可以统计左右两侧个数二分。
2，如果小于8个数nums<=k,则right=mid，否则，left=mid+1；

code

class Solution {
public:
    bool check(vector<vector<int>>& matrix, int mid,int k,int n){
        int i=n-1;
        int j=0;
        int cnt=0;
        while(i>=0&&j<n){
            if(matrix[i][j]<=mid){
                cnt+=i+1;
                j++;
            }
            else
                i--;
        }
        return cnt>=k;
    }
    int kthSmallest(vector<vector<int>>& matrix, int k) {
        int n=matrix.size();
        int left=matrix[0][0];
        int right=matrix[n-1][n-1];
        while(left<right){
            int mid=(left+right)>>1;
            // 如果check返回值为true，结果应该<=mid,因此这里应该保留mid
            if(check(matrix,mid,k,n)){
                right=mid;
            }
            else{
                left = mid + 1;
            }
        }
        return left;
    }
};

图片来源，题目来源：leetcode378

题目：给定一个 n x n 矩阵，其中每行和每列元素均按升序排序，找到矩阵中第 k 小的元素

归并排序

思路及算法

  由题目给出的性质可知，这个矩阵的每一行均为一个有序数组。问题即转化为从这 n 个有序数组中找第 k 大的数，可以想到利用归并排序的做法，归并到第 k 个数即可停止。

一般归并排序是两个数组归并，而本题是 n 个数组归并，所以需要用小根堆维护，以优化时间复杂度。

public int kthSmallest2(int[][] matrix, int k){

        PriorityQueue<int[]> pq = new PriorityQueue<int[]>(new Comparator<int[]>() {
            @Override
            public int compare(int[] a, int[] b) {
                return a[0] - b[0];
            }
        });
        int n = matrix.length;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            pq.offer(new int[]{matrix[i][0], i, 0});
        }
        //维护最左侧的一列最小值候选人，当有序队列弹出7个最小值，此时队列中的最小值即为所求
        for (int i = 0; i < k - 1; i++) {
            int[] now = pq.poll();
            if (now[2] != n - 1) {
                pq.offer(new int[]{matrix[now[1]][now[2] + 1], now[1], now[2] + 1});
            }
        }
        return pq.poll()[0];
    }

时间复杂度：O(klogn)，归并 k 次，每次堆中插入和弹出的操作时间复杂度均为logn。
空间复杂度：O(n)，堆的大小始终为 n。

其实解决这个问题的关键，在于维护一组“最小值候选人”
在整个矩阵中，每次弹出矩阵中最小的值，第k个被弹出的就是我们需要的数字。

现在我们的目的很明确：每次弹出矩阵中最小的值。你需要保证最小值必然从这组候选人中产生，于是每次只要从候选人中弹出最小的一个即可。

我们来选择第一组候选人，在这里可以选择第一列，因为每一个数字都是其对应行的最小值，全局最小值也必然在其中。然后使用ProrityQueue有序队列来存储这一组候选人，就能保证每次从队列中弹出的都是候选人中的最小值。
例：
  选取以下矩阵，开始的候选人为第一列，然后每次选择候选人中的最小值弹出，然后被弹出的那一行的候选人右移以为记得到该行新的候选人，当某一行的值弹完后将候选人队列中长度减1即可，知道弹出第k-1个值，此时最小值队列的值即为所求第k小的值。

步骤如下图所示：

二分查找

思路及算法

由题目给出的性质可知，这个矩阵内的元素是从左上到右下递增的（假设矩阵左上角为 matrix[0][0]）。以下图为例：

我们知道整个二维数组中 matrix[0][0] 为最小值，matrix[n−1][n−1] 为最大值，现在我们将其分别记作 l 和 r。

可以发现一个性质：任取一个数 mid 满足l≤mid≤r，那么矩阵中不大于 mid 的数，肯定全部分布在矩阵的左上角。

例如下图，取 mid=8：

我们可以看到，矩阵中大于 mid 的数就和不大于 mid 的数分别形成了两个板块，沿着一条锯齿线将这个矩形分开。其中左上角板块的大小即为矩阵中不大于 mid 的数的数量。

我们只要沿着这条锯齿线走一遍即可计算出这两个板块的大小，也自然就统计出了这个矩阵中不大于mid 的数的个数了。

走法演示如下，依然取 mid=8：

可以这样描述走法：

 1、初始位置在 matrix[n−1][0]（即左下角）；
 2、设当前位置为 matrix[i][j]。若 matrix[i][j]≤mid，则将当前所在列的不大于 mid 的数的数量（即 i+1）累加到答案中，并向右移动，否则向上移动；
 3、不断移动直到走出格子为止。

我们发现这样的走法时间复杂度为 O(n)，即我们可以线性计算对于任意一个 mid，矩阵中有多少数不大于它。这满足了二分查找的性质。

不妨假设答案为 x，那么可以知道 l≤x≤r，这样就确定了二分查找的上下界。

每次对于「猜测」的答案 mid，计算矩阵中有多少数不大于mid ：

如果数量不少于 k，那么说明最终答案 x 不大于 mid；
如果数量少于 k，那么说明最终答案 x 大于 mid。
这样我们就可以计算出最终的结果 x 了。

public int kthSmallest3(int[][] matrix, int k){
        int n = matrix.length;
        int left = matrix[0][0];
        int right = matrix[n - 1][n - 1];
        while (left < right) {
            int mid = left + ((right - left) >> 1);
            if (check(matrix, mid, k, n)) {
                right = mid;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return left;
    }
    //判断数量是否大于k
    public boolean check(int[][] matrix, int mid, int k, int n) {
        int i = n - 1;
        int j = 0;
        int num = 0;
        while (i >= 0 && j < n) {
            if (matrix[i][j] <= mid) {
                num += i + 1;
                j++;
            } else {
                i--;
            }
        }
        return num >= k;
    }

时间复杂度：O(nlog(r−l))，二分查找进行次数为 O(log(r−l))，每次操作时间复杂度为 O(n)。
空间复杂度：O(1)。

暴力法：直接排序

public int kthSmallest(int[][] matrix, int k) {

        int rows = matrix.length;
        int columns = matrix[0].length;
        int []sorted = new int[rows*columns];
        int index = 0;
        for (int[] row : matrix) {
            for (int num : row) {
                sorted[index++] = num;
            }
        }
        Arrays.sort(sorted);
        return sorted[k-1];
    }

时间复杂度：O(n^2logn)，对 n^2个数排序。
空间复杂度：O(n^2)，一维数组需要存储这 n^2个数。

暴力法容易理解，就是直接先把二维数组转换为一维数组，然后对该一维数组排序（调用Arrays.sort()函数即可），然后排序后数组中下标为k-1的值即为所求，但是这种方法没有用到有序数组的性质，而且新产生了一个n*n的一维数组，所以时间和空间复杂度都很高。

其它方法自行查看Leetcode官方题解。
参考：
Leetcode题解1
Leecode官方题解

378. 有序矩阵中第K小的元素

题目来源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/kth-smallest-element-in-a-sorted-matrix

题目

给定一个 n x n 矩阵，其中每行和每列元素均按升序排序，找到矩阵中第 k 小的元素。
请注意，它是排序后的第 k 小元素，而不是第 k 个不同的元素。

示例：

matrix = [
   [ 1,  5,  9],
   [10, 11, 13],
   [12, 13, 15]
],
k = 8,

返回 13。

提示：

• 你可以假设 k 的值永远是有效的，1 ≤ k ≤ n2 。

解题思路

先审题，题目中给出的是二维数组，而问题需要求得的是二维数组中第 k 小的元素。在这里，最直接的方法就是将二维数组转换为一维数组，对于转换后的一维数组进行升序排序，那么此时的一维数组中的第 k 个元素就是所求的结果。代码大致如下：

# python
def kthSmallest(self, matrix: List[List[int]], k: int) -> int:
    res = []
    for row in matrix:
        for ele in row:
            res.append(ele)
    res.sort()
    return res[k-1]

在这里，代码并没有使用矩阵的特性。而是转换为一维数组进行求解。这个解法的时间复杂度为 O(n^2logn)，即是对 n x n 个数进行排序。

因为上面的解法是将矩阵转换为一维数组，并不是在矩阵的基础上解决问题。下面使用二分查找，来尝试以在矩阵的前提下，对问题进行分析解答。

思路：二分查找

考虑使用二分查找的原因，因为题目中说明，矩阵中，每行每列元素都是升序排序的。

也就是说在题目给定的矩阵当中，元素由左上到右下是递增的，以示例为基础扩充展开分析：

示例：

matrix = [
   [ 1,  5,  9],
   [10, 11, 13],
   [12, 13, 15]
],
k = 8

将上面的示例稍微扩充如下（仅为更方便展示二分查找方法的效果）：

matrix = [
   [ 1,  5,  9, 10, 11],
   [10, 11, 13, 14, 15],
   [12, 13, 15, 16, 17],
   [13, 14, 16, 17, 18],
   [14, 18, 22, 26, 30]
],
k = 8

将上面二维数组转换为下图：

我们假设左上角的元素为 matrix[0][0]，右下角的元素为 matrix[n-1][n-1]，根据题意以及上面的示图可知。matrix[0][0] 是二维数组中的最小值，matrix[n-1][n-1] 是最大值。

我们现在使用二分查找的方法来分析，设 matrix[0][0] 和 matrix[n-1][n-1] 分别为 left 和 right。

现在我们尝试取 mid（left <= mid <= right），可以发现在矩阵当中小于等于 mid 值的元素会分布在矩阵的左上部分，而大于 mid 值的元素则分布在矩阵的右下部分。例如下图所示，此时取 mid 为 15：

在这里大于 mid 和小于等于 mid 的元素分为两部分，沿着红色的分割线将两者分开。此时，我们就可以看到，大于 mid 和小于等于 mid 两者元素的个数分别有多少。

上面红色分割线划分的依据，在这里进行分析：

因为每行每列的元素都是升序排列的，我们前面的分析，元素需要与 mid 进行比较。例如，我们现在要求分布在左边部分的元素，也就是元素值小于等于 mid 的部分。

此时我们可以考虑从左下角开始出发，往右上角去找。这样能够快速收缩范围。具体的流程如下：

• 以左下角为起始点，往右上角开始扩散
• 如果当前位置的元素值小于等于 mid 值时，说明从当前位置开始往上的所有元素都小于等于 mid（因为每列升序排列），记录当前元素个数 count，注意维护更新。
• 此时满足元素值小于等于 mid 值时，向右边移动再次比较。否则，就向上移动，寻找稍小的元素进行比较，直至移动到边界。

在这里，当取 mid 值后进行划分时，按照上面的方法，能够确定小于或等于 k 的个数，那么就会出现以下两种情况：

• 当 count 大于或等于 k 时，那么可以确定要找的答案在 [left, mid] 这边；
• 否则，答案在 [mid+1, right] 这个区间。

那么根据这个思路，循环直至找到答案。

关于二分查找方法执行流程，可看如下简略图示（若不太理解，可手画图帮忙理解）：

具体的代码实现如下。

代码实现

class Solution:
    def kthSmallest(self, matrix: List[List[int]], k: int) -> int:
        def search(mid, n):
            # 从左下角开始往右上角找
            i, j = n-1, 0
            # 统计小于或等于 mid 的元素个数
            count = 0
            while i >= 0 and j < n:
                if matrix[i][j] <= mid:
                    # 当此时元素小于等于 mid
                    # 那么该元素往上的所有元素都会小于或等于 mid
                    count += (i + 1)
                    # 向右移动，继续比较
                    j += 1
                else:
                    # 当此时元素大于 mid 时，说明这个元素不包含在内，往上移动
                    i -= 1
            # count 与 k 值比对，判断所求元素落在哪边
            return count >= k
        
        n = len(matrix)

        left, right = matrix[0][0], matrix[n-1][n-1]

        while left < right:
            mid = left + (right - left) // 2
            if search(mid, n):
                # 当 count 大于等于 k 时，表明答案落在 [left, mid]
                # 否则落在 [mid+1, right]
                right = mid
            else:
                left = mid + 1
        
        return left

实现结果

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