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  • 期望和均方误差
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    2020-12-23 09:09:34

    均方误差准则

    * (2) 怎样决定一个估计量是否比另一个估计 量“好”? (1) 我们希望一个“好的”估计量具有什么 特性? (3) 如何求得合理的估计量? * 这是因为估计量是样本的函数,是个随机变量 . 因此,由不同的观测结果,就会求得不同的参数估计值. 因此一个好的估计,应在多次试验中体现出优良性 .而且尽可能接近待估计参数值的真值,在真值左右摆动尽可能小。 2.1、估计量的优良性准则 在介绍估计量优良性的准则之前,我们必须强调指出: 评价一个估计量的好坏,不能仅仅依据一次试验的结果,而必须由多次试验结果来衡量 . * 常用的几条原则标准是: 1. 无偏性 2. 有效性 3. 相合性 4. 充分性与完备性 * 一、无偏估计 估计量是随机变量,对于不同的样本值会得到不同的估计值 . 我们希望估计值在未知参数真值附近摆动,而它的期望值等于未知参数的真值,这就导致无偏性这个标准 . 设 是未知参数 的估计量, 1. 定义 则称 为 的无偏估计 . 若 则称 为估计量 的偏差 . 若 则称 为 的渐近无偏估计 . 若 * 因为在参数估计问题中, 我们并不知道参数? 的真实取值。自然要求它在参数? 的一切可能取值的范围内都成立 例如:若? 指的是正态总体N(? , ?2)的均值?,则其一切可能取值范围是(-∞,∞)。若? 指的是方差?2,则其一切可能取值范围是(0,∞)。 * 例1:设 X1, X2, …, Xn 为抽自均值为? 的总体X的随机样本,考虑 ? 的如下几个估计量: * * 例2.4 设X1,X2,…,Xn是取自具有一阶矩、二阶矩存在的总体X一个样本,证明 证 * 思考: * 例2 的样本,其中 事实上 设X1,X2,…,Xn是取自总体X: * 但是,此估计量有明显的不合理: 例2 的样本,其中 设X1,X2,…,Xn是取自总体X: * 2. 无偏性的弱点 (3) 无偏估计只反映了估计量在参数真值附近波动。 无偏估计量是对估计量的一个重要而常见的要求 ,实际意义是多次试验后没有系统性的偏差,也是工程技术中完全合理的要求,但不要一味认为估计量不满足无偏原则,就是“不好”的估计量。 例2 总体X 服从指数分布,概率密度为 试证 和 都是θ的无偏估计. 证明: ∴ 是θ的无偏估计. 的概率密度 是θ的无偏估计. * 证 补充例 * * 用估计量 估计?,估计误差 二、均方误差准则 是随机变量,通常用其均值衡量估计误差的大小。 要注意: 为了防止求均值时正、负误差相互抵消,我们先将其平方后再求均值,并称其为均方误差,记成 ,即 * 哪个估计的均方误差小,就称哪个估计比较优,这种判定估计优劣的准则为“均方误差准则”。 注意:均方误差可分解成两部分: 证明: * 上式表明,均方误差由两部分构成:第一部分是估计量的方差,第二部分是估计量的偏差的平方和。 注意:如果一个估计量是无偏的,则第二部分是零,则有: 如果两个估计都是无偏估计,这时哪个估计的方差小,哪个估计就较优。这种判定估计量优劣的准则称为方差准则。 * 例 设 X1, X2, …, Xn 为抽自均值为 ? 的总体,考虑 ? 的如下两个估计的优劣: 我们看到: 显然两个估计都是? 的无偏估计。计算二者的方差: * 从均方误差可知,我们自然希望估计的MSE 越小越好。 对所有的 成立, 估计。 * 因为 倘若这样的估计 存在, 不存在。 平凡估计 (Trivial Estimate) * 由此可见,均方误差一致达到最小的 最优估计并不存在,那么应如何评判和寻找 优良的估计呢?方法之一是对估计提出一些 合理性的要求,将那些诸如不合理的平凡估 计排除在外,然后在满足合理性要求的估计 类中寻找优良的估计。无偏性便是一种常用 的合理性要求。

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    在学习回归问题评价指标时,一会遇到 方差 一会遇到均方误差(Mean Squared Error,MSE),感觉这两长得很像,所以总是搞混,所以进行一下对比:

    公式:

    方差:

    \begin{equation} S^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2} \end{equation}{\color{Golden} }{\color{Golden} }{\color{Green} {\color{Blue} }{\color{Orange} }{\color{Green} }\begin{equation} D(x)=E\left\{\sum[X-E(X)]^{2}\right\} \end{equation}}

    均方误差:

    {\color{Golden} {\color{Golden} }\begin{equation} m s e=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\hat{Y}_{i}\right)^{2} \end{equation}}\begin{equation} M S E(\hat{\theta})=E(\hat{\theta}-\theta)^{2} \end{equation}{\color{Golden} }

    概念:

    方差:各数据偏离平均值(期望) 差值的平方和 的平均数

    均方误差:是各数据偏离真实值    差值的平方和 的平均数;反映估计量与被估计量之间差异程度的一种度量

    区别:方差是平均值,均方误差是真实值。

     

    转换关系:

    \begin{equation} \begin{array}{c} M S E(\hat{\theta})=E\{[\hat{\theta}-E(\hat{\theta})]+[E(\hat{\theta})-\theta]\}^{2} \\ =E[\hat{\theta}-E(\hat{\theta})]^{2}+E[E(\hat{\theta})-\theta]^{2}+2 E\{[\ddot{\theta}-E(\hat{\theta})][E(\hat{\theta})-\theta]\} \\ =D(\hat{\theta})+[E(\hat{\theta})-\theta]^{2} \end{array} \end{equation}{\color{Golden} }

    解释:

         均方误差 由点估计的方差  与偏差  的平方两部分组成。

    如果\begin{equation} \hat{\theta} \end{equation}  是θ的无偏估计,则\begin{equation} \operatorname{MSE}(\hat{\theta})=D(\hat{\theta}) \end{equation}{\color{Golden} } ,此时用均方误差评价点估计与用方差是完全一致的,这也说明了用方差考察无偏估计是合理的。

    当 \begin{equation} \hat{\theta} \end{equation}不是θ的无偏估计,就要看其均方误差 ,即不仅看方差大小,还要看其偏差大小。

     

     

    参考内容:https://baike.baidu.com/item/%E5%9D%87%E6%96%B9%E8%AF%AF%E5%B7%AE/9024810?fr=aladdin

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/83410946

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    在Excel表中,有时需要计算方差,然后根据此图绘制图表,目标值指示偏差程度,然后如何计算方差?

    方差的概念

    方差是每个数据与平均值之间差异的平方和的平均值. 在概率论和数理统计中,方差(英语方差)用于衡量随机变量与其数学期望值(即均值)之间的偏差程度.

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    均方误差的概念

    也称为标准偏差,它是每个数据与平均值的距离的平均值. 它是平方的平方根和与平均值的偏差的平均值. 标准偏差可以反映数据集的分散程度. 如果均值相同,则标准差可能不相同.

    Excel中计算方差和均方误差的公式

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    ①启动Excel2016,首先随机输入一些数据值,然后开始计算方差,在C5单元格中输入公式,Var函数是计算方差的函数.

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    ②然后计算均方误差,这时我们需要使用strev函数,公式如下:

    2e2fe997a37fd6bd4a92eca4a53fab5a.png

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    ③得到结果后,我们发现均方误差实际上是方差的正平方根,因此第二步中的公式也可以这样写: = SQRT(VAR(cell range)). <

    SQRT()函数介绍

    8f5d588097e1fe9b6ab0e370cc4afd0d.png

    用法: 返回给定数字的正平方根.

    语法: SQRT(number),其中number表示用于计算平方根的数字,并且必须为正数.

    示例: 例如,SQRT(9),结果为3.

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    均方误差是指参数估计636f70793231313335323631343130323136353331333431373161值与参数真值之差平方的期望值,记为MSE。MSE是衡量“平均误差”的一种较为方便的方法,MSE可以评价数据的变化程度,MSE的值越小,说明预测模型描述实验数据具有更好的精确度。

    误差平方和又称残差平方和、组内平方和等,根据n个观察值拟合适当的模型后,余下未能拟合部份(ei=yi一y平均)称为残差,其中y平均表示n个观察值的平均值,所有n个残差平方之和称误差平方和。

    在回归分析中通常用SSE表示,其大小用来表明函数拟合的好坏。将残差平方和除以自由度n-p-1(其中p为自变量个数)可以作为误差方差σ2的无偏估计,通常用来检验拟合的模型是否显著。

    扩展资料

    当其他量相等时,无偏估计量比有偏估计量更好一些,但在实践中,并不是所有其他统计量的都相等,于是也经常使用有偏估计量,一般偏差较小。

    当使用一个有偏估计量时,也会估计它的偏差。有偏估计量可能用于以下原因:由于如果不对总体进一步假设,无偏估计量不存在或很难计算(如标准差的无偏估计);由于估计量是中值无偏的,却不是均值无偏的(或反之)。

    由于一个有偏估计量较之无偏估计量(特别是收缩估计量)可以减小一些损失函数(尤其是均方差);或者由于在某些情况下,无偏的条件太强,而这些无偏估计量没有太大用处。

    此外,在非线性变换下均值无偏性不会保留,不过中值无偏性会保留;例如样本方差是总体方差的无偏估计量,但它的平方根标准差则是总体标准差的有偏估计量。

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