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  • 泊松分布期望方差

    万次阅读 多人点赞 2019-05-09 16:24:03
    泊松分布期望方差 .

    泊松分布的期望和方差

    .
    在这里插入图片描述

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  • 泊松分布期望方差推导

    万次阅读 多人点赞 2016-10-30 00:39:33
    泊松分布是一个离散型随机变量分布,其分布律是: ...根据离散型随机变量分布的期望定义,泊松分布期望: E(X)=∑k=0∞k⋅λke−λk! E(X)=\sum_{k=0}^{\infty }k\cdot \frac{\lambda ^{k}e^{-\lambda

    泊松分布是一个离散型随机变量分布,其分布律是:

    P(X=k)=λkeλk!

    根据离散型随机变量分布的期望定义,泊松分布的期望:

    E(X)=k=0kλkeλk!

    因为k=0时:

    kλkeλk!=0

    所以:
    E(X)=k=1kλkeλk!

    做一下变换:
    E(X)=k=1kλkeλk!=k=1λkeλ(k1)!=k=1λk1λeλ(k1)!=λeλk=1λk1(k1)!

    这里需要用到泰勒展开式,我们知道常用的泰勒展开式中:
    ex=1+x+x22!+x33!+...+xnn!+...=k=1xk1(k1)!

    因此,泊松分布的期望为:
    E(X)=λeλk=1λk1(k1)!=λeλeλ=λ

    对于方差 D(X) ,先求出 E(X2) :
    E(X2)=k=0k2λkeλk!=λeλk=1kλk1(k1)!=λeλk=1(k1+1)λk1(k1)!

    =λeλ(m=0mλmm!+m=0λmm!)(m=k1)

    =λeλ(λm=1λm1(m1)!+m=0λmm!)

    =λeλ(λeλ+eλ)=λ(λ+1)

    所以:
    D(X)=E(X2)(E(X))2=λ(λ+1)λ2=λ

    因此,泊松分布的期望和方差为:
    E(X)=λ

    D(X)=λ

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  • 目录 一、期望 1.离散型随机变量的期望 ...3. 泊松分布 4.正态分布 一、期望 期望这个概念,初高中就学过了吧,所以这里就简单说一下定义。 1.离散型随机变量的期望 2.连续型随机变量的期望 3.期望的...

    目录

    一、期望

    1. 离散型随机变量的期望

    2. 连续型随机变量的期望

    3. 期望的性质

    二、方差和均方差

    1. 定义

    2. 计算

    三、常见分布

    1. 均匀分布

    2. 二项分布和几何分布

    3. 泊松分布

    4. 正态分布


    一、期望

    期望这个概念,初高中就学过了吧,所以这里就简单说一下定义。

    1. 离散型随机变量的期望

    \bg_white E(X)=\sum_{k=1}^{n}x_kp_k

    2. 连续型随机变量的期望

    \bg_white E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx

    3. 期望的性质

    • E(cX)=xE(x)
    • E(X+Y)=E(x)+E(Y)
    • X,Y独立时,E(XY)=E(X)E(Y)

    二、方差和均方差

    1. 定义

    方差,主要用于研究随机变量与其均值的偏离程度:

    D(X)=E[X-E(X)]^2

    均方差又称标准差:

    \sigma (X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{E[X-E(X)]^2}

    2. 计算

    设 g(X)=E[X-E(X)]^2,那么,方差,就相当于g(X)的期望。

    因此,对于离散型随机变量,有:

    D(X)=\sum_{k=1}^{n}[x_k-E(X)]^2p_k

    对于连续型随机变量,有:

    D(X)=\int_{-\infty }^{+\infty }[x_k-E(X)]^2f(x)dx

    3. 性质

    • 若c为常数,则D(C)=0
    • 若X是随机变量,C是常数,则有 D(CX)=C^2D(X)D(X+C)=D(X)
    • 若X,Y是连个随机变量,则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y))}
    • 若X,Y相互独立,则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)

    三、常见分布

    1. 均匀分布

    这个太简单了,我都不想说了……

    函数定义

    概率分布图像: 

    这里写图片描述

     关于均匀分布,我们还需要知道:

    • 期望:\bg_white E(x)=\frac{a+b}{2}
    • 方差:\bg_white D(x)=\frac{(b-a)^2}{12}

    2. 二项分布和几何分布

    二项,二项,为啥叫二项分布呢?顾名思义,就是这个随机事件只有两种可能的结果,也就是所谓的“不成功便成仁”,因此,二项分布也被称为0-1分布。

    二项分布必须满足下面4个特点:一是某件事情发生的次数(试验次数)是固定的,一般用n来表示;二是每件事情都有两个可能的结果(成功或失败);三是每一次试验中成功的概率都是相等的,一般用p来表示;四是我们感兴趣的是成功x次的概率问题,也就是在n次试验中x次的结果为成功的概率

    二次分布的公式如下:

    p(x)=C_n^x p^x (1-p)^{n-x}

    关于二次分布,你还要知道:

    • 期望E(x)=np(表示事情发生n次预计成功多少次)
    • 标准差\sigma (x)=\sqrt{np(1-p)}(表示数据的波动大小)

    几何分布和二项分布兼职就是“海尔兄弟”。几何分布也需要满足4个特点,前三个和二次分布完全一样,不同的是,在几何分布问题中,我们感兴趣的是,在第x次试验中取得第一次成功的概率有多大。举个例子,同样是抛硬币,抛5次,二项分布可能关注,5次试验中3次结果为朝上的概率,而几何分布中,我们关注的是“只有第五次正面朝上的概率”,也就是说,前四次均失败但第五次成功的概率。

    几何分布的公式是这个样子的:

    \bg_white p(x)=(1-p)^{x-1}p

    几何分布的期望\bg_white E(x)=\frac{1}{p},标准差\sigma (x)=\frac{1-p}{p^2}

    3. 泊松分布

    泊松分布(Poisson Distribution),一般用于描述在连续时间和空间单位上随机事件的概率,也就是说,我们可以基于已有的经验,预测该随机事件在新的同样长的时间里或同样大的空间中发生N次的概率。比如,机器在一定时间内故障的次数、汽车站台在一定时间内的候车人数、某地区自然灾害发生的次数等等。

    泊松分布需要满足以下三个特点:

    1)在给定区间内(可以是时间或者空间),事件是独立事件

    2)在任意相同的时间范围内,事件发生的次数(概率)相同,一般用\lambda 表示该区间内事件的平均发生次数;

    3)我们关注的是某个区间内,事件发生x次的概率。

    Poisson分布的概率函数为:

    在这里,我们用到了指数函数e^{-\lambda},这里的e是自然对数(ln)的底数,e\approx 2.718281828

    泊松分布的期望\bg_white E(x)=\lambda,方差为\sigma (x)=\lambda

    在二项分布的p很小的时候,泊松分布和二次分布较为接近。

    4. 正态分布

    正态分布(Normal distribution)又名高斯分布(Gaussian distribution),是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。

    正态分布的图像,就是著名的“钟形曲线”,如下图所示:

    正态分布的期望\bg_white E(x)=\mu,方差\bg_white D(x)=\sigma ^2。若随机变量X服从正态分布,记为X\sim N(\mu ,\sigma ^2)。正态分布的概率密度函数为:

    我们常说的标准正态分布,是指未知参数 \mu=0,尺度参数\sigma ^2=1的正态分布。其表达式可以简化为:

    正态分布具有许多独特的性质:

    • 密度函数关于平均值(即\mu、位置参数、期望)对称
    • 平均值=众数=中位数

     

    参考:

    http://www.360doc.com/content/17/1231/22/9200790_718001949.shtml

    https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/81327881

    https://blog.csdn.net/qq_23869697/article/details/80610361

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  • 利用级数求和推导泊松分布期望方差

    万次阅读 多人点赞 2016-12-02 23:49:17
    利用级数求和推导泊松分布期望方差@(概率论)闲来无事,动手推导一个常见的泊松分布的表达式。回顾泊松分布:设变量X服从λ\lambda的泊松分布,则:P(X=k)=λkk!e−λ,k=0,1,2,....P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!}...

    利用级数求和推导泊松分布的期望方差

    @(概率论)

    闲来无事,动手推导一个常见的泊松分布的表达式相关的数字特征: EX,DX。并通过这个过程思考级数求和的注意事项。

    回顾泊松分布:

    设变量X服从 λ 的泊松分布,则:

    P(X=k)=λkk!eλ,k=0,1,2,....

    泊松分布的表达式非常优美,但是需要强调的是k是从0开始的离散数字。这在级数中,相当重要,首项是否为0决定了整个求和的结果,所以我会多次强调,每一步注意清理掉首项为0的项才进入下一步,好像抖掉灰尘一样才往前走。

    不啰嗦,直接看EX,DX的求法。

    EX

    EX=k=0kP(X=k)=k=0kλkk!eλ

    看到这个形式,就有了努力的方向:往

    ex=n=0xnn!
    上靠,挡在这个目标前面的障碍–系数,多余的变量等,能抽出去的,能被求导求积分吸收的,全都处理掉,现在有非常明确的目标,要往已知的级数展开式上 靠拢。包括下标,为了凑到一样起始的下标,可能多出变量,么事,抽到求和符号前面去。 不要把与下标相关的量抽出去了

    有了这个铺垫,我们观察:

    • 首项为0,先去掉:

      k=1kλkk!eλ

    • 前面的k去掉,把与下标无关的量 eλ 抽出去:

      eλk=1λk(k1)!

    • 很靠近了,下标调整,即变为从0开始:

      eλk=0λk+1k!
      分子分母都有变化。

    • 分子多个 λ ,提出去:

      eλλk=0λkk!

    到这里,终于完成了目标,有了和 ex 展开式一样的部分了。

    EX=eλλeλ=λ

    具体任务完成了一半,但是理解了这个过程,抽象得说,完成了90%。

    DX

    DX=EX2(EX)2

    只需要求解 EX2 即可。

    EX2=k=0k2P(X=k)=k=0k2λkk!eλ=k=1kλk(k1)!eλ=eλk=1kλk(k1)!

    来了,吸收系数。

    左右出现的用积分吸收,要能吸收得把自己的姿态摆低,即幂次要比系数小1才好吸收。那么抽出去一个 λ 即可。

    eλλk=1kλk1(k1)!=eλλk=1(λk)(k1)!=eλλk=1(λk(k1)!)=eλλ(λk=0λkk!)=eλλ(λeλ)=λ2+λ

    好了, DX=λ

    这些计算是不是一定要掌握,可以直接利用即可,但是通过这个推导可以touch到微积分中的无穷级数求和问题的三个重要的点:

    • 首项为0的及时去掉
    • 下标调整到和常用级数展开式一致
    • 动用求导求积分吸收系数

    这些是基本法,是理解掌握以后,内化的技能。如果没有掌握,则很难变通。

    -以此自勉而已。

    隔夜槽:CSDN的Latex解析要比马克飞象的语法解析在细节上有许多不同,或者更严格。边写边解析,就带不动了。

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空空如也

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期望方差泊松分布