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  • 定义:【1】独立事件在给定区间内随机发生,给定区间为时间或空间【2】已知该区间内的事件平均发生次数(发生率),用希腊字母 λ(lambda)表示。举例:某电影院的爆米花机总是坏...泊松分布就是用来解决这类问题的...

    定义

    【1】独立事件在给定区间内随机发生,给定区间为时间或空间

    【2】已知该区间内的事件平均发生次数(发生率),用希腊字母 λ(lambda)表示。

    举例

    某电影院的爆米花机总是坏,顾客们很不高兴。下星期电影院有一个大型促销活动,经理希望爆米花机不要出状况,已知爆米花机每一周的平均故障次数为3.4,或者说爆米花机的故障率为3.4。那么爆米花机下一周不发生故障的概率有多大?泊松分布就是用来解决这类问题的。

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    用X表示给定区间内的事件发生次数,如果X符合泊松分布,且每个区间内平均发生λ次,或者说发生率为λ,则写作:

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    省去推导过程,直接给出概率公式:

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    泊松分布的期望和方差

    如果X~Po(λ) ,则E(X)为给定区间内能够期望的事件发生次数,对于爆米花机来说,为在一周内能够期望的机器损坏次数,也就是说,E(X)是给定区间内的事件平均发生次数。

    因此泊松分布的期望和方差非常的简洁,因为它的期望和方差都等于λ。

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    泊松分布的形状

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    泊松分布的形状随着λ的数值发生变化。λ小,则分布向右偏斜,随着λ变大,分布逐渐变的对称。如果λ是一个整数,则有2个众数,λ和λ-1,如果λ不是整数,则众数为λ。

    例题

    某电影院的爆米花机总是坏,顾客们很不高兴。下星期电影院有一个大型促销活动,经理希望爆米花机不要出状况,已知爆米花机每一周的平均故障次数为3.4,或者说爆米花机的故障率为3.4。

    (1)下一周爆米花机不发生故障的概率是多少?

    P(X=0) = e^-λ / r!

    = e^-3.4 x 3.4^0

    =e^-3.4 = 0.033

    (2)下一周爆米花机发生3次故障的概率是多少

    P(X = 3) =e^-3.4 x 3.4^3 / 3!

    =e^-3.4 x 39.304 / 6

    =0.033 x 6.55 = 0.216

    (3)爆米花机发生故障的期望和方差是多少?

    E(X) = λ =3.4

    Var(X) = λ =3.4

    组合泊松变量

    假如我们不止有爆米花机,还有饮料机,饮料机每周发生故障的平均次数2.3,求下个星期两个机器总故障次数为0的概率。

    我们把爆米花机故障事件设为X,饮料机故障事件设为Y,即求P(X+Y=0)

    因为X和Y是独立变量,因此:

    P(X+Y) =P(X)+P(Y)

    E(X+Y) =E(X)+E(Y)

    所以总故障事件可以写作:X+Y~Po(λx+λy),此事件的λ=3.4+2.3=5.7

    P(X+Y=0) = e^-5.7 x5.7^0 / 0!

    =e^-5.7 x 1/1 =0.003

    泊松分布与二项式分布的关系

    举例:小红在曲奇饼厂工作,她的工作是确保每一盒饼干都符合工厂严格的质量要求,她知道每块饼干发生破碎的概率为0.1,她的老板要求她求出一盒容量为100块的饼干的盒子里出现15块碎饼干的概率,她认为很简单,说用二项式分布公式计算就好了,X~B(n=100,p=0.1)。可是她拿出计算器计算100!时,计算器显示出错,因为数字太大!

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    要解决上面提到的问题,就会用到泊松分布,因为有时候,使用泊松分布比使用二项式分布更简单,但需要满足一个前提。

    假如我们要计算一个二项式分布概率,n为3000,用二项式分布的公式需要计算3000!,这个数字太大,很难计算出来。此时我们要用泊松分布来求解近似答案。

    我们来看一下泊松分布和二项式分布的期望方差对比

    泊松分布 E(X) =λVar(X) = λ

    二项式分布: E(X) = npVar(X) =npq

    我们要找出泊松分布与二项式分布的期望和方差近似相等的情况,因为泊松分布的期望和方差相等,所以np 要近似 npq

    当q近似等于1且n很大时,np和npq近似相等。因此:

    当n很大p很小时,可以用泊松分布X~Po(np)近似代替二项式分布X~B(n,p)

    标准当n>50且p<0.1时,为典型近似情况。

    例题:一个学生要参加一场考试,但他没有做任何复习。他需要猜测每一题的答案,每一题的答答对概率是0.05。考卷上共有50个问题,他答对5题的概率是多少?用二项式分布的泊松分布近似法求解。

    λ =np =50 x 0.05 =2.5

    P(X =5) = e^-2.5 x 2.5^5 / 5!

    = e^-2.5 x 97.65625 / 120 =0.067

    总结

    泊松分布的概率、期望、方差计算

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    泊松分布随机变量的组合

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    泊松分布与二项式分布的关系

    如果X~B(n,p),当n较大而p较小时,X可以近似表示为:

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    本文归纳总结参考《深入浅出统计学》

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  • 概率分布相关内容:1 概率密度2 期望与协方差3 一元高斯分布[1]4 多元高斯分布[2]5 高斯混合简介6 gamma函数、digamma函数、beta函数7 伯努利分布、beta分布、Dirichlet分布本文主要包含以下内容:1 泊松分布2 泊松...

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    概率分布相关内容:1 概率密度2 期望与协方差3 一元高斯分布[1]4 多元高斯分布[2]5 高斯混合简介6 gamma函数、digamma函数、beta函数7 伯努利分布、beta分布、Dirichlet分布

    本文主要包含以下内容:

    • 1 泊松分布

    • 2 泊松分布近似二项分布

    • 3 指数分布

    • 4 gamma分布

    1 泊松分布

    泊松分布(poisson distribution),以Simeon Denis Poisson (1781-1840) 的名字命名。泊松分布是一种离散分布。它描述了在一个单位时间或空间内很少发生的随机事件。

    它与二项分布的不同之处在于后者计算成功或失败的次数,而前者计算单位时间或空间内成功或失败的平均次数。

    泊松分布只有一个参数,用表示。参数必须大于0。其形式如下:

    在进行下一步之前,大家可以看一下e的简介和e的一般定义。里面有一个重要的定义,即以周期为1的增长率满足:

    其中表示单位时间内的平均增长率或单位时间内事件出现的平均次数,即上面的表示事件的次数

    泊松分布是归一化的:

    泊松分布的均值和方差分别为:

    式式

    式4和式5的证明:

    均值:

    方差(结合均值):

    2 泊松分布近似二项分布

    泊松分布是二项分布在下列假设下的极限情况:

    • 试验次数应无限大,即
    • 每次试验成功的概率都是无限小
    • 是一个常数

    次抛掷一枚非均匀硬币的概率分布开始。假设为投掷一次得到正面的概率,远小于1 ()。因此,在抛硬币的长序列中,出现正面是罕见(rare)的事件。在次抛掷中观察到个正面的概率是:

    这里使用两个近似:

    时:

    绘制不同的poisson分布图:

    from scipy.stats import poissonimport matplotlib.pyplot as pltimport numpy as np
    n = np.arange(0,300,0.5)
    theta = [100,150,200]
    plt.figure(figsize=(15,8))for a in theta:
        plt.plot(n,poisson.pmf(n,a),label=r'$\theta=%s$'%a)
    plt.title('Probability of Poisson')
    plt.xlabel('n')
    plt.ylabel(r'$p(n|\theta)$')
    plt.legend()

    768b7876fc902db5fc2911a38a33e773.png

    3 指数分布

    连续随机变量如果具有下面的概率密度函数,则称为具有指数分布:

    其中称为分布的速率(rate)。

    连续时间的随机过程的研究中,通常用指数分布来模拟(预测)过程中发生某件事(成功、失败等)之前的等待时间并采用部分积分法计算指数分布的均值和方差:

    证明式10和式11:

    均值:

    所以我们可以看到,随着逐渐变大,我们等待的过程会发生得更快,因此我们把看作是速率。

    方差:

    指数分布为什么是式9的形式?

    指数分布的定义是泊松过程中事件之间时间的概率分布。试想一下,直到事件发生的时间量意味着在等待期间,没有一个事件发生。

    换句话说,这就是,即:

    关于泊松概率分布需要记住的一点是,泊松事件发生的时间周期只是一个单位时间。

    如果想建立时间段内什么都没有发生的概率分布的模型,而不只是在一个单位时间内,则:

    泊松分布假设事件的发生是相互独立的。因此,我们可以通过将单位时间内的乘以次来计算单位时间内零成功的概率。

    PDF是CDF的导数。因为我们已经有了指数函数的CDF,即,我们可以通过微分得到它的PDF。

    指数分布的属性:

    • 无记忆性(Memoryless Property):

    泊松分布与指数分布间的联系:如果单位时间内的事件数服从泊松分布,则事件之间的时间量服从指数分布。假设事件之间的时间不受前一事件之间时间的影响(即事件独立),则单位时间内的事件数服从于速率的泊松分布。

    绘制指数分布图:

    from scipy.stats import exponimport seaborn as snsimport numpy as np# 生成随机数
    data = expon.rvs(scale=1,loc=0,size=1000)
    ax=sns.distplot(data,kde=True,bins=100,color='skyblue',
                    hist_kws={'linewidth':15,'alpha':1})
    ax.set(xlabel='Exponential Distribution',ylabel='Frequency')

    74f120342b1ac79197db9acd3dd4073a.png

    4 gamma分布

    在该文中介绍了gamma的标准分布:

    其中

    但在概率论和统计中,伽马分布是一个连续概率分布的双参数族。指数分布、Erlang分布和卡方分布是伽玛分布的特殊情况。有三种常用的参数化方法:

    • 形状参数,尺度参数
    • 形状参数,反尺度参数,又叫速率参数

    就像我们处理指数分布一样,我们从泊松分布中得到它。设为随机变量,表示等待时间。其累积分布函数为:

    注意是在区间内小于个事件的概率。在均值为的泊松过程中的概率是:

    为了求概率分布函数,我们对求导。但在此之前,我们可以简化一下将求和展开为两项:

    下面求导:

    所以,两参数的gamma分布为:

    式15是指数分布;当是一个正整数,则为Erlang分布;当时,得到标准分布式12

    伽玛分布的一种解释是,它是泊松过程中等待第事件或变化的时间的理论分布。指数分布,它是直到泊松过程中第一个事件或变化的时间分布。伽马分布模拟了泊松过程中到第2、第3、第4、第38等时刻的事件或变化。

    两参数的gamma分布的均值为(以式15为例):

    证明式17和式18:

    ,则

    均值:

    上式利用了gamma函数的积分公式。

    方差:

    绘制gamma分布图:

    import numpy as npfrom scipy.stats import gammaimport matplotlib.pyplot as plt
    x=[1,2,3,3,3]
    lambda_=[0.5,0.5,0.5,1,2]
    color = ['b','r','g','y','m']
    t = np.linspace(1E-6,10,1000)
    fig,ax=plt.subplots(figsize=(8,6))for k,l,c in zip(x,lambda_,color):
        dist = gamma(k,0,l)
        plt.plot(t, dist.pdf(t), c=c, label=r'$x=%.1f,\ \lambda=%.1f$' % (k, l))
    plt.xlim(010)
    plt.ylim(02)
    plt.xlabel('$t$')
    plt.ylabel(r'$p(t|x,\lambda)$')
    plt.title('Gamma Distribution')
    plt.legend(loc=0)

    29061a7ef2b9a1ad794907c9768e5af4.png

    gamma函数通常是右倾斜的,其峰值通常会出现在PDF图的左侧。当形状参数小于1时,伽马分布将在PDF图上渐近于y轴,如上图所示。当形状参数超过1时,图会显得更加分散或延伸,整体歪斜减小;尺度参数决定了曲线有多陡,其越小越陡,即速率参数越大越陡。

    参考资料

    [1]

    一元高斯分布: https://blog.csdn.net/mengjizhiyou/article/details/103919140

    [2]

    多元高斯分布: https://blog.csdn.net/mengjizhiyou/article/details/103933591

    4cc19dd767309df413400c92366d7651.png

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  • 展开全部泊松分布期望方差均是λ,λ表示总体均值;P(X=0)=e^(-λ)。分析过程如下62616964757a686964616fe59b9ee7ad9431333431353363:求解泊松分布期望过程如下:求解泊松分布方差过程如下:泊松分布的概率...

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    泊松分布的期望和方差均是λ,λ表示总体均值;P(X=0)=e^(-λ)。

    分析过程如下62616964757a686964616fe59b9ee7ad9431333431353363:

    求解泊松分布的期望过程如下:

    求解泊松分布的方差过程如下:

    泊松分布的概率函数为:

    对于P(X=0),可知k=0,代入上式有:P(X=0)=e^(-λ)。

    扩展资料:

    一、期望的计算方法

    1、利用定义计算

    设P(x)是一个离散概率分布函数,自变量的取值范围为{x1,x2,⋯,xn}。其期望被定义为:E(x)=∑nk=1xkP(xk)E(x)=∑k=1nxkP(xk) ;P(x)是一个连续概率密度函数。其期望为:E(x)=∫+∞−∞xp(x)dxE(x)=∫−∞+∞xp(x)dx。

    2、利用性质计算

    线性运算规则:期望服从线性性质(可以很容易从期望的定义公式中导出)。因此线性运算的期望等于期望的线性运算:E(ax+by+c)=aE(x)+bE(y)+cE(ax+by+c)=aE(x)+bE(y)+c;

    乘积的期望不等于期望的乘积,除非变量相互独立。因此,如果x和y相互独立,则E(xy)=E(x)E(y)E(xy)=E(x)E(y)E(xy)=E(x)E(y)E(xy)=E(x)E(y)。

    二、方差的计算方法

    1、利用定义计算:Var(x)=E((x−E(x))2)

    2、反复利用期望的线性性质,可以算出方差:Var(x)==E(x2)−(E(x))2

    3、方差不满足线性性质,两个变量的线性组合方差计算方法如下:

    Var(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y)+2abCov(x,y)Var(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y)+2abCov(x,y)

    其中Cov(x,y)为x和y的协方差。

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  • 利用级数求和推导泊松分布期望方差@(概率论)闲来无事,动手推导一个常见的泊松分布的表达式。回顾泊松分布:设变量X服从λ\lambda的泊松分布,则:P(X=k)=λkk!e−λ,k=0,1,2,....P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!}...

    利用级数求和推导泊松分布的期望方差

    @(概率论)

    闲来无事,动手推导一个常见的泊松分布的表达式相关的数字特征: EX,DX。并通过这个过程思考级数求和的注意事项。

    回顾泊松分布:

    设变量X服从λ的泊松分布,则:

    P(X=k)=λkk!eλ,k=0,1,2,....

    泊松分布的表达式非常优美,但是需要强调的是k是从0开始的离散数字。这在级数中,相当重要,首项是否为0决定了整个求和的结果,所以我会多次强调,每一步注意清理掉首项为0的项才进入下一步,好像抖掉灰尘一样才往前走。

    不啰嗦,直接看EX,DX的求法。

    EX

    EX=k=0kP(X=k)=k=0kλkk!eλ

    看到这个形式,就有了努力的方向:往

    ex=n=0xnn!
    上靠,挡在这个目标前面的障碍–系数,多余的变量等,能抽出去的,能被求导求积分吸收的,全都处理掉,现在有非常明确的目标,要往已知的级数展开式上 靠拢。包括下标,为了凑到一样起始的下标,可能多出变量,么事,抽到求和符号前面去。不要把与下标相关的量抽出去了

    有了这个铺垫,我们观察:

    • 首项为0,先去掉:

      k=1kλkk!eλ
    • 前面的k去掉,把与下标无关的量eλ抽出去:

      eλk=1λk(k1)!
    • 很靠近了,下标调整,即变为从0开始:

      eλk=0λk+1k!
      分子分母都有变化。
    • 分子多个λ,提出去:

      eλλk=0λkk!

    到这里,终于完成了目标,有了和ex展开式一样的部分了。

    EX=eλλeλ=λ

    具体任务完成了一半,但是理解了这个过程,抽象得说,完成了90%。

    DX

    DX=EX2(EX)2

    只需要求解EX2即可。

    EX2=k=0k2P(X=k)=k=0k2λkk!eλ=k=1kλk(k1)!eλ=eλk=1kλk(k1)!

    来了,吸收系数。

    左右出现的用积分吸收,要能吸收得把自己的姿态摆低,即幂次要比系数小1才好吸收。那么抽出去一个λ即可。

    eλλk=1kλk1(k1)!=eλλk=1(λk)(k1)!=eλλk=1(λk(k1)!)=eλλ(λk=0λkk!)=eλλ(λeλ)=λ2+λ

    好了,DX=λ

    这些计算是不是一定要掌握,可以直接利用即可,但是通过这个推导可以touch到微积分中的无穷级数求和问题的三个重要的点:

    • 首项为0的及时去掉
    • 下标调整到和常用级数展开式一致
    • 动用求导求积分吸收系数

    这些是基本法,是理解掌握以后,内化的技能。如果没有掌握,则很难变通。

    -以此自勉而已。

    隔夜槽:CSDN的Latex解析要比马克飞象的语法解析在细节上有许多不同,或者更严格。边写边解析,就带不动了。

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  • 泊松分布 & 指数分布 及其数字特征

    万次阅读 2018-10-05 05:41:17
    泊松分布期望方差均为 特征函数为 日常生活中,大量事件是有固定频率的。 某医院平均每小时出生3个婴儿 某公司平均每10分钟接到1个电话 某超市平均每天销售4包xx牌奶粉 某网站平均每分....
  • 条件就是较大的n与较小的p,又有一个小窍门就是观察np,也就是二项分布近似为泊松分布之后的期望值亦是方差,由于泊松分布的表格期望值最大为10,所以np会小于等于10.而当我们发现一道题目有着较大的n,p又趋向于1,...
  • 离散型 两点分布 超几何分布 二项分布 泊松分布 连续型 均匀分布 指数分布 正态分布 标准正态分布
  • 泊松分布&泊松过程&指数分布 过程:事物发展所经过的程序(processes) - 分布 期望 方差 B(n,P) Cnkpk(1−p)n−kC _ { n } ^ { k}p^k(1-p)^{n-k}Cnk​pk(1−p)n−k np np(1-p) P(λ) λke−λk!\...
  • 泊松分布 Poisson ...泊松分布期望方差均为 ????。 比如统计数据表明一台机器平均1周故障 ???? 次,那么接下来一周的故障次数满足以下规律: P(x=k)=e−λλk!k\displaystyle P(x=k)= \frac {e^{-\lambda}
  • 包含常用分布及计算推导: 1. 0-1分布 2. 二项分布 3. 泊松分布 4. 均匀分布 5. 指数分布 6. 正态分布 参数范围&数学期望&方差 对照表格
  • 正态分布、泊松分布和伯努利分布

    万次阅读 2018-08-05 17:13:16
    正态分布(Normal distribution)又名高斯分布(Gaussiandistribution),若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布,记为N(μ,σ^2)。其概率密度函数为正态分布期望值μ决定了其位置,其标准差σ...

空空如也

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期望方差泊松分布