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  • 朴素贝叶斯模型及python实现
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    2021-02-05 17:40:36

    1 朴素贝叶斯模型

    朴素贝叶斯法是基于贝叶斯定理、特征条件独立假设的分类方法。在预测时,对输入x,找出对应后验概率最大的 y 作为预测。

    NB模型:

    输入:

    先验概率分布:P(Y=ck),k=1,2,⋯,KP\left(Y=c_{k}\right), \quad k=1,2, \cdots, KP(Y=ck​),k=1,2,⋯,K

    条件概率分布:P(X=x∣Y=ck)=P(X(1)=x(1),⋯,X(n)=x(n)∣Y=ck),k=1,2,⋯,KP\left(X=x | Y=c_{k}\right)=P\left(X^{(1)}=x^{(1)}, \cdots, X^{(n)}=x^{(n)} | Y=c_{k}\right), \quad k=1,2, \cdots, KP(X=x∣Y=ck​)=P(X(1)=x(1),⋯,X(n)=x(n)∣Y=ck​),k=1,2,⋯,K

    其中,输入数据 X 维度为nnn.

    输出:测试数据的后验概率

    根据 后验=似然∗先验/归一化后验 = 似然*先验/归一化后验=似然∗先验/归一化, 有:

    P(Y=ck∣X=x)=P(X=x∣Y=ck)P(Y=ck)∑kP(X=x∣Y=ck)P(Y=ck)P\left(Y=c_{k} | X=x\right)=\frac{P\left(X=x | Y=c_{k}\right) P\left(Y=c_{k}\right)}{\sum_{k} P\left(X=x | Y=c_{k}\right) P\left(Y=c_{k}\right)}P(Y=ck​∣X=x)=∑k​P(X=x∣Y=ck​)P(Y=ck​)P(X=x∣Y=ck​)P(Y=ck​)​

    NB分类器即为:

    y=f(x)=arg⁡max⁡ckP(Y=ck)∏jP(X(j)=x(j)∣Y=ck)∑kP(Y=ck)∏jP(X(j)=x(j)∣Y=ck)y=f(x)=\arg \max _{c_{k}} \frac{P\left(Y=c_{k}\right) \prod_{j} P\left(X^{(j)}=x^{(j)} | Y=c_{k}\right)}{\sum_{k} P\left(Y=c_{k}\right) \prod_{j} P\left(X^{(j)}=x^{(j)} | Y=c_{k}\right)}y=f(x)=argmaxck​​∑k​P(Y=ck​)∏j​P(X(j)=x(j)∣Y=ck​)P(Y=ck​)∏j​P(X(j)=x(j)∣Y=ck​)​

    其中,分母是归一化因子,可以忽略。

    朴素贝叶斯可以分为高斯朴素贝叶斯、多项式朴素贝叶斯、贝努利朴素贝叶斯等多种。

    2 朴素贝叶斯的参数估计

    朴素贝叶斯需要估计先验概率P(Y=ck)P\left(Y=c_{k}\right)P(Y=ck​) 和条件概率P(X(j)=x(j)∣Y=ck)P\left(X^{(j)}=x^{(j)} | Y=c_{k}\right)P(X(j)=x(j)∣Y=ck​).以下只考虑离散属性情形。

    2.1 极大似然法(MLE)

    使用极大似然法估计(Maximum Likehood Estimation)先验概率:

    P(Y=ck)=∑i=1NI(yi=ck)N,k=1,2,⋯,KP\left(Y=c_{k}\right)=\frac{\sum_{i=1}^{N} I\left(y_{i}=c_{k}\right)}{N}, \quad k=1,2, \cdots, KP(Y=ck​)=N∑i=1N​I(yi​=ck​)​,k=1,2,⋯,K

    条件概率:

    &P\left(X^{(j)}=a_{jl} | Y=c_{k}\right)=\frac{\sum_{i=1}^{N} I\left(x_{i}^{j}=a_{j l}, y_{i}=c_{k}\right)}{\sum_{i=1}^{N} I\left(y_{i}=c_{k}\right)}\\ &j=1,2, \cdots, n ; \quad l=1,2, \cdots, S_{j}; \quad k=1,2, \cdots, K \end{aligned}$$ #### 2.2 贝叶斯估计 极大似然法可能出现概率值为 0 情况,贝叶斯估计使用了拉普拉斯平滑. 先验概率的贝叶斯估计为: $$P_{\lambda}\left(Y=c_{k}\right)=\frac{\sum_{i=1}^{N} I\left(y_{i}=c_{k}\right)+\lambda}{N+K \lambda}$$ 条件概率的贝叶斯估计为: $$P_{\lambda}\left(X^{(j)}=a_{j l} | Y=c_{k}\right)=\frac{\sum_{l=1}^{N} I\left(x_{i}^{(j)}=a_{j l} ,y_{i}=c_{k}\right)+\lambda}{\sum_{i=1}^{N} I\left(y_{i}=c_{k}\right)+S_{j} \lambda}$$ Q1:这里极大似然估计和贝叶斯估计感觉描述没什么区别? A1:《机器学习》书中,没有提拉普拉斯平滑当作贝叶斯估计,还是有点疑问。 ### 3 朴素贝叶斯实现 #### 3.1 高斯朴素贝叶斯实现 高斯朴素贝叶斯用于连续数据的预测,原理是假设训练集各个特征满足高斯分布,获得不同类别数据集对应不同特征的高斯分布均值和方差,然后计算测试样本各个特征属于相应高斯分布的概率,从而获得其属于某个类别的概率,并把概率最大的标签作为这个样本的标签。 ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from sklearn.datasets import load_iris import pandas as pd from sklearn.model_selection import train_test_split import math sqrt, exp, pi = np.sqrt, np.exp, np.pi def createData(): iris = load_iris() df = pd.DataFrame(iris.data, columns = iris.feature_names) df['label'] = iris.target df.columns = ['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label'] return df.iloc[:,:-1],df.iloc[:,-1] X,y = createData() Xtrain, Xtest, Ytrain, Ytest = train_test_split(X, y, test_size = 0.5, random_state = 1028) class GaussianNaiveBayes(object): ''' 高斯朴素贝叶斯,用于处理连续数据,输入使用numpy.array. ''' def __init__(self): self.model = None @staticmethod def mean(x): ''' 求array类型的特征(列)平均值 ''' return sum(x)/float(len(x)) def var(self, x): ''' 求特征的方差 ''' return sum(pow(x-self.mean(x),2)*1.0/len(x)) def gaussianProba(self, x, mean, var): ''' 使用高斯概率密度,求测试集属于某个特征的值 ''' return 1/(sqrt(2*pi*var))*exp(-pow(x-mean,2)/(2.0*var)) def summarize(self, data): ''' 返回训练集每个特征的平均值,方差。 ''' data = np.array(data) return [self.mean(data),self.var(data)] def fit(self, x, y): ''' 获得训练集每个标签对应每个特征的平均值,方差。 ''' labels = np.unique(y) data = {label:[] for label in labels} for f, label in zip(x, y): data[label].append(f.tolist()) self.model = {label: self.summarize(value) for label, value in data.items()} return data,self.model def calculateProba(self, data): ''' 计算测试集对应在每个类别的概率。 ''' prob = {} data = data.transpose() for label, value in self.model.items(): prob[label] = 1 for i in range(len(data)): prob[label] *= self.gaussianProba(data[i], value[0][i], value[1][i]) return prob def predict(self, data): ''' 把概率最高的值作为样本的标签。 ''' res = [] for label, value in self.calculateProba(data).items(): res.append(value) res = np.array(res) return np.argmax(res, axis = 0) def score(self, x, y): ''' 计算预测的准确率。 ''' score = 0 label = self.predict(x) for i in range(len(label)): if label[i] ==y[i]: score+=1 return score*1.0/len(label) if __name__ == '__main__': model = GaussianNaiveBayes() data, m1 = model.fit(Xtrain.values, Ytrain.values) prob = model.calculateProba(Xtest.values) label = model.predict(Xtest.values) score = model.score(Xtest.values, Ytest.values) print('accuary', score) ``` 结果:`accuary 0.9466666666666667` #### 3.2 多项式朴素贝叶斯MultinomialNB 多项式朴素贝叶斯可以用于离散数据的分类中。 调用sklearn API: ```python import numpy as np rng = np.random.RandomState(1) X = rng.randint(5, size=(6, 100)) y = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6]) from sklearn.naive_bayes import MultinomialNB clf = MultinomialNB() clf.fit(X, y) print(clf.predict(X[2:3])) ``` ### 4. 拓展:极大似然估计与贝叶斯估计的区别 贝叶斯是**假定模型参数服从某种分布**,然后对模型参数分布进行估计。这和极大似然法非常不同(极大似然法假设参数是某个值,只是对参数估计,属于点估计范围)。 贝叶斯估计应用分为两种,对离散数据的估计及对连续数据的估计,其实差别不大,只是参数分布假设不同,连续数据时模型参数多假设为高斯分布。 --- 参考: 1. [GitHub贝叶斯详解及代码](https://github.com/endymecy/spark-ml-source-analysis/blob/master/%E5%88%86%E7%B1%BB%E5%92%8C%E5%9B%9E%E5%BD%92/%E6%9C%B4%E7%B4%A0%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF/nb.md); 2. [CSDN.关于朴素贝叶斯法](http://blog.csdn.net/u012162613/article/details/48323777); 3. [黄海广 GitHub代码](https://github.com/fengdu78/lihang-code/blob/master/code/%E7%AC%AC4%E7%AB%A0%20%E6%9C%B4%E7%B4%A0%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF(NaiveBayes)/GaussianNB.ipynb); 4. [wepon大神blog](https://blog.csdn.net/u012162613/article/details/48323777); 5. [Bayes 课件 Utdallas.edu](http://www.utdallas.edu/~nrr150130/cs7301/2016fa/lects/Lecture_14_Bayes.pdf); 6. [Bayes MLE MAP 区别 cmu](http://www.cs.cmu.edu/~aarti/Class/10701_Spring14/slides/MLE_MAP_Part1.pdf); 7. [MLE 解释 英文](https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/191/); 8. [sklearn Naive Bayes](https://scikit-learn.org/stable/modules/naive_bayes.html);

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    目录

    1 前置概念

    2 朴素贝叶斯算法

    3 拉普拉斯平滑

    4 总结


    1 前置概念

    • 先验概率:在不知道事务特征的情况下,根据以往的经验,判断出这件事发生的概率,这个概率就是先验概率,即:P(y)=\phi_y
    • 后验概率:与先验概率相对应,是知道了事务特征判断出来的从而得出的事件发生的概率就是后验概率,即:P(y|x)=\phi_{x|y}
    • 联合概率:两件事同时发生的改率,比如A发生且B发生,可以写作:P(A,B)
    • 贝叶斯定理:贝叶斯定理起初是为了解决逆概率的问题,通过现象倒推本质,比如,如果在一个黑箱里摸球,箱中有3个红球7个黑球,可以轻易得出摸出红球的概率是0.3,现在假设不知道盒中有多少个黑球多少个红球,通过不断的摸球,不断的计算,摸球,再修正自己的结果,最终可以预测到黑盒中红球和黑球的比例。

    贝叶斯公式如下:

    $$ P\left( A|B \right) =\frac{P\left( A \right) P\left( B|A \right)}{P\left( B \right)} $$

    分析这个公式,可以得到很多有意思的事情。首先P(A)叫做先验概率,P(A|B)叫做后验概率,而剩余的部分则剩下了:$$ \frac{P\left( B|A \right)}{P\left( B \right)} $$,观察这个部分,因为我们知道,条件概率公式是:$$ P\left( B|A \right) =\frac{P\left( A,B \right)}{P\left( A \right)} $$,即两事件的联合概率比上作为条件的那个事件单独的概率,带入条件概率公式可以得到剩余部分变成了:$$ \frac{P\left( A,B \right)}{P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)} $$

    此时,分析A事件和B事件的关系可以得到:

    • 当A,B相互独立的时候,P(A)\cdot P(B)=P(A,B),此时$$ \frac{P\left( B|A \right)}{P\left( B \right)}=1 $$,后验概率就等于先验概率。
    • 当A,B相交时,两者存在重叠部分,P(A)\cdot P(B)> P(A,B),此时$$ \frac{P\left( B|A \right)}{P\left( B \right)}< 1 $$,后验概率就小于先验概率。
    • 当A,B相包含时,P(A)=P(A,B),或P(B)=P(A,B),此时$$ \frac{P\left( B|A \right)}{P\left( B \right)}> 1 $$,后验概率就大于于先验概率。

    画出文氏图可以很清楚的看出这三种情况:

    因此这个剩余部分$$ \frac{P\left( B|A \right)}{P\left( B \right)} $$起到一个修正先验概率的作用,因此叫做可能性函数。

    2 朴素贝叶斯算法

    朴素贝叶斯是一种生成式模型,是在贝叶斯算法上做了简化,即假设定给定目标值的条件下,各个特征相互独立,这个简化使得各个特征对分类结果的影响较为平均,一定程度上降低了分类器的分类效果,但是极大的简化了算法的复杂度。引入CS229中的例子做解释。

    使用朴素贝叶斯做垃圾邮件的分类器,首先构建特征向量,用特征向量来描述一封邮件。选取字典或者历史邮件中嘴常用的10000个词,一封邮件中出现的词标为1,未出现的词标为0,这样就得到了一个10000维的向量,每个元素的值为0或1,这个向量就是可以用来描述一封邮件的特征向量。

    其中,x_i 是向量中第 i 个元素,$$ x_i=1\left\{ word\ i\ appears\ in\ email \right\} $$

    目标是建模计算出 P(x|y) 和 P(y) ,然后根据这两项计算出P(x)$$ P\left( x \right) =\sum_{k=1}^K{P\left( x|y_k \right) P\left( y_k \right)} $$,这样就可以使用贝叶斯公式计算出后验概率了。首先使用朴素贝叶斯的假设,假设 x_i 给定 y 的情况下,是相互独立的,因此:

    $$ P\left( x_1,x_2,x_3,...,x_i|y \right) =P\left( x_1|y \right) P\left( x_2|y \right) P\left( x_3|y \right) ...P\left( x_i|y \right) =\prod_{i=1}^n{P\left( x_i|y \right)} $$

    模型参数化:

    $$ \phi _{i|y=1}=P\left( x_i=1|y=1 \right) $$

    $$ \phi _{i|y=0}=P\left( x_i=1|y=0 \right) $$

    $$ \phi _y=P\left( y=1 \right) $$

    由此写出联合似然函数:

    $$ \mathcal{L}\left( \phi _y,\phi _{i|y=0},\phi _{i|y=1} \right) =\prod_{i=1}^m{P\left( x^{\left( i \right)},y^{\left( i \right)} \right)} $$

    使用极大似然估计法求解得到:

    $$ \phi _{j|y=1}=\frac{\sum_{i=1}^m{1\left\{ x_{j}^{\left( i \right)}=1\land y^{\left( i \right)}=1 \right\}}}{\sum_{i=1}^m{1\left\{ y^{\left( i \right)}=1 \right\}}} $$

    $$ \phi _{j|y=0}=\frac{\sum_{i=1}^m{1\left\{ x_{j}^{\left( i \right)}=1\land y^{\left( i \right)}=0 \right\}}}{\sum_{i=1}^m{1\left\{ y^{\left( i \right)}=0 \right\}}} $$

    $$ \phi _y=\frac{\sum_{i=1}^m{1\left\{ y^{\left( i \right)}=1 \right\}}}{m} $$

    因此,使用贝叶斯公式计算概率如下:

    $$ P\left( y=1|x \right) =\frac{P\left( x|y=1 \right) P\left( y=1 \right)}{P\left( x \right)} $$ $$ =\frac{\left( \prod_{i=1}^n{p\left( x_i|y=1 \right)} \right) P\left( y=1 \right)}{\left( \prod_{i=1}^n{P\left( x_i|y=1 \right)} \right) P\left( y=1 \right) +\left( \prod_{i=1}^n{P\left( x_i|y=0 \right)} \right) P\left( y=0 \right)} $$

    由此计算出后概率,选择后验概率最高的类就是朴素贝叶斯的分类结果。

    但是这个计算方法有一个致命的问题,就是假如有一个单词第一次出现,他在特征向量中的索引是 a (随便取的字母无特殊含义),那么 \phi_{a|y=1}=0\phi_{a|y=0}=0,也就是说P(x_a=1|y=1)=0P(x_a=1|y=0)=0,这就导致带入贝叶斯公式后分子分母均为0,导致模型崩溃。

    3 拉普拉斯平滑

    为解决上提到的问题,引入了Laplace Smoothing。假设y的取值有k个,引入之后公式做如下调整:

    $$ \phi _y=\frac{\sum_{i=1}^m{1\left\{ y^{\left( i \right)}=1 \right\}}+1}{m+k} $$

    即在分母加上y的取值范围大小,在分子加上1,分子+1是防止概率为0,分母+分类数是为了使得所有概率相加等于1。

    修正各分量的公式如下:

    $$ \phi _{j|y=1}=\frac{\sum_{i=1}^m{1\left\{ x_{j}^{\left( i \right)}=1\land y^{\left( i \right)}=1 \right\}}+1}{\sum_{i=1}^m{1\left\{ y^{\left( i \right)}=1 \right\}}+2} $$

    $$ \phi _{j|y=0}=\frac{\sum_{i=1}^m{1\left\{ x_{j}^{\left( i \right)}=1\land y^{\left( i \right)}=0 \right\}}+1}{\sum_{i=1}^m{1\left\{ y^{\left( i \right)}=0 \right\}}+2} $$

    4 总结

    朴素贝叶斯是一个非常简单,非常 “quick and dirty” 的算法,他不需要多次迭代来学习数据,只需要计数就可以得出预测结果。写完这个博客感觉有点不知所云,所以我再来总结一下。

    首先朴素贝叶斯最核心的一个思想就是朴素贝叶斯假设,也叫做条件独立性假设。朴素贝叶斯是一个最简单的概率图模型之一,概率图模型去解释最为简单明了,是一个y到x的有向概率图。或者也可以简单理解为在给定目标值y的情况下,各个特征x之间是相互独立的,用上面的例子解释就是,在一封邮件中,假设各个单词的出现概率是相互独立的,一个单词的出现对其他单词没有影响。这个假设的唯一目的就是为了简化计算,当特征数量足够多的时候,如果不使用这个假设,计算量会十分庞大。公式如下:

    $$ P\left( x_1,x_2,x_3,...,x_i|y \right) =P\left( x_1|y \right) P\left( x_2|y \right) P\left( x_3|y \right) ...P\left( x_i|y \right) =\prod_{i=1}^n{P\left( x_i|y \right)} $$

    整个预测的核心方法就是使用贝叶斯定理对后验概率进行计算,就是计算在给定特征的条件下,预测目标取得各个目标值的概率:$$ P\left( y|x \right) $$

    $$ P\left( y|x \right) =\frac{P\left( y \right) P\left( x|y \right)}{P\left( x \right)} $$

    其中,y如果取值是0或1,则是服从伯努利分布,如果y的取值范围为多个类别,则是服从类别分布(categorial distribution);如果x是离散型,则同样,两个特征则x服从伯努利分布,多个特征则x服从类别分布;如果x是连续型,则服从高斯分布。根据这些假设便可用MLE估计出P(x|y)P(y),然后用贝叶斯公式就可以计算出后验概率了。

     

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    本文结合网易云吴恩达机器学习公开课中文课件内容以及个人理解,对这一章节进行介绍。红色部分为关键部分或个人的一些理解。

    1. 生成模型与判别模型

    1.1 两种模型的区别

    我们首先假设x为特征,y为类别结果。那么分以下几种方式来理解生成模型与判别模型。

    (1)官方定义:判别模型是根据特征值来求结果的概率。形式化表示为,在参数确定的情况下,求解条件概率,通俗的解释为在给定特征后预测结果出现的概率。

    而生成模型是知道结果的情况下,对样本特征建立概率模型,是在给定样本所属类的情况下。形式化表示为。当然这里最大的记忆难点就是x和y在形式化表示中的位置,因此建议下一种方式进行记忆。

    (2)顾名思义:判别模型,即要判断这个东西到底是哪一类,也就是要求y,那给定的就是x,所以是p(y|x)。生成模型同样,是要生成一个模型,那就是谁根据什么生成了模型,谁就是类别y,根据的内容就是x,所以是

    (3)深度记忆:这里举例说明。比如我们的任务是判断一只羊是山羊还是绵羊,判别模型就是先从历史数据中提取这些羊的特征来判断它是哪种羊。生成模型则是我先给你山羊,你研究山羊的特征,然后生成一个山羊的模型,绵羊同理。那么判断新来的一只羊时,把他的特征丢到两个模型中去,哪个模型得到的概率大,那这只羊就属于哪个种类。

    1.2 两种模型的联系

    利用贝叶斯公式发现两个模型的统一性:

    由于两种模型生成后,都是来预测一个新的y因此我们关注的是y的离散值结果中哪个类别的概率,而不是关心具体的概率,因此上面的公式可以改写为:

     

    2. 生成模型—高斯判别分析(GDA)

    2.1 多值正态分布

    多变量正态分布描述的是n维随机变量的分布情况,这里的变成了向量,也变成了矩阵。写作。假设有n个随机变量X1,X2,…,Xn。的第i个分量是E(Xi),而

    概率密度函数如下:

    其中的行列式,是协方差矩阵,而且是对称半正定的。

    是二维的时候可以如下图表示:

    其中决定中心位置,决定投影椭圆的朝向和大小。

    如下图:

    对应的不同。

    2.2 高斯判别分析模型

    如果输入特征x是连续型随机变量,那么可以使用高斯判别分析模型来确定p(x|y)。这里有一个假设,那就是假设p(x|y)服从多元高斯分布,这个假设的含义就是指在给定某一类别下,所属类别的所有样本的分布为高斯分布。

    模型如下:

    输出结果服从伯努利分布,在给定模型下特征符合多值高斯分布。通俗地讲,在山羊模型下,它的胡须长度,角大小,毛长度等连续型变量符合高斯分布,他们组成的特征向量符合多值高斯分布。

    这样,可以给出概率密度函数:

    最大似然估计如下:

    注意这里的参数有两个,表示在不同的结果模型下,特征均值不同,但我们假设协方差相同。反映在图上就是不同模型中心位置不同,但形状相同。这样就可以用直线来进行分隔判别。求导后,得到参数估计公式:

    是训练样本中结果y=1占有的比例。

    是y=0的样本中特征均值。

    是y=1的样本中特征均值。

    是样本特征方差均值。

    如前面所述,在图上表示为:

    直线两边的y值不同,但协方差矩阵相同,因此形状相同。不同,因此位置不同。

    2.3 高斯判别分析(GDA)与logistic回归的关系

    这是https://www.cnblogs.com/yinheyi/p/6131875.html的一张图

    例如现在我想获得在高斯判别分析中P(y=1|x)概率值的走向,从X轴左边开始,由于这里下方的叉叉×表示y=0的情况,圈圈表示y=1的情况,从左往右的过程中y=1的情况可能性越来越大,其形状就和sigmoid函数一样,上图中的losgtic回归网线就是p(y=1|x) = p(x |y=1)p(y=1) / p(x)的曲线。两个高斯分布交界的地方就是logistic曲线等于0.5的地方,因为在这一点p(y = 0)p(y =1)的概率相同。其计算可由贝叶斯公式可以得到

    P(x|y)可以直接由高斯判别函数的y值得到,p(y=1)可以由伯努利模型得到,p(x)如图中红色的部分得到。

    如果p(x|y)符合多元高斯分布,那么p(y|x)符合logistic回归模型。反之,不成立。为什么反过来不成立呢?因为GDA有着更强的假设条件和约束。

    如果事先知道训练数据满足多元高斯分布,那么GDA能够在训练集上是最好的模型。然而,我们往往事先不知道训练数据满足什么样的分布,不能做很强的假设。Logistic回归的条件假设要弱于GDA,因此更多的时候采用logistic回归的方法,也就是说即使不知道训练数据满足何种分布方式,logistic回归也能保持其稳定性。

    例如,训练数据满足泊松分布,

    ,或者其他类型的指数分布簇,那么p(y|x)也是logistic回归的。这个时候如果采用GDA,那么效果会比较差,因为训练数据特征的分布不是多元高斯分布,而是泊松分布,所以通常不知道训练数据满足何种分布。这也是logistic回归用的更多的原因。

    3. 生成模型—朴素贝叶斯模型

    在GDA中,我们要求特征向量x是连续实数向量。如果x是离散值的话,可以考虑采用朴素贝叶斯的分类方法。

    假如要分类垃圾邮件和正常邮件。分类邮件是文本分类的一种应用。

    假设采用最简单的特征描述方法,首先找一部英语词典,将里面的单词全部列出来。然后将每封邮件表示成一个向量,向量中每一维都是字典中的一个词的0/1值,1表示该词在邮件中出现,0表示未出现。

    比如一封邮件中出现了“a”和“buy”,没有出现“aardvark”、“aardwolf”和“zygmurgy”,那么可以形式化表示为:

    假设字典中总共有5000个词,那么x是5000维的。

    对应到上面的问题上来,把每封邮件当做一次随机试验,那么结果的可能性有。意味着pi有个,参数太多,不可能用来建模。

    换种思路,我们要求的是p(y|x),根据生成模型定义我们可以求p(x|y)和p(y)。假设x中的特征是条件独立的。这个称作朴素贝叶斯假设。如果一封邮件是垃圾邮件(y=1),且这封邮件出现词“buy”与这封邮件是否出现“price”无关,那么“buy”和“price”之间是条件独立的。

    回到问题中

    这里p(x2|y,x1)=p(x2|y)就可以理解成x2buy,x1price,也就是我知不知道price出现和buy有没有出现并没有关系。

    这里我们发现朴素贝叶斯假设是约束性很强的假设,“buy”从通常上讲与“price”是有关系,我们这里假设的是条件独立。(注意条件独立和独立是不一样的)

    建立形式化的模型表示:



    那么我们想要的是模型在训练数据上概率积能够最大,即最大似然估计如下:

    注意这里是联合概率分布积最大,说明朴素贝叶斯是生成模型。

    求解得:

    最后一个式子是表示y=1的样本数占全部样本数的比例,前两个表示在y=1或0的样本中,特征Xj=1的比例。

    然而我们要求的是(没错,不管什么模型,最后都是给一个新样本判断它的类型)

    实际是求出分子即可,分母对y=1和y=0都一样。

    当然,朴素贝叶斯方法可以扩展到x和y都有多个离散值的情况。对于特征是连续值的情况,我们也可以采用分段的方法来将连续值转化为离散值。具体怎么转化能够最优,我们可以采用信息增益的度量方法来确定(参见Mitchell的《机器学习》决策树那一章)。

    比如房子大小可以如下划分成离散值:

    4 拉普拉斯平滑

    朴素贝叶斯方法有个致命的缺点就是对数据稀疏问题过于敏感。

    比如前面提到的邮件分类,现在新来了一封邮件,邮件标题是“NIPS call for papers”。我们使用更大的网络词典(词的数目由5000变为35000)来分类,假设NIPS这个词在字典中的位置是35000。然而NIPS这个词没有在之前的训练数据中出现过,这封邮件第一次出现了NIPS那我们算概率的时候如下:

    由于NIPS在以前的不管是垃圾邮件还是正常邮件都没出现过,那么结果只能是0了。

    显然最终的条件概率也是0。

    原因就是我们的特征概率条件独立,使用的是相乘的方式来得到结果。为了解决这个问题,我们打算给未出现特征值,赋予一个“小”的值而不是0。

    具体平滑方法如下:

    假设离散型随机变量z有{1,2,…,k}个值,我们用表示每个值的概率。假设有m个训练样本中,z的观察值是其中每一个观察值对应k个值中的一个。那么根据原来的估计方法可以得到

    说白了就是z=j出现的比例。

    拉普拉斯平滑法将每个k值出现次数事先都加1,通俗讲就是假设他们都出现过一次。

    那么修改后的表达式为:

    每个z=j的分子都加1,分母加k。可见

    这个有点像NLP里面的加一平滑法,当然还有n多平滑法了,这里不再详述。

    回到邮件分类的问题,修改后的公式为:

    5. 文本分类的事件模型——多项式事件模型

    回想一下我们刚刚使用的用于文本分类的朴素贝叶斯模型,这个模型称作多值伯努利事件模型(multi-variate Bernoulli event model)。在这个模型中,我们首先随机选定了邮件的类型(垃圾或者普通邮件,也就是p(y)),然后一个人翻阅词典,从第一个词到最后一个词,随机决定一个词是否要在邮件中出现,出现标示为1,否则标示为0。然后将出现的词组成一封邮件。决定一个词是否出现依照概率p(xi|y)。那么这封邮件的概率可以表示为,其中xi01n50000

    让我们换一个思路,这次我们不先从词典入手,而是选择从邮件入手。让i表示邮件中的第i个词,xi表示这个词在字典中的位置,那么xi取值范围为{1,2,…|V|},|V|是字典中词的数目。这样一封邮件可以表示成,n可以变化,因为每封邮件的词的个数不同。然后我们对于每个xi随机从|V|个值中取一个,这样就形成了一封邮件。这相当于重复投掷|V|面的骰子,将观察值记录下来就形成了一封邮件。当然每个面的概率服从p(xi|y),而且每次试验条件独立。这样我们得到的邮件概率是。居然跟上面的一样,那么不同点在哪呢?注意第一个的n是字典中的全部的词,下面这个n是邮件中的词个数。上面xi表示一个词是否出现,只有0和1两个值,两者概率和为1。下面的xi表示|V|中的一个值,|V|个p(xi|y)相加和为1。上面的x向量都是0/1值,下面的x的向量都是字典中的位置。

    这里要注意词典的功能,我们可以这样对比理解两种方法:第一种方法是固定词典,每次将邮件的内容对照着词典里的50000个词比较,看哪些词出现(注意,这是出现,没有去计算出现多少次,因为X只有01两种选择),那么第二种方法就是将邮件的所有词都对应到词典的位置中,例如邮件中第一个词是buy,但是对应的词典的位置可能是{20},第二个词是price,对应的位置可能是{1},但是这都没关系,因为这个模型并不关心词在字典中的位置,也就是说邮件里的所有词可以任意排序。词典在这里的功能就像一个中介,因为每个邮件的单词数是不固定的,但是词典的位置是固定,这个位置就是这个词,所以我们统计词典中这个位置出现的次数,就是统计得到对应的单词出现的次数。我们最后是根据一个新邮件中给定的词典位置这个特征,来计算出这个邮件总偏向出现哪些词,从而判断它是否为一个垃圾邮件。

    形式化表示为:

    m个训练样本表示为:

    表示第i个样本中,共有ni个词,每个词在字典中的编号为

    那么我们仍然按照朴素贝叶斯的方法求得最大似然估计概率为

    解得,

    个人对这个表达式在两种模型表达式的区别理解:

    第一个模型为多值伯努利事件模型,理解为有m个样本邮件,其中我确定的s个为垃圾邮件,这s个垃圾邮件中都出现了buy这个词,那么buy的比例就是n/m

    第二个模型为多项式事件模型,理解为有m个样本邮件,其中有s个垃圾邮件,这s个垃圾邮件每个邮件的单词数为ni个,那么这s个垃圾邮件总共有s*Σni个单词。而每个垃圾邮件中出现buy这个词的个数为si,那么这s个垃圾邮件一共出现了s*Σsi个buy单词,那么buy的比例就是Σsi/Σni,也就是考虑了每个邮件中词出现的个数

    与以前的式子相比,分母多了个ni,分子由0/1变成了k。

    举个例子:

    X1

    X2

    X3

    Y

    1

    2

    -

    1

    2

    1

    -

    0

    1

    3

    2

    0

    3

    3

    3

    1

    假如邮件中只有a,b,c这三词,他们在词典的位置分别是1,2,3,前两封邮件都只有2个词,后两封有3个词。

    Y=1是垃圾邮件。

    那么,




    假如新来一封邮件为b,c那么特征表示为{2,3}。

    那么

    那么该邮件是垃圾邮件概率是0.6。

    注意这个公式与朴素贝叶斯的不同在于这里针对整体样本求的,而朴素贝叶斯里面针对每个特征求的,而且这里的特征值维度是参差不齐的。

    这里如果假如拉普拉斯平滑,得到公式为:

    表示每个k值至少发生过一次,这里V50000,表示有50000中可能的位置值

    另外朴素贝叶斯虽然有时候不是最好的分类方法,但它简单有效,而且速度快,其次朴素贝叶斯实际也是指数分布簇,使用它最后得到的结果同样是logistic回归线性分类器

    6. 总结

    本文大部分还是对照着吴恩达老师的中文笔记注释,其中大部分标红的部分为个人的在看视频时的一些理解,希望对大家有帮助,如果文中出现了一些错误的话,也希望大家包含,批评指正。

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