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  • 对于朴素贝叶斯,假设属性条件性独立,因此核心就是估计类先验概率和各属性的类条件概率。尽管朴素贝叶斯分类器的假设过于简化,但是有些实际情况中(文本分类和垃圾邮件过滤)表现良好。 不同的朴素贝叶斯分类器的...

    之前学习西瓜书的时候,记录过朴素贝叶斯的学习笔记。由贝叶斯判定准则可知,我们可以使用最大后验估计来获取样本的类别。而贝叶斯分类器估计后验概率的问题可转换为估计类先验概率和类条件概率。对于朴素贝叶斯,假设属性条件性独立,因此核心就是估计类先验概率和各属性的类条件概率。 a r g m a x c k   P ( c k ) ∏ i = 1 d P ( x i = x i t e s t ∣ c k ) argmax_{c_k} \ P(c_k)\prod_{i=1}^d P(x_i=x_i^{test}|c_k) argmaxck P(ck)i=1dP(xi=xitestck)如果取log可将乘法变成加法使计算更简单,同时这种也可以看作是线性回归,权重为1,sklearn库里也是如此实现的。 a r g m a x c k   l o g ( P ( c k ) ) + ∑ i = 1 d l o g ( P ( x i = x i t e s t ∣ c k ) ) argmax_{c_k} \ log(P(c_k))+\sum_{i=1}^d log(P(x_i=x_i^{test}|c_k)) argmaxck log(P(ck))+i=1dlog(P(xi=xitestck))
    尽管朴素贝叶斯分类器的假设过于简化,但是有些实际情况中(文本分类和垃圾邮件过滤)表现良好。不同的朴素贝叶斯分类器的区别在于对属性的类条件概率的分布假设不同,贝叶斯的训练过程其实就是参数估计的过程。sklearn中有3种不同分布对应的朴素贝叶斯分类器。

    1.高斯朴素贝叶斯

    1.1高斯分布

    高斯分布又称正态分布,是一种连续型概率分布,其概率密度函数有两个参数(均值和方差),可用极大似然法估计参数,估计过程如下图
    在这里插入图片描述

    1.2高斯朴素贝叶斯

    高斯朴素贝叶斯假设所有特征服从多元高斯分布,每个属性的类条件概率都服从不同的高斯分布。由于朴素假设,类联合概率 P ( x ∣ c ) P(x|c) P(xc)就等于特征的类条件概率连乘。贝叶斯的训练过程其实就是参数估计的过程,使用极大似然估计出参数:对于特征 x i x_i xi来说,均值、方差的估计分别为在样本类别c中,所有 x i x_i xi的平均值和方差。对于一个连续的样本值,带入已知参数的高斯分布,就可以求出它的概率了。

    2.伯努利朴素贝叶斯

    2.1伯努利分布

    伯努利分布又叫做0-1分布,是一种离散型概率分布。是指对于随机变量X,一次试验只有两种结果,取1的概率为p,取0的概率为1-p。记为B(1,p),参数为p。比如抛一次硬币,预测结果是正面还是反面。 P ( x ∣ c ) = p x ( 1 − p ) ( 1 − x ) = p x + ( 1 − p ) ( 1 − x ) P(x|c)=p^x(1-p)^{(1-x)}=px+(1-p)(1-x) P(xc)=px(1p)(1x)=px+(1p)(1x)
    伯努利分布的参数估计
    对于特征x,一个样本的似然为 P ( x ∣ c ) = p x ( 1 − p ) ( 1 − x ) P(x|c)=p^x(1-p)^{(1-x)} P(xc)=px(1p)(1x)
    训练集的对数似然(其实也是逻辑回归的损失函数推导)为 l n L = ∑ i = 1 m l o g ( p x i ( 1 − p ) ( 1 − x i ) ) = ∑ i = 1 m [ x i l o g p + ( 1 − x i ) l o g ( 1 − p ) ] lnL=\sum_{i=1}^{m}log(p^{x_i}(1-p)^{(1-x_i)})=\sum_{i=1}^m [x_ilogp+(1-x_i)log(1-p)] lnL=i=1mlog(pxi(1p)(1xi))=i=1m[xilogp+(1xi)log(1p)]
    对数似然函数对p求导数可得 ∑ i = 1 m [ x i p + 1 − x i 1 − p ] = ∑ i = 1 m p − x i p ( 1 − p ) = 0 \sum_{i=1}^m[\frac {x_i}{p}+ \frac {1-x_i}{1-p}]=\sum_{i=1}^m\frac {p-x_i}{p(1-p)}=0 i=1m[pxi+1p1xi]=i=1mp(1p)pxi=0
    从而得到伯努利的极大似然估计为 P ( x i = 1 ∣ c ) = ∑ i x i m P(x_i=1|c)=\frac{\sum_i x_i}{m} P(xi=1c)=mixi,也就是样本中每个特征出现(取值为1)的频率。

    2.2伯努利朴素贝叶斯

    伯努利朴素贝叶斯假设所有属性的类联合概率 P ( x ∣ c ) P(x|c) P(xc)多元伯努利分布,每个属性的类条件概率都服从不同的伯努利分布,那么参数的个数就等于特征的个数,对应于每个特征出现的概率。由于朴素假设,类联合概率 P ( x ∣ c ) P(x|c) P(xc)就等于特征的类条件概率连乘。贝叶斯的训练过程其实就是参数估计的过程,对于特征 x i x_i xi来说,使用极大似然估计出参数 P ( x i = 1 ∣ c ) = N ( c , x i ) N c P(x_i=1|c)=\frac{N(c,x_i)}{N_c} P(xi=1c)=NcN(c,xi)

    2.3概率平滑

    为防止训练集中某个特征值和某个类别未同时出现过,导致预测概率为0。所以需要进行平滑处理 P ( x i = 1 ∣ c ) = N ( c , x i ) + α N c + 2 ∗ α P(x_i=1|c)=\frac{N(c,x_i)+\alpha}{N_c+2*\alpha} P(xi=1c)=Nc+2αN(c,xi)+α其中 α \alpha α乘以2可保证0-1分布的概率和为1,当 α = 1 \alpha=1 α=1时,称为拉普拉斯平滑。

    3.多项式朴素贝叶斯

    3.1多项式分布

    二项分布是进行n次伯努利试验的结果,记为X~B(n,p)。n表示实验次数,p表示每次伯努利试验结果为1的概率,X表示n次实验中结果出现的次数。比如多次抛硬币,预测正面出现k次的概率。 P ( X = k ) = C n k p k ( 1 − p ) ( n − k ) P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{(n-k)} P(X=k)=Cnkpk(1p)(nk)
    多项式分布是二项分布的推广,不同的是每次的试验可能结果有多个,每个结果出现的次数为随机变量X1,X2,…Xk。进行n次重复实验,每种结果可能出现多次,对于每种结果的出现次数组成的随机向量服从多项式分布。比如多次抛硬币,统计每种情况出现的次数。 P ( X 1 = n 1 , X 2 = n 2 , . . . ) = n ! n 1 ! . . . n k ! p 1 n 1 . . . p k n k P(X_1=n_1,X_2=n_2,...)=\frac{n!}{n_1!...n_k!}p_1^{n_1}...p_k^{n_k} P(X1=n1,X2=n2,...)=n1!...nk!n!p1n1...pknk
    多项式分布的参数估计
    进行n次重复实验,n个样本的似然(联合密度函数) 为 P ( X 1 = n 1 , X 2 = n 2 , . . . ) = n ! n 1 ! . . . n k ! p 1 n 1 . . . p k n k P(X_1=n_1,X_2=n_2,...)=\frac{n!}{n_1!...n_k!}p_1^{n_1}...p_k^{n_k} P(X1=n1,X2=n2,...)=n1!...nk!n!p1n1...pknk对数似然为 l n L = l o g [ n ! n 1 ! . . . n k ! p 1 n 1 . . . p k n k ] = l o g n ! − ∑ i = 1 k l o g n i ! + ∑ i = 1 k n i l o g p i lnL=log[\frac{n!}{n_1!...n_k!}p_1^{n_1}...p_k^{n_k}]=logn!-\sum_{i=1}^k logn_i!+\sum_{i=1}^k n_ilogp_i lnL=log[n1!...nk!n!p1n1...pknk]=logn!i=1klogni!+i=1knilogpi
    有约束的极值问题可用拉格朗日函数,因此 L a g r a n g e ( p 1 , . . . p k ) = l n L − λ ( ∑ i = 1 k p i − 1 ) Lagrange(p_1,...p_k)=lnL-\lambda (\sum_{i=1}^k p_i-1) Lagrange(p1,...pk)=lnLλ(i=1kpi1)
    对参数求导,有 n i p i − λ = 0 \frac{n_i}{p_i} -\lambda=0 piniλ=0 p i = n i λ p_i=\frac{n_i}{\lambda} pi=λni又因为 ∑ p i = 1 \sum p_i = 1 pi=1,所以 λ = ∑ n i = n \lambda=\sum n_i=n λ=ni=n
    从而多项式分布的极大似然估计出 p i = n i n p_i=\frac{n_i}{n} pi=nni,也就是n次实验中,该结果出现的次数频率。

    3.2多项式朴素贝叶斯

    多项式朴素贝叶斯假设所有属性的类联合概率 P ( x ∣ c ) P(x|c) P(xc)服从多项式分布,那么参数个数等于特征的个数。因此,多项式朴素贝叶斯常用的特征取值,多为次数。贝叶斯的训练过程其实就是参数估计的过程,通过极大似然估计出, P ( x i ∣ c ) = N c , x i N c P(x_i|c)=\frac{N_{c,x_i}}{N_c} P(xic)=NcNc,xi

    在文本分类中的单词计数向量正好服从多项式分布,语料库看作n次(单词总数)重复实验,因此多项式朴素贝叶斯在文本分类的效果较好,采用词频,有时候也使用tf-idf。

    3.3概率平滑

    为防止训练集中某个词和某个类别未同时出现过,导致预测概率为0。所以需要进行平滑处理 P ( x i ∣ c ) = N c , x i + α N c + d ∗ α P(x_i|c)=\frac{N_{c,x_i}+\alpha}{N_c+d*\alpha} P(xic)=Nc+dαNc,xi+α其中,d为数据的维度(分子 α \alpha α乘以d,可保证每个特征出现的概率之和为1),当 α = 1 \alpha=1 α=1时,称为拉普拉斯平滑。

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  • 朴素贝叶斯参数估计

    千次阅读 2016-10-31 22:50:22
    朴素贝叶斯的决策函数为: y = arg max c k P ( Y = c k ) ∏ j N P ( X ( j ) = x ( j ) | Y = c k ) y = \operatorname*{arg} \operatorname*{max}_{c_k}P(Y=c_k)\prod_j^N P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k) 模型...

    输入空间 XRn n 维向量的集合,输出空间 Y={c1,c2,...,cK} 为类标记集合设输入为特征向量 x ,输出为类标记 y X 为定义在输入空间上的随机向量,Y 是定义在输出空间上的随机向量。 P(x,y) X Y 的联合概率分布,训练数据集 T={(x1,y1),(x2,y2),...,(xN,yN)} P(X,Y) 独立同分布产生。

    朴素贝叶斯的决策函数为:

    y=argmaxckP(Y=ck)jNP(X(j)=x(j)|Y=ck)

    模型的学习意味着估计 P(Y=ck) P(X(j)=x(j)|Y=ck) . 可以使用极大似然估计(MLE)最大后验概率估计(MAP)来进行参数估计.这里主要讨论极大似然估计。

    1. 极大似然估计

    极大似然估计适于“模型已知,参数未定”的情况. 已知某个随机样本满足某种概率分布,但是其中具体的参数不清楚,参数估计就是通过若干次试验,观察其结果,利用结果推出参数的大概值。最大似然估计是建立在这样的思想上:已知某个参数能使这个样本出现的概率最大,我们当然不会再去选择其他小概率的样本,所以干脆就把这个参数作为估计的真实值。我们所估计的模型参数,要使得产生这个给定样本的可能性最大. 该方法通常有以下几个步骤:

    • 写出似然函数
    • 对似然函数取对数
    • 求导数
    • 解似然方程

    其中最关键的一步在于列出似然函数。

    2. 从变量 Y 的分布律出发构造似然函数

    2.1 最简单的假设:变量 Y 服从伯努利分布

    为简单起见,考虑二分类的情况,并假设变量 Y 服从伯努利分布。设 p{Y=c1}=p,则 p{Yc1}={Y=c2}=1p . 统一起来表示为 P{Y=t}=pt(1p)1t(t=0,1) .

    事件 yi 发生的概率是 P{yi=t}=pti(1p)1ti . 设训练集中 c1 出现的次数为 d ,则 d=Ni=1I(yi=c1).

    样本联合分布为:

    L(y1,y2,...,yN;p)=i=1Npti(1p)Nti=pd(1p)Nd

    L(y1,y2,...,yN;p) 看成是 p 的函数,称为参数 p 的似然函数,记为 L(p) . 取对数似然函数 lnL(p)=dlnp+(Nd)ln(1p) ,对其求导有:

    lnL(p)p=dpNd1p

    lnL(p)p =0,可解得 p=dN ,即:

    P(Y=ck)=Ni=1I(yi=c1)N

    2.2 从 Y 的分布律出发构造似然函数

    前面假设 Y 服从伯努利,根据其分布函数列似然函数。事实上我们并不知道 Y 服从何种分布,此时可以假设 Y 的分布律。

    令参数 P(Y=ck)=θk ,其中 k{1,2,...,K} 。那么 随机变量 Y 的分布律可用参数表示为

    P(Y)=k=1KθkI(Y=ck)

    其中 I 指示函数,当 Y=ck 成立时为1,否则为0. P(yi)=Kk=1θkI(Y=cyi) . 约束条件 Ki=1θk=1 ,

    极大似然函数 L(θk;y1,y2,...,yN)=Ni=1P(yi)=Ni=1θNkK ,其中 Nk 为样本中 Y=ck 的样本数目,易知 Ki=1Nk=K 。取对数的到:

    lnL(θ)=k=1KNklnθk

    由约束条件 Ki=1θk=1 ,使用拉格朗日乘子法

    L(θ,λ)=k=1KNklnθk+λ(k=1Kθk1)

    该函数的极值与目标函数一致,分别令其对 θ1,θ2,...,θK 的导数为0,可得到:

    N1θ1+λ=0N2θ2+λ=0...NKθK+λ=0i=1Kθk=1i=1KNk=N

    联立以上各式,可得: θk=NkN

    3. 从 (X,Y) 的联合概率分布出发构造似然函数

    我们考虑构建二元变量 (X,Y) 的联合分布。这需要 p(y=ck) p(x(j)=ajl|y=ck) 作为参数。

    • p(y)=Kk=1p(y=ck)I(y=ck)
    • p(x|y=ck)=Nj=1p(x(j)|y=ck)=Nj=1Sjl=1p(x(j)=ajl|y=ck)I(x(j)=ajl,y=ck)

    φ 代替参数集合 {p(y=ck),p(x(j)=ajl|y=ck)} ,设第 i 个样本的第 j 个特征 x(j)i 可能的取值集合为 {aj1,aj2,...,ajSj} ,其中 i=1,2,...,N;j=1,2,...,n . 有一个易得的约束条件是 Kk=1p(y=ck)=1 .

    写出样本的对数似然函数

    L(φ)======lni=1Np(xi,yi;φ)lni=1Np(xi|yi;φ)p(yi;φ)#lni=1N(j=1np(x(j)i|yi;φ))p(yi;φ)#ni=1N(lnp(yi,φ)+j=1nlnp(x(j)i|yi;φ))i=1N[k=1Klnp(y=ck)I(yi=ck)+j=1nl=1Sjlnp(x(j)=ajl|yi=ck)I(x(j)i=ajl,yi=ck)]#i=1N[k=1KI(yi=ck)lnp(y=ck)+j=1nl=1SjI(x(j)i=ajl,yi=ck)lnp(x(j)=ajl|yi=ck)]#

    现在来求似然函数的极大值。

    考虑 p(y=ck) 系列参数,此时只需要考虑似然函数的前半部分。

    L(φ)p(y=ck)===p(y=ck)i=1Nk=1KI(yi=ck)lnp(y=ck)p(y=ck)i=1N[k=1K1I(yi=ck)lnp(y=ck)+I(yi=cK)lnp(y=cK)]p(y=ck)i=1N[k=1K1I(yi=ck)lnp(y=ck)+I(yi=cK)ln(1k=1K1p(y=ck))]

    其中最后一步用到了约束条件 Kk=1p(y=ck)=1 ,使用了等式 p(y=cK)=1K1k=1p(y=ck) 进行替换.

    现在求当k=1时,即 p(y=c1) 的估计值:

    0====L(φ)p(y=c1)p(y=c1)i=1N[k=1K1I(yi=ck)lnp(y=ck)+I(yi=cK)ln(1k=1K1p(y=ck))]i=1N[I(yi=c1)p(y=c1)I(yi=cK)1K1k=1p(y=ck)]i=1N[I(yi=c1)p(y=c1)I(yi=cK)p(y=cK)]

    由上式解得:
    p(y=c1)=Ni=1I(yi=c1)Ni=1I(yi=cK)p(y=cK)
    同理可得:
    p(y=c2)=Ni=1I(yi=c2)Ni=1I(yi=cK)p(y=cK)

    p(y=cK)=Ni=1I(yi=cK)Ni=1I(yi=cK)p(y=cK)

    上面所有式子左右分别相加得:
    p(y=c1)+p(y=c2)+...+p(y=cK)=NNi=1I(yi=cK)p(y=cK)=1
    可得:
    p(y=cK)=Ni=1I(yi=cK)N
    将上式带入前面的 p(y=ck)(k=1,2,...,K1) ,可得:
    p(y=ck)=Ni=1I(yi=ck)N
    综上所述,先验概率 p(y=ck) 的极大似然估计是:

    p(y=ck)=Ni=1I(yi=ck)N,k=1,2,...,K

    同理,按照此方法可推导出条件概率 p(x(j)=ajl|y=ck)

    参考资料
    1. 李航,著. 统计学习方法[M]. 清华大学出版社,2012
    2. 知乎

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  • 统计学习方法——朴素贝叶斯法原理 1. 贝叶斯估计 1.1 为什么要用贝叶斯估计(极大似然的缺点) 1.2 贝叶斯估计原理 贝叶斯估计的算法过程合极大似然估计的算法过程一模一样,代码也几乎一模一样,...

    统计学习方法——朴素贝叶斯法原理

    1. 贝叶斯估计

    1.1 为什么要用贝叶斯估计(极大似然的缺点)

    在这里插入图片描述

    1.2 贝叶斯估计原理

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    贝叶斯估计的算法过程合极大似然估计的算法过程一模一样,代码也几乎一模一样,只是加了一个λ。

    2. Python代码

    def priorProbability(labelList,Lambda):  # 加入一个lambda
        labelSet = set(labelList)
        labelCountDict = {}
        for label in labelList:
            if label not in labelCountDict:
                labelCountDict[label] = 0
            labelCountDict[label] += 1
        priorProbabilityDict = {}
        for label in labelSet:
            priorProbabilityDict[label] = (labelCountDict[label]+Lambda)/(len(labelList)+len(labelSet)*Lambda)
        return priorProbabilityDict
    def conditionProbability(dataSet,labelList,Lambda):
        dimNum = len(dataSet[0])
        characterVal = []
        for i in range(dimNum):
            temp = []
            for j in range(len(dataSet)):
                if dataSet[j][i] not in temp:
                    temp.append(dataSet[j][i])
            characterVal.append(temp)
        probability = []
        labelSet = list(set(labelList))
        for dim in range(dimNum):
            tempMemories = {}
            for val in characterVal[dim]:
                for label in labelSet:
                    labelCount = 0
                    mixCount = 0
                    for i in range(len(labelList)):
                        if labelList[i] == label:
                            labelCount += 1
                            if dataSet[i][dim] == val:
                                mixCount += 1
                    tempMemories[str(val) + "|" + str(label)] = (mixCount+Lambda)/(labelCount+len(characterVal[dim])*Lambda)
            probability.append(tempMemories)
        return probability
    def naiveBayes(x,dataSet,labelList,Lambda):
        priorProbabilityDict = priorProbability(labelList,Lambda)
        probability = conditionProbability(dataSet,labelList,Lambda)
        bayesProbability = {}
        labelSet = list(set(labelList))
        for label in labelSet:
            tempProb = priorProbabilityDict[label]
            for dim in range(len(x)):
                tempProb *= probability[dim][str(x[dim])+"|"+str(label)]
            bayesProbability[label] = tempProb
        result = sorted(bayesProbability.items(),key= lambda x:x[1],reverse=True)
        return result[0][0]
    
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  • 为什么80%的码农都做不了架构师?>>>   极大似然估计 学习与分类算法 ...贝叶斯估计 转载于:https://my.oschina.net/liyangke/blog/2945204
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    千次阅读 2018-10-03 03:02:39
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  • 朴素贝叶斯估计

    2016-07-12 20:59:00
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    2020-02-27 20:18:37
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  • 朴素贝叶斯

    2019-03-25 11:03:06
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  • 朴素贝叶斯朴素贝叶斯内容(Content) Discriminative Model & Generative Model判别模型和生成模型Main Idea (1): Bayesian Rule主要思想(1):贝叶斯法则Main Idea (2): Conditional independence hypothesis...
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  • 朴素贝叶斯算法与贝叶斯估计

    千次阅读 2017-12-14 21:11:09
    在看贝叶斯算法的相关内容时,你一定被突如其来的数学概念搞得头昏脑涨。比如极大似然估计(Maximum likelihood estimation ),极大后验概率估计(Maximum a posteriori estimation),先验概率(Prior probability),后...

空空如也

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朴素贝叶斯的参数估计