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  • 机器人状态估计

    2016-06-28 10:27:24
    最新的机器人状态估计书籍
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    概率机器人状态估计的基础知识

           在机器人定位及状态估计的问题中,有着各种滤波器,如大名鼎鼎的卡尔曼滤波器,以及信息滤波、直方图滤波、粒子滤波等,但这些滤波的本质仍然是贝叶斯滤波,贝叶斯滤波是对该问题的一般性解决方法的描述性算法,我们将在这篇文章详细地说明贝叶斯滤波之前的基础知识,为接下来的内容提供理论工具。
           看了《概率机器人》有关于此的介绍,结合这本书和自己的理解写了以下的内容。

    几个重要的基础概念

           对于贝叶斯滤波来说,我们需要知道一些有关概率、统计与估计等方面的知识,主要涉及矩阵分析、概率与数理统计、随机过程等课程的内容,下面截取几个重要的基础知识作为预备知识。

    1、贝叶斯准则

           贝叶斯准则在机器人相关滤波中起到很大的作用,其主导地位的确定是因为其可以通过“逆”条件概率先验概率去计算出后验概率

           在这里可能不会就很快地理解上面这句话,下面我们就用一个简单的例子来说明贝叶斯准则解决的问题是什么。

           我们假设机器人所处的环境及其自身的位置可用状态X来表示,机器人自身带有传感器,能够使用传感器来探测周围环境和自身姿态,传感器测量为Y。我们现在需要用传感器的测量值Y来估计机器人实际的状态X,这个问题相当于是求概率p(X|Y),即在测量值为条件下的状态的概率分布情况。贝叶斯准则如下:
    p ( X ∣ Y ) = p ( Y ∣ X ) p ( X ) / p ( Y ) p(X|Y)=p(Y|X)p(X)/p(Y) p(XY)=p(YX)p(X)/p(Y)
           对于概率p(X),我们将其成为先验概率分布,即在传感器测量之前,我们就综合之前的有关x的信息。p(X|Y)就是我们需要求的后验概率,即在传感器测量下的对x的状态进行估计。求解后验概率的方法如贝叶斯准则,可以将其转换为后验概率的“逆”条件概率p(Y|X)和p(x)先验概率来求得。

           对于后验概率的逆概率p(Y|X),我们称其为生成模型,对于这个概率,我们理解为在状态X的条件下,传感器测量值Y的概率分布,即在X条件下的导致Y的分布情况,由X到Y的顺序,这个也是我们因果的正常关系,先有的因,再去产生结果。而我们需要求解的后验概率为:知道了传感器的测量值Y作为条件,来推测当前状态X,也就是知道了结果来推测其产生的原因。所以贝叶斯准则是将由结果推测原因的问题转化成由原因推测结果的转换过程。

    2、状态的完整性

           机器人的状态包括了周围环境的状态和其自身的状态,我们假设一个状态Xt能够最好地去预测未来,则称该状态是完整的。

           这里的完整性指的是包括过去测量及控制的信息,当不包括其他可以更加精确地预测未来的附加信息。另外完备性并不是对未来有一个确定的预测函数。未来是随机的,但是没有先于Xt状态的状态变量可以影响未来的随机变化,除非这种依赖通过状态Xt起作用。满足这些条件的暂态过程叫做马尔科夫链。有关于马尔科夫链相关的内容更多地在随机过程中有解释。

    3、概率生成法则

           在机器人状态估计中有两个十分重要的概率,几乎所有的滤波算法都是对这两个概率的具体化后的处理。这两个概率就是:状态转移概率、测量概率

    ​        由状态的完整性可知,未来的状态可以通过现在的状态来预测,且其具有马尔科夫性,可以不依赖所有之前的历史状态,所以我们可以得到以下的状态转移概率:
    p ( x t ∣ u t , x t − 1 ) p(x_t|u_t,x_{t-1}) p(xtut,xt1)
           该条件概率的条件分别为前一状态和当前控制量,在该条件下得到目前状态Xt的概率分布情况。

           测量概率很容易理解,即在当前状态下,传感器测量到的值的概率分布情况:
    p ( z t ∣ x t ) p(z_t|x_t) p(ztxt)
           以上两个概率将一起描述机器人及其环境组成的动态随机系统。下图显示了这些概率定义的状态和测量的演变过程,这样的时间生成模型被称为隐马尔科夫模型动态贝叶斯网络

    Alt
    截图来自《概率机器人》。

    4、置信分布

           在机器人中另外一个重要的概念是置信度。由于机器人的状态通过测量得到的并不是状态的准确值,状态不能直接测量,所以概率机器人通过条件概率分布来表示置信度。对于真实状态,置信度对每一种可能的假设分配一个概率。置信度分布是以可获得数据为条件关于状态变量的后验概率。

           用bel(Xt)表示状态变量Xt的置信度,可以写成如下的后验概率:
    b e l ( x t ) = p ( x t ∣ z 1 : t , u 1 : t ) bel(x_t)=p(x_t|z_{1:t},u_{1:t}) bel(xt)=p(xtz1:t,u1:t)
           从该条件概率可以知道该概率分布是以历史上所有的测量与控制为条件的条件概率。

           除此之外,以上的置信度是综合了所有时刻的测量与控制,我们还可以综合最后一次测量以前的,这样得到的后验概率可以表示为如下形式:
    b e l ‾ ( x t ) = p ( x t ∣ z 1 : t − 1 , u t ) \overline{bel}(x_t)=p(x_t|z_{1:t-1},u_t) bel(xt)=p(xtz1:t1,ut)
           在概率滤波的框架下,这个概率常被称为预测。在综合了t时刻测量之前,根据以前的状态,预测了t时刻的状态。由其去预测置信度称为修正或者测量更新。例如在卡尔曼滤波的过程中,就是由预测和测量更新两步组成的。所以这两个概率分布也十分重要。

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  • 状态估计中的两大方程知多少! 状态方程 测量方程 控制数据(这里为毛还把控制数据扯进来了,且看下面说明原因) 以上就是在状态估计两大方程中所需要着重理解的两个方程和一个数据。 前面 下面这些东西对后面...
    状态估计中的两大方程知多少!
    • 状态方程
    • 测量方程
    • 控制数据(这里为毛还把控制数据扯进来了,且看下面说明原因)
      以上就是在状态估计两大方程中所需要着重理解的两个方程和一个数据。

    前面
    下面这些东西对后面状态的估计会很重要!!!

    1. 状态(什么是状态,状态包含哪些?)
      在某场景下,状态包括静态状态和动态状态。对机器人来说,这里的状态主要是机器人自身的一个状态,包括机器人的位姿(position+rpy角度)、线速度、角速度和加速度。以上信息能够描述一个机器人在运动学模型下的状态所包含的信息。

    2. 测量(什么是测量,测量的作用是什么?)
      这里我们就必须要首先明白什么是测量,测量是由什么产生的。测量是来源于机器人对环境的感知过程,获取环境的状态信息。能够能过一些传感器,比如图像,雷达测距仪等能够获取环境中的landmark信息。想象一下没有测量,相当于一位盲人被放进了太空中,没有任何的参考;测量相当于给盲人安上了眼睛,在移动的时候,有了一些参考。测量相当于提供了环境的暂态信息,相当于一个在delta_t时间内的参考。

    3. 控制数据 (控制数据的作用是什么?)
      伽利略推翻了亚里士多德的力关于运动的理论,通过实验证明力是改变物体运动状态的原因。这里的控制数据就可以理解为改变机器人状态的“力”。控制数据中携带可以改变状态的信息,最直白的就是比如速度,位移等控制信息。产生控制数据的传感器比如轮速计(编码计)、camera(视觉里程计)等。


    正题
    这里就要开始介绍我们的状态方程和测量方程中都包含什么以及如何进行考虑各种噪声的问题了。
    请转移阵地,机器人状态估计二。

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  • 机器人状态估计,另外还包含了自动驾驶学习资料 涵盖感知,规划和控制,ADAS,传感器;
  • 点击上方“小白学视觉”,选择加"星标"或“置顶”重磅干货,第一时间送达EKF的目的是使卡尔曼滤波器能够应用于机器人等非线性运动系统,EKF生成的状态估计比仅使用实际测量值更准确。在本文中,...

    点击上方“小白学视觉”,选择加"星标"或“置顶

    重磅干货,第一时间送达

    EKF的目的是使卡尔曼滤波器能够应用于机器人等非线性运动系统,EKF生成的状态估计比仅使用实际测量值更准确。在本文中,我们将简要介绍扩展卡尔曼滤波器,并了解传感器融合的工作原理。为了讨论EKF,我们将考虑一种机器人车(自驾车车辆在这种情况下)。如下图所示,我们可以在一个全局坐标系中为这辆车建模,坐标为:Xglobal、Yglobal和Zglobal(面朝上)。X_car和Y_car坐标属于以线速度(V)和角速度(ω)移动的车的坐标系。横向角(γ)测量汽车绕全局Z轴旋转的程度。

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    EKF几乎存在于机器人技术的每个领域,用于估计状态。EKF的目标是平滑汽车的噪声传感器测量值,以便更好地进行状态估计。这里的状态是指汽车的位置,为了估计车辆状态,EKF将噪声传感器测量值与预测传感器测量值相结合,以生成最佳估计值。然而,为了理解EKF的功能,我们需要了解EKF的两个数学模块:

    • 状态空间模型

    • 观测模型

    1.状态空间和运动模型

    使用状态空间模型,我们可以预测汽车的下一个状态,它也被称为状态转换模型,表示汽车或机器人从当前时间步到下一时间步的运动。例如,它显示了我们汽车的当前状态是如何根据使用转向、油门和制动器对汽车[线速度V和角速度ω]的控制而变化的。转向影响ω,而油门和制动器影响线速V。从现在起,我们将把时间t时汽车的状态表示为[xt,yt,γt],控制输入表示为[vt,ωt]。现在让我们根据全局参考系推导汽车的速度分量:

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    如上图所示,通过应用三角学,我们得到角速度为ω的Vx=Vcos(y)和Vy=Vsin(y)。现在,给定我们的初始状态[xt-1,yt-1,γt-1],我们可以如下估计下一个状态[xt,yt,γt]:

    注:我们从t=1开始,初始状态为[x0,y0,γ0]

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    在上图中,我们用数学方法描述了机器人汽车的运动。在方程式1中,在dt时,汽车会向上移动一段距离。因为我们知道距离可以写成速度(v)和时间(t)的乘积,所以方程1很容易得到。每个项(f1、f2和f3)将用于计算雅可比矩阵F。这里我们使用雅可比矩阵,因为我们需要线性化具有余弦和正弦项的非线性方程。

    在等式2中,Xt表示时间t处的运动模型。F和B是雅可比矩阵,在我们的例子中,F是一个单位矩阵,因为汽车的移动仅基于输入控制,即线性和角速度。但是,它并不总是一个单位矩阵。想想飞机的情况,在飞机上,重力起作用,如果我们不提供控制输入,它就会坠落并坠毁。所以,在这种情况下,F不是恒等式。最后,等式3表示添加了噪声项的完整状态空间模型。

    2.观测模型

    我们使用状态空间或运动模型对汽车进行了估计。现在,我们将平滑传感器测量,以更好地估计机器人汽车的当前状态(这称为传感器融合)。首先,我们的状态模型预测下一个状态,然后观察模型获取状态模型的预测输入[xt,yt,yt],以生成(推断)新的测量值。

    想象一下,当我们在一辆自动驾驶汽车上,传感器发生故障时的情形。现在我们希望汽车移动到目标位置。在这种情况下,观测模型可以预测未来某个时间的传感器测量结果。因此,即使汽车传感器发生故障并产生错误数据,观测模型也会试图减少误差。

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    yt为n维,表示n个传感器测量值。w是每个传感器的噪声。H是将预测状态估计值转换为预测传感器测量值的测量矩阵。

    基于上述讨论,我们做出了以下两个假设:

    1. 状态模型根据控制输入估计机器人的状态

    2. 观测模型使用预测状态推断传感器测量

    扩展卡尔曼滤波(EKF)

    EKF计算当前时间步长t和预测传感器测量值(如上所述)的这些实际传感器测量值的加权平均值,以生成更好的当前状态估计值。EKF有两个阶段:预测和更新(如下图所示)

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    上图显示了扩展卡尔曼滤波器的预测和更新步骤。在预测步骤中,我们首先使用状态空间或运动模型来估计状态(Xt)(我们去除了噪声项,只是为了让它看起来干净)。然后,我们使用之前在时间t-1处的协方差矩阵P获得时间t处的状态协方差矩阵P。状态协方差矩阵包含状态的不确定性。然而,对于第一次迭代,我们没有协方差矩阵,所以我们初始化它,如上图所示。此外,汽车的初始状态向量和控制命令将为零。

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    矩阵F是状态转移矩阵,用于预测下一个值X和协方差矩阵P。矩阵Q是过程噪声协方差矩阵。Q的维数是(状态数*状态数),在我们的例子中,它是3x3。这个Q项很重要,因为状态测量有噪声,我们需要测量方差。

    注:Rt(传感器测量噪声协方差矩阵)

    K表示卡尔曼增益。如果传感器噪声高(残余协方差高),K值趋于零,传感器测量值将被忽略。如果预测的噪声很高,那么K接近1,我们将依靠传感器测量。最后,更新Xt和Pt并将其用于下一步的预测。换句话说,Kalman增益(K)包含关于当前预测X和当前观测测量z的权重的信息,这将导致最终融合更新状态向量X和过程协方差矩阵P。

    至此,我们已经完成了EKF。然而,EKF有一个线性化误差,基本上取决于函数的非线性程度以及用于线性化的工作点的距离。线性化误差可能会对自动驾驶汽车产生灾难性影响,因为它会导致估计器对错误答案过于自信。此外,推导雅可比矩阵是一个繁琐且容易出错的过程。如果自动驾驶汽车移动得很快,那么线性化误差就更大。

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    Chapter 1: 简介

    本书将首先介绍一些经典的估计方法,可用于线性高斯系统;
    然后将介绍一些像非线性系统与非高斯噪声的扩展方法;
    还会开个小差,介绍如何讲状态估计结果用于在三维世界中操控机器人,提倡一种处理
    旋转的方式:李群。

    1. 历史

    四千年前,航海者需要进行状态估计。
    到十五世纪,发明了海事罗盘和航海图,可以在海上进行状态估计。
    后来发明了一系列其他的测量红菊,如使用天体导航测量纬度;
    而测量经度则是依靠便携钟表的发明。

    天文学中也有状态估计。
    高斯发明了最小二乘,用以在预测轨道时最小化测量误差的影响;
    其后,他证明了在误差高斯分布下,最小二乘最优。

    在二十世纪中叶,估计问题开始发展,这与计算机的发明相关。
    1960年卡尔曼发表了两篇里程碑论文,定义了很多之后状态估计领域的内容:
    他首先定义了可观测性,即动态系统中的一个状态是否可以通过测量数据中来推测;
    他又定义了噪声存在下,估计系统状态的最佳框架,即卡尔曼滤波器,流行了五十年。
    NASA最先使用KF来帮助航天器进行状态估计。

    十五年前(两千年左右),状态估计这个研究领域开始衰落,
    但随着新的传感器技术,这个领域开始迎接新的挑战。

    2. 传感器,测量,和问题定义

    传感器精度有限,因而测量数据有不确定性。
    估计状态时,需要记录不确定性,从而知道我们对估计结果的自信程度。
    状态估计是为了用不完美的传感器获得最好的估计。
    但同时我们也力求提高传感器。
    传感器分两类:内感受的(interoceptive)和外感受的(exteroceptive)。
    前者包括加速度计、陀螺仪、轮子里程计(测量角速度);
    后者包括相机、TOF发射接收器(如激光测距仪、GPS)。
    一般来讲,前者测量速度、加速度,后者测量位置和姿态。
    最好的状态估计同时使用这两种传感器,如GPS加IMU,
    再如现在卫星使用探测太阳、星体的传感器和三自由度陀螺仪来估计状态。

    问题定义:
    Estimation is the problem of reconstructing the underlying state of a system
    given a sequence of measurements as well as a prior model of the system.
    估计问题是给定一系列测量数据与系统的先验模型,来重建系统的状态。

    状态估计问题和方案都有很多,目标是理解在哪种情况下应该用哪种方法。

    3. 本书架构

    本书由三部分组成:

    1. 估计机器(Estimation Machinery)
    2. 三维机器(Three-Dimensional Machinery)
    3. 应用(Applications)

    第一部分讲解了经典和state-of-the-art的估计工具,但先不处理三维的事情,
    状态假设为一个一般的向量;
    内容包含了递归状态估计方法和批方法(batch methods),都是基于贝叶斯方法;
    对比了贝叶斯方法和最大后验(MAP)方法,并讲解两者对非线性问题的区别;
    书中还讲连续时间估计与机器学习中的高斯过程回归相结合;
    最终讨论了一些实际问题,如鲁棒估计和biases。

    第二部分讲解了基础的三维几何,并对矩阵李群做了详细介绍;
    旋转并不是通常意义的向量,因此第一部分的估计方法不能直接适用;
    因此,第二部分详述了几何、运动学、旋转和位姿的概率/统计。

    第三部分结合了前两部分,讲述了一系列经典三维估计问题;
    提供了一系列易于实现的方法。

    4. 与其他书的关系

    Probabilistic Robotics (2006, Thrun) 专注于概率的状态估计方法,但针对二维世界;
    方法可以扩展至三维世界,但并没有讲述。

    Computational Principles of Mobile Robotics (2010, Dudek) 讲述了移动机器人
    与状态估计,包括定位和建图方法,但没讲三维。

    Mobile Robotics: Mathematics, Models, and Methods (2013, Kelly) 讲述了移动
    机器人和状态估计,包括三维情况,但因为该书诺括了机器人学的方方面面,并没有深
    入讲解如何处理三维状态估计中的旋转变量。

    Robotics, Vision, and Control (2011, Corke) 非常全面,但并不深入讲解状态估
    计。
    Bayesian Filtering and Smoothing (2013, Sarkka) 深入讲解了递归方法;
    并不讲解批方法,也不讲解三维估计。

    Stochastic Models, Information Theory, and Lie Groups: Classical Results
    and Geometric Methods (2009, Chirikjian)
    讲解了使用矩阵李群做状态估
    计,比较理论,讲解了机器人以外的应用。

    Engineering Applications of Noncommutative Harmonic Analysis: With
    Emphasis on Rotation and Motion Groups (2001, Chirikjian)
    与最新的更新
    Harmonic Analysis for Engineers and Applied Scientists: Updated and
    Expanded Edition (2016)
    讲解了使用李群表现概率分布。在本书中,我们只讲解
    近似的方法,适用于旋转不确定性不大的情况。

    Optimization on Matrix Manifolds (2009, Absil) 不讲解状态估计,但讲解了
    如何处理优化目标并非向量时的优化问题,因为旋转并不像向量,因此与机器人相关。

    展开全文
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