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  • 机器学习里面,梯度下降法可以说是随处可见,虽然它不是什么高大上的机器学习算法,但是它却是用来解决机器学习算法良药。我们经常会用到梯度下降法来对机器学习算法进行训练。 在很多介绍梯度下降的书籍里,...

      机器学习里面,梯度下降法可以说是随处可见,虽然它不是什么高大上的机器学习算法,但是它却是用来解决机器学习算法的良药。我们经常会用到梯度下降法来对机器学习算法进行训练。

       在很多介绍梯度下降的书籍里,我们看到这样的几个英文单词缩写,BGD,SGD,MBGD。也就是批量梯度下降法BGD,随机梯度下降法SGD,小批量梯度下降法MBGD。

       哦儿啦,举例说明,一般一个线性回归函数的假设函数可以写成:hθ=nj=0θjxj

       则损失函数为:

     

    (1)批量梯度下降法

              批量梯度下降法的思路是更新每一个参数都会使用到所有的样本 ,更新的theta为

    这种方法可以看出每次迭代都需要所有的样本,样本m很大会影响速度,该方法可以得到全局最优解。

    (2)随机梯度下降法

              随机梯度下降法更新theta的公式是:

    随机梯度下降是通过每个样本来迭代更新一次,如果样本量很大的情况,那么可能只用其中部分的样本,就已经将theta迭代到最优解了,对比上面的批量梯度下降,迭代一次需要用到十几万训练样本,一次迭代不可能最优,如果迭代10次的话就需要遍历训练样本10次。缺点是SGD的噪音较BGD要多,使得SGD并不是每次迭代都向着整体最优化方向。所以虽然训练速度快,但是准确度下降,并不是全局最优。

     

    (3) 小批量梯度下降法

         小批量梯度下降法考虑以上两种方法的优缺点,做出改进。也就是在每次更新参数时候,使用固定a个样本。如总样本1000,取a=10

         

     

    大致情况就是这样,说白了,第一种方法缺点就是每次更新参数都需要全部样本,即使迭代次数少,但是样本很大的情况下,速度也是很慢的,第二种情况就是虽然每次更新参数我不需要全部样本,我只需要一个样本,但是迭代次数会很多,而且往往求得不是最优解,所以第三种方法采用部分小样本进行,每次更新使用固定个样本量,从而达到好的效果。这三种方法没有谁最好最差,具体问题具体分析。

    转载于:https://www.cnblogs.com/Peijialun/p/9662663.html

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  • 梯度下降(gradient descent)在机器学习中应用十分广泛,不论是在线性回归还是Logistic回归中,它主要目的是通过迭代找到目标函数最小值,或者收敛到最小值。 本文将从一个下山场景开始,先提出梯度下降...
    1. 概述

    梯度下降(gradient descent)在机器学习中应用十分的广泛,不论是在线性回归还是Logistic回归中,它的主要目的是通过迭代找到目标函数的最小值,或者收敛到最小值。
    本文将从一个下山的场景开始,先提出梯度下降算法的基本思想,进而从数学上解释梯度下降算法的原理,解释为什么要用梯度,最后实现一个简单的梯度下降算法的实例!

    2. 梯度下降算法
    2.1 场景假设

    梯度下降法的基本思想可以类比为一个下山的过程。
    假设这样一个场景:一个人被困在山上,需要从山上下来(找到山的最低点,也就是山谷)。但此时山上的浓雾很大,导致可视度很低;因此,下山的路径就无法确定,必须利用自己周围的信息一步一步地找到下山的路。这个时候,便可利用梯度下降算法来帮助自己下山。怎么做呢,首先以他当前的所处的位置为基准,寻找这个位置最陡峭的地方,然后朝着下降方向走一步,然后又继续以当前位置为基准,再找最陡峭的地方,再走直到最后到达最低处;同理上山也是如此,只是这时候就变成梯度上升算法了
    在这里插入图片描述

    2.2 梯度下降

    梯度下降的基本过程就和下山的场景很类似。

    首先,我们有一个可微分的函数。这个函数就代表着一座山。我们的目标就是找到这个函数的最小值,也就是山底。根据之前的场景假设,最快的下山的方式就是找到当前位置最陡峭的方向,然后沿着此方向向下走,对应到函数中,就是找到给定点的梯度 ,然后朝着梯度相反的方向,就能让函数值下降的最快!因为梯度的方向就是函数之变化最快的方向(在后面会详细解释)
    所以,我们重复利用这个方法,反复求取梯度,最后就能到达局部的最小值,这就类似于我们下山的过程。而求取梯度就确定了最陡峭的方向,也就是场景中测量方向的手段。那么为什么梯度的方向就是最陡峭的方向呢?接下来,我们从微分开始讲起:

    2.2.1 微分

    看待微分的意义,可以有不同的角度,最常用的两种是:

    • 函数图像中,某点的切线的斜率
    • 函数的变化率
      几个微分的例子:

    1.单变量的微分,函数只有一个变量时
    在这里插入图片描述
    2.多变量的微分,当函数有多个变量的时候,即分别对每个变量进行求微分
    在这里插入图片描述

    2.2.2 梯度

    梯度实际上就是多变量微分的一般化。
    下面这个例子:
    在这里插入图片描述
    我们可以看到,梯度就是分别对每个变量进行微分,然后用逗号分割开,梯度是用<>包括起来,说明梯度其实一个向量。

    梯度是微积分中一个很重要的概念,之前提到过梯度的意义

    • 在单变量的函数中,梯度其实就是函数的微分,代表着函数在某个给定点的切线的斜率
    • 在多变量函数中,梯度是一个向量,向量有方向,梯度的方向就指出了函数在给定点的上升最快的方向

    **这也就说明了为什么我们需要千方百计的求取梯度!**我们需要到达山底,就需要在每一步观测到此时最陡峭的地方,梯度就恰巧告诉了我们这个方向。梯度的方向是函数在给定点上升最快的方向,那么梯度的反方向就是函数在给定点下降最快的方向,这正是我们所需要的。所以我们只要沿着梯度的方向一直走,就能走到局部的最低点!

    2.3 数学解释

    首先给出数学公式:
    在这里插入图片描述
    此公式的意义是:J是关于Θ的一个函数,我们当前所处的位置为Θ0点,要从这个点走到J的最小值点,也就是山底。首先我们先确定前进的方向,也就是梯度的反向,然后走一段距离的步长,也就是α,走完这个段步长,就到达了Θ1这个点!
    在这里插入图片描述

    2.3.1 α

    α在梯度下降算法中被称作为学习率或者步长,意味着我们可以通过α来控制每一步走的距离,以保证不要步子跨的太大扯着蛋,哈哈,其实就是不要走太快,错过了最低点。同时也要保证不要走的太慢,导致太阳下山了,还没有走到山下。所以α的选择在梯度下降法中往往是很重要的!α不能太大也不能太小,太小的话,可能导致迟迟走不到最低点,太大的话,会导致错过最低点!

    2.3.2 梯度要乘以一个负号

    梯度前加一个负号,就意味着朝着梯度相反的方向前进!我们在前文提到,梯度的方向实际就是函数在此点上升最快的方向!而我们需要朝着下降最快的方向走,自然就是负的梯度的方向,所以此处需要加上负号;那么如果时上坡,也就是梯度上升算法,当然就不需要添加负号了。

    3. 实例

    我们已经基本了解了梯度下降算法的计算过程,那么我们就来看几个梯度下降算法的小实例,首先从单变量的函数开始,然后介绍多变量的函数。

    3.1 单变量函数的梯度下降

    我们假设有一个单变量的函数
    在这里插入图片描述
    函数的微分,直接求导就可以得到
    在这里插入图片描述
    初始化,也就是起点,起点可以随意的设置,这里设置为1
    在这里插入图片描述
    学习率也可以随意的设置,这里设置为0.4
    在这里插入图片描述
    根据梯度下降的计算公式
    在这里插入图片描述
    我们开始进行梯度下降的迭代计算过程:
    在这里插入图片描述
    如图,经过四次的运算,也就是走了四步,基本就抵达了函数的最低点,也就是山底
    在这里插入图片描述

    3.2 多变量函数的梯度下降

    我们假设有一个目标函数
    在这里插入图片描述
    现在要通过梯度下降法计算这个函数的最小值。我们通过观察就能发现最小值其实就是 (0,0)点。但是接下来,我们会从梯度下降算法开始一步步计算到这个最小值!
    我们假设初始的起点为:
    在这里插入图片描述
    初始的学习率为:
    在这里插入图片描述
    函数的梯度为:
    在这里插入图片描述
    进行多次迭代:
    在这里插入图片描述
    我们发现,已经基本靠近函数的最小值点
    在这里插入图片描述

    4. 代码实现
    4. 1 场景分析

    下面我们将用python实现一个简单的梯度下降算法。场景是一个简单的线性回归的例子:假设现在我们有一系列的点,如下图所示:
    在这里插入图片描述
    我们将用梯度下降法来拟合出这条直线!

    首先,我们需要定义一个代价函数,在此我们选用均方误差代价函数(也称平方误差代价函数)
    在这里插入图片描述
    此公式中

    • m是数据集中数据点的个数,也就是样本数
    • ½是一个常量,这样是为了在求梯度的时候,二次方乘下来的2就和这里的½抵消了,自然就没有多余的常数系数,方便后续的计算,同时对结果不会有影响
    • y 是数据集中每个点的真实y坐标的值,也就是类标签
    • h 是我们的预测函数(假设函数),根据每一个输入x,根据Θ 计算得到预测的y值,即
      在这里插入图片描述
      我们可以根据代价函数看到,代价函数中的变量有两个,所以是一个多变量的梯度下降问题,求解出代价函数的梯度,也就是分别对两个变量进行微分
      在这里插入图片描述
      明确了代价函数和梯度,以及预测的函数形式。我们就可以开始编写代码了。但在这之前,需要说明一点,就是为了方便代码的编写,我们会将所有的公式都转换为矩阵的形式,python中计算矩阵是非常方便的,同时代码也会变得非常的简洁。
      为了转换为矩阵的计算,我们观察到预测函数的形式
      在这里插入图片描述
      我们有两个变量,为了对这个公式进行矩阵化,我们可以给每一个点x增加一维,这一维的值固定为1,这一维将会乘到Θ0上。这样就方便我们统一矩阵化的计算
      在这里插入图片描述
      然后我们将代价函数和梯度转化为矩阵向量相乘的形式
      在这里插入图片描述
    4. 2 代码

    首先,我们需要定义数据集和学习率

    #!/usr/bin/env python3
    # -*- coding: utf-8 -*-
    # @Time    : 2019/1/21 21:06
    # @Author  : Arrow and Bullet
    # @FileName: gradient_descent.py
    # @Software: PyCharm
    # @Blog    :https://blog.csdn.net/qq_41800366
    

    from numpy import *

    # 数据集大小 即20个数据点
    m = 20
    # x的坐标以及对应的矩阵
    X0 = ones((m, 1)) # 生成一个m行1列的向量,也就是x0,全是1
    X1 = arange(1, m+1).reshape(m, 1) # 生成一个m行1列的向量,也就是x1,从1到m
    X = hstack((X0, X1)) # 按照列堆叠形成数组,其实就是样本数据
    # 对应的y坐标
    y = np.array([
    3, 4, 5, 5, 2, 4, 7, 8, 11, 8, 12,
    11, 13, 13, 16, 17, 18, 17, 19, 21
    ]).reshape(m, 1)
    # 学习率
    alpha = 0.01

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    接下来我们以矩阵向量的形式定义代价函数和代价函数的梯度

    # 定义代价函数
    def cost_function(theta, X, Y):
        diff = dot(X, theta) - Y  # dot() 数组需要像矩阵那样相乘,就需要用到dot()
        return (1/(2*m)) * dot(diff.transpose(), diff)
    

    # 定义代价函数对应的梯度函数
    def gradient_function(theta, X, Y):
    diff = dot(X, theta) - Y
    return (1/m) * dot(X.transpose(), diff)

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    最后就是算法的核心部分,梯度下降迭代计算

    # 梯度下降迭代
    def gradient_descent(X, Y, alpha):
        theta = array([1, 1]).reshape(2, 1)
        gradient = gradient_function(theta, X, Y)
        while not all(abs(gradient) <= 1e-5):
            theta = theta - alpha * gradient
            gradient = gradient_function(theta, X, Y)
        return theta
    

    optimal = gradient_descent(X, Y, alpha)
    print(‘optimal:’, optimal)
    print(‘cost function:’, cost_function(optimal, X, Y)[0][0])

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    当梯度小于1e-5时,说明已经进入了比较平滑的状态,类似于山谷的状态,这时候再继续迭代效果也不大了,所以这个时候可以退出循环!
    运行代码,计算得到的结果如下:

    print('optimal:', optimal)  # 结果 [[0.51583286][0.96992163]]
    print('cost function:', cost_function(optimal, X, Y)[0][0])  # 1.014962406233101
    
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    通过matplotlib画出图像,

    # 根据数据画出对应的图像
    def plot(X, Y, theta):
        import matplotlib.pyplot as plt
        ax = plt.subplot(111)  # 这是我改的
        ax.scatter(X, Y, s=30, c="red", marker="s")
        plt.xlabel("X")
        plt.ylabel("Y")
        x = arange(0, 21, 0.2)  # x的范围
        y = theta[0] + theta[1]*x
        ax.plot(x, y)
        plt.show()
    

    plot(X1, Y, optimal)

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    所拟合出的直线如下
    在这里插入图片描述
    全部代码如下,大家有兴趣的可以复制下来跑一下看一下结果:

    #!/usr/bin/env python3
    # -*- coding: utf-8 -*-
    # @Time    : 2019/1/21 21:06
    # @Author  : Arrow and Bullet
    # @FileName: gradient_descent.py
    # @Software: PyCharm
    # @Blog    :https://blog.csdn.net/qq_41800366
    

    from numpy import *

    # 数据集大小 即20个数据点
    m = 20
    # x的坐标以及对应的矩阵
    X0 = ones((m, 1)) # 生成一个m行1列的向量,也就是x0,全是1
    X1 = arange(1, m+1).reshape(m, 1) # 生成一个m行1列的向量,也就是x1,从1到m
    X = hstack((X0, X1)) # 按照列堆叠形成数组,其实就是样本数据
    # 对应的y坐标
    Y = array([
    3, 4, 5, 5, 2, 4, 7, 8, 11, 8, 12,
    11, 13, 13, 16, 17, 18, 17, 19, 21
    ]).reshape(m, 1)
    # 学习率
    alpha = 0.01

    # 定义代价函数
    def cost_function(theta, X, Y):
    diff = dot(X, theta) - Y # dot() 数组需要像矩阵那样相乘,就需要用到dot()
    return (1/(2m)) dot(diff.transpose(), diff)

    # 定义代价函数对应的梯度函数
    def gradient_function(theta, X, Y):
    diff = dot(X, theta) - Y
    return (1/m) * dot(X.transpose(), diff)

    # 梯度下降迭代
    def gradient_descent(X, Y, alpha):
    theta = array([1, 1]).reshape(2, 1)
    gradient = gradient_function(theta, X, Y)
    while not all(abs(gradient) <= 1e-5):
    theta = theta - alpha * gradient
    gradient = gradient_function(theta, X, Y)
    return theta

    optimal = gradient_descent(X, Y, alpha)
    print(‘optimal:’, optimal)
    print(‘cost function:’, cost_function(optimal, X, Y)[0][0])

    # 根据数据画出对应的图像
    def plot(X, Y, theta):
    import matplotlib.pyplot as plt
    ax = plt.subplot(111) # 这是我改的
    ax.scatter(X, Y, s=30, c=“red”, marker=“s”)
    plt.xlabel(“X”)
    plt.ylabel(“Y”)
    x = arange(0, 21, 0.2) # x的范围
    y = theta[0] + theta[1]*x
    ax.plot(x, y)
    plt.show()

    plot(X1, Y, optimal)

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    5. 小结

    至此,就基本介绍完了梯度下降法的基本思想和算法流程,并且用python实现了一个简单的梯度下降算法拟合直线的案例!
    最后,我们回到文章开头所提出的场景假设:
    这个下山的人实际上就代表了反向传播算法,下山的路径其实就代表着算法中一直在寻找的参数Θ,山上当前点的最陡峭的方向实际上就是代价函数在这一点的梯度方向,场景中观测最陡峭方向所用的工具就是微分 。在下一次观测之前的时间就是有我们算法中的学习率α所定义的。
    可以看到场景假设和梯度下降算法很好的完成了对应!

    本文大部分内容来自一位前辈,非常感谢分享!谢谢!

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  • 说到梯度,在高等数学已经有十分全面的解释,然而再机器学习中的梯度下降算法中梯度实际也是一样的,这个算法现在的实用性已经不大了,但是仍有必要提一提。 在解决最优化问题之中,找到局部最优值是算法编写的...

    说到梯度,在高等数学已经有十分全面的解释,然而再机器学习之中的梯度下降算法中梯度实际也是一样的,这个算法现在的实用性已经不大了,但是仍有必要提一提。

    在解决最优化问题之中,找到局部最优值是算法编写的目的,在高等数学之中,函数曲线中一点的梯度代表了这一点沿这一曲线上升或下降的最快方向,那么在机器学习之中,我们也是想寻找一种方法让某个值变得很小或很大,

    那么机器学习中想让哪个值变得小呢,这就引出了cost function(代价函数)

    线性回归之中

    1123(其中m为训练样本数,h(x)为一线性函数以θ作为参数)

    所以简单的可以看出来J(θ)的作用就是判断线性近似的效果,如果该值越小,那么就说明我们取到的θ值越能够使x代入后逼近于y,从而得到一条线性回归方程

    那么简单的一次取值肯定是不能取到最为适合的θ的,我们需要通过迭代的方法去不断优化θ的值,从而实现最优的逼近策略。

    如何去迭代呢,那么就是这一次探讨的梯度下降了,可以看出J(θ)是关于θ的函数,这里所指θ可以是单个值,也可以是一个向量,我们的目的是改变θ,于是

    j

    机器学习中采取这样的迭代方法来实现线性回归,这里θ多了一个下标j,意味着我们可以进行延伸,即θ为一个向量亦可操作,J(θ)对θ的每一个分量求偏导数,那么得到的结果就是这个分量使J(θ)上升或下降,即变化最快的方向,前面的负号代表着是下降。可能大家还是有疑问,那么一个参数减去一个α乘上一个偏导数是啥意思呢?

    我们来分析一下,首先偏导数的正负代表着对于一个变量总体函数值增减性,即对x偏导数大于0,那么在其他变量不变的情况下,x增加,f(x)也会增加,好了,那么我们回过头来看这个问题,我们现在期望J(θ)减少,那么但偏导数大于0的时候我们就该减去参数的值来减少J(θ)的值,当偏导数小于0的时候我们就应该增加参数的值来减少J(θ)的值,由于J(θ)是平方误差函数,所以肯定是非负的,故不用考虑J(θ)减少到变成负数的情况(这也是平方误差函数这样设计出来的优点,巧妙地避免了讨论代价函数小于0的情况)

    好了,接下来我们需要把求偏导的部分算出来,这样有利于我们下一步的编程实现,或者深入思考。

      formula1

    最后我们可以得到一条结果,即

    formula2

    代入迭代式子之中我们可以得到

    formula3

    重复这一步骤,我们可以发现θ在多次重复下趋于平稳或者持续在一个区间震荡,我们也就实现了梯度下降算法了

    下面用平面上
    几个点作为测试样本,使用一次函数来进行拟合

    假定formula4

    点的分布如图所示

    pic

    下面简单利用java来编写这样的一个程序

    首先是Point类

    public class Point {
        public double x;
        public double y;
        Point(double x1,double y1){
            this.x=x1;
            this.y=y1;
        }
    }
    

    然后是Calculator类用来计算

    import java.util.ArrayList;
    
    /**
     * Created by Mezereon on 2017/1/10.
     */
    public  class Calculator {
        Point a=new Point(0.93,2.36);
        Point b=new Point(2.03,3.01);
        Point c=new Point(3.01,2.59);
        Point d=new Point(3.32,3.73);
        Point e=new Point(3.46,3.11);
        Point f=new Point(4.46,4.42);
        Point g=new Point(4.75,3.96);
        Point h=new Point(5.73,5.04);
        ArrayList<Point> pointsArray=new ArrayList<>();
        Calculator(){
            pointsArray.add(a);
            pointsArray.add(b);
            pointsArray.add(c);
            pointsArray.add(d);
            pointsArray.add(e);
            pointsArray.add(f);
            pointsArray.add(g);
            pointsArray.add(h);
        }
    
        public double function(double arg0,double arg1){
               double sum=0;
                for(int i=0;i<8;i++){
                    sum+=((pointsArray.get(i).x*arg1+arg0)-pointsArray.get(i).y)*(pointsArray.get(i).x);
                }
                return sum/8;
        }
    
        public double function0(double arg0,double arg1){
            double sum=0;
            for(int i=0;i<8;i++){
                sum+=((pointsArray.get(i).x*arg1+arg0)-pointsArray.get(i).y);
            }
            return sum/8;
        }
    }

    接下来试main入口

    public class Main {
    
        public static void main(String[] args){
            Calculator c=new Calculator();
            double arg0=0,arg1=0,alpha=0.01;
            double temp0,temp1;
            int count =1;
            System.out.println("arg0  is  "+arg0);
            System.out.println("arg1  is  "+arg1);
            while(count<30000){
                temp0=alpha*c.function0(arg0,arg1);
                temp1=alpha*c.function(arg0,arg1);
                arg0-=temp0;
                arg1-=temp1;
                System.out.println("arg0  is  "+arg0);
                System.out.println("arg1  is  "+arg1);
                count++;
            }
    
        }
    }

    当设置条件为count<1000时   结果为

    arg0 is 1.287365732888797
    arg1 is 0.6329617002984178

    当设置条件为count<10000 结果为

    arg0 is 1.6438760225929463
    arg1 is 0.5442033325754289

    当设置条件为count<20000 结果为

    arg0 is 1.6438774149946431
    arg1 is 0.5442029859169862

    当设置条件为count<30000 结果为

    arg0 is 1.6438774149959243
    arg1 is 0.5442029859166673

    基本是趋于稳定了 arg0=1.643877 ,arg1=0.5442029

    画出拟合图像

    pic2

    以上便是对梯度下降算法的解释,以及代码的实现

    展开全文
  • 梯度下降法是机器学习中最常用优化算法,尤其是在深度学习中,还有很多基于梯度下降的变形算法如 Momentum,RMSProp和 Adam 等。

    梯度下降法是机器学习中最常用的优化算法,尤其是在深度学习中,还有很多基于梯度下降的变形算法如 Momentum,RMSProp和 Adam 等。以下是广为人知的梯度下降迭代计算方法

    梯度下降学习参数

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空空如也

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机器学习中的梯度下降