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  • 机器学习的变量选择——进阶篇

    千次阅读 2019-03-03 13:42:17
    变量选择在机器学习中扮演着重要的角色,无论是对于构建一个可解释模型,还是提升模型预测能力。 单变量筛选 在高维情况下,有时候我们需要预先筛选部分变量,然后再训练模型。筛选过程需要做到...

    变量选择回顾

    在这里插入图片描述
    更详细内容请见我的知乎回答 特征工程到底是什么?

    符号说明:
    p:p: 特征数量
    n:n: 样本数量

    变量选择在机器学习中扮演着重要的角色,无论是对于构建一个可解释的模型,还是提升模型的预测能力。

    单变量筛选

    在高维情况下,有时候我们需要预先筛选部分变量,然后再训练模型。筛选过程需要做到如下两点:

    1. 计算复杂度不能太高
    2. 不能丢掉真正起作用的变量

    简言之,就是快而准。第二点也被称之为 Sure Screening Property,即在一些条件下满足:
    P(MMvn^)1P(M_\star \subset \hat{M_{v_n}}) \rightarrow 1

    其中,MM_\star是真正起作用的变量集(理论上的),Mvn^\hat{M_{v_n}}是筛选出来的变量集。最直接的筛选方式是计算每个特征和目标变量之间的相关性,并保留相关性高于某一阈值的特征。最常见的是皮尔森相关性,但它只能刻画两个变量之间的线性关系。如果特征变量和目标变量之间是二次相关,皮尔森相关性就难以胜任了。秩相关系数能够较好的刻画出单调的非线性关系。另外,还有基于互信息的变量筛选方式,这常出现在分类模型中。除此之外,还可以用单个特征来拟合目标变量,残差越小,则这个特征越重要。如果用线性模型来拟合,此时XX的维度为1,它和皮尔森相关系数是等价的;如果是用非参数模型,比如B样条,局部线性模型等,则能够较好刻画出单个特征和目标变量之间的非线性相关关系。但是计算量比之前的方法有所增加,且结果的好坏依赖于模型的选取(model dependent)。

    需要注意,单变量筛选没有考虑到特征对目标变量的协同效应,即特征之间的交互作用,不宜将变量选得太少。

    例如,下面的模型中,yyx1x_1 的相关性为0.7,yyx2x_2 的相关性为0.4,x1x_1x2x_2 独立。通过 x1x_1 构造一个变量 x3x_3,使得 x3x_3yy的相关性达到0.6。现在令X=(x1,x2,x3)X=(x_1, x_2, x_3), 如果通过上述单变量方法筛选2个变量,那么x1x_1x3x_3被选中,x2x_2不会被选中。然而,x3x_3包含的关于yy的所有信息都在来自x1x_1。换句话说,在考虑x1x_1的条件下,x3x_3对预测yy没有作用,x2x_2才是那个应该被选中的变量。

    y=x1+x2+ϵ y = x_1 + x_2 + \epsilon

    通过模型选择变量

    接下来,我们简单回顾下通过模型选择变量。最直观的方法是筛选最佳子集,但它是一个NP hard问题。如果XXpp个特征,则需要考虑2p2^p个模型。当pp较大时,无疑太过耗时。退而求其次,逐步回归在计算量上可以接受,但其贪心的性质决定了很难找出最佳模型。

    AICBIC可以看做是加了惩罚项的极大似然。

    LASSO对原始问题的回归系数加了L1L_1惩罚。从优化角度讲,等价于原始最优化问题的可行域被限制在一个有尖点的凸集上,这样的最优解是稀疏的。且惩罚系数越大,解越稀疏。

    但LASSO在理论上并不完美,对于真正起作用的变量,无法满足渐进无偏性,即估计值的绝对值偏小。后来,SCAD诞生了,其满足了稀疏性,无偏性和连续性,这三条性质也被称之为ORACLE性质,之后不少的变量选择方法都以满足ORACL性质为最优准则。

    可以看到,较之于前面的单变量筛选方法,基于模型的变量选择同时考虑了所有变量,能有效刻画模型之间的交互作用。

    变量选择进阶

    只用模型就能选好变量么

    如果用模型筛选的就能得到结果,计算速度可以接受,那还需要单变量筛选方式么?换句话说,单变量筛选存在的意义是什么?

    为了回答这个问题,我使用sklearn中的diabetes数据集,比较通过下述方式建立的模型的预测能力。

    数据处理

    diabetes数据集有442个样本,特征变量记为X1X_1, 目标变量记为YYX1X_1有10个特征。首先我们通过正态分布采集噪声数据X2X_2,特征数量为ppX1X_1X2X_2组成新的特征变量XX,共10+p10+p个特征。

    模型介绍

    通过LASSO选择变量,惩罚项系数备选项:0.01, 0.05, 0.1, 0.5, 1, 5, 10, 100。根据5重交叉验证选择惩罚项系数,并测试模型的预测能力。噪声维度为: 10, 50, 100, 500, 1000, 2000。

    模型一:直接采用LASSO训练模型。
    模型二:用单变量方法,先筛选一半的变量,再用LASSO训练模型。
    模型三:用单变量方法,先筛选20个变量,再用LASSO训练模型。

    需要特别说明: 模型二和模型三实验中,不能先在整个数据集上用单变量方法筛选变量,再用交叉验证选取超参alpha,计算测试误差,这属于对交叉验证的误用。单变量筛选需要和选取超参同时出现在训练集,而不能出现在测试集。

    实验结果

    在这里插入图片描述
    可以看到,当噪声维度比较小时,先筛选一半变量或20个变量再训练LASSO模型,显著优于直接用LASSO训练模型。当噪声维度较大时,先筛选20个变量再训练LASSO模型,显著优于另外两种方法。这充分说明预先筛选变量再训练模型的重要性。然而,这并不是这样做的唯一原因,下面通另一个角度——伪相关,再次认识预筛选变量。

    认识伪相关

    在一般情况下(n>pn>p),通过模型选择变量就足够了。但在超高维情况下,会出现伪相关问题,导致选入额外的变量,模型过拟合,并低估方差。

    我们先直观认识一下伪相关。假定y,x1, ,xpy, x_1, \cdots, x_p相互独立,且服从标准正态分布。

    1. YYXXy,x1, ,xpy, x_1, \cdots, x_p的一个样本实现,样本数量n=100n=100
    2. 计算XX的每一列与YY的相关系数并取绝对值,记录pp个绝对相关系数的最大值。

    重复这个过程100次,绘制最大值的密度函数。下图展示了密度函数曲线与pp的关系。
    在这里插入图片描述
    可以看到随着pp的增加,最大相关系数的密度函数明显右移,变得越来越大,但是它们其实都是从独立的变量中进行采样的。在超高维情况下(p>>np>>n),这种现象尤其明显。这会导致选入无关变量,模型过拟合,且低估模型的方差。模型的方差在构建置信区间时尤为重要,较小的方差会导致过于乐观的置信区间。Fan, Guo等提出了两步法来解决超高维情况下的方差估计。我根据自己的理解,结合变量选择和方差估计,改述如下:

    两步法估计

    X,YX, Y均匀的划分为两部分,X1,Y1X^1, Y^1X2,Y2X^2, Y^2

    step 1:通过单变量筛选,在X1,Y1X^1, Y^1上筛选出变量子集M1^\hat{M_1},在X2,Y2X^2, Y^2上筛选出变量子集M2^\hat{M_2}

    step 2:在XM2^1,Y1X^1_{\hat{M_2}}, Y^1上用LASSO等再次拟合模型,记筛选后的变量为M3^\hat{M_3}, 估计的方差为σ^12\hat{\sigma}^2_1。在XM1^2,Y2X^2_{\hat{M_1}}, Y^2上用LASSO等再次拟合模型,记筛选后的变量为M4^\hat{M_4}, 估计的方差为σ^22\hat{\sigma}^2_2

    则最后筛选的变量集合为: M^=M3^M4^\hat{M} = \hat{M_3} \bigcap \hat{M_4},方差估计为:σ^RCV2=(σ^12+σ^22)/2\hat{\sigma}_{RCV}^2=(\hat{\sigma}_1^2+\hat{\sigma}_2^2)/2.

    实现方法很简单,但却非常有用。第一步中可能选入伪相关的变量,第二步使用第一步筛选出来的变量在新的数据集上拟合模型,能够大概率排除伪相关的变量。从而更准确的选择出重要的变量,并估计模型的方差。

    附录:
    代码及结果 github:J11235

    参考资料:

    1. Jianqing Fan and Jinchi Lv(208) Sure independence screening for ultrahigh dimensional feature space
    2. Jianqing Fan and Jinchi Lv(2010) A Selective Overview of Variable Selection in High Dimensional Feature Space
    3. LIU JingYuan, ZHONG Wei and LI RunZe(2015) A selective overview of feature screening for ultrahigh-dimensional data
    展开全文
  • 机器学习】单变量线性回归

    万次阅读 2019-12-16 22:37:22
    二、单变量线性回归(Linear Regression ...在这段视频中,你会看到这个算法概况,更重要的是你将会了解监督学习过程完整流程。 让我们通过一个例子来开始:这个例子是预测住房价格,我们要使用一个数据集,...

    二、单变量线性回归(Linear Regression with One Variable)

    2.1 模型表示

    参考视频: 2 - 1 - Model Representation (8 min).mkv

    我们的第一个学习算法是线性回归算法。在这段视频中,你会看到这个算法的概况,更重要的是你将会了解监督学习过程完整的流程。

    让我们通过一个例子来开始:这个例子是预测住房价格的,我们要使用一个数据集,数据集包含俄勒冈州波特兰市的住房价格。在这里,我要根据不同房屋尺寸所售出的价格,画出我的数据集。比方说,如果你朋友的房子是1250平方尺大小,你要告诉他们这房子能卖多少钱。那么,你可以做的一件事就是构建一个模型,也许是条直线,从这个数据模型上来看,也许你可以告诉你的朋友,他能以大约220000(美元)左右的价格卖掉这个房子。这就是监督学习算法的一个例子。

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-J4l5kvGl-1576504132434)(…/images/8e76e65ca7098b74a2e9bc8e9577adfc.png)]

    它被称作监督学习是因为对于每个数据来说,我们给出了“正确的答案”,即告诉我们:根据我们的数据来说,房子实际的价格是多少,而且,更具体来说,这是一个回归问题。回归一词指的是,我们根据之前的数据预测出一个准确的输出值,对于这个例子就是价格,同时,还有另一种最常见的监督学习方式,叫做分类问题,当我们想要预测离散的输出值,例如,我们正在寻找癌症肿瘤,并想要确定肿瘤是良性的还是恶性的,这就是0/1离散输出的问题。更进一步来说,在监督学习中我们有一个数据集,这个数据集被称训练集。

    我将在整个课程中用小写的mm来表示训练样本的数目。

    以之前的房屋交易问题为例,假使我们回归问题的训练集(Training Set)如下表所示:

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-CvTmClpj-1576504132434)(…/images/44c68412e65e62686a96ad16f278571f.png)]

    我们将要用来描述这个回归问题的标记如下:

    mm 代表训练集中实例的数量

    xx 代表特征/输入变量

    yy 代表目标变量/输出变量

    (x,y)\left( x,y \right) 代表训练集中的实例

    (x(i),y(i))({{x}^{(i)}},{{y}^{(i)}}) 代表第ii 个观察实例

    hh 代表学习算法的解决方案或函数也称为假设(hypothesis

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-MTAuSbKG-1576504132435)(…/images/ad0718d6e5218be6e6fce9dc775a38e6.png)]

    这就是一个监督学习算法的工作方式,我们可以看到这里有我们的训练集里房屋价格
    我们把它喂给我们的学习算法,学习算法的工作了,然后输出一个函数,通常表示为小写 hh 表示。hh 代表hypothesis(假设),hh表示一个函数,输入是房屋尺寸大小,就像你朋友想出售的房屋,因此 hh 根据输入的 xx值来得出 yy 值,yy 值对应房子的价格 因此,hh 是一个从xxyy 的函数映射。

    我将选择最初的使用规则hh代表hypothesis,因而,要解决房价预测问题,我们实际上是要将训练集“喂”给我们的学习算法,进而学习得到一个假设hh,然后将我们要预测的房屋的尺寸作为输入变量输入给hh,预测出该房屋的交易价格作为输出变量输出为结果。那么,对于我们的房价预测问题,我们该如何表达 hh

    一种可能的表达方式为:hθ(x)=θ0+θ1xh_\theta \left( x \right)=\theta_{0} + \theta_{1}x,因为只含有一个特征/输入变量,因此这样的问题叫作单变量线性回归问题。

    2.2 代价函数

    参考视频: 2 - 2 - Cost Function (8 min).mkv

    在这段视频中我们将定义代价函数的概念,这有助于我们弄清楚如何把最有可能的直线与我们的数据相拟合。如图:

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-OuRyh3xZ-1576504132435)(…/images/d385f8a293b254454746adee51a027d4.png)]

    在线性回归中我们有一个像这样的训练集,mm代表了训练样本的数量,比如 m=47m = 47。而我们的假设函数,也就是用来进行预测的函数,是这样的线性函数形式:hθ(x)=θ0+θ1xh_\theta \left( x \right)=\theta_{0}+\theta_{1}x

    接下来我们会引入一些术语我们现在要做的便是为我们的模型选择合适的参数parametersθ0\theta_{0}θ1\theta_{1},在房价问题这个例子中便是直线的斜率和在yy 轴上的截距。

    我们选择的参数决定了我们得到的直线相对于我们的训练集的准确程度,模型所预测的值与训练集中实际值之间的差距(下图中蓝线所指)就是建模误差modeling error)。

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-8Hsavwh9-1576504132435)(…/images/6168b654649a0537c67df6f2454dc9ba.png)]

    我们的目标便是选择出可以使得建模误差的平方和能够最小的模型参数。 即使得代价函数 J(θ0,θ1)=12mi=1m(hθ(x(i))y(i))2J \left( \theta_0, \theta_1 \right) = \frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^m \left( h_{\theta}(x^{(i)})-y^{(i)} \right)^{2}最小。

    我们绘制一个等高线图,三个坐标分别为θ0\theta_{0}θ1\theta_{1}J(θ0,θ1)J(\theta_{0}, \theta_{1})

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-u5Jao8gl-1576504132435)(…/images/27ee0db04705fb20fab4574bb03064ab.png)]

    则可以看出在三维空间中存在一个使得J(θ0,θ1)J(\theta_{0}, \theta_{1})最小的点。

    代价函数也被称作平方误差函数,有时也被称为平方误差代价函数。我们之所以要求出误差的平方和,是因为误差平方代价函数,对于大多数问题,特别是回归问题,都是一个合理的选择。还有其他的代价函数也能很好地发挥作用,但是平方误差代价函数可能是解决回归问题最常用的手段了。

    在后续课程中,我们还会谈论其他的代价函数,但我们刚刚讲的选择是对于大多数线性回归问题非常合理的。

    也许这个函数J(θ0,θ1)J(\theta_{0}, \theta_{1})有点抽象,可能你仍然不知道它的内涵,在接下来的几个视频里,我们要更进一步解释代价函数J的工作原理,并尝试更直观地解释它在计算什么,以及我们使用它的目的。

    2.3 代价函数的直观理解I

    参考视频: 2 - 3 - Cost Function - Intuition I (11 min).mkv

    在上一个视频中,我们给了代价函数一个数学上的定义。在这个视频里,让我们通过一些例子来获取一些直观的感受,看看代价函数到底是在干什么。

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Op2Cb0KA-1576504132436)(…/images/10ba90df2ada721cf1850ab668204dc9.png)]

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-ZUrPMbL0-1576504132436)(…/images/2c9fe871ca411ba557e65ac15d55745d.png)]

    2.4 代价函数的直观理解II

    参考视频: 2 - 4 - Cost Function - Intuition II (9 min).mkv

    这节课中,我们将更深入地学习代价函数的作用,这段视频的内容假设你已经认识等高线图,如果你对等高线图不太熟悉的话,这段视频中的某些内容你可能会听不懂,但不要紧,如果你跳过这段视频的话,也没什么关系,不听这节课对后续课程理解影响不大。

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-iUpntpiL-1576504132437)(…/images/0b789788fc15889fe33fb44818c40852.png)]

    代价函数的样子,等高线图,则可以看出在三维空间中存在一个使得J(θ0,θ1)J(\theta_{0}, \theta_{1})最小的点。

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-hK0G6mRB-1576504132437)(…/images/86c827fe0978ebdd608505cd45feb774.png)]

    通过这些图形,我希望你能更好地理解这些代价函数$ J所表达的值是什么样的,它们对应的假设是什么样的,以及什么样的假设对应的点,更接近于代价函数J$的最小值。

    当然,我们真正需要的是一种有效的算法,能够自动地找出这些使代价函数JJ取最小值的参数θ0\theta_{0}θ1\theta_{1}来。

    我们也不希望编个程序把这些点画出来,然后人工的方法来读出这些点的数值,这很明显不是一个好办法。我们会遇到更复杂、更高维度、更多参数的情况,而这些情况是很难画出图的,因此更无法将其可视化,因此我们真正需要的是编写程序来找出这些最小化代价函数的θ0\theta_{0}θ1\theta_{1}的值,在下一节视频中,我们将介绍一种算法,能够自动地找出能使代价函数JJ最小化的参数θ0\theta_{0}θ1\theta_{1}的值。

    2.5 梯度下降

    参考视频: 2 - 5 - Gradient Descent (11 min).mkv

    梯度下降是一个用来求函数最小值的算法,我们将使用梯度下降算法来求出代价函数J(θ0,θ1)J(\theta_{0}, \theta_{1}) 的最小值。

    梯度下降背后的思想是:开始时我们随机选择一个参数的组合(θ0,θ1,......,θn)\left( {\theta_{0}},{\theta_{1}},......,{\theta_{n}} \right),计算代价函数,然后我们寻找下一个能让代价函数值下降最多的参数组合。我们持续这么做直到找到一个局部最小值(local minimum),因为我们并没有尝试完所有的参数组合,所以不能确定我们得到的局部最小值是否便是全局最小值(global minimum),选择不同的初始参数组合,可能会找到不同的局部最小值。

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-ULl6nV3w-1576504132437)(…/images/db48c81304317847870d486ba5bb2015.jpg)]

    想象一下你正站立在山的这一点上,站立在你想象的公园这座红色山上,在梯度下降算法中,我们要做的就是旋转360度,看看我们的周围,并问自己要在某个方向上,用小碎步尽快下山。这些小碎步需要朝什么方向?如果我们站在山坡上的这一点,你看一下周围,你会发现最佳的下山方向,你再看看周围,然后再一次想想,我应该从什么方向迈着小碎步下山?然后你按照自己的判断又迈出一步,重复上面的步骤,从这个新的点,你环顾四周,并决定从什么方向将会最快下山,然后又迈进了一小步,并依此类推,直到你接近局部最低点的位置。

    批量梯度下降(batch gradient descent)算法的公式为:

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-MHfBX3x9-1576504132438)(…/images/7da5a5f635b1eb552618556f1b4aac1a.png)]

    其中aa是学习率(learning rate),它决定了我们沿着能让代价函数下降程度最大的方向向下迈出的步子有多大,在批量梯度下降中,我们每一次都同时让所有的参数减去学习速率乘以代价函数的导数。

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-jvBNPKVv-1576504132438)(…/images/ef4227864e3cabb9a3938386f857e938.png)]

    在梯度下降算法中,还有一个更微妙的问题,梯度下降中,我们要更新θ0{\theta_{0}}θ1{\theta_{1}} ,当 j=0j=0j=1j=1时,会产生更新,所以你将更新J(θ0)J\left( {\theta_{0}} \right)J(θ1)J\left( {\theta_{1}} \right)。实现梯度下降算法的微妙之处是,在这个表达式中,如果你要更新这个等式,你需要同时更新θ0{\theta_{0}}θ1{\theta_{1}},我的意思是在这个等式中,我们要这样更新:

    θ0{\theta_{0}}:= θ0{\theta_{0}} ,并更新θ1{\theta_{1}}:= θ1{\theta_{1}}

    实现方法是:你应该计算公式右边的部分,通过那一部分计算出θ0{\theta_{0}}θ1{\theta_{1}}的值,然后同时更新θ0{\theta_{0}}θ1{\theta_{1}}

    让我进一步阐述这个过程:

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-5yIro7Mu-1576504132439)(…/images/13176da01bb25128c91aca5476c9d464.png)]

    在梯度下降算法中,这是正确实现同时更新的方法。我不打算解释为什么你需要同时更新,同时更新是梯度下降中的一种常用方法。我们之后会讲到,同步更新是更自然的实现方法。当人们谈到梯度下降时,他们的意思就是同步更新。

    在接下来的视频中,我们要进入这个微分项的细节之中。我已经写了出来但没有真正定义,如果你已经修过微积分课程,如果你熟悉偏导数和导数,这其实就是这个微分项:

    αθ0J(θ0,θ1)\alpha \frac{\partial }{\partial {{\theta }_{0}}}J({{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}})αθ1J(θ0,θ1)\alpha \frac{\partial }{\partial {{\theta }_{1}}}J({{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}})

    如果你不熟悉微积分,不用担心,即使你之前没有看过微积分,或者没有接触过偏导数,在接下来的视频中,你会得到一切你需要知道,如何计算这个微分项的知识。

    下一个视频中,希望我们能够给出实现梯度下降算法的所有知识 。

    2.6 梯度下降的直观理解

    参考视频: 2 - 6 - Gradient Descent Intuition (12 min).mkv

    在之前的视频中,我们给出了一个数学上关于梯度下降的定义,本次视频我们更深入研究一下,更直观地感受一下这个算法是做什么的,以及梯度下降算法的更新过程有什么意义。梯度下降算法如下:

    θj:=θjαθjJ(θ){\theta_{j}}:={\theta_{j}}-\alpha \frac{\partial }{\partial {\theta_{j}}}J\left(\theta \right)

    描述:对$\theta 使赋值,使得J\left( \theta \right)按梯度下降最快方向进行,一直迭代下去,最终得到局部最小值。其中a$是学习率(learning rate),它决定了我们沿着能让代价函数下降程度最大的方向向下迈出的步子有多大。

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-2uUwZhfe-1576504132440)(…/images/ee916631a9f386e43ef47efafeb65b0f.png)]

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-PsmBArj5-1576504132441)(…/images/0c31b42f1ee2b0703decf4e6c55d61d1.wmf)]

    对于这个问题,求导的目的,基本上可以说取这个红点的切线,就是这样一条红色的直线,刚好与函数相切于这一点,让我们看看这条红色直线的斜率,就是这条刚好与函数曲线相切的这条直线,这条直线的斜率正好是这个三角形的高度除以这个水平长度,现在,这条线有一个正斜率,也就是说它有正导数,因此,我得到的新的θ1{\theta_{1}}θ1{\theta_{1}}更新后等于θ1{\theta_{1}}减去一个正数乘以aa

    这就是我梯度下降法的更新规则:θj:=θjαθjJ(θ){\theta_{j}}:={\theta_{j}}-\alpha \frac{\partial }{\partial {\theta_{j}}}J\left( \theta \right)

    让我们来看看如果aa太小或aa太大会出现什么情况:

    如果aa太小了,即我的学习速率太小,结果就是只能这样像小宝宝一样一点点地挪动,去努力接近最低点,这样就需要很多步才能到达最低点,所以如果aa太小的话,可能会很慢,因为它会一点点挪动,它会需要很多步才能到达全局最低点。

    如果aa太大,那么梯度下降法可能会越过最低点,甚至可能无法收敛,下一次迭代又移动了一大步,越过一次,又越过一次,一次次越过最低点,直到你发现实际上离最低点越来越远,所以,如果aa太大,它会导致无法收敛,甚至发散。

    现在,我还有一个问题,当我第一次学习这个地方时,我花了很长一段时间才理解这个问题,如果我们预先把θ1{\theta_{1}}放在一个局部的最低点,你认为下一步梯度下降法会怎样工作?

    假设你将θ1{\theta_{1}}初始化在局部最低点,在这儿,它已经在一个局部的最优处或局部最低点。结果是局部最优点的导数将等于零,因为它是那条切线的斜率。这意味着你已经在局部最优点,它使得θ1{\theta_{1}}不再改变,也就是新的θ1{\theta_{1}}等于原来的θ1{\theta_{1}},因此,如果你的参数已经处于局部最低点,那么梯度下降法更新其实什么都没做,它不会改变参数的值。这也解释了为什么即使学习速率aa保持不变时,梯度下降也可以收敛到局部最低点。

    我们来看一个例子,这是代价函数J(θ)J\left( \theta \right)

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-oZQCdtyz-1576504132441)(…/images/4668349e04cf0c4489865e133d112e98.png)]

    我想找到它的最小值,首先初始化我的梯度下降算法,在那个品红色的点初始化,如果我更新一步梯度下降,也许它会带我到这个点,因为这个点的导数是相当陡的。现在,在这个绿色的点,如果我再更新一步,你会发现我的导数,也即斜率,是没那么陡的。随着我接近最低点,我的导数越来越接近零,所以,梯度下降一步后,新的导数会变小一点点。然后我想再梯度下降一步,在这个绿点,我自然会用一个稍微跟刚才在那个品红点时比,再小一点的一步,到了新的红色点,更接近全局最低点了,因此这点的导数会比在绿点时更小。所以,我再进行一步梯度下降时,我的导数项是更小的,θ1{\theta_{1}}更新的幅度就会更小。所以随着梯度下降法的运行,你移动的幅度会自动变得越来越小,直到最终移动幅度非常小,你会发现,已经收敛到局部极小值。

    回顾一下,在梯度下降法中,当我们接近局部最低点时,梯度下降法会自动采取更小的幅度,这是因为当我们接近局部最低点时,很显然在局部最低时导数等于零,所以当我们接近局部最低时,导数值会自动变得越来越小,所以梯度下降将自动采取较小的幅度,这就是梯度下降的做法。所以实际上没有必要再另外减小aa

    这就是梯度下降算法,你可以用它来最小化任何代价函数JJ,不只是线性回归中的代价函数JJ

    在接下来的视频中,我们要用代价函数JJ,回到它的本质,线性回归中的代价函数。也就是我们前面得出的平方误差函数,结合梯度下降法,以及平方代价函数,我们会得出第一个机器学习算法,即线性回归算法。

    2.7 梯度下降的线性回归

    参考视频: 2 - 7 - GradientDescentForLinearRegression (6 min).mkv

    在以前的视频中我们谈到关于梯度下降算法,梯度下降是很常用的算法,它不仅被用在线性回归上和线性回归模型、平方误差代价函数。在这段视频中,我们要将梯度下降和代价函数结合。我们将用到此算法,并将其应用于具体的拟合直线的线性回归算法里。

    梯度下降算法和线性回归算法比较如图:

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-sBxkvSii-1576504132442)(…/images/5eb364cc5732428c695e2aa90138b01b.png)]

    对我们之前的线性回归问题运用梯度下降法,关键在于求出代价函数的导数,即:

    θjJ(θ0,θ1)=θj12mi=1m(hθ(x(i))y(i))2\frac{\partial }{\partial {{\theta }_{j}}}J({{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}})=\frac{\partial }{\partial {{\theta }_{j}}}\frac{1}{2m}{{\sum\limits_{i=1}^{m}{\left( {{h}_{\theta }}({{x}^{(i)}})-{{y}^{(i)}} \right)}}^{2}}

    j=0j=0 时:θ0J(θ0,θ1)=1mi=1m(hθ(x(i))y(i))\frac{\partial }{\partial {{\theta }_{0}}}J({{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}})=\frac{1}{m}{{\sum\limits_{i=1}^{m}{\left( {{h}_{\theta }}({{x}^{(i)}})-{{y}^{(i)}} \right)}}}

    j=1j=1 时:θ1J(θ0,θ1)=1mi=1m((hθ(x(i))y(i))x(i))\frac{\partial }{\partial {{\theta }_{1}}}J({{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}})=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{\left( \left( {{h}_{\theta }}({{x}^{(i)}})-{{y}^{(i)}} \right)\cdot {{x}^{(i)}} \right)}

    则算法改写成:

    Repeat {

    θ0:=θ0a1mi=1m(hθ(x(i))y(i)){\theta_{0}}:={\theta_{0}}-a\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{ \left({{h}_{\theta }}({{x}^{(i)}})-{{y}^{(i)}} \right)}

    θ1:=θ1a1mi=1m((hθ(x(i))y(i))x(i)){\theta_{1}}:={\theta_{1}}-a\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{\left( \left({{h}_{\theta }}({{x}^{(i)}})-{{y}^{(i)}} \right)\cdot {{x}^{(i)}} \right)}

    }

    我们刚刚使用的算法,有时也称为批量梯度下降。实际上,在机器学习中,通常不太会给算法起名字,但这个名字”批量梯度下降”,指的是在梯度下降的每一步中,我们都用到了所有的训练样本,在梯度下降中,在计算微分求导项时,我们需要进行求和运算,所以,在每一个单独的梯度下降中,我们最终都要计算这样一个东西,这个项需要对所有mm个训练样本求和。因此,批量梯度下降法这个名字说明了我们需要考虑所有这一"批"训练样本,而事实上,有时也有其他类型的梯度下降法,不是这种"批量"型的,不考虑整个的训练集,而是每次只关注训练集中的一些小的子集。在后面的课程中,我们也将介绍这些方法。

    但就目前而言,应用刚刚学到的算法,你应该已经掌握了批量梯度算法,并且能把它应用到线性回归中了,这就是用于线性回归的梯度下降法。

    如果你之前学过线性代数,有些同学之前可能已经学过高等线性代数,你应该知道有一种计算代价函数JJ最小值的数值解法,不需要梯度下降这种迭代算法。在后面的课程中,我们也会谈到这个方法,它可以在不需要多步梯度下降的情况下,也能解出代价函数JJ的最小值,这是另一种称为正规方程(normal equations)的方法。实际上在数据量较大的情况下,梯度下降法比正规方程要更适用一些。

    现在我们已经掌握了梯度下降,我们可以在不同的环境中使用梯度下降法,我们还将在不同的机器学习问题中大量地使用它。所以,祝贺大家成功学会你的第一个机器学习算法。

    在下一段视频中,告诉你泛化的梯度下降算法,这将使梯度下降更加强大。

    2.8 接下来的内容

    参考视频: 2 - 8 - What_'s Next (6 min).mkv

    在接下来的一组视频中,我会对线性代数进行一个快速的复习回顾。如果你从来没有接触过向量和矩阵,那么这课件上所有的一切对你来说都是新知识,或者你之前对线性代数有所了解,但由于隔得久了,对其有所遗忘,那就请学习接下来的一组视频,我会快速地回顾你将用到的线性代数知识。

    通过它们,你可以实现和使用更强大的线性回归模型。事实上,线性代数不仅仅在线性回归中应用广泛,它其中的矩阵和向量将有助于帮助我们实现之后更多的机器学习模型,并在计算上更有效率。正是因为这些矩阵和向量提供了一种有效的方式来组织大量的数据,特别是当我们处理巨大的训练集时,如果你不熟悉线性代数,如果你觉得线性代数看上去是一个复杂、可怕的概念,特别是对于之前从未接触过它的人,不必担心,事实上,为了实现机器学习算法,我们只需要一些非常非常基础的线性代数知识。通过接下来几个视频,你可以很快地学会所有你需要了解的线性代数知识。具体来说,为了帮助你判断是否有需要学习接下来的一组视频,我会讨论什么是矩阵和向量,谈谈如何加、减 、乘矩阵和向量,讨论逆矩阵和转置矩阵的概念。

    如果你十分熟悉这些概念,那么你完全可以跳过这组关于线性代数的选修视频,但是如果你对这些概念仍有些许的不确定,不确定这些数字或这些矩阵的意思,那么请看一看下一组的视频,它会很快地教你一些你需要知道的线性代数的知识,便于之后编写机器学习算法和处理大量数据。

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  • 文 | 微调源 | 知乎问答今天我们讨论一个很有实际意义问题:你在实践中学到重要的机器学习经验是什么?以下回答来自知乎优秀答主微调。1.永远保持怀疑机器学习是最容易得到错误结论一种解决方案。和编程、做...
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    文 | 微调
    源 | 知乎问答

    今天我们讨论一个很有实际意义的问题:你在实践中学到的最重要的机器学习经验是什么?以下回答来自知乎优秀答主微调。

    1.永远保持怀疑

    机器学习是最容易得到错误结论的一种解决方案。和编程、做表格、或者纯粹的数学建模不同,机器学习是由数据驱动,并有很强的黑箱性。因此很多时候容易得出似是而非的结论。举个最简单的例子:伪相关/虚假相关(spurious correlation),两个变量很容易看起来有很强的相关(参看图1和2),然而这仅仅是偶然。因此当机器学习模型很轻松就达到很好的效果时,比如百分之百的正确率,你要警惕。除了过拟合以外,你很有可能包含了某个不该使用的强特征,甚至把标签y也当做特征使用了。

    7eb97c69357fe585346c01fb50230cc0.png
    ▲图1. 奶酪消耗量与被死于床单(交缠)之间的关联性 [1]
    89fd60731c23129242cc9e101e83f207.png
    ▲图2. 非商业性空间飞船发射数量与社会学博士毕业数量之间的关系 [1]

    2.寻找“最小预测单元”,避免追求通过一个模型预测多个目标

    最清晰易懂,且容易证明正误的模型就是目标明确的模型。我们得知业务需求以后,尽量把预测范围控制好,不要被同时实现多个目标所诱惑。

    举例,如果客户的需要是预测明天的天气,那就做一个纯粹的天气预测模型,不要瞻前顾后的想要同时预测湿度、温度等相关但不是根本的问题。你想要通过单个模型得到的结论越多,往往建模和调参就越复杂。从单一问题入手,再逐步扩展,甚至将知识迁移,都是可以的。

    3.简单有效的模型最好,不要完全弃用“人为规则”

    首先不要为了使用模型而创造问题:机器学习的目标是解决问题。因此,从简单到复杂模型的“进化”才是比较合理的方案。比如如果能用监督,就监督学习。退而求其次才选择半监督或者无监督。

    另一个经验是,如果一个问题有现成的规则,不要完全弃用,也不要追求用机器学习模型彻底替代规则。可以从半自动模型到自动模型进行“升级“,这可以理解为迭代过程。比如在机器学习模型不成熟、数据量不够的时候,仅当模型评分高且符合人为规则时才使用其预测结果,置信度低的预测结果依然使用规则预测或者人为验证。等到数据量和数据质量上去了,再逐步替换或者舍弃人为规则。

    升级进化是锦上添花,不是雪中送炭。在商业上,我们告诉客户这叫做“混合系统”Hybrid System,但机器学习上这个叫“主动学习”(active learning)。

    4.考虑的数据的依赖性(dependency)

    数据往往有时序或者空间上的相关性。如果不考虑时空依赖性,问题往往会得到简化,但可能有严重偏差。如果需要考虑时间与空间上的依赖性,优先从简单的角度入手。

    举个简单的例子,图2和图3中的数据如果不考虑时空依赖性,都会导致错误的理解。解决机器学习问题,如果在不确定数据的结构关系时,有限假设不存在依赖。如果效果不好,再换用更复杂的,可以处理依赖性的模型。

    47fa7a0df144a165e00b00b00d6bf9a7.png
    ▲图3. O点在单独来看的情况下是正常点,但考虑到临近点后就是异常点 [2]
    b9a201150387fdeae41ccef3743c1a8c.png
    ▲图4. 红色部分单独来看不是异常,但考虑到临近点的时间关系后就是异常点 [3]

    5.从回归到分类、从全部数据到部分数据、从连续到离散

    5.1. 在特定情况下,因为条件限制,我们的回归模型效果不好或者要求的精度比较低,可以把回归问题转化为分类问题。

    93bbda8e40dd877c1af99a56eea2a91e.png
    ▲图5. 将预测涨跌幅度转化为单纯预测“涨”和“跌”

    5.2. 同理,如果数据的质量不连贯,我们可以大胆的抛弃掉一部分数据。比如下图中所描述的情况,抛弃掉一部分数据可以增强中间区段的模型拟合能力。当然,由精简数据后得到的模型不该被用于预测抛弃数据段。

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    ▲图6. 去掉一部分数据后,模型拟合程度可能会大幅度提高 [4]

    5.3. 如果需要,对于特征也可以做离散化。连续变量:变量在特定区间内有无限个可能取值,如股票的价格。离散变量:变量在特定区间内的可选取值有限,比如{红、蓝、黄}三种颜色。从数学角度看,连续变量往往可以被离散化,从而转为离散变量。这种转化可以依赖于固定区间,或者固定密度,甚至是变化的条件。将连续变量离散化适合广义线性模型,如逻辑回归,而不适合树模型或者神经网络。连续特征离散化的优点:

    • 降低噪音对模型的干扰,提高鲁棒性。假设一个特征的正常范围是[0,1],那么明显异常的值,如100,不会造成大的扰动
    • 在特征离散化以后,模型过拟合的风险一定程度上也得到了降低
    • 一般经过转化后,编码可以使用独热编码(one-hot encoding),得到一个稀疏的表示,方便进行矩阵计算

    此处的重点是:部分价值 >>毫无价值。将预测范围缩小后,预测效果往往能有大幅度的提高。将数据分割后单独处理,预测效果往往也有提升。而数据离散化可以有效的提高某些模型的能力。

    6. 数据比模型更重要,但数据不是越多越好

    机器学习模型的表现高度依赖于数据量 [6],选择对的模型至少其次,巧妇难为无米之炊。数据重要性 >> 模型重要性

    但数据不是越多越好,随机数据中也可能因为巧合而存在某种关联。就像上文中提到的虚假相关的例子。Freedman在1989年做过的模拟实验 [5]中发现,即使数据全是由噪音构成,在适当的处理后,也能发现数据中显著的相关性:

    • 6个特征显著
    • 对回归的做F-test的P值远小于0.05,即回归存在统计学意义

    以此为例,统计学检验显著不代表模型真的有意义。一般来说,需要先确认数据的来源性,其次要确认显著的特征是否正常,最后需要反复试验来验证。最重要的是,要依据人为经验选取可能有关的数据,这建立在对问题的深入理解上。

    7. 模型选择、评估与调试

    模型选择是建立在对于问题的理解上,一般是启发式(heuristic),也就是基于经验所确定的。

    • 优先选取符合问题假设的模型。如朴素贝叶斯假设特征间的独立同分布,而逻辑回归就没有这么强的假设
    • 优先选取简单模型,循序渐进
    • 优先选取对于数据预处理要求低的模型,如可以处理缺失值,不需要进行数值化转化的模型。比如xgboost或者lightbgm等
    • 用迭代的思路选择模型,先选择大方向,再微调。在模型选择时可以使用工具包的默认值,确定了大概模型后再进行参数调整

    同时,评估模型时,每次仅选择一个标准,比如召回率、ROC或者准确度,同时优化多个目标是很复杂的:

    1. 可以用可视化来直观对比算法间的优劣
    2. 控制模型中的随机性,保证评估有意义,如选用固定的参数(如 random_state=42)
    3. 用相同的数据集来训练、测试不同的模型
    4. 善用交叉验证,尤其当数据集较小的时候
    5. 如果有必要,也可以使用统计学检验

    除此之外,还需要考虑到运算开销的问题。训练不同的模型运算开销差别很大,要根据资源和时间决定。在资源有限的前提下,可以选择模型表现相对较差但运算开销小的方法。

    8. 总结出一套适合自己的“套路”

    开始一个机器学习项目以前,值得思考几个“小问题”:

    1. 确定要预测的目标,找到项目痛点,不追求同时预测多个目标
    2. 确定解决问题的框架,优先使用监督学习,用无监督发掘新思路
    3. 结合已有的规则,尝试融合机器学习模型和人为规则
    4. 如果可能,优先尝试分类任务,也可以尝试将回归转为分类
    5. 从易到难,确定尝试哪些机器学习模型
    6. 要解决的问题是否对于“时空”存在依赖性,如果可以回避依赖性,可以先试试简单模型
    7. 如果发现使用全部数据效果不好,可以尝试抛弃部分数据或分段处理

    在做数据工程时,应该考虑到的一些问题:

    1. 数据并非越多越好,多余的无关特征会因为伪相关、巧合而影响模型
    2. 对数据做相关性分析的时候,善用可视化可以一目了然的发现问题
    3. 对于高度相关的特征,移除或者合并前要三思,可能并不会提高模型能力
    4. 如果选用了线性模型,可能需要对特征进行离散化
    5. 对于大部分模型来说,归一化或者标准化是必不可少的步骤,至少“无害”
    6. 如果问题较为复杂,尽量选择非线性的鲁棒性强的模型:

    在模型选择与评估时,考虑到一些问题:

    1. 根据要解决的问题和对数据的理解,大致决定出模型的搜索范围,如尝试SVM,逻辑回归,随机森林,xgboost。如资源允许,可扩大模型候选名单
    2. 根据要解决的问题和对数据的理解,决定模型的评估标准。虽然我们建议选择单一的评估标准进行对比,但推荐计算所有可能的评估标准
    3. 根据具体问题中的数据量大小,以及模型稳定性,决定是否使用交叉验证
    4. 结合参数搜索、交叉验证方法,通过选定的评估标准从候选模型中找到表现最好的模型
    5. 对上一步中的所选模型进行微调
    6. 迭代以上步骤直到找到最优的模型

    还有很多摔过的坑,吃过的苦,有限于篇幅就不展开了。如果只允许我说一条我学到的最重要的经验,那一定是:保持独立思考的能力,不要别人说什么/书上说什么/论文里写什么,你就相信什么。毕竟在机器学习的世界里,我们每个人都是“民科”:)

    来源:知乎问答https://www.zhihu.com/question/46301335/answer/317361262

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    [1]http://tylervigen.com/spurious-correlations

    [2]Mira, A., Bhattacharyya, D.K. and Saharia, S., 2012. RODHA: robust outlier detection using hybrid approach. American Journal of Intelligent Systems, 2(5), pp.129-140.

    [3]http://researchmining.blogspot.ca/2012/10/types-of-outliers.html

    [4]支持向量机-从入门到放弃(https://zhuanlan.zhihu.com/p/30596284)

    [5]Freedman, L.S. and Pee, D., 1989. Return to a note on screening regression equations. The American Statistician, 43(4), pp.279-282.

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  • 机器学习 | 变量选择

    千次阅读 2019-04-14 01:38:16
    变量选择方法1 背景2 变量选择方法有哪些?3 什么叫向前/向后选择以及逐步回归、最优子集?...因为这个问题在机器学习中相当重要,并且也是面试必问题之一,刚好前几天面试还被问到了变量选择中一个很细节知识...

    1 背景

    为什么要聊一聊机器学习中的变量选择问题呢?因为这个问题在机器学习中相当重要,并且也是面试必问题之一,刚好前几天面试还被问到了变量选择中一个很细节的知识点(AIC/BIC)所以今天我们好好梳理一下!

    2 变量选择方法有哪些?

    之前面试的时候自己准备的答案:

    学术派:从统计上讲,有三大类方法。

    • 子集选择。包括下面4种方法:

      ①向前选择;

      ②向后选择;

      ③逐步回归(结合一些准则:AIC、BIC(解决过拟合问题,加入模型复杂度的惩罚项)。(BIC的惩罚项比AIC的大,考虑了样本数量,样本数量过多时,可有效防止模型精度过高造成的模型复杂度过高。);

      ④最优子集

    • 收缩方法。

      ①岭回归(L2正则);

      ②Lasso(L1正则)

    • 维数缩减。

      ①主成分回归

      ②偏最小二乘法。

    实际业务中

    1. 结合业务人员的判断
    2. 先计算各个特征的缺失率,如果缺失率较高的就删了。
    3. 计算特征的方差,为0的删去
    4. 树模型用feature_importance来筛选。
    5. 相关性较高的两个变量可以考虑保留一个。
    6. 结合IV指标来进行变量重要性的判断

    除了上述这么多方法,还有其余的吗?是否有补充呢?

    • 之前发过的一篇推文中,里面的IV指标可以来度量变量重要性,进而实现变量选择的功能。

    • 相关性较高的两个变量可以考虑保留一个。

    3 什么叫向前/向后选择以及逐步回归、最优子集?AIC/BIC又是怎么定义的?

    3.1 四种统计上变量选择的方法

    可以看到,上面变量选择引申出来的方法有很多种,后面我们慢慢介绍,今天先说第一种,也是最简单的一类统计方法,这个在考研的时候复习的还是蛮多的,附上当时专业课的笔记:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    可以看到上面图片中对于四种方法解释的还是蛮清楚的,其实就是如何选最优变量,使得模型整体的SSE减少比较多,或者说得到尽可能多且有意义的显著的变量。

    同时上面引申出来一个问题,如何评价模型的优劣呢?即,模型都训练出来了,如何进行比较呢?这时候AIC/BIC就闪亮登场啦!

    3.2 什么是AIC/BIC

    这一部分在考研复习阶段我也 涉及过,而且总结的比较全面,先上图:
    在这里插入图片描述
    可以看到上面我的分析思路是:

    • 首先为什么要有调整的R2?
    • 然后引入的准则统计量
    • 结合准则统计量将问题进行了一般化处理,即针对机器学习中出现的拟合问题,我们可以采用准则统计量来进行衡量模型的优劣!

    所以说AIC/BIC都是准则统计量,他们是用来衡量模型的优劣的!但上述图片中并没有详细对这两个用的最多的统计量进行展开描述,接下来重点说一下,毕竟上周面试还被问到了!

    3.2.1 AIC

    1. 公式定义:
      在这里插入图片描述

    AIC称为赤池信息准则(Akaike Information Criterion,AIC),提供了权衡估计模型复杂度(K)和拟合数据优良性(似然函数L)的标准。

    可以看到当两个模型之间存在较大差异时,差异主要体现在似然函数项

    当似然函数差异不显著时,上式第一项,即模型复杂度则起作用,从而参数个数少的模型是较好的选择。

    1. 原理

    如何起作用的呢?

    一般而言,当模型复杂度提高(k增大)时,似然函数L也会增大,从而使AIC变小,但是k过大时,似然函数增速减缓,导致AIC增大,模型过于复杂容易造成过拟合现象。【即AIC越小总的来说还是模型更优】

    目标是选取AIC最小的模型,AIC不仅要提高模型拟合度(极大似然),而且引入了惩罚项,使模型参数尽可能少,有助于降低过拟合的可能性。

    3.2.2 BIC

    1. 公式定义:
      在这里插入图片描述

    BIC称为贝叶斯信息准则(Bayesian Information Criterion,BIC)

    BIC不仅考虑了模型参数的惩罚,还考虑了样本量的惩罚,惩罚比AIC更加的严重,故而模型的变量会比AIC要小

    1. 原理

    如何起作用的呢?

    目标是选取BIC最小的模型,BIC不仅要提高模型拟合度(极大似然),而且引入了模型参数和样本量的惩罚项,有助于降低过拟合的可能性。

    4 如何实现

    • 对于这四个方法,尤其是前三个,在R语言里实现即可,使用的函数就是step函数!

    • 一般我们的做法就是模型建立ok之后,我们通过逐步回归的方法来进行变量选择,其实变量选择也就是相当于帮我们选择了最优的模型了,那怎么去筛选呢?也就是使用AIC准则或者BIC准则!
      在这里插入图片描述
      总结:

    • 具体的R语言实现见上图

    • 使用的package是MASS

    • k=log(n)表示用BIC准则(其中n表示建模样本量),k=2表示用AIC准则

    5 参考

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  • 机器学习——单变量线性回归

    千次阅读 2019-07-26 19:17:19
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  • 特征选择是识别和选择与目标变量最相关的输入变量子集的过程。特征选择最简单的情况...使用相关性和互信息统计来评估数字输入数据的重要性。在拟合和评估回归模型时如何为数字输入数据执行特征选择。使用网格搜索...
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  • 这篇博客接着写单变量线性回归梯度下降解法,最关键最重要的就是梯度下降解法,不仅在这个问题中能用到,在以后其他问题中也都能用到。 一、导入所需库 import numpy as np import pandas as pd import ...
  • 研究一个因变量与一个或多个自变量间多项式回归分析方法,称为多项式回归(Polynomial Regression)。 完全是使用线性回归思路,关键在于为数据添加新特征,而这些新特征是原有特征多项式组合,采用...
  • 特征重要性评分是一种为输入特征评分手段,其依据是输入特征在预测目标变量过程中有用程度。特征重要性有许多类型和来源,尽管有许多比较常见,比如说统计相关性得分,线性模型部分系数,基于决策树特征重要...
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空空如也

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机器学习的重要变量是