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  • 负 6 0.30 负 负 负 负 7 0.20 负 负 负 负 8 0.10 负 负 负 负 3、 ROC曲线绘制步骤类似于绘制P-R曲线,区别在于坐标点的计算为(FPR,TPR) AUC:为ROC曲线的下的面积 4、泛化误差=偏差+方差+噪声

    首先我们必须了解混淆矩阵,如下表所示:

    真实情况

    预测结果

    正例(positive)

    反例(negative)

    正例(positive)

    TP(真正例)

    FN(假反例)

    反例(negative)

    FP(假正例)

    TN(真反例)

    1、

    2、

                  

               P-R曲线的绘制:P-R曲线的绘制

    step1:各样本预测为正的概率
    step2:样本排序:最前面为“最可能”为正例的样本
    step3:逐个把样本作为正例进行预测
       step3.1:假设阈值大于等于1的为正,否则为负
                计算此时的查准率和查全率,为第一个坐标点。
       step3.2:设阈值大于等于0.77的为正,否则为负。
                计算此时的查准率和查全率,为第二个坐标点。
       step3.3:设阈值大于等于0.62的为正,否则为负。
                计算此时的查准率和查全率,为第三个坐标点。
       ...

     

    样本序号

    为真的概率

    标签(真实的分类)

    预测的分类

    (step3.1)

    预测的分类

    (step3.2)

    预测的分类

    (step3.3)

    1

    0.77

    2

    0.62

    3

    0.60

    4

    0.53

    5

    0.45

    6

    0.30

    7

    0.20

    8

    0.10

     

    3、

    ROC曲线绘制步骤类似于绘制P-R曲线,区别在于坐标点的计算为(FPR,TPR)

    AUC:为ROC曲线的下的面积

     

    4、泛化误差=偏差+方差+噪声

     

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  • 偏差-方差分解试图对机器学习算法的期望泛化误差进行拆解。 记为测试样本,为训练集D上学习得到的模型在上的预测输出,为在数据集中的标记,为的真实标记。 对算法的期望泛化误差进行分解: 得到: 即泛化...

    一、期望泛化误差的偏差-方差分解

    偏差-方差分解试图对机器学习算法的期望泛化误差率进行拆解。

    \boldsymbol{x}为测试样本,f(\mathbf{x};D)为训练集D上学习得到的模型f\mathbf{x}上的预测输出,y_D\boldsymbol{x}在数据集中的标记,y\boldsymbol{x}的真实标记。

    对算法的期望泛化误差进行分解:

    得到:

    E(f;D)=bias^{2}(\boldsymbol{x})+var(\boldsymbol{x})+\varepsilon ^2

    即泛化误差可分解为偏差、方差与噪声之和。其中偏差度量了学习算法的期望预测与真实结果的偏离程度,即刻画了学习算法本身的拟合能力;方差度量了同样大小的训练集的变动所导致的学习性能的变化,即刻画了数据扰动所造成的影响;噪声表达了在当前任务上任何学习算法所能达到的期望泛化误差的下界,即刻画了学习问题本身的难度。偏差-方差分解说明,泛化性能是由学习算法的能力、数据的充分性以及学习任务本身的难度共同决定的。

     

    二、偏差-方差窘境(bias-variance dilemma)

    给定学习任务,如果我们能控制学习算法的训练程度,则在训练程度不足的时候,学习器的拟合能力不够,训练数据的扰动不足以使学习器产生显著变化,此时偏差主导了泛化错误率;随着训练程度的加深,学习器的拟合能力逐渐加强,训练数据的扰动渐渐能被学习器学到,方差逐渐住到了泛化错误率;在训练程度充足后,学习器的拟合能力已经非常强,训练数据的轻微扰动都能导致学习器的显著变化。若训练数据自身的,非全局的特性被学习器学到了,则将发生过拟合。

    泛化误差与偏差、方差的关系示意图如下所示:

     

     

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  • (1)我们想比价的是泛化性能,然而通过实验评估方法我们得到的是测试集上的性能 (2)测试集上的性能与测试集本身的选择有很大关系,且不论使用不同大小的测试集会得到不同的结果,即便用相同大小的测试集,若包含...

    一、为什么需要统计假设检验衡量学习器性能

    看起来P-R曲线和ROC曲线可以解决学习器的性能评估问题,然而机器学习中性能比较这件事情比想象中复杂得多。原因如下:

    (1)我们想比价的是泛化性能,然而通过实验评估方法我们得到的是测试集上的性能

    (2)测试集上的性能与测试集本身的选择有很大关系,且不论使用不同大小的测试集会得到不同的结果,即便用相同大小的测试集,若包含的测试样例不同,测试结果也会有所不同。

    (3)机器学习算法本身的随机性,即便用相同的参数在相同的测试集上多次运行同一个模型,得到的模型结果也会不同。

    统计假设检验为我们进行学习器性能的比较提供了重要依据。基于假设检验结果我们可推断出,若在测试集上观察到学习器A比学习器B好,则A的泛化性能是否在统计意义上优于B,以及这个结论的把握有多大。

     

    二、对泛化错误率进行假设检验的思想

    泛化错误率为\epsilon的学习样本在一个样本上犯错的概率是\epsilon;测试错误率\hat{\epsilon }以为着在m个测试样本中恰有\hat{\epsilon }*m个样本被误分类。举个例子,我们可以用二项检验对“\epsilon\leqslant \epsilon_0”这样的假设进行检验。则在1-\alpha的置信度内能观测到的最大错误率如下式所示:

    \bar{\epsilon}=max \epsilon      s.t.      \sum_{i=\epsilon _{0}*m+1}^{m}\epsilon _i(1-\epsilon)^{m-i}<\alpha

    如果测试错误率\hat{\epsilon }小于临界值\bar\epsilon,则在\alpha的显著性水平下,假设“\epsilon\leqslant \epsilon_0”不能被拒绝。

     

    三、多个测试错误率的统计检验

    很多时候我们并非仅做一次留出法估计,通过多次重复留出或者交叉验证法进行多次训练/测试时,我们会得到多个测试错误率。

    1、单个学习器的泛化误差检验(t检验)

    假定我们得到了k个测试错误率,\hat{\epsilon_1},\hat{\epsilon_2},\hat{\epsilon_3},...\hat{\epsilon_k},则可以算出测试误差率的均值\mu和方差\sigma ^2。考虑到这k个测试错误率可以看作泛化错误率\epsilon_0的独立采样,则检验统计量

    \tau _t=\frac{\sqrt{k}(\mu-\epsilon_0)}{\sigma}

    服从自由度为k-1t分布。

    2、两个学习器(交叉验证t检验)

    对两个学习器A和B,若我们使用k折交叉验证法得到的测试错误率分别为\epsilon_{1}^{A},\epsilon_{2}^{A},...,\epsilon_{k}^{A},\epsilon_{1}^{B},\epsilon_{2}^{B},...,\epsilon_{k}^{B}​​​​,基本​思想是如果两个学习器性能相同,则它们使用相同的训练/测试集得到的测试错误率应该相同,即\epsilon_i^A=\epsilon_i^B。从而我们可以用成对t检验。

    先对每对测试错误率结果求差,\bigtriangledown _i=\epsilon_i^A-\epsilon_i^B,然后得到差值\bigtriangledown _1,\bigtriangledown _2,...\bigtriangledown _k,计算出这些差值的均值\mu和方差\sigma ^2,在显著性水平\alpha下,则检验统计量

    \tau _t=|\frac{\sqrt{k}\mu}{\sigma}|

    3、McNemar检验

    对于二分类问题,使用留出法不仅可以估计出学习器A和B的测试错误率,还可获得两学习器分类结果的差别,得到如下列联表

    两学习器分类差别列联表
    算法B 算法A
    正确 错误
    正确 e_{00} e_{01}
    错误 e_{10} e_{11}

    假设两学习器性能相同,则e_{01}=e_{10},即变量|e_{01}-e_{10}|应当服从正态分布。构造检验统计量

    \tau _{\chi ^2}=\frac{(|e_{01}-e_{10}|-1)^2}{e_{01}+e_{10}}服从自由度为1的\chi ^2分布。

    4、Friedman检验和Nemenyi检验

    参照西瓜书。

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  • 偏差-方差分解试图对学习算法的期望泛化错误率进行拆解。泛化误差可分解为:偏差,方差与噪声之和。偏差度量了学习算法的期望预测与真实结果的偏离程度,即刻画了学习算法本身的拟合能力 。方差度量了同样大小的训练...

    2.5偏差与方差

    关键词:偏差-方差分解;泛化误差

    偏差-方差分解是解释算法泛化性能的一种重要工具。偏差-方差分解试图对学习算法的期望泛化错误率进行拆解。

    泛化误差可分解为:偏差,方差与噪声之和。

    偏差度量了学习算法的期望预测与真实结果的偏离程度,即刻画了学习算法本身的拟合能力 。

    方差度量了同样大小的训练集的变动所导致的学习性能的变化,即刻画了数据扰动所造成的影响。

    噪声则表达了在当前任务上任何学习算法所能达到的期望泛化误差的下界。

    因此,泛化性能是由学习算法的能力,数据的充分性以及学习任务本身的难度所共同决定的。

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空空如也

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泛化错误率