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  • 用c语言编写组合数
    2021-11-04 11:32:15

    已知组合数的递归定义如下所示,编写递归程序求Ckn

    (1)先写递归函数
    (2)再写主函数

    #include <stdio.h>
    
    int main(){
    	int seek(int k, int n);
    	int k, n;
    	int result;
    	do{
    		printf("输入k,n(0<=k<=n):\n");
    		scanf("%d,%d", &k, &n);
    	}while(k < 0 || k > n || n < 0);
    	result = seek(k, n);
    	printf("%d", result);
    
    }
    
    int seek(int k, int n){
    	if(k == n || k == 0)
    		return 1;
    	return seek(k-1,n-1) + seek(k, n-1);
    }
    
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    组合数公式
    在这里插入图片描述

    //排列组合
    #include <stdio.h>
    int fac(int x)			//求阶乘或者说是全排数 
    {
    	if(x==1)
    		return 1; 
    	return x*fac(x-1); 
    }
    
    int con(int m,int n)	//求组合数 
    {
    	return fac(m)/(fac(n)*fac(m-n));
    } 
    
    int main()
    {
    	int m=0,n=0;		//m>n
    	scanf("%d %d",&m,&n);
    	printf("%d",con(m,n));
    	return 0;
    } 
    

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • C语言函数 -C语言组合数

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    这是一个使用C语言函数的示例:计算组合数 C(m,n) 的值(m≤10)。组合数 C(m,n) 可以理解为从 m 个数中任意取出 n 个数的所有情况数。在数学中,求组合数 C(m,n) 的值可以借助 m 和 n 的阶乘来计算,计算公式为:从...

    这是一个使用C语言函数的示例:计算组合数 C(m,n) 的值(m≤10)。

    组合数 C(m,n) 可以理解为从 m 个数中任意取出 n 个数的所有情况数。在数学中,求组合数 C(m,n) 的值可以借助 m 和 n 的阶乘来计算,计算公式为:

    e474711054d214a4b09a260332da580d.gif

    从上面的计算公式可以看出,求组合数 C(m,n) 的值,需要进行三次阶乘运算。为了简化程序,可以把阶乘运算设计为函数 fac(x),求组合数时调用该函数即可。

    代码清单 1:计算组合数 C(m,n) 的值(m≤10)

    #include

    #include

    long int fac(int x) //定义阶乘函数

    {

    int i;

    long int s = 1;

    for(i=1;i<=x;i++)

    s *= i;

    return s;

    }

    int main( ) //主函数

    {

    int m, n;

    printf("输入m和n(m≤10,n≤m):\n");

    scanf("%d %d",&m, &n);

    printf("C(m,n)=%ld\n",fac(m)/(fac(m-n)*fac(n)));

    system("pause");

    return 0;

    }

    运行结果为:

    输入m和n(m≤10,n≤m):

    11 5

    C(m,n)=462

    展开全文
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    组合数公式

    A^m_n=\frac{n!}{(n-m)!}\\ C_n^m=\frac{n!}{(n-m)!m!}


    递推求组合数

    应用场景:

    数据范围小,且有取模条件

    // c[a][b] 表示从a中选b个的方案数
    for (int i = 0; i < N; i ++ )
        for (int j = 0; j <= i; j ++ )
            if (!j) c[i][j] = 1;
            else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;

    预处理阶乘求逆元求组合数

    应用场景

    有取模条件,根据取模条件,如果模数是质数用费马小定理,用快速幂就可求逆元,否则用扩展欧几里得求逆元

    费马小定理求逆元

    // a 的 k 次方 mod p (p为质数)
    int qmi(int a, int k, int p) //快速幂模板
    {
    	int res = 1;
    	while (k)
    	{
    		if (k & 1) res = (long long)res * a % p;
    		a = (long long)a * a % p;
    		k >>= 1;
    	}
    	return res % p;
    }

    扩展欧几里得求逆元

    // a 为求逆元的数,b 为模数,运算完成后 x 就是在模 a 下的逆元
    int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
    {
    	if (!b)
    	{
    		x = 1, y = 0;
    		return a;
    	}
    	int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    	y -= a / b * x;
    	return d;
    }

    预处理阶乘的逆元

    // fact为阶乘 infact为阶乘的逆元
    fact[0] = infact[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i ++ )
    {
        fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod;
        infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod;
    }

    最后运用开头的组合数公式将除法换成逆元乘法并取模就行。


    卢卡斯定理求组合数

    应用场景

    求大组合数C_{a}^b,a、b > 1e10, and 模数 p 较小的情况下。求逆元根据p的情况来定,为质数可用费马小定理,否则用扩展欧几里得求逆元

    C_a^b \equiv C_{a\%p}^{b\%p}.C_{a/p}^{b/p}\ \%p

    根据公式实现

    #include<iostream>
    
    using namespace std;
    typedef long long LL;
    int p;
    
    int ksm(int a, int b)
    {
    	int res = 1;
    	while (b)
    	{
    		if (b & 1)res = (LL)res * a % p;
    		a = (LL)a * a % p;
    		b >>= 1;
    	}
    	return res;
    }
    
    int C(int a, int b)
    {
    	int res = 1;
    	for (int i = 1, j = a; i <= b; i++, j--)
    	{
    		res = (LL)res * j % p;
    		res = (LL)res * ksm(i, p - 2) % p;
    	}
    	return res;
    }
    
    int lucas(LL a, LL b)
    {
    	if (a < p && b < p) return C(a, b);
    	return (LL)C(a % p, b % p) * lucas(a / p, b / p) % p;
    }
    
    int main()
    {
    	int n;
    	cin >> n;
    	while (n--)
    	{
    		LL a, b;
    		cin >> a >> b >> p;
    		int res = lucas(a, b);
    		cout << res << endl;
    	}
    
    	return 0;
    }

    分解质因数求组合数

    引用场景

    没有取模条件

    用公式C_a^b=\frac{a!}{(a-b)!b!}对a,a - b, b分解质因数消去相同的因子,化简式子用高精度乘法运算解决问题

    #include<iostream>
    #include<vector>
    #include<cmath>
    
    using namespace std;
    const int N = 5050;
    int primes[N], cnt;//a以内的素数有多少个
    bool st[N];
    int sum[N];//因子p的k次方,存k
    int a, b;
    
    void get_primes(int n)//线性筛
    {
    	for (int i = 2; i <= n; i++)
    	{
    		if (!st[i])
    		{
    			primes[cnt++] = i;
    		}
    		for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++)
    		{
    			st[primes[j] * i] = true;
    			if (i % primes[j] == 0)break;
    		}
    	}
    }
    
    int get(int a, int p)//get k
    {
    	int sum = 0;
    	while (a)
    	{
    		sum += a / p;
    		a /= p;
    	}
    	return sum;
    }
    
    vector<int > mul(vector<int> &a, int b)
    {
    	vector<int> c;
    	int t = 0;
    	for (int i = 0; i < a.size() || t; i++)
    	{
    		if (i < a.size()) t += a[i] * b;
    		c.push_back(t % 10);
    		t /= 10;
    	}
    	return c;
    }
    
    int main()
    {
    	cin >> a >> b;
    	//筛素数
    	get_primes(a);
    	//
    	for (int i = 0; i < cnt; i++)
    	{
    		int p = primes[i];
    		//消去相同因子
    		sum[i] = get(a, p) - get(b, p) - get(a - b, p);
    	}
    	
    	vector<int> res;
    	res.push_back(1);
    	
    	for (int i = 0; i < cnt ; i++)
    	{
    		for (int j = 0; j < sum[i]; j++)
    		{
    			res = mul(res, primes[i]);
    		}
    	}
    	
    	for (int i = res.size() - 1; i >= 0; i --) cout << res[i];
    	cout << endl;
    	
    	return 0;
    }

    卡特兰数练手题

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