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  • 1.2 顺序变量 1.3 数值型变量 另,根据其取值不同又可分为:离散型变量、连续型变量 数据处理:将数据用图表等形式展现出来; 数据分析:选择适当的统计方法研究数据,并从数据中提取有用信息进而得出结论,具体方法...
    1. 变量值是变量的取值
    2. 变量的类型
      1.1 分类变量
      1.2 顺序变量
      1.3 数值型变量
      另,根据其取值不同又可分为:离散型变量、连续型变量
    3. 数据处理:将数据用图表等形式展现出来;
      数据分析:选择适当的统计方法研究数据,并从数据中提取有用信息进而得出结论,具体方法有描述统计和推断统计。
    4. 推断统计:
      如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。
    截面数据 时间序列数据
    1. 统计量,根据样本数据计算得出,是样本的函数。
    2. 分类数据和顺序数据,一般是由文字来表述,又被称为定性数据和品质数据。
    3. 变量分类:
      分类变量、顺序变量、数值型变量。

    数据的来源:

    1. 间接来源—二手数据
      二手数据优点:搜集容易,采集成本低,并且能很快得到。
      局限性:相关性不够、口径可能不一致、数据也许不准确、也许过时。
    2. 直接来源:
      调查数据、实验数据

    二、调查数据

    1. 概率抽样:每一个单位都有一定机会(已知的,可计算的非零概率)被抽到,可以以相等(等概率抽样)也可以不相等(不等概率抽样)。
      特点:随机原则抽取样本;
      概率抽样可以依据调查结果,计算估计量误差,从而得到对总体目标量进行估计的可靠程度。也可以按照要求的精确度,计算出必要的样本数目。
    2. 概率抽样的方式:
      2.1. 简单随机抽样:
      从抽样框(抽样框包含所有总体单位的信息,作用:提供备选单位以供抽选,计算相应的概率)中进行;
      从总体中的N个单位一个一个地抽取,每个单位都是相等的,是一种等概率抽样;
      是一种最基本的抽样方式,是抽样方式的基础;
      特点:简单直观,在抽样框完整的时候,可以直接抽取样本,由于抽选的概率相同,用样本统计量对目标量进行估计及计算估计量误差都比较方便
      局限性:当N很大时,抽样框不宜选取;抽出的单位很分散;没有利用辅助信息提高估计的效率。
      2.2 分层抽样
      先划分不同层,然后从各层中抽取。
      保证了样本与总体结构相近。
      2.3 整群抽样
      分组(把这样的组称为群),然后直接抽群,对群中的所有的单位实施调查。
      优点:简化了编制抽样框的工作量,较为简便。
      缺点:估计精度比较差。
      2.4 系统抽样
      对总体中的所有单位进行排序,选取初始单位,按照一定的规则确定其他样本。
      2.5 多阶段抽样
      类似整群抽样,区别是从抽出的群里进行再次抽样,依次推广,即为多阶段抽样。
      优点:样本相对集中,节约调查费用。
      在较大规模的抽样调查中,多阶段抽样经常使用
    3. 非概率抽样:
      特点:抽取样本不遵循随机原则,而是根据研究目的对数据的要求,采用某种方法进行抽样。有如下几种:
      3.1 方便抽样
      依据方便的原则,自行确定入选单位。
      容易实施,但不能将结果推广到总体当中。
      3.2 判断抽样
      根据以往经验,有目的的地选取样本,主观的。又可分为:重点抽样、典型抽样、代表抽样。
      3.3 自愿抽样
      3.4 滚雪球抽样
      先对稀少群体调查,之后再请他们提供另外的调查对象,持续下去。
      特点:适合对特定顶群体进行研究、搜取资料。
      3.5 配额抽样
      类似于概率抽样的分层抽样,先分层、再在各层中进行方便抽样、判断抽样等选取单位。
      搜集数据:
      自填式、电话式、面访式、观察式。
      实验数据:
      随机原则分配给实验组和对照组。
      匹配,情况相同的每队单位分别分配给实验组和对照组。
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  • 统计学知识

    2018-03-01 14:34:58
    knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE) ...顺序数据—中位数:一组数据排序后处于中间位置上的变量值。 顺序数据—四分位数:一组数据排序后处于25%和75%位置上的值。 数值数据—平均数:分为简单平均数、加权平均数...

    title: “统计学知识”
    author: “”
    date: “2018年2月27日”
    output: word_document

    knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
    

    总结统计学中基础知识,以原理叙述为主。

    数据度量

    集中趋势的度量

    1. 分类数据—众数(mode):一组数据中出现次数最多的变量值。
    2. 顺序数据—中位数:一组数据排序后处于中间位置上的变量值。
    3. 顺序数据—四分位数:一组数据排序后处于25%和75%位置上的值。
    4. 数值数据—平均数:分为简单平均数、加权平均数等,不赘~
    5. 众数、中位数和平均数的关系

    这里写图片描述

    离散程度的度量

    1. 分类数据—异众比率:非众数组的频数占总频数的比例
    2. 顺序数据—四分位差:上下四分位数的差。
    3. 数值型数据—极差、方差、标准差:不赘。

    偏态和峰态的度量

    1. 偏态(skewness):是对数据分布对称性的测度,对称分布则偏态系数等于0,明显不等于0表名非对称的。大于0表示右偏(定义存在歧义,上图中的右偏,有的地方称之为左偏)。
    2. 峰态(kurtosis):是对数据分布平峰或者尖峰程度的测度,标准正态分布峰态系数为0,大于0为尖峰分布,数据分布更集中,反之扁平分布。

    ## 概率论

    条件概率

    P(A∣B)=P(AB)P(B) P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} P(AB)=P(B)P(AB)

    全概率公式

    P(B)=∑i=1nP(AiB)=∑i=1nP(Ai)P(B∣Ai) P\left( B \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {P\left( {{A_i}B} \right)} = \sum\limits_{i = 1}^n {P\left( {{A_i}} \right)} P\left( {B|{A_i}} \right) P(B)=i=1nP(AiB)=i=1nP(Ai)P(BAi)

    贝叶斯公式

    P(Ai∣B)=P(AiB)P(B)=P(Ai)P(B∣Ai)∑j=1nP(Aj)P(B∣Ai) P\left( {{A_i}|B} \right) = \frac{{P\left( {{A_i}B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( {{A_i}} \right)P\left( {B|{A_i}} \right)}}{{\sum\limits_{j = 1}^n {P\left( {{A_j}} \right)} P\left( {B|{A_i}} \right)}} P(AiB)=P(B)P(AiB)=j=1nP(Aj)P(BAi)P(Ai)P(BAi)

    三大分布

    正态分布

    X∼N(μ,σ2)X \sim N\left( {\mu ,{\sigma ^2}} \right)XN(μ,σ2):随机变量XXX服从均值为μ\muμ、方差为σ2{\sigma ^2}σ2的正态分布。其中μ\muμ决定图形的中心位置,σ\sigmaσ决定图形中峰的陡峭程度。σ\sigmaσ越大图形越平缓,反之陡峭(陡峭意为分布集中,所以方差小)。密度函数如下:
    f(x)=1σ2πexp⁡(−12σ2(x−μ)2) f\left( x \right) = \frac{1}{{\sigma \sqrt {2\pi } }}\exp \left( { - \frac{1}{{2{\sigma ^2}}}{{\left( {x - \mu } \right)}^2}} \right) f(x)=σ2π1exp(2σ21(xμ)2)

    卡方分布

    设随机变量X1,X2,…,Xn{X_1},{X_2}, \ldots ,{X_n}X1,X2,,Xn相互独立,且Xi{X_i}Xi服从标准正态分布N(0,1)N(0,1)N(0,1),则随机变量的平方和$\sum\limits_{i = 1}^n {X_i^2} 服从自由度为服从自由度为n的的{\chi ^2}分布。自由度为分布。 自由度为n的的{\chi ^2}分布数学期望为分布数学期望为n$,方差为2n2n2n

    t分布

    t分布也称为学生氏分布。设随机变量X∼N(0,1),Y∼χ2(n)X \sim N\left( {0,1} \right),Y \sim {\chi ^2}\left( n \right)XN(0,1),Yχ2(n),且XXXYYY独立,则
    t=XY/n t = \frac{X}{{\sqrt {Y/n} }} t=Y/nX
    该分布为ttt分布。

    F分布

    设随机变量YYYZZZ相互独立,且YYYZZZ分别服从自由度为mmmnnnχ2\chi ^2χ2分布,随机变量XXX有如下表达式;
    X=Y/mZ/n=nYmZ X = \frac{{Y/m}}{{Z/n}} = \frac{{nY}}{{mZ}} X=Z/nY/m=mZnY
    则称XXX服从第一自由度为mmm,第二自由度为nnnFFF分布,即为F(m,n)F(m,n)F(m,n),简记为X∼F(m,n)X \sim F\left( {m,n} \right)XF(m,n)

    大数定律和中心极限定理

    大数定律

    讨论的是在什么条件下,随机变量序列的算术平均值依概率收敛到其均值(期望)的算数平均。
    即随机变量Xn{X_n}Xn满足:
    lim⁡n→∞  P{∣1n∑i=1nXi−1n∑i=1nE(Xi)∣<ε}=1,for  ∀ε>0 \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \;P\left\{ {\left| {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{X_i} - \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {E\left( {{X_i}} \right)} } } \right| < \varepsilon } \right\} = 1,for\;\forall \varepsilon > 0 nlimP{n1i=1nXin1i=1nE(Xi)<ε}=1,forε>0

    中心极限定理

    研究随机变量和的极限分布在什么条件下为正态分布。如林德伯格-莱维中心极限定理:
    {Xn}\{X_n\}{Xn}是独立同分布的随机变量序列,且EXi=μE{X_i}=\muEXi=μ,Var(Xi)=σ2Var(X_i)={\sigma}^2Var(Xi)=σ2存在,则当nnn足够大时,∑i=1nXi\sum\limits_{i = 1}^n {{X_i}}i=1nXi近似服从N(nμ,nσ2)N(n\mu,n\sigma^2)N(nμ,nσ2)

    简单的统计推断

    P值

    当原假设为真时所得到的样本观察结果或者更极端结果出现的概率。

    假设检验

    基本思想为小概率反证法,流程为:先提出原假设,再用适当的统计方法确定假设成立的可能性大小(P值),如果可能性小(小于事先设定的显著性水平),则认为原假设不成立,这里只能说明现有数据不能支撑原假设,但是不能说明备注假设成立。

    列联表分析

    研究两个类别型变量之间是否独立的方法。原假设为两变量独立,通常通过构建列联表进行计算分析。
    简单叙述原理:原假设两个类别型变量是独立的,那么可以通过边际概率的乘积,计算独立时各种组合发生的概率,继而求出所谓的期望频数,如果期望频数和实际频数相差很大,则认为独立。贴个书上的例子:
    这里写图片描述

    这里写图片描述

    方差分析

    方差分析通过检验各总体均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。
    方差分析的主要思想是误差分解,总误差分解为组内误差和组间误差,直观的想法:如果分类型自变量对数值型因变量没有显著影响,那么组间均方和组内均方误差应该比较接近。
    以单因子方差为例,简述相关内容。

    方差分析基本假定

    1. 每个总体服从正态分布
    2. 每个总体的方差必须相同(统计软件会输出方差同质性检验,如果不一致,参看另外一个统计量即可)
    3. 观测值是独立的(一般由实验或者抽样满足)
      这三个假定成立的前提下,分析自变量对因变量是否有影响形式上转换为检验自变量的各个水平(不同的总体)的均值是否相等。因此原假设为自变量对因变量没有显著影响,即各个总体的均值全部相等。

    统计量的构造

    前面提到通过对总体误差的分解得到组间误差和组内误差,两者除以对应的自由度,得到组间均方(MSA)和组内均方(MSE),构造统计量F=MSAMSE∼F(k−1,n−k)F = \frac{{MSA}}{{MSE}} \sim F\left( {k - 1,n - k} \right)F=MSEMSAF(k1,nk)


    回归

    列联表分析可以看做研究类别型自变量和类别型因变量的关系,方差分析则是类别型自变量和数值型因变量的关系,那么回归分析可以看做研究数值型自变量和数值型因变量的关系。

    基本假定

    1. 误差项服从均值为0的正态分布
    2. 误差项之间相互独立
    3. 误差项的方差对所有的xxx的值都不变

    逻辑

    主要思想是构造误差平方和为目标函数,通过最小二乘方法求出目标函数最小时候的各个参数。通过构造不同的惩罚项,可以变形为岭回归和lasso回归。具体不赘~

    求参

    1. 损失函数的hesse matrix是正定矩阵,所以损失函数是凸函数
    2. 正定矩阵定义:实对称+ATXA>0A^TXA>0ATXA>0
    3. 梯度下降法or随机梯度下降

    逻辑回归

    logstic变换

    P(Y=1∣X)=exp⁡(wx)1+exp⁡(wx)P(Y=0∣X)=11+exp⁡(wx)log⁡(P(Y=1∣X)P(Y=0∣X))=wx \begin{array}{l} P\left( {Y = 1|X} \right) = \frac{{\exp \left( {wx} \right)}}{{1 + \exp \left( {wx} \right)}}\\ P\left( {Y = 0|X} \right) = \frac{1}{{1 + \exp \left( {wx} \right)}}\\ \log \left( {\frac{{P\left( {Y = 1|X} \right)}}{{P\left( {Y = 0|X} \right)}}} \right) = wx \end{array} P(Y=1X)=1+exp(wx)exp(wx)P(Y=0X)=1+exp(wx)1log(P(Y=0X)P(Y=1X))=wx

    目标函数和求参

    极大似然估计法求参数,目标函数如下:
    ∏i[f(xi)]yi[1−f(xi)]1−yi {\prod\limits_i {\left[ {f\left( {{x_i}} \right)} \right]} ^{{y_i}}}\left[ {1 - f\left( {{x_i}} \right)} \right]{}^{1 - {y_i}} i[f(xi)]yi[1f(xi)]1yi


    PCA

    基本思想

    研究问题涉及的众多变量之间有一定的相关性,就必然存在着起支配作用的共同因素,根据这一点,通过对原始变量相关矩阵或协方差阵内部结构关系的研究,利用原始变量的线性组合形成几个综合指标(主成分),在保留原始变量主要信息的前提条件下起到降维和简化问题的作用,使得在研究复杂问题时更容易抓住主要矛盾。

    基本理论

    主成分定义

    这里写图片描述
    这里写图片描述

    主成分的条件

    这里写图片描述

    主成分的几何意义

    以二维为例:
    这里写图片描述

    主成分的求法

    目标很明确:想要Var(Z1)Var(Z_1)Var(Z1)最大,并且要满足前面所讲的主成分的三个条件。可以使用拉格朗日乘子法求解。具体如下:
    这里写图片描述
    这里写图片描述

    剩下的细节不多说,有空写的详细点吧。


    因子分析

    在主成分分析中,每一个主成分可以看做变量的线性组合;而在因子分析中,把每个变量分解成几个公共因子的线性组合和特殊因子,一般因子数量小于变量数量。

    因子模型

    这里写图片描述

    两个假定

    因子模型有两个前提假定:
    这里写图片描述

    因子载荷

    因子载荷矩阵为模型的汇总矩阵AAA,矩阵中的元素aija_{ij}aij表示第iii个变量与第jjj个公共因子的相关系数。

    参数估计

    也就是载荷矩阵的求解,一般有主成分法、主因子解和极大似然法。主成分求法相当于先求出主成分,然后矩阵求逆可得。具体不太清楚,可以参看多元统计的教材。

    2018-03-01 于杭州

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  • 统计学原理导论

    千次阅读 2020-03-25 11:18:48
    指出下面的变量哪一个属于顺序变量 A、年龄 B、工资 C、汽车产量 D、员工对企业某项改革措施的态度(赞成、中立、反对) 正确答案: D 3 指出下面的变量哪一个属于数值型变量 A、年龄 B、性别 C、企业类型 D、员工对...

    1
    指出下面的变量哪一个属于分类变量()
    A、年龄
    B、工资
    C、汽车产量
    D、员工对企业某项改革措施的态度(赞成、中立、反对)
    正确答案: D

    2
    指出下面的变量哪一个属于顺序变量
    A、年龄
    B、工资
    C、汽车产量
    D、员工对企业某项改革措施的态度(赞成、中立、反对)
    正确答案: D

    3
    指出下面的变量哪一个属于数值型变量
    A、年龄
    B、性别
    C、企业类型
    D、员工对企业某项改革措施的态度(赞成、中立、反对)
    正确答案: A

    4
    某研究部门准备在全市200万个家庭中抽取2000个家庭,推断该城市所有职工家庭的年人均收入。这项研究的总体是()
    A、2000个家庭
    B、200万个家庭
    C、2000个家庭的人均收入
    D、200万个家庭的总收入
    正确答案: B

    5
    某研究部门准备在全市200万个家庭中抽取2000个家庭,推断该城市所有职工家庭的年人均收入。这项研究的样本是()
    A、2000个家庭
    B、200万个家庭
    C、2000个家庭的人均收入
    D、200万个家庭的总收入
    正确答案: A

    6
    某研究部门准备在全市200万个家庭中抽取2000个家庭,推断该城市所有职工家庭的年人均收入。这项研究的参数是()
    A、2000个家庭
    B、200万个家庭
    C、2000个家庭的人均收入
    D、200万个家庭的总收入
    正确答案: D

    7
    某研究部门准备在全市200万个家庭中抽取2000个家庭,推断该城市所有职工家庭的年人均收入。这项研究的统计量是()
    A、2000个家庭
    B、200万个家庭
    C、2000个家庭的人均收入
    D、200万个家庭的总收入
    正确答案: C

    8
    一家研究机构从IT从业者中随机抽取500人作为样本进行调查,其中60%回答他们的月收入在5000元以上,50%回答他们的消费支付方式是用信用卡。这里的总体是()
    A、IT业的全部从业者
    B、500个IT从业者
    C、IT从业者的总收入
    D、IT从业者的消费支付方式
    正确答案: A

    9
    一家研究机构从IT从业者中随机抽取500人作为样本进行调查,其中60%回答他们的月收入在5000元以上,50%回答他们的消费支付方式是用信用卡。这里的“月收入”是()
    A、分类变量
    B、顺序变量
    C、数值型变量
    D、离散型变量
    正确答案: C

    10
    一名统计学专业的学生为了完成其统计作业,在《统计年鉴》中找到了2006年城镇家庭的人均收入数据。这一数据属于()
    A、分类数据
    B、顺序数据
    C、截面数据
    D、时间序列数据
    正确答案: C

    11
    下列不属于描述统计问题的是()
    A、根据样本信息对总体进行推断
    B、了解数据分布的特征
    C、分析感兴趣的总体特征
    D、利用图、表或其他数据汇总工具分析数据
    正确答案: A

    12
    某大学的以为研究人员希望估计该大学本科生平均每月的生活费支出,为此,他调查了200名学生,发现他们每月平均生活费支出是500元。该研究人员感兴趣的总体是()
    A、该大学的所有学生
    B、该校所有大学生的总生活费支出
    C、该大学所有的在校本科生
    D、所调查的200名学生
    正确答案: C

    13
    某大学的以为研究人员希望估计该大学本科生平均每月的生活费支出,为此,他调查了200名学生,发现他们每月平均生活费支出是500元。该研究人员感兴趣的参数是()
    A、该大学的所有学生人数
    B、该大学所有本科生的月平均生活费支出
    C、该大学所有本科生的月生活费支出
    D、所调查的200名学生的月平均生活费支出
    正确答案: B

    14
    某大学的以为研究人员希望估计该大学本科生平均每月的生活费支出,为此,他调查了200名学生,发现他们每月平均生活费支出是500元。该研究人员感兴趣的统计量是()
    A、该大学的所有学生人数
    B、该大学所有本科生的月平均生活费支出
    C、该大学所有本科生的月生活费支出
    D、所调查的200名学生的月平均生活费支出
    正确答案: D

    15
    在下列叙述中,采用推断统计方法的是()
    A、用饼图描述某企业职工的学历构成
    B、从一个果园中采摘36个橘子,利用这36个橘子的平均重量估计果园中橘子的平均重量
    C、一个城市在1月份的平均汽油价格
    D、反映大学生统计学成绩的条形图
    正确答案: B

    16
    一项民意调查的目的是想确定年轻人愿意与其父母讨论的话题。调查结果表明;45%的年轻人愿意与其父母讨论家庭财务状况,38%的年轻人愿意与其父母讨论有关教育的话题,15%的年轻人愿意与其父母讨论爱情问题。该调查所搜集的数据是()
    A、分类数据
    B、顺序数据
    C、数值型数据
    D、实验数据
    正确答案: A
    17
    根据样本计算的用于推断总体特征的概括性度量值称作()
    A、参数
    B、总体
    C、样本
    D、统计量
    正确答案: D

    18
    为了估计某城市中拥有汽车的家庭比例,抽取500个家庭的一个样本,得到拥有汽车的家庭比例为35%,这里的35%是()
    A、参数值
    B、统计量的值
    C、样本值
    D、变量
    正确答案: B

    19
    到商场购物停车便得越来越困难,管理人员希望掌握顾客找到停车位的平均时间。为此,某个管理人员跟踪了50名顾客并且记录下他们找到车位的时间。这里管理人员感兴趣的总体是()
    A、管理人员跟踪过的50名顾客
    B、上午在商场停车的顾客
    C、在商场停车的所有顾客
    D、到商场购物的所有顾客
    正确答案: C

    20
    某手机厂商认为,如果流水线上组装的手机出现故障的比例每天不超过3%,则组装过程是令人满意的。为了检验某天生产的手机质量,厂商从当天生产的手机中随机抽取了30部进行检验。手机厂商感兴趣的总体是()
    A、当天生产的全部手机
    B、抽取的30部手机
    C、3%有故障的手机
    D、30部手机的检测结果
    正确答案: A

    21
    最近发表的一份报告称,由150部新车组成的一个样本表明,外国新车的价格明显高于本国生产的新车:。这一结论属于()
    A、对样本的描述
    B、对样本的推断
    C、对总体的描述
    D、对总体的推断
    正确答案: D

    22
    只能归于某一类别的非数字型数据成为()
    A、分类数据
    B、顺序数据
    C、数值型数据
    D、数值型变量
    正确答案: A

    23
    只能归于某一有序类别的非数字型数据称为()
    A、分类数据
    B、顺序数据
    C、数值型数据
    D、数值型变量
    正确答案: B

    24
    按数字尺度测量的观察值称为()
    A、分类数据
    B、顺序数据
    C、数值型数据
    D、数值型变量
    正确答案: C

    25
    通过调查或观测而收集到的数据称为()
    A、观测数据
    B、实验数据
    C、时间序列数据
    D、截面数据
    正确答案: A

    26
    在相同或近似相同的时间点上收集的数据称为()
    A、观测数据
    B、实验数据
    C、时间序列数据
    D、截面数据
    正确答案: D

    27
    在不同时间点上收集的数据称为()
    A、观测数据
    B、实验数据
    C、时间序列数据
    D、截面数据
    正确答案: C

    28
    研究者想要了解的总体的某种特征值称为()
    A、参数
    B、统计量
    C、变量
    D、变量值
    正确答案: A

    29
    用来描述样本特征的概括性数字度量称为()
    A、参数
    B、统计量
    C、变量
    D、变量值
    正确答案: B

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    变量划分:
    1.分类数据:对事物的分类结果,用文字描述,例如性别男,女;按照行业分医疗企业,家电企业,纺织品企业。
    2.顺序数据:只能归于某一类别的非数字型数据。类别是有顺序的。比如,成绩分为优,良,中,差。
    3.数值型数据:按照数字尺度测量的观察值。

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统计学顺序变量