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  • 维特比算法的目的: 寻找最可能的隐藏状态序列(Finding most probable sequence of hidden states...本文通过分析维特比算法例子,来学习该算法 定义HMM的五个重要元素, # 隐藏序列 S states = ("Rainy", "Sunn...

    维特比算法的目的:

    寻找最可能的隐藏状态序列(Finding most probable sequence of hidden states)


    关于原理的讲解可以参考下面两篇文章,讲的比较清楚
    小白给小白详解维特比算法1.
    小白给小白详解维特比算法2.


    本文通过分析维特比算法的例子,来学习该算法

    1. 定义HMM的五个重要元素,
    # 隐藏序列 S
    states = ("Rainy", "Sunny")
    
    # 观测序列 K
    observations = ('walk', 'shop', 'clean')
    
    # 初始概率 π
    start_probability = {'Rainy': 0.6, "Sunny": 0.4}
    
    # 转移概率 A
    transition_probability = {
        'Rainy': {"Rainy": 0.7, "Sunny": 0.3},
        "Sunny": {"Rainy": 0.4, "Sunny": 0.6}
    }
    
    # 发射概率  B
    emission_probability = {
        "Rainy": {"walk": 0.1, "shop": 0.4, "clean": 0.5},
        "Sunny": {"walk": 0.6, "shop": 0.3, "clean": 0.1},
    }
    
    

    2.定义初始化状态

        # 路径概率表 V[时间][隐状态] = 概率
        V = [{}]
        # 一个中间变量,代表当前状态是哪个隐状态
        path = {}
        # 初始化初始状态 t=0
        for y in states:
            V[0][y] = start_p[y] * emit_p[y][obs[0]]
            path[y] = [y]
    

    V[时间][天气] = 概率
    观测序列(observations)得到的结果 观测对象第一天是散步
    计算第一天的天气:
    V[第一天][天晴] = 初始概率[天晴] * 发射概率[散步] = 0.4 * 0.6 = 0.24
    V[第一天][下雨] = 初始概率[下雨] * 发射概率[散步] = 0.6 * 0.1 = 0.06
    计算结果可见,第一天天晴的概率比较大。
    此时初始的路径 path = {}


    1. 后面天气的情况都是根据前一天天气概率×转移概率×发射概率得到
    def vierbi(obs, states, start_p, trans_p, emit_p):
        """
        :param obs:     观察序列    K
        :param states:  隐藏状态    S
        :param start_p: 初始概率    π
        :param trans_p: 转移概率    A
        :param emit_p:  发射概率    B
        :return:
        """
        # 路径概率表 V[时间][隐状态] = 概率
        V = [{}]
        # 一个中间变量,代表当前状态是哪个隐状态
        path = {}
        # 初始化初始状态 t=0
        for y in states:
            V[0][y] = start_p[y] * emit_p[y][obs[0]]
            path[y] = [y]
    
        # 对t>0 跑一遍维特比算法
        for t in range(1, len(obs)):
            V.append({})
            newpath = {}
    
            for y in states:
                # 概率 隐状态 =  前状态是y0的概率 * y0转移到y的概率 * y表现为当前状态的概率
                (prob, state) = max([(V[t - 1][y0] * trans_p[y0][y] * emit_p[y][obs[t]], y0) for y0 in states])
    
                # 记录最大概率
                V[t][y] = prob
                # 记录路径
                newpath[y] = path[state] + [y]
    
            # 不需要保存旧路径
            path = newpath
    
        print_dptable(V)
        (prob, state) = max([(V[len(obs) - 1][y], y) for y in states])
        return prob, path[state]
    

    第二天: 由观测序列可得 observations[1] = ‘购物’
    ① 首先看计算第二天下雨的概率

    • V[第二天][下雨] = V[第一天][下雨] * 转移概率[下雨][下雨] * 发射概率[下雨][购物] = 0.06 * 0.7 * 0.4 = 0.0168
    • V[第二天][下雨] = V[第一天][天晴] * 转移概率[天晴][下雨] * 发射概率[下雨][购物] = 0.24 * 0.4 * 0.4 = 0.0384
      同样在这里取最大概率
      V[第二天][下雨] = 0.0384
      得到的新路径 newpath[下雨] = [晴天,下雨]

    ②然后计算第二天天晴的概率

    • V[第二天][天晴] = V[第一天][下雨] * 转移概率[下雨][天晴] * 发射概率[天晴][购物] = 0.06 * 0.3 * 0.3 = 0.0054
    • V[第二天][天晴] = V[第一天][天晴] * 转移概率[天晴][天晴] * 发射概率[天晴][购物] = 0.24 * 0.6 * 0.3 = 0.0432
      V[第二天][天晴] = 0.0432
      得到的新路径 newpath[晴天] = [晴天,晴天]

    第二天计算完成之后得到前两天的路径
    paht={雨天:[晴天,下雨],晴天:[晴天,晴天]}

    以同样的方式得到第三天的结果
    observations[1] = 打扫

    • V[第三天][下雨] = V[第二天][下雨] * 转移概率[下雨][下雨] * 发射概率[下雨][打扫] = 0.0384 * 0.7 * 0.5 = 0.01344
    • V[第三天][下雨] = V[第二天][天晴] * 转移概率[天晴][下雨] * 发射概率[下雨][打扫] = 0.0432 * 0.4 * 0.5 = 0.00864
      V[第三天][下雨] = 0.01344
      newpath[下雨] = [晴天,下雨,下雨]
    • V[第三天][天晴] = V[第二天][下雨] * 转移概率[下雨][天晴] * 发射概率[天晴][打扫] = 0.0384* 0.3 * 0.1 = 0.001152
    • V[第三天][天晴] = V[第二天][天晴] * 转移概率[天晴][天晴] * 发射概率[天晴][打扫] = 0.0432 * 0.6 * 0.1 = 0.002592
      V[第三天][天晴] = 0.002592
      newpath[晴天] = [晴天,晴天,晴天]
      把得到的newpath赋值给path

    最后通过找出V[第三天]中天气最大的那个概率得到天气的情况
    因此第三天的天气为V[第三天][下雨] = 0.01344
    由此可反推得到路径path[下雨] = [晴天,下雨,下雨]

    图形表示如下,第二天之后的天气概率计算后取最大值,根据第三天天气的最大概率再反推天气的路径

    在这里插入图片描述

    上面就是维特比算法实现的详解,下面是完整代码。

    # -*- coding:utf-8 -*-
    # @Time     :2019/5/27 15:30
    # @author   :ding
    # @filename :vertibi.py
    
    """
    维特比算法的实现
    HMM 五个重要元素
    S 隐藏序列的集合
    K 输出状态或观测状态的集合
    π对应隐藏状态的的初始概率
    A 隐藏状态的转移概率 是一个N*M的概率矩阵
    B 影厂状态到观测状态的混淆矩阵,是一个N*M的发射概率的矩阵
    """
    
    # 隐藏序列 S
    states = ("Rainy", "Sunny")
    
    # 观测序列 K
    observations = ('walk', 'shop', 'clean')
    
    # 初始概率 π
    start_probability = {'Rainy': 0.6, "Sunny": 0.4}
    
    # 转移概率 A
    transition_probability = {
        'Rainy': {"Rainy": 0.7, "Sunny": 0.3},
        "Sunny": {"Rainy": 0.4, "Sunny": 0.6}
    }
    
    # 发射概率  B
    emission_probability = {
        "Rainy": {"walk": 0.1, "shop": 0.4, "clean": 0.5},
        "Sunny": {"walk": 0.6, "shop": 0.3, "clean": 0.1},
    }
    
    
    def print_dptable(V):
        print("     ")
        for i in range(len(V)): print("%7d" % i, end="")
        print()
        for y in V[0].keys():
            print("%.5s: " % y, end=" ")
            for t in range(len(V)):
                print("%.7s" % V[t][y], end=" ")
            print()
    
    
    def vierbi(obs, states, start_p, trans_p, emit_p):
        """
    
        :param obs:     观察序列    K
        :param states:  隐藏状态    S
        :param start_p: 初始概率    π
        :param trans_p: 转移概率    A
        :param emit_p:  发射概率    B
        :return:
        """
        # 路径概率表 V[时间][隐状态] = 概率
        V = [{}]
        # 一个中间变量,代表当前状态是哪个隐状态
        path = {}
        # 初始化初始状态 t=0
        for y in states:
            V[0][y] = start_p[y] * emit_p[y][obs[0]]
            path[y] = [y]
    
        # 对t>0 跑一遍维特比算法
        for t in range(1, len(obs)):
            V.append({})
            newpath = {}
    
            for y in states:
                # 概率 隐状态 =  前状态是y0的概率 * y0转移到y的概率 * y表现为当前状态的概率
                (prob, state) = max([(V[t - 1][y0] * trans_p[y0][y] * emit_p[y][obs[t]], y0) for y0 in states])
    
                # 记录最大概率
                V[t][y] = prob
                # 记录路径
                newpath[y] = path[state] + [y]
    
            # 不需要保存旧路径
            path = newpath
    
        print_dptable(V)
        (prob, state) = max([(V[len(obs) - 1][y], y) for y in states])
        return prob, path[state]
    
    
    def test():
        return vierbi(observations,
                      states,
                      start_probability,
                      transition_probability,
                      emission_probability
                      )
    
    
    print(test())
    
    

    打印结果如下
    输出


    维特比算法在NLP方面有很多的应用

    • 词性标注:给定一个词的序列,找出最可能的词性序列
    • 分词:给定一个字的序列,找出最可能的标签序列,可利用BMES这些标签来分词B(开头)M(中间词)E(结尾)S(单个词)
    • 明明实体识别:给定一个词的序列,找出最可能的标签序列

    本文讲的可能不是很清楚,有不对的地方,还请不吝指教。

    展开全文
  • 维特比算法

    千次阅读 2018-06-12 13:21:51
    维特比算法维特比算法(Viterbi algorithm)是在一个用途非常广的算法,本科学通信的时候已经听过这个算法,最近在看 HMM(Hidden Markov model) 的时候也看到了这个算法。于是决定研究一下这个算法的原理及其具体...

    维特比算法

    维特比算法(Viterbi algorithm)是在一个用途非常广的算法,本科学通信的时候已经听过这个算法,最近在看 HMM(Hidden Markov model) 的时候也看到了这个算法。于是决定研究一下这个算法的原理及其具体实现,如果了解动态规划的同学应该很容易了解维特比算法,因为维特比算法的核心就是动态规划。

    对于 HMM 而言,其中一个重要的任务就是要找出最有可能产生其观测序列的隐含序列。一般来说,HMM问题可由下面五个元素描述

    1
    2
    3
    4
    5
    观测序列(observations):实际观测到的现象序列
    隐含状态(states):所有的可能的隐含状态
    初始概率(start_probability):每个隐含状态的初始概率
    转移概率(transition_probability):从一个隐含状态转移到另一个隐含状态的概率
    发射概率(emission_probability):某种隐含状态产生某种观测现象的概率

    下面以维基百科上的具体例子来说明

    想象一个乡村诊所。村民有着非常理想化的特性,要么健康要么发烧。他们只有问诊所的医生的才能知道是否发烧。 聪明的医生通过询问病人的感觉诊断他们是否发烧。村民只回答他们感觉正常、头晕或冷。
    假设一个病人每天来到诊所并告诉医生他的感觉。医生相信病人的健康状况如同一个离散马尔可夫链。病人的状态有两种“健康”和“发烧”,但医生不能直接观察到,这意味着状态对他是“隐含”的。每天病人会告诉医生自己有以下几种由他的健康状态决定的感觉的一种:正常、冷或头晕。这些是观察结果。 整个系统为一个隐马尔可夫模型(HMM)。
    医生知道村民的总体健康状况,还知道发烧和没发烧的病人通常会抱怨什么症状。 换句话说,医生知道隐马尔可夫模型的参数。则这些上面提到的五个元素表示如下

    1
    2
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    4
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    7
    8
    9
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    13
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    15
    states = ('Healthy', 'Fever')

    observations = ('normal', 'cold', 'dizzy')

    start_probability = {'Healthy': 0.6, 'Fever': 0.4}

    transition_probability = {
    'Healthy' : {'Healthy': 0.7, 'Fever': 0.3},
    'Fever' : {'Healthy': 0.4, 'Fever': 0.6},
    }

    emission_probability = {
    'Healthy' : {'normal': 0.5, 'cold': 0.4, 'dizzy': 0.1},
    'Fever' : {'normal': 0.1, 'cold': 0.3, 'dizzy': 0.6},
    }

    其对应的状态转移图如下所示

    状态转移图

    现在的问题是假设病人连续三天看医生,医生发现第一天他感觉正常,第二天感觉冷,第三天感觉头晕。 于是医生产生了一个问题:怎样的健康状态序列最能够解释这些观察结果。维特比算法解答了这个问题。

    首先直观地看这个问题,在HMM中,一个观测现象后面的对应的各个状态都有一个概率值,我们只需要选择概率值最大的那个状态即可,但是这个概率值是跟前面一个状态有关的(马尔科夫假设),因此不能独立考虑每个观测现象。

    为了从时间复杂度方面进行比较,现在将问题一般化:假设观测序列的长度为 m,隐含状态个数为 n。则有下面的隐含状态转移图(下图为了便于表示,将只画出n = 3 的图)。

    Viterbi 算法的状态图

    假如采用穷举法,穷举出所有可能的状态序列再比较他们的概率值,则时间复杂度是 O(nm)O(nm), 显然这样的时间复杂度是无法接受的,而通过维特比算法能把时间复杂度降到 O(mn2)O(m∗n2)

    从动态规划的问题去考虑这个问题,根据上图的定义,记 last_state 为上一个观测现象对应的各个隐含状态的概率,curr_state 为现在的观测现象对应的各个隐含状态的概率。则求解curr_state实际上只依赖于last_state。而他们的依赖关系可通过下面的 python 代码表示出来

    1
    2
    3
    4
    5
    for cs in states:
    curr_state[cs] = max(last_state[ls] *
    transition_probability[ls][cs] *
    emission_probability[cs][observation]
    for ls in states)

    计算过程利用了转移概率 transition_probability 和发射概率 emission_probability,选出那个最有可能产生当前状态 cs 的上一状态 ls

    除了上面的计算,同时要为每个隐含状态维护一个路径 path, path[s] 表示到达状态 s 前的最优状态序列。通过前面的计算选出那个最有可能产生当前状态 cs 的上一状态 ls后,往path[cs] 中插入 ls。则依照这种方法遍历完所有的观测序列后,只需要选择 curr_state 中概率值最大的那个 state 作为最终的隐含状态,同时从 path 中取出 path[state] 作为该最终隐含状态前面的状态序列。

    从上面的分析可知,观测序列只需要遍历一遍,时间复杂度为 O(m)O(m),而每次要计算当前各个状态最可能的前一状态,时间复杂度为 O(n2)O(n2),因此总体的时间复杂度为 O(mn2)O(m∗n2).

    假如在 NLP 中应用 HMM,则将词序列看做是观测到的现象,而词性、标签等信息看做是隐含状态,那么就可以通过维特比算法求解其隐含状态序列,而这也是 HMM 在分词,词性标注,命名实体识别中的应用。其关键往往是找出上面提到的初始概率(start_probability)、转移概率(transition_probability)、发射概率(emission_probability)。

    而在通信领域中,假如将收到的编码信息看作是观测序列,对应的解码信息为隐含状态,那么通过维特比算法也能够找出概率最大的解码信息。

    需要注意的是维特比算法适用于多步骤多选择的最优问题,类似于下面的网络,《数学之美》中将其叫做“篱笆网络(Lattice)”。每一步都有多个选择,并且保留了前面一步各个选择的最优解,通过回溯的方法找到最优选择路径。

    篱笆网络

    这里要强调的是 viterbi 算法可以用于解决 HMM 问题,但是也可以用于解决其他符合上面描述的问题。

    本文转载自:https://www.cnblogs.com/ylHe/p/6912017.html

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  • 这是统计学习方法中的一道题目,下面是维特比算法的代码实现: 1 import numpy as np 2 3 A = np.array([(0.5, 0.2, 0.3), (0.3, 0.5, 0.2), (0.2, 0.3, 0.5)]) 4 B = np.array([(0.5, 0.5), (0.4, 0.6),...

    这是统计学习方法中的一道题目,下面是维特比算法的代码实现:

     1 import numpy as np
     2 
     3 A = np.array([(0.5, 0.2, 0.3), (0.3, 0.5, 0.2), (0.2, 0.3, 0.5)])
     4 B = np.array([(0.5, 0.5), (0.4, 0.6), (0.7, 0.3)])
     5 P = np.array([(0.2, 0.4, 0.4)])
     6 o = np.array([(0, 1, 0)])
     7 
     8 T = 3
     9 n = np.zeros((T, T))
    10 m = np.zeros((T, T))
    11 ans_t = np.zeros(T)
    12 
    13 for i in range(3):   #i代表第几步
    14     for t in range(T):  #t代表状态
    15         if i == 0:  #初始状态的处理
    16             n[i][t] = P[i][t] * B[t][o[0][i]]
    17         else:
    18             for pre_t in range(T):
    19                 n[i][t] = max(n[i][t], n[i-1][pre_t] * A[pre_t][t])
    20             n[i][t] = n[i][t] * B[t][o[0][i]]
    21             m[i][t] = np.array([n[i-1][j] * A[j, t] for j in range(T)]).argmax()
    22 
    23 ans_t[T-1] = n[T-1, :].argmax() + 1
    24 for t in range(T-2, -1, -1):
    25      ans_t[t] = m[t+1][int(ans_t[t+1]) - 1] + 1
    26 
    27 print(ans_t)

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/zyb993963526/p/9087036.html

    展开全文
  • 维特比算法代码

    千次阅读 2018-06-10 12:51:20
    本文主要写一个关于维特比算法的代码,具体理论请参考一文搞懂HMM(隐马尔可夫模型):   HMM(隐马尔可夫模型)是用来描述隐含未知参数的统计模型,举一个经典的例子:一个东京的朋友每天根据天气{下雨,天晴}...

    维特比算法实现python语言版

    本文主要写一个关于维特比算法的代码,具体理论请参考一文搞懂HMM(隐马尔可夫模型)

      HMM(隐马尔可夫模型)是用来描述隐含未知参数的统计模型,举一个经典的例子:一个东京的朋友每天根据天气{下雨,天晴}决定当天的活动{公园散步,购物,清理房间}中的一种,我每天只能在twitter上看到她发的推“啊,我前天公园散步、昨天购物、今天清理房间了!”,那么我可以根据她发的推特推断东京这三天的天气。在这个例子里,显状态是活动,隐状态是天气。

    任何一个HMM都可以通过下列五元组来描述:

    :param obs:观测序列
    :param states:隐状态
    :param start_p:初始概率(隐状态)
    :param trans_p:转移概率(隐状态)
    :param emit_p: 发射概率 (隐状态表现为显状态的概率)
    隐马尔可夫模型五元组
    伪码如下:

    states = ('Rainy', 'Sunny')
    observations = ('walk', 'shop', 'clean')
    start_probability = {'Rainy': 0.6, 'Sunny': 0.4}
    transition_probability = {
        'Rainy' : {'Rainy': 0.7, 'Sunny': 0.3},
        'Sunny' : {'Rainy': 0.4, 'Sunny': 0.6},
        }
    emission_probability = {
        'Rainy' : {'walk': 0.1, 'shop': 0.4, 'clean': 0.5},
        'Sunny' : {'walk': 0.6, 'shop': 0.3, 'clean': 0.1},
    }
    ... prompt'''

    求解最可能的天气:

      求解最可能的隐状态序列是HMM的三个典型问题之一,通常用维特比算法解决。维特比算法就是求解HMM上的最短路径(-log(prob),也即是最大概率)的算法。

    稍微用中文讲讲思路,很明显,第一天天晴还是下雨可以算出来:

      定义V[时间][今天天气] = 概率,注意今天天气指的是,前几天的天气都确定下来了(概率最大)今天天气是X的概率,这里的概率就是一个累乘的概率了。

      因为第一天我的朋友去散步了,所以第一天下雨的概率V[第一天][下雨] = 初始概率[下雨] * 发射概率[下雨][散步] = 0.6 * 0.1 = 0.06,同理可得V[第一天][天晴] = 0.24 。从直觉上来看,因为第一天朋友出门了,她一般喜欢在天晴的时候散步,所以第一天天晴的概率比较大,数字与直觉统一了。

      从第二天开始,对于每种天气Y,都有前一天天气是X的概率 * X转移到Y的概率 * Y天气下朋友进行这天这种活动的概率。因为前一天天气X有两种可能,所以Y的概率有两个,选取其中较大一个作为V[第二天][天气Y]的概率,同时将今天的天气加入到结果序列中

      比较V[最后一天][下雨]和[最后一天][天晴]的概率,找出较大的哪一个对应的序列,就是最终结果。
    python代码如下:

    # -*- coding: utf-8 -*-
    from collections import defaultdict
    
    states =                    ("Rainy", "Sunny")
    observations =              ("Walk", "Shop", "Walk", "Shop", "Clean", "Walk", "Shop", "Walk")
    start_probability =         {"Rainy": 0.6, "Sunny": 0.4}
    transition_probability = {
                                "Rainy": {"Rainy": 0.7, "Sunny": 0.3},
                                "Sunny": {"Rainy": 0.4, "Sunny": 0.6},
                             }
    
    emission_probability =   {
                                "Rainy": {"Walk": 0.1, "Shop": 0.4, "Clean": 0.5},
                                "Sunny": {"Walk": 0.6, "Shop": 0.3, "Clean": 0.1},
                              }
    
    
    # 利用动态规划求解最佳路径
    def compute(obs, states, start_p, trans_p, emit_p):
        # [{}, {}, {}]  长度与obs相同, 保存每条观测路径上面的各种天气的最佳概率
        v = [{} for _ in range(len(obs))]
        # {"state1": [], "state2": []}   长度与states 相同
        path = defaultdict(list)
    
        for state in states:
            v[0][state] = start_p[state] * emit_p[state][obs[0]]
            #path[state] = ["" for _ in range(len(obs))]
            path[state].append(state)
    
        # 以时间循环,从第一天开始循环
        for t in range(1, len(obs)):
            # print obs[t]
            for y1 in states :   # 从path中取路径,作为上一个开始的路径
                max_prob = -1
                for y0 in v[t-1]:
                    nprob = v[t - 1][y0] * trans_p[y0][y1] * emit_p[y1][obs[t]]
                    if nprob > max_prob:
                        # 暂时记录到y1状态节点最后的概率
                        max_prob = nprob
                        # 暂时记录到y1状态节点的上一个y0节点
                        max_state = y0
    
                # 保存到当前的y1状态的最好的概率值
                v[t][y1] = max_prob
    
                # 到上一条路径与当前的y1链接起来,作为y1状态的最好路径
                newpath = [] 
                for state1 in path[max_state]:
                    newpath.append(state1)
                newpath.append(y1)
                path[y1] = newpath
        # 寻找最终概率最大的路径
        prob = -1
        for y1 in states :
            if v[len(obs) - 1][y1] > prob:
                prob = v[len(obs) - 1][y1]
                state = y1
    
        # 返回路径最大的路径
        return path[state]
    
    if __name__ == "__main__":
        max_path = compute(observations, states, start_probability, 
                transition_probability, emission_probability)
        for state in max_path :
            print state

    最终运行结果为:
    Sunny
    Sunny
    Sunny
    Rainy
    Rainy
    Rainy
    Sunny
    Sunny
    Sunny

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