应用

1.求导




描述
样式
公式




微分
$\mathrm{d} y$
$\mathrm{d} y$


一阶
$\frac{\mathrm{d} y }{\mathrm{d} x}$
$\frac{\mathrm{d} y }{\mathrm{d} x}$


n阶
$\frac{\mathrm{d}^{n} y }{\mathrm{d} x^{n}}$
$\frac{\mathrm{d} y }{\mathrm{d} x}$


2.偏导




描述
样式
公式




偏分函数
$\partial y$
$\partial y$


一阶偏导
$\frac{\partial y}{\partial x}$
$\frac{\partial y}{\partial x}$


n阶偏导
$\frac{\partial ^{n} y}{\partial ^{n} x}$
$\frac{\partial ^{n} y}{\partial ^{n} x}$


https://www.jianshu.com/p/8aa646fad1c5

这篇博客不错，将符号按用法分类！

Derivatives, Limits, Sums and Integrals
The expressions

are obtained in LaTeX by typing \frac{du}{dt} and \frac{d^2 u}{dx^2} respectively.
 The mathematical symbol  is produced using \partial.
 Thus the Heat Equation

is obtained in LaTeX by typing

\[ \frac{\partial u}{\partial t}
   = h^2 \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
      + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
      + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right) \]


To obtain mathematical expressions such as

in displayed equations we type \lim_{x \to +\infty}, \inf_{x > s} and \sup_K respectively.
 Thus to obtain

(in LaTeX) we type

\[ \lim_{x \to 0} \frac{3x^2 +7x^3}{x^2 +5x^4} = 3.\] 



To obtain a summation sign such as

we type \sum_{i=1}^{2n}. Thus

is obtained by typing

\[ \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{2} n (n+1).\] 



We now discuss how to obtain integrals in mathematical documents. A typical integral is the following:

This is typeset using

\[ \int_a^b f(x)\,dx.\] 


The integral sign  is
 typeset using the control sequence \int, and the limits of integration (in
 this case a and b are treated as
 a subscript and a superscript on the integral sign.

Most integrals occurring in mathematical documents begin with an integral sign and contain one or more instances of d followed by another (Latin or Greek) letter, as in dx, dyand dt.
 To obtain the correct appearance one should put extra space before the d, using \,. Thus



and

are obtained by typing

\[ \int_0^{+\infty} x^n e^{-x} \,dx = n!.\] 



\[ \int \cos \theta \,d\theta = \sin \theta.\] 



\[ \int_{x^2 + y^2 \leq R^2} f(x,y)\,dx\,dy
   = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^R
      f(r\cos\theta,r\sin\theta) r\,dr\,d\theta.\] 


and

\[ \int_0^R \frac{2x\,dx}{1+x^2} = \log(1+R^2).\] 


respectively.

In some multiple integrals (i.e., integrals containing more than one integral sign) one finds that LaTeX puts too much space between the integral signs. The way to improve the appearance of of the integral is to
 use the control sequence \! to remove a thin strip of unwanted space. Thus, for example, the multiple integral

is obtained by typing

\[ \int_0^1 \! \int_0^1 x^2 y^2\,dx\,dy.\] 


Had we typed

\[ \int_0^1 \int_0^1 x^2 y^2\,dx\,dy.\] 


we would have obtained


A particularly noteworthy example comes when we are typesetting a multiple integral such as

Here we use \! three times to obtain suitable spacing between the integral signs. We typeset this integral using

\[ \int \!\!\! \int_D f(x,y)\,dx\,dy.\] 


Had we typed

\[ \int \int_D f(x,y)\,dx\,dy.\] 


we would have obtained


The following (reasonably complicated) passage exhibits a number of the features which we have been discussing:

One would typeset this in LaTeX by typing

In non-relativistic wave mechanics, the wave function
$\psi(\mathbf{r},t)$ of a particle satisfies the
\emph{Schr\"{o}dinger Wave Equation}
\[ i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}
  = \frac{-\hbar^2}{2m} \left(
    \frac{\partial^2}{\partial x^2}
    + \frac{\partial^2}{\partial y^2}
    + \frac{\partial^2}{\partial z^2}
  \right) \psi + V \psi.\] 
It is customary to normalize the wave equation by
demanding that
\[ \int \!\!\! \int \!\!\! \int_{\textbf{R}^3}
      \left| \psi(\mathbf{r},0) \right|^2\,dx\,dy\,dz = 1.\] 
A simple calculation using the Schr\"{o}dinger wave
equation shows that
\[ \frac{d}{dt} \int \!\!\! \int \!\!\! \int_{\textbf{R}^3}
      \left| \psi(\mathbf{r},t) \right|^2\,dx\,dy\,dz = 0,\] 
and hence
\[ \int \!\!\! \int \!\!\! \int_{\textbf{R}^3}
      \left| \psi(\mathbf{r},t) \right|^2\,dx\,dy\,dz = 1\] 
for all times~$t$. If we normalize the wave function in this
way then, for any (measurable) subset~$V$ of $\textbf{R}^3$
and time~$t$,
\[ \int \!\!\! \int \!\!\! \int_V
      \left| \psi(\mathbf{r},t) \right|^2\,dx\,dy\,dz\] 
represents the probability that the particle is to be found
within the region~$V$ at time~$t$.

Latex数学公式中的空格
 (2010-04-09
 17:11:29)
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标签： 

latex
 

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空格


分类： latex



两个quad空格

a \qquad b



两个m的宽度

quad空格

a \quad b



一个m的宽度

大空格

a\ b



1/3m宽度

中等空格

a\;b



2/7m宽度

小空格

a\,b



1/6m宽度

没有空格

ab



 

紧贴

a\!b



缩进1/6m宽度










一阶导数  f'(x)

二阶导数  f''(x)

 n阶导数   f^n(x)

特别注意：【’】为英文输入法状态下的单引号

文章目录
任务详解：
1.函数的导数
导数的引入：
定义
常用函数的导数
求导法则
链式法则
高阶导数
2.中值定理与洛必达法则
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
洛必达法则


本课程来自深度之眼，部分截图来自课程视频。

【第二章 微积分】2.1导数中的中值定理

在线LaTeX公式编辑器

任务详解：
这节课主要介绍了函数的导数，中值定理与洛必达法则等知识点。

掌握目标：

1、掌握导数的意义以及初等函数导数公式，求导法则

2、了解中值定理，洛必达法则

，泰勒公式

3、了解函数的凹凸性

4、掌握函数的极值，以及极值的充要条件

5、掌握不定积分，定积分的计算，第一第二类换元，分部积分法，牛顿莱布尼茨公式
1.函数的导数
导数的引入：
1.直线运动的速度



计算$t_0$的瞬时速度为：

$v=\lim_{t \to t_0}\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}$

2.曲线的切线



求MN两点间割线的斜率(当N无限靠近M的时候，就相当于M点切线的斜率)：

$k=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
定义
定义设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处取得增量$\Delta x$（点$x_0+\Delta x$仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量$\Delta y=
f(x_0+\Delta x）-f(x_0)$；如果$\Delta y$与$\Delta x$之比当$\Delta x \to 0$时的极限存在，那么称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，并称这个极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记为$f'(x_0)$，即

$f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

也可记作$y'|_{x=x_0}$,$\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}$或$\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0}$
常用函数的导数
函数$f(x)=C（C为常数）$的导数为：0

函数$f(x)=x^n（n\in N）$的导数为：$nx^{n-1}$

幂函数$f(x)=x^\mu（\mu \in R）$的导数为：$\mu x^{\mu-1}$

函数$f(x)=sinx$的导数为：$cosx$

函数$f(x)=a^x（a>0，a\neq 1）$的导数为：$a^xlna$，特别的当$a=e$时，$(e^x)'=ex$

函数$f(x)=log_ax（a>0，a\neq 1）$的导数为：$\frac{1}{xlna}$，特别的当$a=e$时，$(lnx)'={1}{x}$
定理：导数存在<==>左右导数存在且相等

例题：函数$f(x)=|x|$在$x=0$处的导数不存在

$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{|x+\Delta x|-|x|}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{|\Delta x|}{\Delta x}$

当（右极限或叫右导数）$\Delta x\to 0^+,\frac{\Delta x}{\Delta x}=1$，

当（左极限或叫左导数）$\Delta x\to 0^-,\frac{\Delta x}{\Delta x}=-1$

左右极限不相等，故导数不存在。
求导法则
$1.[u(x)\pm v(x)]'=u(x)'\pm v(x)'$

$2.[u(x) v(x)]'=u(x)' v(x)+u(x) v(x)'$

$3.\left[ \frac{u(x)}{v(x)}\right]=\frac{u(x)' v(x)-u(x) v(x)'}{v^2(x)}\quad (v(x)\neq 0)$
链式法则
如果$u=g(x)$在点x可导，而$y=f(u)$在点$u=g(x)$可导，那么复合函数$y=f[g(x)]$在点$x$可导，且其导数为：

$\frac{dy}{dx}=f'(u)\cdot g'(x)或\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$
高阶导数

2.中值定理与洛必达法则
拉格朗日中值定理
如果函数$f(x)$满足

（1）在闭区间$[a,b]$上连续；

（2）在开区间$(a,b)$内可导，那么在$(a,b)$内至少有一点$(a<f<b)$，使等式

$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$

成立.

从图像上看就是a，b两点间的曲线上，总是可以找到一个点的切线的斜率与线ab的斜率相等（二者平行）$\frac{f(b)-f(a)}{(b-a)}=f'(\xi)$



拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一种特殊情况（就是$F(x)=x$）。
柯西中值定理
如果函数$f(x)$及$F(x)$满足

（1）在闭区间$[a,b]$上连续；

（2）在开区间$(a,b)$内可导；

（3）对任一$x\in (a,b),F'(x)\neq 0$，那么在$(a,b)$内至少有一点，使等式

$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}$

成立。
洛必达法则
主要是用来求两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限。

方法是：通过分子分母分别求导再求极限。

证明过程用到了柯西中值定理。