\frac{x}{y}显示即为x/y的分数形式

表示方法
\frac{}{}:分数表示

\partial: 偏导符号

\mathrm{d}t:正规的导数d（正体）




代码
效果
意义




\frac{x}{y}
$\frac{x}{y}$
分数


\partial
$\partial$
偏导符号


\mathrm{d}t
$\mathrm{d}t$
导数


举例
$$
\frac{\partial y}{\partial x_1} + \frac{\partial y}{\partial x_2} \\
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x_1} + \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x_2}
$$

显示效果如下：

$\frac{\partial y}{\partial x_1} + \frac{\partial y}{\partial x_2}$

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}$

原文地址
http://www.mohu.org/info/symbols/symbols.htm
文章目录
１指数和下标
2 方根
3 水平线
4 水平大括号
5 向量（Vectors）
6 分数（fraction）
7 积分运算符（integral operator）
8 一些常用符号的表示方法

（以下内容主要摘自“一份不太简短的 LATEX2e 介绍”）
１指数和下标
指数和下标可以用^和_后加相应字符来实现。比如：

2 方根
平方根（square root）的输入命令为：\sqrt，n 次方根相应地为: \sqrt[n]。方根符号的大小由LATEX自动加以调整。也可用\surd 仅给出

符号。比如：

3 水平线
命令\overline 和\underline 在表达式的上、下方画出水平线。比如：

4 水平大括号
命令\overbrace 和\underbrace 在表达式的上、下方给出一水平的大括号。

5 向量（Vectors）
通常用上方有小箭头（arrow symbols）的变量表示。这可由\vec 得到。另两个命令\overrightarrow 和\overleftarrow在定义从A 到B 的向量时非常有用。

6 分数（fraction）
使用\frac{…}{…} 排版。一般来说，1/2 这种形式更受欢迎，因为对于少量的分式，它看起来更好些。

7 积分运算符（integral operator）
用\int 来生成。求和运算符（sum operator）由\sum 生成。乘积运算符（product operator）由\prod 生成。上限和下限用^ 和_来生成，类似于上标和下标。

8 一些常用符号的表示方法

参考文献
薛定宇《分数阶微积分学与分数阶控制》
数值实现
Matlab 2019a 主要基于薛定宇开发的FOTF工具箱
地球物理局 地震波动力学实验室 分数阶组

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Riemann-Liouville分数阶微积分
1. 高阶整数阶积分公式
先考虑整数阶积分，显然，给定函数 
 的一阶积分可以表示为：
从该结果再求一次积分，则可以得出原函数的二阶积分：
类似地，可以推导出 
 阶积分公式为：
2.Riemann-Liouville分数阶微积分定义
定义1：函数 
 的 
 阶Riemann-Liouville积分定义为：
式中， 
 表示Riemann-Liouville定义。 
 两端的下标为积分的上下限。
定义2：函数 
 的Riemann-Liouville分数阶微分的定义为：
式中， 
 ，且 
 。
3.常用函数的Riemann-Liouville微积分公式
（1）幂函数 
 ，且 
 ，则 
 满足：
（2）指数函数 
 的Riemann-Liouville分数阶导数为：
（3）一些常用函数的Riemann-Liouville分数阶导数公式为：
式中， 
 为Heaviside函数， 
 为冲击函数（Dirac函数）。
因为变量 
 在积分边界与被积函数中同时出现，所以一般 
 的分数阶导数的解析解很难求出，只能使用数值方法来求解Riemann-Liouville分数阶导数。
4. 初始时刻平移的性质
如果已知 
 ，则Riemann-Liouville分数阶导数可以表示为：
式中， 
 。
数值实现
1.数值算法
（1）由已知的函数获得函数值向量 
 ；
（2）令 
 ，计算出二项式系数 
 ；
（3）由下式计算向量 
 ：
（4）在计算步长 
 下计算向量 
 的 
 阶差分。
Riemann_Liouville_differential.m
% 薛定宇《分数阶微积分学与分数阶控制》 p47 
2.例子：已知阶跃函数0.75阶导数的解析解为
 ，试比较Grunwald-Letnikov与Riemann-Liouville分数阶导数数值解的精度。
example3_9.m
% 薛定宇《分数阶微积分学与分数阶控制》 p47 
图像
直接计算的Riemann-Liouville分数阶导数有较大误差。在实际应用中不建议采用该函数计算Riemann-Liouville分数阶微积分。