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  • 一维的热传导方程向前差分法

    千次阅读 2020-09-01 16:53:29
    热传导方程一维问题问题背景问题抽象离散方法1 向前差分迭代格式初值设定取参数C语言实现fortran实现画图 hexo博客为啥用不了了,将就着先用这个博客吧 一维问题 问题背景 摘抄自网络 :在距离为L的两个半无限长壁...

    hexo博客为啥用不了了,将就着先用这个博客吧

    一维问题

    问题背景

    摘抄自网络 :在距离为L的两个半无限长壁面之间有传热的流体。假设整个流场初始时刻具有温度T=T1(常数,本题中取10摄氏度),并处于平衡状态(即:初始时刻壁面和流体的温度都为10摄氏度)。两个壁面的初始温度Tw1=Tw2=T1(本题中即为10摄氏度)。现假设在t=0时刻,右边的壁面温度突然增加到Tw2=T2并保持在T2(本题中取T2为20摄氏度),而左边的壁面温度保持在Tw1=T1(即10摄氏度)。求时间t1、t2和时间趋于无穷时壁面间流体温度的分布?

    问题抽象

    ut=α2ux2u(x,0)=u0(x)u(0,t)=μ0(t),u(l,t)=μ1(t) u_t=\alpha\cdot \frac{\partial^2u}{\partial x^2} \\ 初值:u(x,0)=u_0(x)\\ 边值:u(0,t)=\mu_0(t),u(l,t)=\mu_1(t)

    离散方法

    1 向前差分

    u(xi,t+Δt)u(xi,t)Δt=αu(xi+1,t)2u(xi,t)+u(xi1,t)Δx2 \frac{u(x_i,t+\Delta t)-u(x_i,t)}{\Delta t}=\alpha\cdot\frac{u(x_{i+1},t)-2u(x_{i},t)+u(x_{i-1},t)}{\Delta x^2}

    迭代格式

    u(xi,t+Δt)=ru(xi+1,t)+(12r)u(xi,t)+u(xi1,t)u(x_i,t+\Delta t)=ru(x_{i+1},t)+(1-2r)u(x_i,t)+u(x_{i-1},t)
    其中r=aΔt(Δx)2r=\frac{a\Delta t}{(\Delta x)^2}

    初值设定

    T1=10T2=20L=0.2mt=10sT_1=10\\ T_2=20\\ L=0.2m\\ t=10s

    取参数

    dx=0.01dt=0.001dx=0.01\\ dt=0.001

    C语言实现
    #include <stdio.h>
    #include <stdlib.h>
    #include<math.h>
    int main()
    {
        float dx,dt,t,L=0.2,a[100000],b[100000],alpha=1.42857*10e-3;
        /*dx表示delta(x),dt表示delta(t),alpha为热扩散率。由于数组大小随输入值而变化,所以取得比较大*/
        int i,n1,n2,n=0,total=1;
        FILE *F;//文件指针
        F=fopen("data.txt","w");
        dx=0.01;
        dt=0.001;
        t=10;
        n1=(int)(L/dx);
        n2=(int)(t/dt);
      //printf("n1=%d  n2=%d\n",n1,n2);
        for(i=0;i<n1;i++){     /*初始赋值*/
            if(i<n1-1){
                a[i]=10;
            }
            else a[i]=20;
        fprintf(F,"%8.4f",a[i]);//写入t=0时刻的温度
        }
        fprintf(F,"\n");    //换行
        while(n<n2){    /*时间到了,停止循环*/
            for(i=0;i<n1;i++){
            /*计算*/
            if(i==0){
                b[i]=10;
                a[i]=b[i];
            }     /*表示左壁面的温度始终保持在10摄氏度*/
            else if(i==n1-1){
                b[i]=20;
                a[i]=b[i];
            }     /*表示右壁面的温度始终保持在20摄氏度*/
            else{
                b[i]=a[i]+alpha*dt*(a[i+1]-2*a[i]+a[i-1])/(dx*dx);   /*差分方程的表达式*/
                a[i]=b[i];
            }
            n++;
            fprintf(F,"%8.4f",a[i]);
            //printf("%8.4f",a[i]);
            if(total%n1==0){             /*输出data文件*/
                //printf("\n");
                fprintf(F,"\n");
            }
                total++;
            }
        }
        fclose(F);
        return 0;
    }
    
    

    输出结果为data.txt

    fortran实现
    program f1
    implicit none
        integer::i,n1,n2,n,total,coun
        real::a(100000),b(100000)
        real::dx,dt,t,L,alpha
        open(unit=1,file='data-f.txt')  !打开文件
        n=1
        total=0
        dx=0.01
        dt=0.001
        t=10 !时间
        L=0.2   !长度
        alpha=1.42857*10e-3
        n1=int(L/dx)
        n2=int(t/dt)
        do coun=1,n1        !类似于C语言的for循环
            if (coun<n1) then
                a(coun)=10      !赋初始值
            else
                a(coun)=20
            end if
        end do
        do while(n<n2)!时间限制
            do i=1,n1
                if (i==1) then
                    b(i)=10         !表示左壁面的温度始终保持在10摄氏度
                    a(i)=b(i)
                else if(i==n1) then     !表示右壁面的温度始终保持在20摄氏度
                    b(i)=20
                    a(i)=b(i)
                else                    !其他情况需要用差分方程计算
                b(i)=a(i)+alpha*dt*(a(i+1)-2*a(i)+a(i-1))/(dx*dx)
                a(i)=b(i)
                end if
                write(1,"(F8.4)",advance='no')a(i)!advancce=n0使得每次读写结束,位置不会自动向下移动一行
                if(mod(n,n1)==0) then
                    write(1,*)                      !每一行够n1个之后换行
                end if
                n=n+1
            end do
        end do
        do coun=1,n1
            write(*,"(F8.4)")a(coun) !控制台输出t=10s的温度分布
        end do
        close(unit=1)                   !关闭文件
    end program
    

    数据储存在文件data-f.txt中

    画图

    想画随时间变化的动图,不知道怎么画

    展开全文
  • 分数阶差分方程理论 ...第十一章 用Adomian分解解线性分数阶差分方程方程组 第十二章 Weyl型分数阶差分及分数阶和分的概念及其性质,莱布尼兹公式 第十三章 实变量的分数阶差分方程 参考文献 后记
  • 本科数学二维椭圆方程的MATLAB解法开题报告范文 题目名称 二维椭圆方程的MATLAB解法 一...偏微分方程问题如复杂的定解区域边界条件等从问题模型出发 使用有限元法或有限差分法求解都需经过诸多步骤耗费很大的工作 量
  • 递推方程的求解

    2019-09-19 19:12:29
    文章目录先修知识常见序列的求和公式求和例子估计和式上界的放大检索算法的平均时间复杂度分析实例递推方程的几种求迭代换元迭代消法化简高阶递推方程递归树方法递归树的概念迭代在递归树中的表示方法...

    先修知识

    常见序列的求和公式

    在这里插入图片描述

    求和例子

    在这里插入图片描述
    上面的例子同等比数列的差别在于从首项的常数变成了未知数,利用2的巧妙拆分去求和,下面的例子里将会用到这一公式。

    估计和式上界的放大法

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    二分检索算法的平均时间复杂度分析实例

    二分检索算法伪代码表示
    在这里插入图片描述


    假设待检索数列T的长度为n,下面的左图表示x(待查找的数)在数列T中的各个位置,而右边则表示x不在数列中的各个情况。那么输入的所有情况便是两种的总和2n+1
    在这里插入图片描述


    对于上图的所有输入情况,每种情况的输入个数如下图所示,尤其值得注意的是比较k次的(因为上面假设了n同k的特殊关系)输入个数,后面的n+1便是上图中所有不在数列T中的情况。
    那么总的输入次数便是对每个输入乘以次数并求和

    在这里插入图片描述


    总的输入次数除以总的输入情况便是我们的要求的平均时间复杂度。如果觉得理解有困难的话,你可以类比一下,上面各种情况的输入次数表示每个人各有的不等的苹果数量,而输入情况的总数便是人的数量,那我们要求每个人平均的苹果数便是如此求。
    值得一提的是,虽然我们求的平均时间复杂度,却没有出现时间,因为我们这里求得是平均输入次数,那么自然也可以类似等价于平均时间复杂度。

    在这里插入图片描述

    递推方程的几种求法

    迭代法

    先引入例子
    在这里插入图片描述
    操作方法

    • 不断用递推方程的右部替代左部
    • 每次替代随着n的降低,在和式中多出至少一项
    • 直到出现初值则迭代停止
    • 将初值代入并用常用的序列求和进行求和
    • 可用数学归纳法验证解的正确性

    换元迭代

    利用二分归并排序来举例
    在这里插入图片描述
    读者可以尝试用不换元进行直接迭代,将会比较不直观。
    因为问题的复杂度是成倍的减小的,但通过换元我们可以将其化简为类似问题复杂度-1的情况

    在这里插入图片描述
    下面是迭代的求解过程
    在这里插入图片描述

    差消法化简高阶递推方程

    1. 采用快速排序的例子引入
    在这里插入图片描述
    2. 下面是输入的总的n种情况
    在这里插入图片描述
    3. 工作量总和
    在这里插入图片描述
    4. 那么快速排序的平均工作量如下,将会非常不好求。那么我们的目标是去化简中间的求和序列,考虑其能否转化成我们上面的递推式(只同问题规模-1的下一项相关而言)
    在这里插入图片描述
    5. 考虑等比数列的差消化简得方式
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    6. 利用上面常规得迭代求法,最后式子中得符号可以看我的另一篇文章关于函数渐近的界
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    递归树方法

    递归树的概念

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    迭代在递归树中的表示方法

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    递归树的生成规则

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    递归树生成实例

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    生成的递归树

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    对递归树上的量求和

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    递归树的应用实例

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    主定理

    主定理的应用背景

    在这里插入图片描述

    主定理概念

    注:对下下面等式中的O符号等有疑问的,可以参考我的另一篇关于函数渐近的界的文章。
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    主定理证明过程

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    主定理的应用

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    不能使用主定理的例子

    在这里插入图片描述
    上面的反例我们可以采用递归树的方法去求解
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    文章的主体内容为北京大学屈婉玲老师的网课内容的整理

    展开全文
  • 【笔记】线性方程

    2011-05-13 17:10:00
    工程中许多问题最后都可以转化为求解线性方程组,而且许多数值计算问题(如样条函数、常微分方程数值解、差分方程等)的研究也往往归结为此类问题,因此线性方程组的求解是一个有广泛应用背景的问题。 线性方程组...

    目标:了解线性方程组的数值解法,掌握求解线性方程组的迭代法的有关原理方法,会用迭代法收敛的有关理论来分析迭代法的收敛性和收敛速度。

    工程中许多问题最后都可以转化为求解线性方程组,而且许多数值计算问题(如样条函数、常微分方程数值解、差分方程等)的研究也往往归结为此类问题,因此线性方程组的求解是一个有广泛应用背景的问题。

    线性方程组的数值法一般有如下两类:

    • 直接法——经过有限次算法求出精确解(实际上由于舍入误差只能得到近似解),最常用的方法是高斯消元法以及矩阵LU分解。
    • 迭代法——从初始值出发,用递推的方法,给出近似解序列。最常用的方法是雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法。

    直接法一般适用于系数矩阵A为低阶稠密矩阵(非零元素较多)的情况,而在工程技术和科学计算中常会遇到大型稀疏矩阵(非零元素较少)形式的方程组。迭代法在计算和存储两方面都适合于后一种情况。

    计算实验:线性方程组求解

    例1 用雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解线性方程组

    image

    比较两种迭代法的计算结果和收敛速度。

    解:将方程组改写为

    image

    构造雅克比迭代格式

    image

    取初值image计算。

    程序如下:

    %雅克比迭代程序
    A=[10 3 1;2 -10 3;1 3 10];
    b=[14;-5;14];
    D=diag(diag(A));
    L=tril(A,-1);
    U=triu(A,1);
    J=-inv(D)*(L+U);
    g=inv(D)*b;
    x=[0 0 0]';
    for i=1:9
        x=J*x+g;
        xx(i,:)=vpa(x,6);
    end
    xx

    如果构造高斯-赛德尔迭代格式

    image

    同样取初值image计算。

    程序如下:

    %高斯-赛德尔迭代程序
    A=[10 3 1;2 -10 3;1 3 10];
    b=[14;-5;14];
    D=diag(diag(A));
    L=tril(A,-1);
    U=triu(A,1);
    G=-inv(D+L)*U;
    g=inv(D+L)*b;
    x=[0 0 0]';
    for i=1:9
        x=G*x+g;
        xx(i,:)=vpa(x,6);
    end
    xx

    计算结果对照表1(方程组的精确解为x=[1;1;1])。

    表1 不同迭代法计算结果
    k xT(雅克比迭代) xT(高斯-赛德尔迭代)

    0

    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9

    [0,0,0]

    [      1.4,      0.5,      1.4]
    [     1.11,      1.2,     1.11]
    [    0.929,    1.055,    0.929]
    [   0.9906,   0.9645,   0.9906]
    [  1.01159,   0.9953,  1.01159]
    [  1.00025,   1.0058,  1.00025]
    [ 0.998236,  1.00013, 0.998236]
    [  1.00014, 0.999118,  1.00014]
    [  1.00025,  1.00007,  1.00025]

    [0,0,0]

    [      1.4,     0.78,    1.026]
    [   1.0634,  1.02048, 0.987516]
    [ 0.995104, 0.995276,  1.00191]
    [  1.00123,  1.00082, 0.999632]
    [ 0.999792, 0.999848,  1.00007]
    [  1.00004,  1.00003, 0.999988]
    [ 0.999993, 0.999995,      1.0]
    [      1.0,      1.0,      1.0]
    [      1.0,      1.0,      1.0]

    从表中可以看出,高斯-赛德尔迭代法的收敛速度比雅克比迭代法快。除此之外从迭代格式的形式还可以看出,高斯-赛德尔迭代法需要存储的信息较少,因此占用的存储空间较少。

    结果分析:

    本问题中,雅克比矩阵的谱半径r(J)=0.3873<1,高斯-赛德尔迭代矩阵的谱半径r(G)=0.1831<1,且r(G)<r(J),所以两种迭代法都收敛,并且高斯-赛德尔迭代法的收敛速度快。

    例2 求线性方程组的通解

    image

    注:在无穷多解情况下可以用三种方法求得通解:

    • rref化为行最简形式以后求解
    • 用除法求出一特解,再用null求得一个奇次组的基础解系
    • 用符号数学工具箱中的solve求解

    解:在指令窗中执行

    >> clear;a=[1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1];
    >> b=[1;1;-1];
    >> [rank(a),rank([a,b])]
    ans =
         2     2
    >> %秩相等且小于4,说明有无穷多解
    >> % 方法一
    >> rref([a,b])
    ans =
         1    -1     0     0     0
         0     0     1    -1     1
         0     0     0     0     0
    从而原方程等价于x1=x2,x3=x4+1。令x2=k1,x4=k2,求得通解为:

    image

    例3 (利用矩阵除法求线性方程组的特解)求方程组

    image

    的解。

    解:

    >> A=[5 6 0 0 0
    1 5 6 0 0
    0 1 5 6 0
    0 0 1 5 6
    0 0 0 1 5];
    >> B=[1 0 0 0 1]';
    >> % 求秩
    >> R_A=rank(A)
    R_A =
         5
    >> % 求解
    >> X=A\B
    X =
        2.2662
       -1.7218
        1.0571
       -0.5940
        0.3188

    这就是方程组的解。

    或用函数rref求解:

    >> % 由系数矩阵和常数列构成增广矩阵C
    >> C=[A B];
    >> % 将C化成最简形式
    >> R=rref(C)
    R =
        1.0000         0         0         0         0    2.2662
             0    1.0000         0         0         0   -1.7218
             0         0    1.0000         0         0    1.0571
             0         0         0    1.0000         0   -0.5940
             0         0         0         0    1.0000    0.3188

    则R的最后一列元素就是所求之解。

    例4 (求奇次线性方程组的通解)

    在MATLAB中,函数null用来求解零空间,即满足A.X=0的解空间,实际上是求出解空间的一组基(基础解系)。

    格式:

    • z=null(A)      % z的列向量为方程组的正交规范基,满足Z’xZ=I。
    • z=null(A,’r’)   % z的列向量是方程AX=0的有理基

    求解方程组的通解:

    image

    解:

    >> A=[1 2 2 1;2 1 -2 -2; 1 -1 -4 -3];
    >> format rat
    >> B=null(A,'r') %求解空间的有理基
    B =
           2              5/3    
          -2             -4/3    
           1              0      
           0              1     

    或通过行最简形得到基:

    >> R=rref(A)
    R =
           1              0             -2             -5/3    
           0              1              2              4/3    
           0              0              0              0     

    (与上面结果一致)

    写出通解:

    >> syms k1 k2
    >> X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)
     
    X =
     
       2*k1 + (5*k2)/3
    - 2*k1 - (4*k2)/3
                    k1
                    k2

    例5 (求非奇次线性方程组的通解)

    注:非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解,若有解,再去求通解。步骤如下:

    • 判断AX=b是否有解,若有解则进行第二步
    • 求AX=b得一个特解
    • 求AX=0的通解
    • AX=b的通解:AX=0的通解+AX=b的一个特解。

    求解方程组

    image

    解: 在MATLAB中建立M文件

    A=[1 -2 3 -1;3 -1 5 -3;2 1 2 -2];
    b=[1 2 3]';
    B=[A b];
    n=4;
    R_A=rank(A)
    R_B=rank(B)
    format rat
    % 判断有唯一解
    if R_A==R_B&R_A==n
        X=A\b
    % 判断有无穷解
    elseif R_A==R_B&R_A<n
        %求特解
        X=A\b
        % 求AX=0的基础解系
        C=null(A,'r')
    % 判断无解
    else X='Equation no solution'
    end

    运行后结果显示:


    R_A =
           2      

    R_B =
           3      

    X =
    Equation no solution

    说明:该方程组无解

    例6 (较完整)求解方程组的通解:

    image

    解:

    方法一:在MATLAB中建立如下M文件

    A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8];
    b=[1 4 0]';
    B=[A b];
    n=4;
    R_A=rank(A)
    R_B=rank(B)
    format rat
    if R_A==R_B&R_A==n
        X=a\b
    elseif R_A==R_B&R_A<n
        X=A\b
        C=null(A,'r')
    else X='Equation no solution'
    end

    运行结果为:

    R_A =
           2      

    R_B =
           2      
    Warning: Rank deficient, rank = 2,  tol =   8.8373e-015.
    > In fuluA at 11
    X =
           0      
           0      
          -8/15   
           3/5    

    C =
           3/2           -3/4    
           3/2            7/4    
           1              0      
           0              1     

    所以原方程的通解为X=k1C[:,1]+k2C[:,2]+X

    方法二:用rref求解


    >> A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8];
    >> b=[1 4 0]';
    >> B=[A b];
    >> C=rref(B)
    C =
           1              0             -3/2            3/4            5/4    
           0              1             -3/2           -7/4           -1/4    
           0              0              0              0              0    

    对应齐次方程组的基础解系为:e1=[3/2 3/2 1 0]’ , e2=[-3/4 7/4 0 1]’ ;非齐次方程组的特解为:

    n*=[5/4 –1/4 0 0]’ .所以原方程组的通解为:X=k1e1+k2e2+n*。

    转载于:https://www.cnblogs.com/gtts/archive/2011/05/13/2045698.html

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