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  • 帧间差分法背景建模法

    万次阅读 2016-07-09 17:28:28
    帧间差原理:利用相邻两帧...三帧差原理:对两两差分得到的图像进行闭运算,然后相与得到结果图像。 优点:由于噪声具有在时间域难重复的特点,在进行了与运算后,部分孤立噪声也会得到消除,可以解决双影等现象。

    帧间差法

    一种通过对视频图像序列中相邻两帧作差分运算获得运动目标轮廓的方法。一般要经过滤波等处理,去噪处理。
    原理:利用相邻两帧的相关性,以前一帧图像作为当前的背景图像(背景帧),然后将当前帧图像与背景图像进行差值运算,从而检测目标。
    优点:速度快、适用于实时性较高的场合,且对环境整体光照变化不明感。
    缺点:会出现空洞。当运动目标的色彩分布比较均匀时,且在前后两帖中,运动目标所在位置的差别在目标运动方向两侧,内部却没有什么变化,这样通过帖差法会漏检目标内部的像素点,导致运动目标有空洞出现。所W顿间差分法经常和其他检测方法联合使用提高检测效果。

    三帧差法

    原理:对两两差分得到的图像进行闭运算,然后相与得到结果图像。
    优点:由于噪声具有在时间域难重复的特点,在进行了与运算后,部分孤立噪声也会得到消除,可以解决双影等现象。

    背景建模

    背景建模的目的是当取得估计的背景后,把视频倾图像转换为背景和运动前景两类,然后对其进行相应的处理,并得到检测结果。常用的背景估计方法有卡尔曼滤波法、高斯背景建模的方法。
    卡尔曼滤波
    卡尔曼滤波是一种利用线性系统状态方程,通过系统输入输出观测数据,对系统状态进行最优估计的算法,且它能实现实时运行状态的估计和预测功能。在运用于背景建模中,卡尔曼滤波法是一种递归的背景估计方法,在线性动态系统且噪声是高斯噪声条件下效果最佳。当背景估计时,当前的估计值是由当前侦之前所有视频图像的信息得到的,而背景模型则由检测的当前顿图像来更新,因此一段时间内的视频图像信息,都会对当前背景模型产生一定的影响。递归的背景估计方法较非递归的方法相比,在实时系统中能够节约大量的计算机内存,但前者得到的背景模型如果出现错误,其背景更新较慢,会在很长一段时间内对运动目标的检测产生影响。所基于卡尔曼滤波的背景估计方法,应使用背景像素值而非运动前景像素值来更新当前的背景模型。
    高斯背景建模
    高斯背景建模法通过构建最佳的背景模型,从而准确地将运动目标从背景分离开来。那么,对背景如何进行建模,从而做好运动目标和背景的固有特征的区别,是高斯背景建模法要解决的关键问题。高斯混合背景建模的方法在稳定的复杂场景背景建模中得到了广泛的应用。高斯混合背景模型是将有限个高斯函数进行加权和的结果,多个高斯函数的多个峰使它能够表示出背景的多峰状态,从而能准确对光照变化、树叶抖动等较复杂的背景进行建模。

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  • 一维的热传导方程向前差分法

    千次阅读 2020-09-01 16:53:29
    热传导方程一维问题问题背景问题抽象离散方法1 向前差分迭代格式初值设定取参数C语言实现fortran实现画图 hexo博客为啥用不了了,将就着先用这个博客吧 一维问题 问题背景 摘抄自网络 :在距离为L的两个半无限长壁...

    hexo博客为啥用不了了,将就着先用这个博客吧

    一维问题

    问题背景

    摘抄自网络 :在距离为L的两个半无限长壁面之间有传热的流体。假设整个流场初始时刻具有温度T=T1(常数,本题中取10摄氏度),并处于平衡状态(即:初始时刻壁面和流体的温度都为10摄氏度)。两个壁面的初始温度Tw1=Tw2=T1(本题中即为10摄氏度)。现假设在t=0时刻,右边的壁面温度突然增加到Tw2=T2并保持在T2(本题中取T2为20摄氏度),而左边的壁面温度保持在Tw1=T1(即10摄氏度)。求时间t1、t2和时间趋于无穷时壁面间流体温度的分布?

    问题抽象

    u t = α ⋅ ∂ 2 u ∂ x 2 初 值 : u ( x , 0 ) = u 0 ( x ) 边 值 : u ( 0 , t ) = μ 0 ( t ) , u ( l , t ) = μ 1 ( t ) u_t=\alpha\cdot \frac{\partial^2u}{\partial x^2} \\ 初值:u(x,0)=u_0(x)\\ 边值:u(0,t)=\mu_0(t),u(l,t)=\mu_1(t) ut=αx22uu(x,0)=u0(x)u(0,t)=μ0(t),u(l,t)=μ1(t)

    离散方法

    1 向前差分

    u ( x i , t + Δ t ) − u ( x i , t ) Δ t = α ⋅ u ( x i + 1 , t ) − 2 u ( x i , t ) + u ( x i − 1 , t ) Δ x 2 \frac{u(x_i,t+\Delta t)-u(x_i,t)}{\Delta t}=\alpha\cdot\frac{u(x_{i+1},t)-2u(x_{i},t)+u(x_{i-1},t)}{\Delta x^2} Δtu(xi,t+Δt)u(xi,t)=αΔx2u(xi+1,t)2u(xi,t)+u(xi1,t)

    迭代格式

    u ( x i , t + Δ t ) = r u ( x i + 1 , t ) + ( 1 − 2 r ) u ( x i , t ) + u ( x i − 1 , t ) u(x_i,t+\Delta t)=ru(x_{i+1},t)+(1-2r)u(x_i,t)+u(x_{i-1},t) u(xi,t+Δt)=ru(xi+1,t)+(12r)u(xi,t)+u(xi1,t)
    其中 r = a Δ t ( Δ x ) 2 r=\frac{a\Delta t}{(\Delta x)^2} r=(Δx)2aΔt

    初值设定

    T 1 = 10 T 2 = 20 L = 0.2 m t = 10 s T_1=10\\ T_2=20\\ L=0.2m\\ t=10s T1=10T2=20L=0.2mt=10s

    取参数

    d x = 0.01 d t = 0.001 dx=0.01\\ dt=0.001 dx=0.01dt=0.001

    C语言实现
    #include <stdio.h>
    #include <stdlib.h>
    #include<math.h>
    int main()
    {
        float dx,dt,t,L=0.2,a[100000],b[100000],alpha=1.42857*10e-3;
        /*dx表示delta(x),dt表示delta(t),alpha为热扩散率。由于数组大小随输入值而变化,所以取得比较大*/
        int i,n1,n2,n=0,total=1;
        FILE *F;//文件指针
        F=fopen("data.txt","w");
        dx=0.01;
        dt=0.001;
        t=10;
        n1=(int)(L/dx);
        n2=(int)(t/dt);
      //printf("n1=%d  n2=%d\n",n1,n2);
        for(i=0;i<n1;i++){     /*初始赋值*/
            if(i<n1-1){
                a[i]=10;
            }
            else a[i]=20;
        fprintf(F,"%8.4f",a[i]);//写入t=0时刻的温度
        }
        fprintf(F,"\n");    //换行
        while(n<n2){    /*时间到了,停止循环*/
            for(i=0;i<n1;i++){
            /*计算*/
            if(i==0){
                b[i]=10;
                a[i]=b[i];
            }     /*表示左壁面的温度始终保持在10摄氏度*/
            else if(i==n1-1){
                b[i]=20;
                a[i]=b[i];
            }     /*表示右壁面的温度始终保持在20摄氏度*/
            else{
                b[i]=a[i]+alpha*dt*(a[i+1]-2*a[i]+a[i-1])/(dx*dx);   /*差分方程的表达式*/
                a[i]=b[i];
            }
            n++;
            fprintf(F,"%8.4f",a[i]);
            //printf("%8.4f",a[i]);
            if(total%n1==0){             /*输出data文件*/
                //printf("\n");
                fprintf(F,"\n");
            }
                total++;
            }
        }
        fclose(F);
        return 0;
    }
    
    

    输出结果为data.txt

    fortran实现
    program f1
    implicit none
        integer::i,n1,n2,n,total,coun
        real::a(100000),b(100000)
        real::dx,dt,t,L,alpha
        open(unit=1,file='data-f.txt')  !打开文件
        n=1
        total=0
        dx=0.01
        dt=0.001
        t=10 !时间
        L=0.2   !长度
        alpha=1.42857*10e-3
        n1=int(L/dx)
        n2=int(t/dt)
        do coun=1,n1        !类似于C语言的for循环
            if (coun<n1) then
                a(coun)=10      !赋初始值
            else
                a(coun)=20
            end if
        end do
        do while(n<n2)!时间限制
            do i=1,n1
                if (i==1) then
                    b(i)=10         !表示左壁面的温度始终保持在10摄氏度
                    a(i)=b(i)
                else if(i==n1) then     !表示右壁面的温度始终保持在20摄氏度
                    b(i)=20
                    a(i)=b(i)
                else                    !其他情况需要用差分方程计算
                b(i)=a(i)+alpha*dt*(a(i+1)-2*a(i)+a(i-1))/(dx*dx)
                a(i)=b(i)
                end if
                write(1,"(F8.4)",advance='no')a(i)!advancce=n0使得每次读写结束,位置不会自动向下移动一行
                if(mod(n,n1)==0) then
                    write(1,*)                      !每一行够n1个之后换行
                end if
                n=n+1
            end do
        end do
        do coun=1,n1
            write(*,"(F8.4)")a(coun) !控制台输出t=10s的温度分布
        end do
        close(unit=1)                   !关闭文件
    end program
    

    数据储存在文件data-f.txt中

    画图

    想画随时间变化的动图,不知道怎么画

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  • 分数阶差分方程理论 ...第十一章 用Adomian分解解线性分数阶差分方程方程组 第十二章 Weyl型分数阶差分及分数阶和分的概念及其性质,莱布尼兹公式 第十三章 实变量的分数阶差分方程 参考文献 后记
  • 运动目标检测是指当监控场景中有活动目标时,采用图像分割的方法从背景图像中提取出目标的运动区域。运动目标检测技术是智能视频分析的基础,因为目标跟踪、行为理解等视频分析算法都是针对目标区域的像素点进行的...

    概述

        运动目标检测是指当监控场景中有活动目标时,采用图像分割的方法从背景图像中提取出目标的运动区域。运动目标检测技术是智能视频分析的基础,因为目标跟踪、行为理解等视频分析算法都是针对目标区域的像素点进行的,目标检测的结果直接决定着智能视觉监控系统的整体性能。

        运动目标检测的方法有很多种。根据背景是否复杂、摄像机是否运动等环境的不同,算法之间也有很大的差别。其中最常用的三类方法是:帧间差分法、背景减法、光流场法。下面对这三类方法进行介绍,通过实验结果,对它们各自的算法性能进行分析,为进一步的目标检测算法研究建立良好的基础。

     

    一、帧间差分法原理

        摄像机采集的视频序列具有连续性的特点。如果场景内没有运动目标,则连续帧的变化很微弱,如果存在运动目标,则连续的帧和帧之间会有明显地变化。

        帧间差分法(Temporal Difference)就是借鉴了上述思想。由于场景中的目标在运动,目标的影像在不同图像帧中的位置不同。该类算法对时间上连续的两帧或三帧图像进行差分运算,不同帧对应的像素点相减,判断灰度差的绝对值,当绝对值超过一定阈值时,即可判断为运动目标,从而实现目标的检测功能。

                          

        两帧差分法的运算过程如图2-2所示。记视频序列中第n帧和第n−1帧图像为fnfn−1,两帧对应像素点的灰度值记为fn(x,y)和fn−1(x , y),按照式2.13将两帧图像对应像素点的灰度值进行相减,并取其绝对值,得到差分图像Dn

                                                                                      

        设定阈值T,按照式2.14逐个对像素点进行二值化处理,得到二值化图像Rn'。其中,灰度值为255的点即为前景(运动目标)点,灰度值为0的点即为背景点;对图像Rn'进行连通性分析,最终可得到含有完整运动目标的图像Rn

                                             

    二、三帧差分法

        两帧差分法适用于目标运动较为缓慢的场景,当运动较快时,由于目标在相邻帧图像上的位置相差较大,两帧图像相减后并不能得到完整的运动目标,因此,人们在两帧差分法的基础上提出了三帧差分法。

                

       三帧差分法的运算过程如图2-3所示。记视频序列中第n+1帧、第n帧和第n−1帧的图像分别为fn+1、fnfn−1,三帧对应像素点的灰度值记为fn+1(x , y) 、fn(x , y) 和fn−1(x , y) , 按照式2.13分别得到差分图像Dn+1和Dn,对差分图像Dn+1和Dn按照式2.15进行与操作,得到图像Dn',然后再进行阈值处理、连通性分析,最终提取出运动目标。 

                       

        在帧间差分法中,阈值 的选择非常重要。如果阈值T选取的值太小,则无法抑制差分图像中的噪声;如果阈值T选取的值太大,又有可能掩盖差分图像中目标的部分信息;而且固定的阈值T无法适应场景中光线变化等情况。为此,有人提出了在判决条件中加入对整体光照敏感的添加项的方法,将判决条件修改为:

                                   

        其中, A为待检测区域中像素的总数目,λ为光照的抑制系数,A可设为整帧图像。添加项表达了整帧图像中光照的变化情况。如果场景中的光照变化较小,则该项的值趋向于零;如果场景中的光照变化明显,则该项的值明显增大,导致式2.16右侧判决条件自适应地增大,最终的判决结果为没有运动目标,这样就有效地抑制了光线变化对运动目标检测结果的影响。

     

    三、两帧差分和三帧差分的比较

        图 2-5 是采用帧间差分法对自拍序列 lab 序列进行运动目标检测的实验结果,(b)图是采用两帧差分法的检测结果,(c)图是采用三帧差分法的检测结果。lab序列中的目标运动较快,在这种情况下,运动目标在不同图像帧内的位置明显不同,采用两帧差分法检测出的目标会出现“重影”的现象,采用三帧差分法,可以检测出较为完整的运动目标。

                    

        综上所述,帧间差分法的原理简单,计算量小,能够快速检测出场景中的运动目标。但由实验结果可以看出,帧间差分法检测的目标不完整,内部含有“空洞”,这是因为运动目标在相邻帧之间的位置变化缓慢,目标内部在不同帧图像中相重叠的部分很难检测出来。帧间差分法通常不单独用在目标检测中,往往与其它的检测算法结合使用。

     

    二、背景减弱法原理

           对于一个稳定的监控场景而言,在没有运动目标,光照没有变化的情况下,视频图像中各个像素点的灰度值是符合随机概率分布的。由于摄像机在采集图像的过程中,会不可避免地引入噪声,这些灰度值以某一个均值为基准线,在附近做一定范围内的随机振荡,这种场景就是所谓的“背景”。

            背景减法(Background subtraction)是当前运动目标检测技术中应用较为广泛的一类方法,它的基本思想和帧间差分法相类似,都是利用不同图像的差分运算提取目标区域。不过与帧间差分法不同的是,背景减法不是将当前帧图像与相邻帧图像相减,而是将当前帧图像与一个不断更新的背景模型相减,在差分图像中提取运动目标。

                                    

        背景减法的运算过程如图2-6所示。首先利用数学建模的方法建立一幅背景图像帧B,记当前图像帧为fn,背景帧和当前帧对应像素点的灰度值分别记为B(x,)和fn(x , ) ,按照式2.17将两帧图像对应像素点的灰度值进行相减,并取其绝对值,得到差分图像D n

                                          

        设定阈值 ,按照式2.18逐个对像素点进行二值化处理,得到二值化图像 Rn' 。其中,灰度值为255的点即为前景(运动目标)点,灰度值为0的点即为背景点;对图像 Rn'进行连通性分析,最终可得到含有完整运动目标的图像Rn 

                                         

        背景减法计算较为简单,由于背景图像中没有运动目标,当前图像中有运动目标,将两幅图像相减,显然可以提取出完整的运动目标,解决了帧间差分法提取的目标内部含有“空洞”的问题。

        利用背景减法实现目标检测主要包括四个环节:背景建模,背景更新,目标检测,后期处理。其中,背景建模和背景更新是背景减法中的核心问题。背景模型建立的好坏直接影响到目标检测的效果。所谓背景建模,就是通过数学方法,构建出一种可以表征“背景”的模型。获取背景的最理想方法是在没有运动目标的情况下获取一帧“纯净”的图像作为背景,但是,在实际情况中,由于光照变化、雨雪天气、目标运动等诸多因素的影响,这种情况是很难实现。

     

    三、光流场法原理

        光流场(Optical Flow)是用来表征图像中像素点的灰度值发生变化趋势的瞬时速度场。在现实世界中,目标的运动通常是通过视频流中各个像素点灰度分布的变化表征的。图2-1表现了昆虫在飞行过程中所处的三维光流场。C图中箭头的长度和指向表征了各点光流的大小和方向。美国学者Horn和Schunck在1981年提出了光流场的计算方法,他们在两帧图像的灰度变化和时间间隔都很小的前提下,推导出了光流的基本约束方程,从而奠定了光流场计算的理论知识。

                    

    实现思想:

        利用光流场法实现目标检测的基本思想是:首先计算图像中每一个像素点的运动向量,即建立整幅图像的光流场。如果场景中没有运动目标,则图像中所有像素点的运动向量应该是连续变化的;如果有运动目标,由于目标和背景之间存在相对运动,目标所在位置处的运动向量必然和邻域(背景)的运动向量不同,从而检测出运动目标。

        通过计算光流场得到的像素运动向量是由目标和摄像机之间的相对运动产生的。因此该类检测方法可以适用于摄像机静止和运动两种场合。但是光流场的计算过于复杂,而且在实际情况中, 由于光线等因素的影响,目标在运动时,其表面的亮度并不是保持不变的,这就不满足光流基本约束方程的假设前提,导致计算会出现很大的误差。光流场法很少应用于实际的

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  • 第五十二篇 有限差分法 抛物线系统 对于典型的抛物型方程,例如“传导”或“固结”方程,要求在时间上有边界条件和初始条件。然后,只要需要的话,就会求出对应时间的解。与椭圆问题不同的是,如下图所示,解域是...

    第五十二篇 有限差分法

    抛物线系统

    对于典型的抛物型方程,例如“传导”或“固结”方程,要求在时间上有边界条件和初始条件。然后,只要需要的话,就会求出对应时间的解。与椭圆问题不同的是,如下图所示,解域是“开放的”,时间变量可以无限延续
    在土木工程分析中经常出现的一个抛物问题是一维固结方程
    在这里插入图片描述
    其中
    CV =固结系数
    z =空间坐标
    t =时间
    在热流问题的背景下,cv将被热扩散性质α取代。
    有时将方程无量纲化是很方便的,这样可以得到一个更普遍适用的解。
    为了做到这一点,令
    在这里插入图片描述
    其中D为参考长度(例如,排水路径长度);U0是一个参考压力(例如,t = 0时的初始压力);T是一个无量纲的时间,称为“时间因子”。
    在这里插入图片描述
    导数可以写成
    在这里插入图片描述
    代入无量纲形式的扩散方程为
    在这里插入图片描述

    显示有限差分

    固结方程可以用有限差分形式表示。假设z向网格间距为Δz,时间为Δt,利用中心差值求空间二阶导数,得到
    在这里插入图片描述
    下标I和j分别表示z和t变量
    这种空间变量的“半离散化”,应用于整个空间网格,导致了一组时间变量的常微分方程。之前常微分方程部分描述的任何一种方法都可以用于积分这些方程组,但在这一介绍性的处理中,我们也将把有限差分应用于时间维度。因此,返回固结方程,使用简单的时间一阶导数的正差分格式(等效θ = 0),得到
    在这里插入图片描述
    将上面两个方程代入固结方程得到
    在这里插入图片描述
    前一节中描述的“分子”概念在这种抛物线问题中不是很有用;然而,有一个简单的模式,可以通过上式计算新值。在任何给定深度上的新u值仅是前一个时间步长的u值的函数。
    这种类型的关系被称为“显式的”,因为u在新的时间水平上的值仅仅用u在最近的时间水平上的值来表示。然而,与所有“显式”方法一样,数值稳定性取决于所采用的空间和时间步长的满意组合。数值不稳定是指在步进过程的某一阶段引入的扰动(或误差)在后续步骤中不可控制地增长。
    可以证明,这种显式方法只有在下列情况下才能保证数值稳定性
    在这里插入图片描述

    计算实例1

    如下图所示的绝缘棒最初在0在所有点沿其长度,当边界条件100◦应用到棒的左端,并保持在该值。用显式有限差分法计算沿杆位置和时间的温度变化。
    在这里插入图片描述
    给出了一维热扩散的控制方程
    在这里插入图片描述
    其中:
    α =热扩散系数
    φ=温度
    X =空间坐标
    t =时间
    边界条件为
    在这里插入图片描述
    初始条件为
    在这里插入图片描述
    通过替换
    在这里插入图片描述
    能写成一个无量纲形式为
    在这里插入图片描述
    边界条件为:
    在这里插入图片描述
    初始坐标为:
    在这里插入图片描述
    将无量纲方程用有限差分形式表示,由式(8.49)
    在这里插入图片描述
    这个显式公式的稳定性要求是在这里插入图片描述
    值得注意的是,在上式= 1/2的特殊情况下,公式化简为
    在这里插入图片描述
    在本例中,令ΔX = 0.2, ΔT = 0.015
    在这里插入图片描述
    满足稳定性判据。
    当创建具有较大时间步长的微分方程时,建议采用一些折中方法来模拟棒子左端的温度变化,因为初始条件要求在T =0时Φ=0,而在T =0时,在该位置的瞬时边界条件要求Φ=1。
    一种选择是在T = 0时应用完整的温度变化;但是在这个例子中,我们在T = 0处应用了变化结果的一半,也就是0.5,X = 1处的∂Φ/∂X = 0的条件通过中心差值法保持,在X = 1.2处包含一个假设的网格点。然后将X = 1.2时Φ的值设为与X = 0.8时Φ的值相同。
    考虑在T = 0.015,深度X = 0.2时计算Φ。由有限差分方程得到,Φ所需的值取决于X = 0、0.2和0.4处前一个时间步长Φ的值,因此
    在这里插入图片描述
    在T = 0.120,深度X = 0.6时计算Φ,得到
    在这里插入图片描述
    有限差分的结果见下表。
    在这里插入图片描述

    计算实例2

    将厚度为240mm的均匀饱和粘土试样置于顶部和底部都有排水的常规固结容器中。竖向应力突增200 kN/m2。当固结系数为cv = 10m2/yr时,估算1小时后的超孔压分布。
    在这种情况下,我们选择以毫米和小时为单位的维度形式来求解固结方程,因此
    在这里插入图片描述
    其中
    CV =固结系数=1142 mm2/hr
    Z =空间坐标(mm)
    T =时间(hr)
    由于固结试验是双排水对称的,我们在中平面(z =120 mm)假定不排水,这样将解决一半的问题。
    边界条件:
    在这里插入图片描述
    初始坐标:
    在这里插入图片描述
    对于有限差分解,设Δz = 24 mm, Δt = 0.2 hr。
    对稳定性判据进行检验,1142(0.2)/(24**2)= 0.397,小于0.5,说明增量大小是可以接受的。
    得到有限差分方程
    在这里插入图片描述
    在z = 144 mm处加入一个格点,维持z = 120 mm处∂u/∂z = 0的条件。从z = 120 mm处一阶导数的中心差值公式可以看出,在所有时间步长中,z = 144 mm处的值与z = 96 mm处的值保持一致。在本例中,直到t = 0.2 h第一个时间步长结束时,才将z = 0时的排水边界条件引入计算。
    有限差分结果总结如下表所示,下图所示在t = 1小时超静孔压随深度分布。
    在这里插入图片描述
    作为验算,1小时后有限差分结果对应的平均固结度为
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    初始矩形面积= 240*(200)= 48000
    阴影面积= 0.5(24)(0.0 + 2(80.0 + 141.6 + 179.8 + 195.1 + 200.0 + 195.1 + 179.8 + 141.6 + 80.0+0.0)= 33431
    在这里插入图片描述
    t = 1hr对应的无量纲时间因子为
    在这里插入图片描述
    T和U之间的精确关系(当U≤0.5时)的精确近似值由公式给出
    在这里插入图片描述
    因此
    在这里插入图片描述
    说明在网格较粗的情况下,数值解是合理的。

    程序如下

    在这里插入图片描述
    上面是深度和超孔隙压力,双面排水,Cu=7.9m2/yr,计算一年后的平均固结度

    import numpy as np
    print('一维的显示有限差分')
    layer=10.0;tmax=1.0;dz=2.0;dt=0.1;cv=7.9
    beta=cv*dt/(dz**2)
    if beta>0.5:
        print('beta值太大')
        exit
    nz=int(layer/dz);nt=int(tmax/dt)
    a=np.zeros((nz+1),dtype=np.float64)
    b=np.zeros((nz+1),dtype=np.float64)
    c=np.zeros((nz+1))
    b[:]=(60.0,54.0,41.0,29.0,19.0,15.0)
    bc='dd'
    nres=5;ntime=10
    area0=0.5*dz*(b[0]+b[nz])+dz*sum(b[1:nz])
    print('时间          固结度      压力(网格在',nres,')')
    print('{:9.5e}'.format(0),' ''{:9.5e}'.format(0),' ''{:9.5e}'.format(b[nres-1]))
    for j in range(1,nt+1):
        if bc=='uu' or bc=='ud':
            a[0]=b[0]+2.0*beta*(b[1]-b[0])
        a[1:nz]=b[1:nz]
        a[1:nz]=b[1:nz]+beta*(b[0:nz-1]-2.0*b[1:nz]+b[2:nz+1])
        if bc=='uu' or bc=='du':
            a[nz]=b[nz]+2.0*beta*(b[nz-1]-b[nz]);
        b=a
        if j==ntime:
            c=b
        areat=0.5*dz*(b[0]+b[nz])+dz*sum(b[1:nz])
        print('{:9.5e}'.format(j*dt),end='  ')
        print('{:9.5e}'.format((area0-areat)/area0),end='  ')
        print('{:9.5e}'.format(b[nres-1]))
    print( '深度        压力(时间=',ntime*dt,')')
    for i in range(1,nz+2):
        print('{:9.5e}'.format(dz*(i-1)),end=' ')
        print('{:9.5e}'.format(c[i-1]))
    

    终端输出结果如下
    在这里插入图片描述
    一年后的平均固结度为0.63,一年后的最大超孔隙压力为深度4m值为21kn/m2

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