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    第一章—自动控制的一般概念

    自动控制系统的分类

    自动控制系统可有多种分类方式。例如,

    • 按照控制方式可分为:开环控制、反馈控制、复合控制等;
    • 按照元件类型可分为:机械系统、电气系统、机电系统、液压系统、气动系统、生物系统等;
    • 按照系统功用分类可分为:温度控制系统、压力控制系统、位置控制系统等;
    • 按照系统特性可分为:线性系统和非线性系统、连续系统和离散系统、定常系统和时变系统、确定性系统和不确定性系统等;
    • 按照输入量的变化规律可分为:恒值控制系统、随动系统和程序控制系统等。

    线性连续控制系统

    这类系统可以使用线性常微分方程进行描述。其一般形式为:

    其中:

    • :被控制量;
    • :系统输入量。

    系数

    常数时,该系统称为 定常系统;反之,
    时变数时,该系统称为 时变系统。线性定常连续系统按照其输入量的变化规律不同又可分为恒值控制系统、随动系统和程序控制系统。

    恒值控制系统

    这类系统的输入量是一个常值,被要求控制量亦为一个常值,故该系统又称为调节器。如有扰动,被控制量会偏离输入量而出现偏差,所以,控制系统便会根据偏差产生控制作用,以克服扰动的影响,是被控制量恢复到给定的常值。其中输入量可以按需改变,但一经改变之后仍要保持是常值。

    随动系统

    这类控制系统的输入量是预先未知随时间任意变化的函数,要求被控制量以尽可能小的误差跟随输入量的变化,故又称为跟踪系统。在随动系统中,扰动的影响是次要的。系统分析、设计的重点是研究被控制量跟随的快速性准确性。在随动系统中,如果被控制量是机械位置或其导数时,这类系统成为伺服系统

    程序控制系统

    这类系统的输入量是按照预先规律随时间变化的函数,要求被控制量迅速准确的加以复现。恒值控制系统可以视为程序控制系统的特例。

    线性定常离散控制系统

    一般的,在离散系统中既有连续的模拟信号,也有连续的数字信号,因此,离散系统一般使用差分方程进行描述,其一般形式为:

    其中:

    • :差分方程的次数;
    • :常系数;
    • :输入和输出采样序列。

    非线性控制系统

    系统中,只要有一个元件的输入和输出特性是非线性的,那么这类系统就称为非线性的控制系统。对于这类系统,又可分为连续的非线性控制系统和离散的非线性控制系统,前者需要使用非线性的微分方程进行描述,而后者则需要使用非线性的差分方程进行描述。在实际的物理系统中,都会含有程度不同的非线性元件,而且由于对于非线性方程的处理比较困难。所以,目前对于非线性系统没有一个统一的研究方法。但是对于非线性程度不太严重的元件,可采用在一定范围内线性化的方法,从而将非线性控制系统近似为线性控制系统。

    对自动控制系统的基本要求

    基本要求的提法

    对每一类系统被控制量变化的全过程提出的共同基本要求都是一样的,且可以归结为稳定性快速性准确性

    稳定性

    稳定性是保证控制系统能够正常工作的先决条件。一个稳定的控制系统,其被控制量离期望值的初始偏差应随时间的增长逐渐减小并趋近于零。对于稳定的恒值控制系统,被控制量因扰动而偏离期望值之后,经过一个过渡过程时间,被控制量应该恢复到原来期望值的状态;对于稳定的随动系统,被控制量应该始终跟随输入量的变化。反之,对于,不稳定的控制系统,其被控制量偏离期望值的初始偏差将随时间的增长变得越来越大。

    线性自动控制系统的稳定性是由系统结构所决定的,与外界因素无关。这是因为在控制系统中一般含有储能元件或者惯性元件,储能元件的能量不可能发生突变。因此,当系统受到扰动或有输入量的时候,控制过程一般不会立即完成,而是有一定时间的延缓,这就使得被控制量恢复到期望值或跟随输入量有一个时间过程,称为过渡过程。比如在反馈系统中,由于被控制对象的惯性,会使控制动作不能瞬间纠正被控制量的偏差,控制装置的惯性则会使偏差信号不能够及时的完全转化为控制动作。偏差可正可负,这时出现所谓的振荡形式,如果振荡过程是逐渐减弱的,系统最终可以到达平衡状态,控制目的得以实现,我们称之为稳定系统;反之,如果振荡过程不断增强,系统的被控制量将失去控制,则为非稳定系统。

    快速性

    为了更好的完成任务,还必须对系统的过渡过程的形式和快慢提出要求,一般称为动态性能。对系统过渡过程的时间(即快速性)和最大振荡幅度(即超调量)一般都有具体要求。

    典型的外部作用

    在实践中,自动控制系统承受外部作用的形式是多种多样的,既有确定性外部作用,又有随机性的外部作用。对于不同形式的外部作用,系统被控制量的相应各不相同。为了方便使用统一的方法研究和比较控制系统的性能,通常选用几种确定性函数作为典型的外作用,可选作典型外部作用的函数应具有以下条件:

    • 在实验室中容易得到;
    • 控制系统在这种函数的作用下的性能应代表在实际工作条件下的性能;
    • 这种函数的数学表达式简单,便于进行理论计算。

    阶跃函数

    特别的,当

    时,
    称为
    单位阶跃函数。阶跃函数是控制系统在实际工作条件下经常遇到的一种外作用形式。例如,电源电压的突然跳动;负载的突然增大或减小等。

    斜坡函数

    例如,雷达-高射炮系统。

    脉冲函数

    脉冲函数还可以表示为:

    其中,单位脉冲函数(又称为

    函数)为

    正弦型函数

    第二章—控制系统的数学模型

    控制系统时域的数学模型

    线性元件的微分方程

    设由电阻

    、电感
    和电容
    所组成为无源二端网络,如图2.1所示。试列写以
    为输入量,以
    为输出量的网络微分方程。

    d02a48c8fb2e87b805a5464263f5e2ba.png
    图片2.1:RCL无源二端网络。

    设回路的电流为

    ,由基尔霍夫定理可以列写回路方程为:

    且有支路方程:

    消去中间变量

    ,便可以得到描述网络输入输出关系的微分方程为:

    显然,式

    是一个二阶线性常微分方程,是图2.1的时域数学模型。

    线性系统的基本特性

    使用线性微分方程面熟的元件或系统,称为线性元件或线性系统。线性系统的重要性质是可以应用叠加原理。叠加原理具有两层含义,即具有可叠加性齐次性。线性系统的叠加原理表明,两个外部作用同时加于系统所产生的总输出,等于各个外部作用单独作用时分别产生的输出之和(可叠加性),且外部作用的数值增大若干倍时,其输出亦相应增加相同的倍数(齐次性)。举例说明,二阶线性常微分方程:

    是方程
    的两个线性无关的解,则
    也是方程
    的解。

    线性定常微分方程的求解

    可参看本人写的常微分方程教程。

    zdr0:《数学及自然科学》——目录

    非线性微分方程的线性化

    除了可以在一定的条件下将非线性元件视为线性元件外,还有一种方法—切线法或最小偏差法。这种线性化的方法特别适用于具有连续变化的非线性特性函数,其实质是在一个很小的范围内,将非线性特性使用一段直线来替代,具体方法如下所述。

    设非线性连续函数

    ,取某平衡状态
    为工作点,对应有
    ,当
    时,有
    。设函数
    点连续可微,则将它在该点附近做
    级数展开:

    时,我们仅保留式
    中的一次项,即:

    若将

    分别记为
    ,将
    记为
    ,则式
    可记为:

    如果不考虑增量,则得到:

    可视为非线性函数
    在工作点
    附近的线性方程。其中
    在点
    处的切线斜率。显然,当平衡点改变时,
    的值也会改变。

    对于

    元的非线性函数,我们可以得到的一般线性近似的结果是:

    其中,

    这种小偏差线性化方法对于控制系统的大多数工作状态是可行的。

    设铁芯线圈电路如图

    所示,设铁芯线圈中的磁通量是线圈中的电流的函数,即
    。试列写以
    为输入量,
    为输出量的电路的微分方程。

    e944ab4269f1113299b401197dd54cb9.png
    图片2.2:铁芯线圈电路。

    设铁芯线圈磁通量变化时产生的感应电动势为:

    由基尔霍夫定律列写回路电压方程有:

    方程

    是一个非线性常微分方程,我们现在将
    进行
    展开:

    时我们可以得到:

    忽略增量我们可以得到:

    将式

    带回式
    可得:

    运动的模态

    在数学上,线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成,通解由微分方程的特征根所决定,它代表的是自由运动。如果

    阶微分方程的特征根是
    且无重根,则将函数
    称为该微分方程所描述运动的
    模态,也称为 振型。每一种模态代表一种类型的运动形态,齐次方程的通解则是他们的线性组合,即:

    其中,系数

    是由系统的初值条件所确定的初值。

    如果特征根中有重根,则模态会具有形如

    的形式(这里也可以去看我写的常微分方程教程)。最后,如果特征根中有共轭复根
    ,则其模态是共轭复模态,
    ,也可使用
    公式写成实模态

    《自动控制原理》——胡寿松。
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    二阶系统的时域分析

    二阶系统是以二阶微分方程作为运动方程的控制系统。在控制工程中,不仅二阶系统的典型应用极为普遍,而且不少高阶系统的特性在一定条件下可用二阶系统的特性来表征。因此,着重研究二阶系统的分析和计算方法具有较大的实际意义。大家也要稳扎稳打,扎实的掌握二阶系统及其特性。

    二阶系统的时域模型

    对于一个二阶系统,其标准闭环传递函数的形式为:

    其对应的微分方程是:

    其中:

    • 自然频率
    • 阻尼比

    相对应的结构图如图片3.3所示:

    4a14133564e81db6982e94359ff15ef7.png
    图片3.3:标准形式的二阶系统结构图。

    令式

    中的分母多项式为零,则可以得到
    二阶系统的特征方程为:

    其两个根称为闭环极点,为:

    显然,二阶系统的时间相应取决于

    这两个参数。应当指出的是,对于结构和功用不同的二阶系统,
    的物理含义是不同的。

    二阶系统的单位阶跃响应

    在闭环极点中,若

    ,则二阶系统具有两个正实部的特征根,其单位阶跃响应为:

    其中:

    由于阻尼比

    为负,指数因子具有正幂指数,因此系统的动态过程为发散的正弦振荡或单调发散的形式,从而表明
    的二阶系统是不稳定的。
    • 如果
      ,则特征方程有一对纯虚根,
      ,对应于
      平面虚轴上一对共轭极点,可以计算出系统的阶跃响应为等幅振荡,此时,系统相当于没有阻尼的情况;
    • 如果
      ,则特征方程有一对具有负实部的共轭复根,
      ,对应于
      平面左半部的共轭复数极点,响应的阶跃响应为衰减的振荡过程,此时系统处于欠阻尼的状态;
    • 如果
      则特征方程具有两个相等的负实根,
      ,对应于
      平面负实轴上两个相等的实极点,相应的阶跃响应非周期地趋于稳态输出,此时系统处于临界阻尼的情况;
    • 如果
      ,则特征方程有两个不相等的负实根
      ,对应于
      平面上两个不相等的实极点,相应的阶跃响应也是非周期地趋于稳态输出,但响应速度比临界阻尼情况缓慢,因此成为过阻尼的情况。

    上述各种闭环极点在

    平面上的分布情况如图片3.4所示。

    53e361d448e2fd365882019804c3bd4d.png
    图片3.4:二阶系统的闭环极点分布。

    由此可见,

    值的大小决定了系统的阻尼程度。下面,我们将分别研究欠阻尼、临界阻尼、过阻尼二阶系统的单位阶跃响应。

    欠阻尼
    二阶系统的单位阶跃响应

    若令

    则有:

    其中,

    称为
    衰减系数
    称为
    阻尼振荡频率

    时,由式
    可得:

    对式

    取逆
    变化可得:

    其中,

    表明,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由两部分组成:稳态分量为
    ;瞬态分量为阻尼正弦振荡项,其振动频率为
    ,故称为阻尼振荡频率。由于瞬态分量衰减的快慢程度取决于包络线
    收敛的速度,当
    一定时,包络线的收敛速度有取决于指数函数
    的幂,所以,
    称为衰减系数。

    ,则二阶系统在无阻尼的情况下的单位阶跃响应为:

    的值由系统本身的结构参数决定,常称为
    自然频率

    临界阻尼
    二阶系统的单位阶跃响应

    设输入信号为单位阶跃函数,则系统输出量的

    变化可以写为:

    对式

    取逆
    变换,得到临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为:

    表明,当
    时,二阶系统的单位阶跃响应应为稳态值为
    的无超调的上升过程,其变化率为:

    时,响应的变化率为零,当
    时,相应过程的变化率为正,响应过程单调递增,当
    时,响应的变化率趋于零,响应过程趋近于常值
    。通常,临界阻尼情况下的二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应。

    过阻尼
    二阶系统的单位阶跃响应

    令:

    则过阻尼二阶系统的输出量的

    变换为:

    式中,

    称为过阻尼二阶系统的时间常数,且有
    。对上式取逆
    变化得到:

    表明,响应特性包含着两个单调递减的指数项,其代数和绝不会超过稳态值
    ,因而过阻尼二阶系统的单位阶跃响应是非振荡的,通常称为过阻尼响应。

    欠阻尼二阶系统的动态过程分析

    在控制工程中,除了那些不允许产生振荡响应的系统外,通常都希望控制系统具有适度的阻尼、较快的响应速度和较短的调节时间。

    为了便于说明改善系统动态性能的方法,图片3.5表示了欠阻尼二阶系统各特征参量之间的关系。

    eb6b848f2122e422044ccd94397fda78.png
    图片3.5:欠阻尼二阶系统额定特征参量。

    由图片3.5可见,衰减系数

    是闭环极点到虚轴之间的距离;阻尼振荡频率
    是闭环极点到实轴之间的距离;自然频率
    是闭环极点到原点之间的距离;且
    与负实轴的夹角恰好是阻尼比,即:

    称为阻尼角。下面推导无零点欠阻尼系统的动态性能指标计算公式。

    延迟时间

    在式

    中,令
    ,可得
    的隐函数表达式为:

    利用曲线拟合法,在较大的

    范围内,近似有:

    时,亦可使用式进行近似:

    和式
    表明,增大自然频率或减小阻尼比都可以减小延时时间。或者说,当
    不变时,闭环极点距
    平面的坐标原点越远,系统的延迟时间越短;而当
    不变时,闭环极点距
    平面上的虚轴越近,系统的延迟时间越短。

    上升时间

    在式

    中,令
    ,求得:

    由于

    ,所以有:

    由式

    可知,当阻尼比
    一定时,阻尼角
    不变,系统的响应速度与
    成正比;而当阻尼振荡频率
    一定时,阻尼比越小,上升时间越短。

    峰值时间

    对式

    对时间求导并令导数为零得:

    整理得:

    根据峰值时间的定义,有:

    表明,峰值时间等于阻尼振荡周期的一半。或者说,峰值时间与闭环极点的虚部成反比。当阻尼比一定时,闭环极点离负实轴的距离越远,系统的峰值时间越短。

    超调量

    因为超调量发生在峰值时间上,所以,将式

    带入式
    可得输出量的最大值为:

    由于

    ,故式
    可写为:

    根据超调量的定义,并考虑到

    可以求得:

    表明,超调量
    是阻尼比
    的函数,而与自然频率
    无关。显然,阻尼比越大,超调量越小,反之亦然。

    调节时间

    上式表明,调节时间与闭环极点的实部数值成反比。闭环极点距虚轴的距离越远,系统的调节时间越短。由于阻尼比值主要根据系统超调量的要求来满足,所以调节时间主要由自然频率决定。若能保持阻尼比值不变而增大自然频率,则可以在不改变超调量的情况下缩短调节时间。

    从上述各项动态性能指标的计算中可以看出,各个指标之间是相互矛盾的。比如上升时间和超调量,即响应速度和阻尼程度不能同时达到满意的结果。

    过阻尼二阶系统的动态过程分析

    由于过阻尼的系统的响应缓慢,故通常不希望采用过阻尼系统。但是,这并不排除在某些情况下,例如在低增益、大惯性的温度控制系统当中,需要采用过阻尼系统。

    当阻尼比

    ,且初始条件为零时,二阶系统的单位阶跃响应为式
    。显然, 在动态性能指标中,只有延迟时间、上升时间和调节时间才具有意义。然而,式
    是一个超越方程,无法根据各个动态性能指标的定义求出其精确的计算公式。目前,工程上所采用的方法,仍然是利用数值近似的解法求出不同
    值下的无因次时间,然后制成曲线以供查用;或使用曲线拟合法给出近似计算公式。

    延迟时间

    上升时间

    调节时间

    由式

    ,令
    为不同的值,可以解出相应的无因次调节时间
    。由于:

    因此得到:

    临界阻尼二阶系统的调节时间为:


    自动控制原理—胡寿松.
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  • 第三章 线性系统的时域分析法在确定了控制系统的数学模型后,便可以使用几种不同的方法来分析控制系统的动态性能和稳态性能。在经典控制理论中,常用的方法是时域分析法、根轨迹法和频域分析法。不同的方法有不同的...

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    第三章 线性系统的时域分析法

    在确定了控制系统的数学模型后,便可以使用几种不同的方法来分析控制系统的动态性能和稳态性能。在经典控制理论中,常用的方法是时域分析法、根轨迹法和频域分析法。不同的方法有不同的特点和适用范围,但是比较而言,时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法,具有直观、准确的优点,并且可以提供系统时间响应的全部信息。

    系统时间相应的性能指标

    控制系统性能的评价分为动态性能指标和稳态性能指标两类。为了求解系统的时间响应,必须知道的是输入信号(即外部作用)的解析表达式。然而,在一般情况下,控制系统的外加输入信号具有随机性而无法预先确定,因此,我们需要选择若干典型的输入信号。

    典型输入信号

    为了方便进行分析和设计,同时也为了便于对各种控制系统的性能进行比较,我们需要假定一些基本的输入函数形式,在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数。控制系统中常用的典型输入信号有:单位阶跃函数单位斜坡函数单位加速度函数单位脉冲函数正弦函数。它们的时域表达式和复频域表达式分别为:

    • 单位阶跃函数:

    • 单位斜坡函数:

    • 单位加速度函数:

    • 单位脉冲函数:

    • 正弦函数:

    在实际情况中,究竟要采用哪一种典型的输入信号取决于系统常见的工作状态;同时,在所有可能的输入信号中,往往选取最不利的信号作为系统的典型输入信号。这种处理方法在许多场合下式可行的。一般选择的规则如下:

    • 阶跃函数:系统的工作状态突然改变或突然受到恒定输入作用的控制系统;
    • 斜坡函数:输入信号随时间变化的控制系统;
    • 加速度函数:可作为宇宙飞船控制系统的典型输入;
    • 脉冲函数:控制系统的输入信号是冲击输入量;
    • 正弦函数:系统的输入信号具有周期性的变化时。

    虽然这些输入信号各不相同,但是,在线性系统中,它们所对应的输出响应所描述的系统性能是一致的。

    应当指出的是,有些系统的实际输入信号是变化无常的随机信号,这时就不能用上述的确定性的典型输入信号去替代实际的输入信号,而必须采用随机过程的理论进行处理。

    为了评估线性系统对时间相应的性能指标,需要研究控制系统在典型输入信号的作用下的时间响应过程。

    动态过程与稳态过程

    在典型输入信号的作用下,任何一个控制系统的时间响应都应由动态过程稳态过程两部分组成。

    动态过程

    动态过程又称为过渡过程或瞬态过程,是指系统在典型输入信号作用下,系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。根据系统的结构和参数选择情况,动态过程表现为衰减、发散或等幅振荡形式。显然,一个可以实际运行的控制系统,其动态过程必须是衰减的,换句话说,系统必须是稳定的。动态过程除了提供稳定性的信息外,还可以提供响应速度以及阻尼情况等信息。这些信息用动态性能描述。

    稳态过程

    稳态过程是指在典型输入信号的作用下,当时间

    时系统输出量的表现方式。稳态过程有称为稳态响应。表征系统输出量最终复现输入量的程度。提供系统有关稳态误差的信息,用
    稳态性能来表示。

    动态性能与稳态性能

    动态性能

    通常在阶跃函数的作用下,测定或计算系统的动态性能。因为一般来讲,阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态,如果系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求,那么系统在其他函数形式的函数作用下,其动态性能也是令人满意的。

    描述稳定的系统在单位阶跃函数的作用下,动态过程随时间

    的变化状况的指标称为
    动态性能指标。为了便于分析和比较,假定系统在单位阶跃输入前处于静止状态,而且输入量即其各阶导数均等于零。实际上对于大多数控制系统来说,这样的假设是符合实际情况的。

    70280908225fed924bc31cd34bc1ec9f.png
    图片3.1:单位阶跃函数。

    其中,动态性能指标通常如下:

    • 延迟时间
      :指的是响应曲线第一次到达其终值一半所需要的时间;
    • 上升时间
      :指的是相应从终值
      上升到
      所需要的时间。对于有振荡的系统,亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需要的时间。上升时间是系统相应速度的一种度量。上升之间越短,响应速度越快;
    • 峰值时间
      :指的是响应超过其终值达到第一个峰值所需要的时间。也可用于评价系统的响应速度;
    • 调节时间
      :指的是响应达到并保持在终值的
      内所需要的时间;
    • 超调量
      :指的是响应的最大偏移量
      与终值
      的差与终值
      的百分比。可表示系统的阻尼程度。即:

    ,则响应无超调。超调量亦称为最大超调量,或百分比超调量。

    上述的五个动态性能指标,基本上可以体现系统动态过程的特征。

    稳态性能

    稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标,通常在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下进行测定或计算。若时间

    ,系统的输出量不等于输入量或输入量的确定函数,则系统存在稳态误差。稳态误差是系统控制精度或抗扰能力的一种度量。

    一阶系统的时域分析

    一阶系统指的是以一阶微分方程作为运动方程的控制系统。

    一阶系统的数学模型

    对于一阶系统的数学模型,我么通过一个例子进行说明,

    7150b80d7ae845e421a0164a5bbcca2c.png
    图片3,2:典型的一阶系统。

    如图片

    所示的
    电路,其运动微分方程为:

    其中,

    为电路的输出电压;
    为电路的输入电压;
    为时间常数。当该电路的初值条件为零时,其传递函数为:

    应当指出的是,具有同一运动方程或传递函数的所有线性系统,对同一输入信号的相应是相同的。当然,对于不行形式或不同功能的一阶系统,其相应特性的数学表达式具有不同的物理意义。

    一阶系统的单位阶跃响应

    设一阶系统的输入信号为单位阶跃函数

    ,则由式
    可得一阶系统的单位阶跃响应为:

    即一阶系统的单位阶跃响应是一条初值为零,以指数规律上升到终值

    的曲线。而且,一阶系统的单位阶跃响应是非周期响应,具备以下两个重要特点:

    可使用时间常数
    去度量系统输出量的数值。

    根据这一特点,我们可以使用实验的方法测定一阶系统的时间常数,或判定所测系统是否属于一阶系统。

    响应曲线的斜率初值为
    ,并随时间的推移而下降。例如:

    从而使单位阶跃响应完成全部变化量所需的时间为无限长,即

    。此外,初始斜率特性也是常用的确定一阶系统时间常数的方法之一。

    根据动态性能指标的定义,一阶系统的动态性能指标为:

    显然,峰值时间

    和超调量
    都不存在。

    由于时间常数

    反映了系统的惯性,所以一阶系统的惯性越小,其响应的过程越快;反之越慢。

    一阶系统的单位脉冲响应

    当输入信号为理想单位脉冲函数时,由于

    ,所以,系统的输出量的
    变换与系统的传递函数相同,即
    ,这时系统的输出称为脉冲响应,其表达式为:

    典型响应曲线的斜率:

    在初始条件为零的情况下,一阶系统的闭环传递函数与脉冲响应函数之间,包含着相同的动态过程信息。这一特点同样适用于其他各阶线性定常系统,因此常以单位脉冲输入信号作用于系统,根据被测定系统的单位脉冲响应,可以求得被测系统的闭环传递函数。

    一阶系统的单位斜坡响应

    设系统的输入信号为单位斜坡函数,则由式

    可以求得一阶系统的单位斜坡相应为:

    式中,

    为稳态分量,
    为瞬态分量。式
    表明:一阶系统的单位斜坡响应的稳态分量,是一个与输入斜坡函数斜率相同但时间之后
    的斜坡函数,因此,在位置上存在稳态跟踪误差,其值正好为时间常数
    ,一阶系统单位斜坡响应的瞬态分量为衰减非周期函数。

    在阶跃响应曲线中,输出量和输入量之间的位置误差随时间而减小,最后趋近于零,而在初始状态下,位置误差最大,响应曲线的初始斜率也最大;在斜坡响应曲线中,输出量和输入量之间的位值误差随时间而增大,最后趋于常值

    ,惯性越小,跟踪的准确度越高,而在初始状态下,初始位置和初始斜率为零,因为:

    显然,在初始状态下,输出速度的输入速度之间误差最大。

    一阶系统的单位加速度相应

    设系统的输入信号为单位加速度函数,则由式

    可以求得一阶系统的单位加速度响应为:

    因此系统的跟踪误差为:

    上式表明,跟踪误差随时间的推移而增大,直到无穷大。因此,一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。


    自动控制原理—胡寿松.
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