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  • 协方差函数 在平稳 AR(p)AR(p)AR(p)模型两边同乘 xt−k,∀k>1x_{t-k}, \forall k > 1xt−k​,∀k>1, 再求期望 对于中心化的AR模型, 其均值为0, 则有cov(xt,xs)=E(xt)E...

    协方差函数

    在平稳 AR(p)AR(p)模型两边同乘 xtk,k>1x_{t-k}, \forall k > 1, 再求期望
    对于中心化的AR模型, 其均值为0, 则有cov(xt,xs)=E(xt)E(xs)cov(x_t, x_s) = E(x_t)E(x_s)
    又因为xt=ϕ1xt1+ϕ2xt2++ϕpxtp+εtx_t = \phi_1x_{t-1} + \phi_2x_{t-2}+\cdots+\phi_px_{t-p} + \varepsilon_t
    所以 E(xtxtk)=ϕ1E(xt1xtk)++ϕpE(xtpxtk)+E(εtxtk)E(x_tx_{t-k}) = \phi_1E(x_{t-1}x_{t-k}) +\cdots+\phi_pE(x_{t-p}x_{t-k}) + E(\varepsilon_tx_{t-k})
    又因为 εt\varepsilon_t 与 x_t 独立, 即 E(εtxtk)=0,k1E(\varepsilon_tx_{t-k})=0, \forall k \geq 1
    最终可得协方差的递推公式 rk=ϕ1rk1+ϕ2rk2++ϕprkpr_k = \phi_1r_{k-1} + \phi_2r_{k-2} +\cdots+\phi_pr_{k-p}

    例子: 求平稳AR(1)AR(1)模型的协方差
    递推公式 rk=ϕ1rk1=ϕ1kr0r_k = \phi_1r_{k-1} = \phi_1^kr_{0} , 其中r0r_0 为相差为0的协方差函数,即为方差
    平稳AR(1)模型的方差为 r0=σε21ϕ12r_0 = \frac{\sigma_{\varepsilon}^2}{1-\phi_1^2}

    协方差函数的地推公式为 rk=ϕ1kσε21ϕ12,k1r_k = \phi_1^k\frac{\sigma_{\varepsilon}^2}{1-\phi_1^2}, \forall k \geq 1
    由平稳AR(1)AR(1)
    ϕ1<1k,ϕ1k0rk<rk1,k1\phi_1 < 1 \Rightarrow 当 k\rightarrow \infty, 时, \phi_1^k \rightarrow0 \\ \Rightarrow r_k < r_{k-1} , \forall k \geq 1
    所以随着间隔期数的拉长, 协方差函数的绝对值不断减少且趋近于零。

    平稳AR(2)AR(2)模型的协方差函数递推公式为
    rk=ϕ1rk1+ϕ2rk2,k2r1=ϕ1r0+ϕ2r1=ϕ1r0+ϕ2r1r1=ϕ1r01ϕ2r0=1ϕ2(1+ϕ2)(1ϕ1ϕ2)(1+ϕ1ϕ2)σε2r_k = \phi_1r_{k-1} + \phi_2r_{k-2}, k\geq2 r_1 = \phi_1r_0 + \phi_2r_{-1}=\phi_1r_0 + \phi_2r_{1} \\ \Rightarrow r_1 = \frac{\phi_1r_0}{1-\phi_2} r_0=\frac{1-\phi_2}{(1+\phi_2)(1-\phi_1-\phi_2)(1+\phi_1-\phi_2)}\sigma_{\varepsilon}^2

    AR(2)AR(2)模型的平稳性条件有一条: ϕ1±ϕ2<1ϕ2<1\phi_1 \pm \phi_2 < 1 且\left| \phi_2 \right| < 1
    有知道 r1<r0r_1 < r_0 , 所以 ϕ11ϕ21=ϕ1+ϕ211ϕ2\frac{\phi_1}{1-\phi_2} - 1 = \frac{\phi_1 + \phi_2 -1}{1-\phi_2}
    那么该分式的分母大于零,分子小于零,即整个分式小于零
    其协方差函数也是不断减小,趋近于零的(拖尾性)

    自相关系数

    定义为: ρk=rkr0\rho_k = \frac{r_k}{r_0}
    平稳AR(p)AR(p)模型的自相关系数递推公式
    ρk=ϕ1ρk1+ϕ2ρk2++ϕpρkp\rho_k = \phi_1\rho_{k-1} + \phi_2\rho_{k-2} +\cdots+ \phi_p\rho_{k-p}

    常用ARAR模型自相关系数递推公式
    AR(1)模型: ρk=ϕik,k0\rho_k = \phi_i^k, k \geq 0
    AR(2)模型: ρk={1k=0ϕ11ϕ2k=1ϕ1ρk1+ϕ2ρk2k2\rho_k= \begin{cases} 1& \text{k=0}\\ \frac{\phi_1}{1-\phi_2} & \text{k=1} \\ \phi_1\rho_{k-1} + \phi_2\rho_{k-2} & k\geq2 \end{cases}
    观察数据是否适合AR模型去拟合时,可以观察数据的自相关图。 如果自相关图展现出相对于的拖尾性质时,那么这个数据肯能是适合AR模型的。
    总结: ARAR模型自相关系数的性质
    拖尾性: ρ(k)=i=1pciλik(c1,c2, ,cp\rho(k) = \sum_{i=1}^{p}c_i\lambda_i^k (c_1, c_2, \cdots, c_p不能恒等于零)
    呈复指数衰减 ρ(k)=i=1pciλik0\rho(k) = \sum_{i=1}^{p}c_i\lambda_i^k \rightarrow0
    这个性质告诉我们: 对于平稳序列而言, 通常只有近期的序列影响更强,时间越远,影响越小。

    偏自相关系数

    定义: 对于平稳AR(p)AR(p)序列, 所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k-1个随机变量 xt1,xt2, ,xtk+1x_{t-1}, x_{t-2}, \cdots, x_{t-k+1} 的条件下,或者说,在剔除了中间k-1个随机变量的干扰滞后, xtkx_{t-k}xkx_k 影响的相关度量。用属性语言描述就是
    ρxt,xtkxt1, ,xtk+1=E[(xtE^xt)]E[(xtkE^xtk)]E[(xtkE^xtk)2]\rho_{x_t,x_{t-k}|x_{t-1}, \cdots, x_{t-k+1}} = \frac{E[(x_t - \hat{E}x_t)]E[(x_{t-k} - \hat{E}x_{t-k})]}{E[(x_{t-k} - \hat{E}x_{t-k})^2]}

    偏自相关系数的截尾性

    AR(p)AR(p)模型偏自相关系数P阶截尾:
    ϕkk=0,k>p\phi_{kk} = 0, k >p

    总结:

    判断一个时间序列是否可以用AR模型的方式
    如果自相关图拖尾,偏自相关系数图呈截尾现象,那么这个时间序列就可以使用AR模型拟合,其中偏自相关系数图呈现几阶截尾,就可以建立几阶的AR模型

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  • 自相关函数和协方差函数

    万次阅读 2012-05-31 21:03:23
    9.2.3自相关函数和协方差函数  上面介绍的均值、均方值和方差描述的是一维随机变量的统计特性,不能反映不同时刻各数值之间的相互关系。例如,随机信号X(t)分别在t1,t2时刻的随机取值X(t1),X(t2)之间的关联...

    9.2.3自相关函数和自协方差函数

        上面介绍的均值、均方值和方差描述的是一维随机变量的统计特性,不能反映不同时刻各数值之间的相互关系。例如,随机信号X(t)分别在t1t2时刻的随机取值X(t1)X(t2)之间的关联程度如何,这种关联称为自关联。同样,我们也要研究两个随机信号X(t)Y(t)数值之间的关联程度,这种关联性称为XY之间的互关联(下一小节介绍)。

      1.自相关函数

       自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1t2,的取值之间的相关程度。

    定义6 实随机信号X(t)的自相关函数定义为

                     

    9.2.7

      由于平稳随机信号的统计特性与时间的起点无关,设 ,则有 。所以,平稳随机信号的自相关函数是时间间隔t的函数,记为Rxx(t).

      2.自协方差函数

        自协方差函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1t2,的取值之间的二阶混合中心矩,用来描述X(t)在两个时刻取值的起伏变化(相对与均值)的相关程度,也称为中心化的自相关函数。

    定义7 实随机信号X(t)的自协方差函数定义为

       

      (9.2.8

      时,有

       显然,自协方差函数和自相关函数描述的特性基本相同。

    对于平稳随机信号,自协方差函数是时间间隔t的函数,记为Cxx(t),且有:

                    

         (9.2.9)

      当均值时,有

       当随机过程X(t)的均值为常数,相关函数只与时间间隔有关,且均方值为有限值时,则称X(t)为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。它是由一、二维数字特征定义的。一般所说的平稳过程都是指这种宽平稳随机过程。

    3.平稳随机信号自相关函数的性质

       设X(t)为平稳随机过程,其自相关函数为,自协方差函数,则有如下性质:

    1                                            (9.2.10)

                                                          (9.2.11)

            即时的自相关函数等于均方差,自协方差函数等于方差。

    2                            (9.2.12

            即当平稳随机信号是实函数时,其相关函数是偶函数。

    3                           9.2.13

            即时的自相关函数、自协方差函数取最大值。

    4)   若,则其自相关函数也是周期为T的周期函数,即

                                9.2.14

    5)   若均值,当时,相互独立,有   

                                                    (9.2.15

      即对于零均值的平稳随机信号,当时间间隔很大时,相互独立,互不相关。



    http://zyk.thss.tsinghua.edu.cn/68/sANDs/xuexi/chart9/c_9_2_3_001.htm

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  • 有自有的自协方差自相关和自偏相关,方式方法也是引用统计分析的度量方式,根据均值为0,方差为常数等特点,略加改变,形成时间序列这种数据特有的一种“自”度量方式。 2 关于自协方差这块,我们可以看一下这...

    1  之前说过,运用统计分析常用的观测方式(观测尺度、观测量度)有均值、方差、协方差、自相关、偏相关。但是对于像时间序列这样一维的数据构成特点。有自有的自协方差、自相关和自偏相关,方式和方法也是引用统计分析的度量方式,根据均值为0,方差为常数等特点,略加改变,形成时间序列这种数据特有的一种“自”度量方式。

    2  关于自协方差这块,我们可以看一下这两个公式:

     

    3  关于自相关这块儿,我们也可以看到两个公式:

    4  有偏和无偏有这么一种关系:

    5  在k=0,起始值的时候,自相关和自协方差有如下性质:

    6  2.3.4.5这里面的解释如下:

      (1)  有偏估计和无偏估计,我们发现在有偏估计和无偏估计的区别知识在求E,也就是求平均值的count个数的时候有区别,这个区别导致有偏和无偏的区别。把上面的公式用大白话来解释就是,有偏估计的长度n是总体抽样的长度,不随着每次计算而改变,统一是一个除数长度;无偏估计的长度是n-k,和Σ求和的右端n-k是一样的,也就是说,随着取的k长度不一样,每次除数是和取样k长度的个数一致的。一句话叫:统一除一个长度,就有偏了;随着取样变化,就无偏的。这就很好理解作为每次计算的自协方差为一个独立观察,就观察这次的自协方差,肯定是无偏,因为长度跟我的一致(n-k)。如果作为一个总体序列来观察每次自协方差情况,不光观察这一次的自协方差情况,相对于总体的这个自协方差是什么关系,这样长度必须要保持不变为n。

      (2)  关于这个问题,为了只管理解,举一个例子:

      比如我要对某一个学校一个年级的上千个学生估计他们的平均水平(真实值,上帝才知道的数字),那么我决定抽样来计算。

      我抽出10个人的一个样本,可以计算出均值。那么如果我下次重新抽样,抽到10个人可能不一样了,那么从这个样本里面计算出来的均值可能就变化了。

      因为这个均值是随着我抽样变化的,每次这10个人的均值也是随机变化的,但是随着我每次都抽10个人样本抽样次数越多,这个均值累计起来的大小会符合某一种分布。这种叫做渐进无偏性。说白了渐进无偏性叫放到历史长河中,你我不过是沧海一粟。就这个道理。

      但是,我再改一下,我不每次固定10个人做为一个样本抽样。我每次不一定抽几个人作为一个样本进行抽样。这里的n就不一定了。如果我们已知总体(或者你抽样的总体的个数),这个n就是确定的,但是换句话来说,真实情况都属于上帝。但是我们不知道真实的总体,但我们可以知道每次抽样,就这个抽样来讲,他的最优或者最真实的部分就不应该是n了,应该是n-k个样本,因此,这叫无偏估计,是局部或者说每次的一个最优情况,也是总体最优情况中的一部分而已。

      (3)  但是这里要注意一点的是:最优包含无偏,无偏是最优的一部分,有偏是无限趋近于最优;但归根接地,真正的最优只有上帝知道。关于这个理解我们一定要理解两个词,一个叫包含和部分、趋近和渐进。是一件事的两个不同方面和角度。

      (4)  另外,我们这里知道了n-k这个东西。零还有x/n-k 或者1/n-k等等,如果除以这个n-k,这个玩意儿很多时候都能见到,叫做自由度。在整个一个大群体中你没有自由,所有就是n,但是在微观的情况下,每个个体也是不一样的,所以他们自己的由度,就是自由度。n-k就很容易理解了吧。属于一种无偏估计。

    7  另外说一下的是,在Eviews软件中关于自协方差和偏自相关函数的计算等,都用的是有偏估计,不是用的无偏估计。但是计算AIC等准则和其他东西,用的是无偏估计,因为有一个n-k自由度。因此n-k自由度是一个辨识无偏估计和有偏估计的重要标记。关于这个地方说的应该已经很透彻了,所以关于数学公式,数学字母,重中之重不是解题技巧,解题技巧就那么一种,重要的是对于公式和字母背后的逻辑和想要表达的东西。

    8  最近越来越发现,数学语言更像是佛学理论,佛学语言。属于一种高度哲学。其实也对,看看历史的发展,数学就是来自于哲学!亚里士多德,毕达哥拉斯等等。没毛病!

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/noah0532/p/8512160.html

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  • 自相关函数

    万次阅读 2015-06-23 14:37:13
    如果X是一个时间的随机变量序列,将不同时间起始点的两个序列XtXs看成两个随机变量,上面的相关函数则可表示为:  如果Xt是一个二阶稳态过程,即均值方差不随时间而变化。,此时相关函数只是时间差τ=s-...

    在统计里,两个随机变量XY相关函数定义如下:

    2011年03月19日 - freetrain_sk - sk

    也就是两个随机变量协方差除以标准差之积。

    如果X是一个时间的随机变量序列,将不同时间起始点的两个序列XtXs看成两个随机变量,上面的相关函数则可表示为:

    2011年03月19日 - freetrain_sk - sk
     如果Xt是一个二阶稳态过程,即均值和方差不随时间而变化。,此时相关函数只是时间差τ=s-t的一个函数,则上式可重写为:
    2011年03月19日 - freetrain_sk - sk
     这就是统计学上的自相关函数

    就这么个玩意,表达了个什么意思呢?

    让我们把期望展开来看,也就是当随机变量序列有样本点时:

     2011年03月19日 - freetrain_sk - sk

    而向量内积计算结果,是两个向量间夹角的余弦值。当两个向量相同时,夹角为0,而余弦值,即自相关函数取值为1

    所以,自相关函数在统计上,反映了同一序列在不同时刻的取值之间的相关程度

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