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  • 协方差函数 在平稳 AR(p)AR(p)AR(p)模型两边同乘 xt−k,∀k>1x_{t-k}, \forall k > 1xt−k​,∀k>1, 再求期望 对于中心化的AR模型, 其均值为0, 则有cov(xt,xs)=E(xt)E...

    协方差函数

    在平稳 A R ( p ) AR(p) AR(p)模型两边同乘 x t − k , ∀ k > 1 x_{t-k}, \forall k > 1 xtk,k>1, 再求期望
    对于中心化的AR模型, 其均值为0, 则有 c o v ( x t , x s ) = E ( x t ) E ( x s ) cov(x_t, x_s) = E(x_t)E(x_s) cov(xt,xs)=E(xt)E(xs)
    又因为 x t = ϕ 1 x t − 1 + ϕ 2 x t − 2 + ⋯ + ϕ p x t − p + ε t x_t = \phi_1x_{t-1} + \phi_2x_{t-2}+\cdots+\phi_px_{t-p} + \varepsilon_t xt=ϕ1xt1+ϕ2xt2++ϕpxtp+εt
    所以 E ( x t x t − k ) = ϕ 1 E ( x t − 1 x t − k ) + ⋯ + ϕ p E ( x t − p x t − k ) + E ( ε t x t − k ) E(x_tx_{t-k}) = \phi_1E(x_{t-1}x_{t-k}) +\cdots+\phi_pE(x_{t-p}x_{t-k}) + E(\varepsilon_tx_{t-k}) E(xtxtk)=ϕ1E(xt1xtk)++ϕpE(xtpxtk)+E(εtxtk)
    又因为 ε t \varepsilon_t εt 与 x_t 独立, 即 E ( ε t x t − k ) = 0 , ∀ k ≥ 1 E(\varepsilon_tx_{t-k})=0, \forall k \geq 1 E(εtxtk)=0,k1
    最终可得协方差的递推公式 r k = ϕ 1 r k − 1 + ϕ 2 r k − 2 + ⋯ + ϕ p r k − p r_k = \phi_1r_{k-1} + \phi_2r_{k-2} +\cdots+\phi_pr_{k-p} rk=ϕ1rk1+ϕ2rk2++ϕprkp

    例子: 求平稳 A R ( 1 ) AR(1) AR(1)模型的协方差
    递推公式 r k = ϕ 1 r k − 1 = ϕ 1 k r 0 r_k = \phi_1r_{k-1} = \phi_1^kr_{0} rk=ϕ1rk1=ϕ1kr0 , 其中 r 0 r_0 r0 为相差为0的协方差函数,即为方差
    平稳AR(1)模型的方差为 r 0 = σ ε 2 1 − ϕ 1 2 r_0 = \frac{\sigma_{\varepsilon}^2}{1-\phi_1^2} r0=1ϕ12σε2

    协方差函数的地推公式为 r k = ϕ 1 k σ ε 2 1 − ϕ 1 2 , ∀ k ≥ 1 r_k = \phi_1^k\frac{\sigma_{\varepsilon}^2}{1-\phi_1^2}, \forall k \geq 1 rk=ϕ1k1ϕ12σε2,k1
    由平稳 A R ( 1 ) AR(1) AR(1)
    ϕ 1 &lt; 1 ⇒ 当 k → ∞ , 时 , ϕ 1 k → 0 ⇒ r k &lt; r k − 1 , ∀ k ≥ 1 \phi_1 &lt; 1 \Rightarrow 当 k\rightarrow \infty, 时, \phi_1^k \rightarrow0 \\ \Rightarrow r_k &lt; r_{k-1} , \forall k \geq 1 ϕ1<1k,ϕ1k0rk<rk1,k1
    所以随着间隔期数的拉长, 协方差函数的绝对值不断减少且趋近于零。

    平稳 A R ( 2 ) AR(2) AR(2)模型的协方差函数递推公式为
    r k = ϕ 1 r k − 1 + ϕ 2 r k − 2 , k ≥ 2 r 1 = ϕ 1 r 0 + ϕ 2 r − 1 = ϕ 1 r 0 + ϕ 2 r 1 ⇒ r 1 = ϕ 1 r 0 1 − ϕ 2 r 0 = 1 − ϕ 2 ( 1 + ϕ 2 ) ( 1 − ϕ 1 − ϕ 2 ) ( 1 + ϕ 1 − ϕ 2 ) σ ε 2 r_k = \phi_1r_{k-1} + \phi_2r_{k-2}, k\geq2 r_1 = \phi_1r_0 + \phi_2r_{-1}=\phi_1r_0 + \phi_2r_{1} \\ \Rightarrow r_1 = \frac{\phi_1r_0}{1-\phi_2} r_0=\frac{1-\phi_2}{(1+\phi_2)(1-\phi_1-\phi_2)(1+\phi_1-\phi_2)}\sigma_{\varepsilon}^2 rk=ϕ1rk1+ϕ2rk2,k2r1=ϕ1r0+ϕ2r1=ϕ1r0+ϕ2r1r1=1ϕ2ϕ1r0r0=(1+ϕ2)(1ϕ1ϕ2)(1+ϕ1ϕ2)1ϕ2σε2

    A R ( 2 ) AR(2) AR(2)模型的平稳性条件有一条: ϕ 1 ± ϕ 2 &lt; 1 且 ∣ ϕ 2 ∣ &lt; 1 \phi_1 \pm \phi_2 &lt; 1 且\left| \phi_2 \right| &lt; 1 ϕ1±ϕ2<1ϕ2<1
    有知道 r 1 &lt; r 0 r_1 &lt; r_0 r1<r0 , 所以 ϕ 1 1 − ϕ 2 − 1 = ϕ 1 + ϕ 2 − 1 1 − ϕ 2 \frac{\phi_1}{1-\phi_2} - 1 = \frac{\phi_1 + \phi_2 -1}{1-\phi_2} 1ϕ2ϕ11=1ϕ2ϕ1+ϕ21
    那么该分式的分母大于零,分子小于零,即整个分式小于零
    其协方差函数也是不断减小,趋近于零的(拖尾性)

    自相关系数

    定义为: ρ k = r k r 0 \rho_k = \frac{r_k}{r_0} ρk=r0rk
    平稳 A R ( p ) AR(p) AR(p)模型的自相关系数递推公式
    ρ k = ϕ 1 ρ k − 1 + ϕ 2 ρ k − 2 + ⋯ + ϕ p ρ k − p \rho_k = \phi_1\rho_{k-1} + \phi_2\rho_{k-2} +\cdots+ \phi_p\rho_{k-p} ρk=ϕ1ρk1+ϕ2ρk2++ϕpρkp

    常用 A R AR AR模型自相关系数递推公式
    AR(1)模型: ρ k = ϕ i k , k ≥ 0 \rho_k = \phi_i^k, k \geq 0 ρk=ϕik,k0
    AR(2)模型: ρ k = { 1 k=0 ϕ 1 1 − ϕ 2 k=1 ϕ 1 ρ k − 1 + ϕ 2 ρ k − 2 k ≥ 2 \rho_k= \begin{cases} 1&amp; \text{k=0}\\ \frac{\phi_1}{1-\phi_2} &amp; \text{k=1} \\ \phi_1\rho_{k-1} + \phi_2\rho_{k-2} &amp; k\geq2 \end{cases} ρk=11ϕ2ϕ1ϕ1ρk1+ϕ2ρk2k=0k=1k2
    观察数据是否适合AR模型去拟合时,可以观察数据的自相关图。 如果自相关图展现出相对于的拖尾性质时,那么这个数据肯能是适合AR模型的。
    总结: A R AR AR模型自相关系数的性质
    拖尾性: ρ ( k ) = ∑ i = 1 p c i λ i k ( c 1 , c 2 , ⋯ &ThinSpace; , c p \rho(k) = \sum_{i=1}^{p}c_i\lambda_i^k (c_1, c_2, \cdots, c_p ρ(k)=i=1pciλik(c1,c2,,cp不能恒等于零)
    呈复指数衰减 ρ ( k ) = ∑ i = 1 p c i λ i k → 0 \rho(k) = \sum_{i=1}^{p}c_i\lambda_i^k \rightarrow0 ρ(k)=i=1pciλik0
    这个性质告诉我们: 对于平稳序列而言, 通常只有近期的序列影响更强,时间越远,影响越小。

    偏自相关系数

    定义: 对于平稳 A R ( p ) AR(p) AR(p)序列, 所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k-1个随机变量 x t − 1 , x t − 2 , ⋯ &ThinSpace; , x t − k + 1 x_{t-1}, x_{t-2}, \cdots, x_{t-k+1} xt1,xt2,,xtk+1 的条件下,或者说,在剔除了中间k-1个随机变量的干扰滞后, x t − k x_{t-k} xtk x k x_k xk 影响的相关度量。用属性语言描述就是
    ρ x t , x t − k ∣ x t − 1 , ⋯ &ThinSpace; , x t − k + 1 = E [ ( x t − E ^ x t ) ] E [ ( x t − k − E ^ x t − k ) ] E [ ( x t − k − E ^ x t − k ) 2 ] \rho_{x_t,x_{t-k}|x_{t-1}, \cdots, x_{t-k+1}} = \frac{E[(x_t - \hat{E}x_t)]E[(x_{t-k} - \hat{E}x_{t-k})]}{E[(x_{t-k} - \hat{E}x_{t-k})^2]} ρxt,xtkxt1,,xtk+1=E[(xtkE^xtk)2]E[(xtE^xt)]E[(xtkE^xtk)]

    偏自相关系数的截尾性

    A R ( p ) AR(p) AR(p)模型偏自相关系数P阶截尾:
    ϕ k k = 0 , k &gt; p \phi_{kk} = 0, k &gt;p ϕkk=0,k>p

    总结:

    判断一个时间序列是否可以用AR模型的方式
    如果自相关图拖尾,偏自相关系数图呈截尾现象,那么这个时间序列就可以使用AR模型拟合,其中偏自相关系数图呈现几阶截尾,就可以建立几阶的AR模型

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  • 自相关函数相关函数自协方差矩阵 互协方差矩阵的区别联系 [3]: https://mermaidjs.github.io/ [4]: http://adrai.github.io/flowchart.js/

    自适应滤波虽然在上学期间就有过接触,但是近期在复习总结自适应滤波的一些知识的时候,发现当时或许是仅仅为了学习而学习,好多知识点理解的都不是非常的深刻,今天抽时间对自适应滤波中常用的随机过程,自相关函数,互相关函数,自协方差矩阵,互协方差矩阵做一下总结学习。

    1. 随机过程

    通常,我们认为自适应滤波器的输入信号和期望的输出信号一般都是随机的。也就是说,他们都是先验未知的。然而,他们展示出了一些统计特征,在滤波器系数的优化过程中,需要对其进行加以利用。这样的随机信号我们称为随机过程。
    对于离散时间随机过程是指一组有编号的随机变量的集合。{x(n);n=…,-2,-1,0,1,2,3,4,…}
    。对于一个随机信号,编号n与时间或者其他可能的物理维度可能存在一定的关系。

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  • 1.自相关函数(Autocorrelation function)

    1.自相关函数(Autocorrelation function)

    自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1t2,的取值之间的相关程度


    2. 自协方差函数(Autocovariance function)

    自协方差函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1t2,的取值之间的二阶混合中心矩,用来描述X(t)在两个时刻取值的起伏变化(相对与均值)的相关程度,也称为中心化的自相关函数。


    时, 

    显然,自协方差函数和自相关函数描述的特性基本相同。


    3. 协方差矩阵


    记住,XY是一个列向量,它表示了每种情况下每个样本可能出现的数。比如给定


    由于数据是二维的,所以协方差矩阵是一个2*2的矩阵,矩阵的每个元素为:元素(i,j) = (第 i 维所有元素 - 第 i 维的均值) * (第 j 维所有元素 - 第 j 维的均值) 。

    其中「*」代表向量内积符号,即两个向量求内积,对应元素相乘之后再累加。

    我们首先列出第一维:D1: (1,3,4,5) 均值:3.25

    D2: (2,6,2,2) 均值:3

    下面计算协方差矩阵第(1,2)个元素:

    元素(1,2)=(1-3.25,3-3.25,4-3.25,5-3.25)*(2-3,6-3,2-3,2-3)=-1

    类似的,我们可以把2*2个元素都计算出来:


    这个题目的最终结果就是:

    用matlab计算这个例子

    z=[1,2;3,6;4,2;5,2]

    cov(z)

    ans =

        2.9167   -0.3333

       -0.3333    4.0000

    可以看出,matlab计算协方差过程中还将元素统一缩小了3倍。所以,协方差的matlab计算公式为:

        协方差(i,j)=(第i列所有元素-第i列均值)*(第j列所有元素-第j列均值)/(样本数-1)



    参考:

    [1] http://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_matrix

    [2] http://www.cnblogs.com/cvlabs/archive/2010/05/08/1730319.html

    [3]http://blog.csdn.net/ybdesire/article/details/6270328

    [4] http://202.117.122.42:9001/xhxt/xhyxt/xuexi/chart9/c_9_2_3_001.htm


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  • 自相关函数和自协方差函数

    万次阅读 2012-05-31 21:03:23
    9.2.3自相关函数和自协方差函数  上面介绍的均值、均方值和方差描述的是一维随机变量的统计特性,不能反映不同时刻各数值之间的相互关系。例如,随机信号X(t)分别在t1,t2时刻的随机取值X(t1),X(t2)之间的关联...

    9.2.3自相关函数和自协方差函数

        上面介绍的均值、均方值和方差描述的是一维随机变量的统计特性,不能反映不同时刻各数值之间的相互关系。例如,随机信号X(t)分别在t1t2时刻的随机取值X(t1)X(t2)之间的关联程度如何,这种关联称为自关联。同样,我们也要研究两个随机信号X(t)Y(t)数值之间的关联程度,这种关联性称为XY之间的互关联(下一小节介绍)。

      1.自相关函数

       自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1t2,的取值之间的相关程度。

    定义6 实随机信号X(t)的自相关函数定义为

                     

    9.2.7

      由于平稳随机信号的统计特性与时间的起点无关,设 ,则有 。所以,平稳随机信号的自相关函数是时间间隔t的函数,记为Rxx(t).

      2.自协方差函数

        自协方差函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1t2,的取值之间的二阶混合中心矩,用来描述X(t)在两个时刻取值的起伏变化(相对与均值)的相关程度,也称为中心化的自相关函数。

    定义7 实随机信号X(t)的自协方差函数定义为

       

      (9.2.8

      时,有

       显然,自协方差函数和自相关函数描述的特性基本相同。

    对于平稳随机信号,自协方差函数是时间间隔t的函数,记为Cxx(t),且有:

                    

         (9.2.9)

      当均值时,有

       当随机过程X(t)的均值为常数,相关函数只与时间间隔有关,且均方值为有限值时,则称X(t)为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。它是由一、二维数字特征定义的。一般所说的平稳过程都是指这种宽平稳随机过程。

    3.平稳随机信号自相关函数的性质

       设X(t)为平稳随机过程,其自相关函数为,自协方差函数,则有如下性质:

    1                                            (9.2.10)

                                                          (9.2.11)

            即时的自相关函数等于均方差,自协方差函数等于方差。

    2                            (9.2.12

            即当平稳随机信号是实函数时,其相关函数是偶函数。

    3                           9.2.13

            即时的自相关函数、自协方差函数取最大值。

    4)   若,则其自相关函数也是周期为T的周期函数,即

                                9.2.14

    5)   若均值,当时,相互独立,有   

                                                    (9.2.15

      即对于零均值的平稳随机信号,当时间间隔很大时,相互独立,互不相关。



    http://zyk.thss.tsinghua.edu.cn/68/sANDs/xuexi/chart9/c_9_2_3_001.htm

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