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  • 但是,市面上大部分教科书很少有相关公式备注,很多人又懒于自己推导,在收到很多小伙伴关于这方面计算化简的问题来信之后,雪球决定帮你们把这些公式搬运过来。都是很简单的东西,证明可以自己玩一玩,做题...

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    小伙伴:“雪球,你又水Trivial的文章了!”实验室内外充满了快活的空气。

    玩笑归玩笑,但是不得不说反三角函数一直是很多人的重灾区。高中不学,大学讲高数又默认你会,理工领域也经常用,公式不熟练很容易出问题。但是,市面上大部分教科书很少有相关的公式备注,很多人又懒于自己推导,在收到很多小伙伴关于这方面计算化简的问题来信之后,雪球决定帮你们把这些公式搬运过来。都是很简单的东西,证明可以自己玩一玩,做题时候忘了,也可以看看这个文章查着用。

    反三角函数的的相互关系

    最后两个等号只在

    时成立,下同

    反三角函数的和差

    反正弦:

    反余弦:

    反正切:

    反三角函数的二倍

    反正弦:

    反余弦:

    反正切:

    余弦反余弦复合的重要关系公式:

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  • 这篇文章总结了概率统计中期望、方差、协方差和相关系数的定义、性质和基本运算规则。一、期望定义:设P(x)是一个离散概率分布函数变量的取值范围是。那么其期望被定义为:设P(x)是一个连续概率分布函数,那么他的...

    这篇文章总结了概率统计中期望、方差、协方差和相关系数的定义、性质和基本运算规则。

    一、期望

    定义:

    设P(x)是一个离散概率分布函数自变量的取值范围是。那么其期望被定义为:

    设P(x)是一个连续概率分布函数 ,那么他的期望是:

                                                                               

    性质:

    1.线性运算:

    期望服从先行性质,因此线性运算的期望等于期望的线性运算:

    我们可以把它推广到任意一般情况:

    2.函数的期望:

    设f(x)是x的函数,则f(x)的期望为:

    离散:

    连续:

    3.乘积的期望:

    一般来说,乘积的期望不等于期望的乘积,除非变量相互独立。因此,如果x和y相互独立,则

    期望的运算构成了统计量的运算基础,因为方差、协方差等统计量本质上是一种特殊的期望。

    设C为一个常数,X和Y是两个随机变量。以下是数学期望的重要性质:

    1.E(C)=C

    2.E(CX)=CE(X)

    3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)

    4.当X和Y相互独立时,E(XY)=E(X)E(Y)

    性质3和性质4可以推到到任意有限个相互独立的随机变量之和或之积的情况。

    例子:

    某城市有10万个家庭,没有孩子的家庭有1000个,有一个孩子的家庭有9万个,有两个孩子的家庭有6000个,有3个孩子的家庭有3000个。求一个家庭平均小孩的数目:

    思路:则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量。它可取值0,1,2,3。其中取0的概率为0.01(1000/10万),取1的概率0.9(9000/10万),取2的概率为0.06(6000/10万),取3的概率为0.03(3000/10万)。它的数学期望0×0.01+1×0.9+2×0.06+3×0.03等于1.11,即此城市一个家庭平均有小孩1.11个。用数学式子表示为E(X)=1.11。

    二、方差

    定义:

    方差是一种特殊的期望, 被定义为:

    离散型的方差:

    连续型的方差:

    以上两式是一样的,只是写法不同。

    证明:由数学期望的性质得

    性质:

    1.设C是常数,则D(C)=0

    2.设X是随机变量,C是常数,则有

    3.设 X 与 Y 是两个随机变量,则

    其中协方差

    特别的,当X,Y是两个不相关的随机变量(相互独立)则

    此性质可以推广到有限多个两两不相关的随机变量之和的情况。

    统计学意义:

    方差和标准差是测算离散趋势最重要、最常用的指标。方差是各变量值与其均值离差平方的平均数,它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法。标准差为方差的算术平方根,用S表示。方差相应的计算公式为(无偏性)。

    标准差与方差不同的是,标准差和变量的计算单位相同,比方差清楚,因此很多时候我们分析的时候更多的使用的是标准差。

    三、协方差

    定义:

    在概率论和统计学中,协方差用于衡量两个变量的总体误差。期望值分别为E[X]与E[Y]的两个实随机变量X与Y之间的协方差Cov(X,Y)定义为:

    特殊情况下,当X=Y时:

    从直观上来看,协方差表示的是两个变量总体误差的期望。

    如果两个变量的变化趋势一致,也就是说如果其中一个大于自身的期望值时另外一个也大于自身的期望值,那么两个变量之间的协方差就是正值;如果两个变量的变化趋势相反,即其中一个变量大于自身的期望值时另外一个却小于自身的期望值,那么两个变量之间的协方差就是负值。

    如果X与Y是统计独立的,那么二者之间的协方差就是0,因为两个独立的随机变量满足E[XY]=E[X]E[Y]。

    但是,反过来并不成立。即如果X与Y的协方差为0,二者并不一定是统计独立的。

    性质:

    (1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);

    (2)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),(a,b是常数);

    (3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)。

    由协方差定义,可以看出Cov(X,X)=D(X),Cov(Y,Y)=D(Y)。

    四、相关系数

    协方差作为描述X和Y相关程度的量,在同一物理量纲之下有一定的作用,但同样的两个量采用不同的量纲使它们的协方差在数值上表现出很大的差异。为此引入如下概念;

    定义:

    称为随机变量X和Y的(Pearson)相关系数。

    性质:

    1.若ρXY=0,则称X与Y不线性相关。

    2.即ρXY=0的充分必要条件是Cov(X,Y)=0,亦即不相关和协方差为零是等价的。

    3.相关系数ρXY取值在-1到1之间,ρXY = 0时,称X,Y不相关;

    | ρXY | = 1时,称X,Y完全相关,此时,X,Y之间具有线性函数关系;

    | ρXY | < 1时,X的变动引起Y的部分变动,ρXY的绝对值越大,X的变动引起Y的变动就越大;

    | ρXY | > 0.8时称为高度相关,当 | ρXY | < 0.3时称为低度相关,其它时候为中度相关。

    五、参考资料

    1.协方差、相关系数等百度百科

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  • 在之前阅读 ThreadPoolExecutor 源码的时候,发现代码里用到了一些二进制相关的位运算之类的代码,看起来有些费劲了,所以现在大概总结了一些笔记,二进制这东西吧,不难,就跟数学一样,知道规律,计算公式,就贼...

    前言

    在之前阅读 ThreadPoolExecutor 源码的时候,发现代码里用到了一些二进制相关的位运算之类的代码,看起来有些费劲了,所以现在大概总结了一些笔记,二进制这东西吧,不难,就跟数学一样,知道规律,计算公式,就贼简单,就是二进制转十进制这种自己算起来比较费劲

    但现在又不是考试,所以我选择计算器!!!!

    二进制

    计算机采用二进制原因:

    • 首先,二进位计数制仅用两个数码。0和1,所以,任何具有二个不同稳定状态的元件都可用来表示数的某一位。而在实际上具有两种明显稳定状态的元件很多。例如,氖灯的;开关的; 电压的;纸带上的有孔无孔,电路中的有信号无信号, 磁性材料的南极北极等等,不胜枚举。 利用这些截然不同的状态来代表数字,是很容易实现的。不仅如此,更重要的是两种截然不同的状态不单有量上的差别,而且是有质上的不同。这样就能大大提高机器的抗干扰能力,提高可靠性。而要找出一个能表示多于二种状态而且简单可靠的器件,就困难得多了。
    • 其次,二进位计数制的四则运算规则十分简单。而且四则运算最后都可归结为加法运算和移位,这样,电子计算机中的运算器线路也变得十分简单了。不仅如此,线路简化了,速度也就可以提高。这也是十进位计数制所不能相比的 。
    • 第三,在电子计算机中采用二进制表示数可以节省设备。可 以从理论上证明,用三进位制最省设备,其次就是二进位制。但由于二进位制有包括三进位制在内的其他进位制所没有的优点,所以大多数电子计算机还是采用二进制。此外,由于二进制中只用二个符号 “ 0” 和“1”,因而可用布尔代数来分析和综合机器中的逻辑线路。 这为设计电子计算机线路提供了一个很有用的工具。
    • 第四,二进制的符号“1”和“0”恰好与逻辑运算中的“对”(true)与“错”(false)对应,便于计算机进行逻辑运算。

    二进制运算

    二进制加法有四种情况: 0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=10(0 进位为1)

    二进制乘法有四种情况: 0×0=0,1×0=0,0×1=0,1×1=1

    二进制减法有四种情况:0-0=0,1-0=1,1-1=0,0-1=1

    二进制除法有两种情况(除数只能为1):0÷1=0,1÷1=1

    java中的位运算

    Java定义了位运算符,应用于整数类型(int),长整型(long),短整型(short),字符型(char),和字节型(byte)等类型。

    位运算符作用在所有的位上,并且按位运算。假设a = 60,b = 13;它们的二进制格式表示将如下:

            A = 0011 1100
            B = 0000 1101
            -----------------
            A & B = 0000 1100
            A | B = 0011 1101
            A ^ B = 0011 0001
            ~A    = 1100 0011
    

    下表列出了位运算符的基本运算,假设整数变量 A 的值为 60 和变量 B 的值为 13:

    操作符 描述 例子
    如果相对应位都是1,则结果为1,否则为0 (A&B),得到12,即0000 1100
    如果相对应位都是 0,则结果为 0,否则为 1 (A 丨B)得到61,即 0011 1101
    ^ 如果相对应位值相同,则结果为0,否则为1 (A ^ B)得到49,即 0011 0001
    按位取反运算符翻转操作数的每一位,即0变成1,1变成0。 (〜A)得到-61,即1100 0011
    << 按位左移运算符。左操作数按位左移右操作数指定的位数。 A << 2得到240,即 1111 0000
    >> 按位右移运算符。左操作数按位右移右操作数指定的位数。 A >> 2得到15即 1111
    >>> 按位右移补零操作符。左操作数的值按右操作数指定的位数右移,移动得到的空位以零填充。 A>>>2得到15即0000 1111

    测试栗子:

        public class BitOperation {
            public static void main(String[] args) {
                int a = 60; /* 60 = 0011 1100 */
                int b = 13; /* 13 = 0000 1101 */
                int c = 0;
                c = a & b;       /* 12 = 0000 1100 */
                System.out.println("a & b = " + c );
        
                c = a | b;       /* 61 = 0011 1101 */
                System.out.println("a | b = " + c );
        
                c = a ^ b;       /* 49 = 0011 0001 */
                System.out.println("a ^ b = " + c );
        
                c = ~a;          /*-61 = 1100 0011 */
                System.out.println("~a = " + c );
        
                c = a << 2;     /* 240 = 1111 0000 */
                System.out.println("a << 2 = " + c );
        
                c = a >> 2;     /* 15 = 1111 */
                System.out.println("a >> 2  = " + c );
        
                c = a >>> 2;     /* 15 = 0000 1111 */
                System.out.println("a >>> 2 = " + c );
            }
        }
    

    输出:

        a & b = 12
        a | b = 61
        a ^ b = 49
        ~a = -61
        a << 2 = 240
        a >> 2  = 15
        a >>> 2 = 15
    

    ThreadPoolExecutor 源码分析

    AtomicInteger ctl

    ctl是主要的控制状态,是一个复合类型的变量,其中包括了两个概念。

    • workerCount:表示有效的线程数目
    • runState:线程池里线程的运行状态

    我们来分析一下跟ctl有关的一些源代码吧,直接上代码

        private final AtomicInteger ctl = new AtomicInteger(ctlOf(RUNNING, 0));
        
        //用来表示线程池数量的位数,很明显是29,Integer.SIZE=32
        private static final int COUNT_BITS = Integer.SIZE - 3;
        //线程池最大数量,2^29 - 1
        private static final int CAPACITY   = (1 << COUNT_BITS) - 1;
        
        // runState is stored in the high-order bits
        //我们可以看出有5种runState状态,证明至少需要3位来表示runState状态
        //所以高三位就是表示runState了
        private static final int RUNNING    = -1 << COUNT_BITS;
        private static final int SHUTDOWN   =  0 << COUNT_BITS;
        private static final int STOP       =  1 << COUNT_BITS;
        private static final int TIDYING    =  2 << COUNT_BITS;
        private static final int TERMINATED =  3 << COUNT_BITS;
        
        // Packing and unpacking ctl
        private static int runStateOf(int c)     { return c & ~CAPACITY; }
        private static int workerCountOf(int c)  { return c & CAPACITY; }
        private static int ctlOf(int rs, int wc) { return rs | wc; }
    

    CAPACITY: 线程最大数量

    在这里我们讲一下这个线程池最大数量的计算吧,因为这里涉及到源码以及位移之类的操作,我感觉大多数人都还是不太会这个,因为我一开始看的时候也是不太会的。

        private static final int CAPACITY   = (1 << COUNT_BITS) - 1;
    

    从代码我们可以看出,是需要1往左移29位,然后再减去1,那个1往左移29位是怎么计算的呢?

        1 << COUNT_BITS
        
        1322进制是
        0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001
        
        左移29位的话就是
        0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
        
        再进行减一的操作
        0001 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111
        
        也就是说线程池最大数目就是
        0001 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111
    

    runState:线程池里线程的运行状态

    正数的原码、反码、补码都是一样的,在计算机底层,是用补码来表示的

        private static final int RUNNING    = -1 << COUNT_BITS;
        private static final int SHUTDOWN   =  0 << COUNT_BITS;
        private static final int STOP       =  1 << COUNT_BITS;
        private static final int TIDYING    =  2 << COUNT_BITS;
        private static final int TERMINATED =  3 << COUNT_BITS;
    

    RUNNING 运行状态

    可以接受新任务并且处理已经在阻塞队列的任务,高3位全部是1的话,就是RUNNING状态

        -1 << COUNT_BITS
        这里是-1往左移29位,稍微有点不一样,-1的话需要我们自己算出补码来
        
        -1的原码
        1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001
        
        -1的反码,负数的反码是将原码除符号位以外全部取反
        1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110
        
        -1的补码,负数的补码就是将反码+1
        1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111
        
        关键了,往左移29位,所以高3位全是1就是RUNNING状态
        1110 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
    

    SHUTDOWN 关闭状态

    不接受新任务,处理已经在阻塞队列的任务,高3位全是0,就是SHUTDOWN状态

        0 << COUNT_BITS
        
        0的表示
        00000000 00000000 00000000 00000000
        
        往左移2900000000 00000000 00000000 00000000
    

    STOP

    不接受新任务,也不处理阻塞队列里的任务,并且会中断正在处理的任务,所以高3位是001,就是STOP状态

        1 << COUNT_BITS
        
        1的表示
        00000000 00000000 00000000 00000001
        
        往左移2900100000 00000000 00000000 00000000
    

    TIDYING

    所有任务都被中止,workerCount是0,线程状态转化为TIDYING并且调用terminated()钩子方法,所以高3位是010,就是TIDYING状态

        2 << COUNT_BITS
        
        2322进制
        00000000 00000000 00000000 00000010
        
        往左移2901000000 00000000 00000000 00000000
    

    TERMINATED

    terminated()钩子方法已经完成,所以高3位是110,就是TERMINATED状态

        3 << COUNT_BITS
        
        3322进制
        00000000 00000000 00000000 00000011
        
        往左移2911000000 00000000 00000000 00000000
    

    相关方法介绍

    runStateOf

    实时获取runState的方法

        private static int runStateOf(int c)     { return c & ~CAPACITY; }
    
        ~CAPACITY
        ~是按位取反的意思
        &是按位与的意思
        
        而CAPACITY是,高位30,低29位都是1,所以是
        000 11111 11111111 11111111 11111111
        
        取反的话就是
        111 00000 00000000 00000000 00000000
        
        传进来的c参数与取反的CAPACITY进行按位与操作
        1、低位290进行按位与,还是290
        2、高位31,即保持c参数的高3位
        即高位保持原样,低29位都是0,这也就获得了线程池的运行状态runState
    

    workerCountOf

    获取线程池的当前有效线程数目

        private static int workerCountOf(int c)  { return c & CAPACITY; }
    
        CAPACITY的322进制是
        000 11111 11111111 11111111 11111111
        
        用入参c跟CAPACITY进行按位与操作
        1、低29位都是1,所以保留参数c的低29位,也就是有效线程数
        2、高3位都是0,所以c的高3位也是0
        
        这样获取出来的便是workerCount的值
    

    ctlOf

    原子整型变量ctl的初始化方法

    //结合这几句代码来看
        private static final int RUNNING    = -1 << COUNT_BITS;
        private final AtomicInteger ctl = new AtomicInteger(ctlOf(RUNNING, 0));
        
        private static int ctlOf(int rs, int wc) { return rs | wc; }
    
        RUNNING是
        1110 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
        
        ctlOf是将rs和wc进行按位或的操作
        
        初始化的时候是将RUNNING和0进行按位或
        
        0322进制是
        0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
        
        所以初始化的ctl是
        1110 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
    
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  • 进行点乘运算,叉乘运算?求相关的库名称已经代码示例,谢谢!zhzy:numpyTony042:numpy,或者自己求模就是该矩阵的 hermitian matrix 乘以它本身,点乘就是求模开个方,叉乘算 detsage 能判断级数的敛散性么?...

    Hlianbobo:python 或 sage 有没有哪个函数可以求指定向量的模?进行点乘运算,叉乘运算?求相关的库名称已经代码示例,谢谢!

    zhzy:numpy

    Tony042:numpy,或者自己求模就是该矩阵的 hermitian matrix 乘以它本身,点乘就是求模开个方,叉乘算 det

    sage 能判断级数的敛散性么?

    Hlianbobo:在网上搜索了一圈,可以找到 mathematica 判断级数敛散性的说明。但是 sage 则没有找到相关的文章。求助论坛大神。是否有这方面的知识分享。另外,看了一根 sage 书的目录。sage 似乎可以和 python 下流行的第三方库一起交互工作。不知道 mathematica 是否有支持于 python 交互?sage 添加积分上下限以后为什么无法得出数值解?

    Hlianbobo:n,x=var('n x')latex(integral(((x^2)/4)*cos(n*x),x,-pi,pi))请看上述代码。求解出来的积分还是带着 pi 的,而且没有代入上限值 去减下限。就是把 pi 代入表达式而已。为什么不直接给出数值解?sage 如何求出导数数的数值解

    Hlianbobo:比如已经求出了导数(对于 x 求导)的解析解表达式。这式有 x 的若干值。需要代入表达式求出数值解。这时应该怎么求数值解呢?不定积分的表达式也有类似问题。求出了解析解。如何特定的积分上下限“代入解析解”求出数值解呢?注:不是直接求数值解。Python 如何查某关键词在百度网页第几页?

    cizimo:例如,在百度搜索 XXX 关键词后,想知道包含 YYY 的词在搜索结果的第几页? 这个能做到吗? 或者说有没有教程,砸一个链接给我呗,谢谢大家啦Python 有没有监听鼠标点击网页相关元素的包呢?

    18870715400:具体需求 比如说打开了 www.baidu.com ,当你鼠标点击了“百度一下”就可以获得这个对应的 id 或者是对应的 xpath 语法 如果没有对应的包,那么有什么可以具体实现的思路呢?

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  • Matlab的自相关函数corr

    万次阅读 2018-10-21 19:16:34
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  • 梯度下降法和泰勒公式

    千次阅读 2019-05-22 19:24:21
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  • 然后,对任一路传感器信号进行自相关运算得到一路同频参考信号;对3路同频信号进行Hilbert变换,将3路变换后的信号与变换前信号进行相关运算,再利用三角函数公式即可求出相位差。与原有方法相比,所提方法克服了非...
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  • 本书译笹部贞市郎先生编著的《数学要项定理公式证明辞典》(圣文社1980年第六次印刷本),囊括了初等数学及高等数学中基本概念,定理、公式的详细证明和解法。对现代数学好些分支(线性规划、对策论、拓补、群论、...
  • 微积分相关知识

    2020-12-25 00:00:01
    目录一、导数概念1.1、定义1.2、几何意义1.3、物理意义1.4、与函数单调性关系1.5、与函数凹凸性关系1.6、极值定理二、导数计算公式2.1、基本函数2.1.1、幂函数2.1.2、指数函数2.1.3、以a为底的指数函数2.1.4、对数...
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  • python手撸桌面计算器

    2019-06-05 16:01:00
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空空如也

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